Im vierten Buch
"Beginnings" von Euclid, einem Text zur Geometrie mit einem Alter von 2300 Jahren, gibt es einen Hinweis für die Konstruktion eines 15-seitigen Polygons innerhalb eines Kreises. Der erste Schritt ist den Geometriestudenten bekannt: Erstellen eines gleichseitigen Dreiecks und eines regelmäßigen Fünfecks, sodass ihre Scheitelpunkte auf einem Kreis liegen und beide Figuren einen gemeinsamen Scheitelpunkt haben. Neben Textangaben enthielten die
"Anfänge" Zeichnungen, die die Methode veranschaulichen.
In der ältesten vollständigen Ausgabe von The Beginnings , einem Manuskript aus dem 9. Jahrhundert, das in der Vatikanischen Bibliothek aufbewahrt wird, wurden Linienabschnitte gezeichnet und gelöscht. Bild aus der Abteilung für Online-Katalog, Drucke und Fotografien der Library of Congress.Es ist unmöglich herauszufinden, wie die ursprünglichen Schemata von Euklid selbst aussahen, aber in den erhaltenen Manuskripten zeigen sich erstaunliche Variationen bei der Darstellung von geometrischen Figuren wie dem Fünfeck. Solche Variationen erscheinen dem modernen Betrachter wie Fehler: In einigen mittelalterlichen Versionen des Textes haben Liniensegmente die falsche Länge. Im Manuskript des 9. Jahrhunderts, der ältesten Ausgabe von
The Beginning , die in der Vatikanischen Bibliothek aufbewahrt wird, wurden Abschnitte gezeichnet und gelöscht. In einem anderen Text aus dem 9. Jahrhundert, der an der Universität Oxford gehalten wurde, sind die Seiten des Fünfecks innerhalb des Kreises gekrümmt und unordentlich, nicht gerade. Kurven werden auch in der Pariser Kopie des 12. Jahrhunderts verwendet, sind jedoch etwas weniger gewunden als in der alten Oxford-Version. Der Text des elften oder zwölften Jahrhunderts ist in Wien gespeichert, wo die ursprünglichen Linien die richtige Länge und Gerade hatten, aber später jemand ihnen gekrümmte Segmente hinzufügte (1).
Die Anfänge sind von großem Interesse, aber dies ist nicht der einzige historisch-wissenschaftliche Text mit Problemen in den Zeichnungen. Es stellt sich heraus, dass sie in Kopien der Werke von Ibn al-Khaysam, Archimedes, Aristoteles und Ptolemäus zu finden sind. Unter den Variationen befinden sich parallele Linien, die nicht wirklich parallel sind, falsch markierte Formen, gleiche Segmente oder Winkel, die ungleich gezeichnet sind, oder ungleiche Winkel, die gleich aussehen können. Zum Beispiel wird im Manuskript des Palimpsest Archimedes aus dem 10. Jahrhundert ein gleichschenkliges Dreieck verwendet, um Parabota anzuzeigen. Dies mag wie einfache historische Kuriositäten erscheinen, aber einige Forscher finden in den Zeichnungen faszinierende Hinweise darauf, wie sich die Mathematik im Laufe des Jahrtausends entwickelt hat.
Visualisierung
Die Forscher beginnen, diese Variationen zu untersuchen, um herauszufinden, wie sich mathematische Ideen verbreiten, und um zu verstehen, wie unterschiedliche Menschen sich diesem Thema näherten. Traditionell konzentrieren sich Mathematikhistoriker, die antike griechische Texte studieren, auf Wörter und Zahlen und überspringen Zeichnungen als einfache Illustrationen für den Text. Laut dem Wissenschaftshistoriker Nathan Sidoli von der Waseda-Universität in Tokio und seinem Kollegen Ken Saito von der Osaka Prefecture University, der im Aufsatz von 2012 schematische Veränderungen im Achteck und andere Beweise feststellte, überspringen wir einen Teil der Geschichte (1).
Die Mathematik ist reich an Abstraktionen, und im Laufe der Zeit haben die Menschen viele Möglichkeiten entdeckt, diese Abstraktionen zu visualisieren. „Seit unserer Jugend lernen wir, gemeinsame Konzepte auf bestimmte visuelle Weise zu verstehen“, sagt Sidoli. "Wenn wir uns diese Werke ansehen, können wir uns daran erinnern, dass dies keine universelle Sichtweise ist."
Zeichnungen und Diagramme waren Teil der Mathematik von Tausenden von Jahren menschlicher Geschichte. Die Babylonier berechneten die Quadratwurzeln und kannten das Prinzip des Satzes von Pythagoras weitere tausend Jahre vor Pythagoras oder Euklid. Als Beweis kann eine Tontafel aus dem 17. Jahrhundert vor Christus dienen, auf der eine Zeichnung eines Quadrats und seiner Diagonalen mit entsprechenden Zahlen gezeichnet ist. Der Pionier der Datenvisualisierung, Edward Tufty, Professor für Politikwissenschaft, Informatik und Statistik in Yale, bezeichnet das Tablet als „grafisches Zeugnis“ des Wissens der Babylonier.
Einige Forscher glauben, dass Zeichnungen selbst trotz aller Mängel ein wesentlicher Bestandteil der Mathematik und ein Informationsträger zwischen Jahrhunderten sein können. Wenn sich der Fehler, der in einer Kopie auftrat, auf nachfolgende Versionen ausbreitete, deutet dies darauf hin, dass die Volkszähler die Mathematik nicht verstanden oder die Genauigkeit nicht schätzten. Auf der anderen Seite verwendeten einige Experten Blaupausen, um das in
den Grundsätzen dargelegte Wissen zu ergänzen. Wenn Euklid beispielsweise nur die Eigenschaften eines spitzen Winkels beschrieb, konnten spätere Schreiber ähnliche Eigenschaften für stumpfe und rechte Winkel hinzufügen.
Dieses Fragment „Beginnings“ war Teil des Oxirinh-Papyrus, einer Gruppe von Manuskripten, die 1897 auf einer alten Mülldeponie in der Nähe der Stadt Oxirinh in Ägypten entdeckt wurden. Ein etwa 2.000 Jahre alter Text bezieht sich auf den fünften Satz des zweiten Bandes des Anfangs . Bild mit freundlicher Genehmigung von Bill Casselman (Universität von British Columbia, Vancouver).Intervention des Lesers
Die Anfänge , bestehend aus dreizehn Bänden, wurden in mindestens Hunderten von Publikationen veröffentlicht und waren bis zum letzten Jahrhundert das zweitgrößte Buch der Welt, gemessen am Umsatz. (Das erste ist die Bibel.) Aber nicht alles in
den Prinzipien wurde von Euklid abgeleitet. Die Bände enthalten eine Sammlung mathematischer Kenntnisse, die den alten Griechen dieser Zeit bekannt waren. Der Physiker Stephen Hawking nannte Euklid „den größten Mathematik-Enzyklopädisten aller Zeiten“ und verglich ihn mit Noah Webster, der das erste englische Wörterbuch zusammenstellte (2).
Die „Anfänge“ wurden aus dem Altgriechischen, Arabischen, Lateinischen, Hebräischen und anderen Sprachen übersetzt. Der Trakt im Wachstums- und Migrationsprozess sowie die darin enthaltenen Zeichnungen haben sich weiterentwickelt. Die Leser hinterließen Notizen am Rand und nahmen Änderungen vor. Nachfolgende Leser und Übersetzer sahen sowohl das Manuskript als auch die Anhänge und bearbeiteten das Werk entsprechend ihrer Zeit. Solche Interaktionen werden in Übersetzungen von Beweisen und Zeichnungen
der Anfänge aufgezeichnet, und der Akt des Kopierens wurde nach den Worten des Doktoranden der Stanford University, Yensu Lee, der die Entwicklung der Zeichnungen
der Anfänge studiert , zu einem Akt der Transformation.
„Wir können die Rolle der Leser bei der Erstellung von Zeichnungen leicht übersehen“, betont Lee, dass sie eingreifen und dazu beitragen könnten, indem sie Notizen im Manuskript machen. Schriftgelehrte nahmen diese Notizen später zur Kenntnis. "Wenn sie glaubten, dass die Randzeichnungen wichtiger waren als die Hauptpläne", erklärt Lee, "wurden die Randpläne von nachfolgenden Generationen zu Hauptplänen." Diese visuellen Veränderungen vermittelten mathematische Ideen auf eine Weise, die nicht durch Text vermittelt werden kann.
Solche Änderungen als Fehler zu bezeichnen, wäre zu alltäglich. Einige der Änderungen sollten Verbesserungen sein; andere sind aus kulturellen Praktiken hervorgegangen. Zum Beispiel wird der arabische Text von rechts nach links gelesen, so dass in den frühen arabischen Versionen der
"Anfänge" die Ausrichtung der Zeichnungen oft gespiegelt wurde - die Ecken, die in antiken griechischen Manuskripten links geöffnet wurden, wurden in arabischen Versionen rechts offenbart. Als diese arabischen Versionen jedoch ins Lateinische übersetzt wurden, haben einige Schriftgelehrte die Zeichnungen nicht umgekehrt.
Der Mathematiker Robin Hartshorn, der zuvor an der University of California in Berkeley gearbeitet hat, behauptet sogar, es sei nicht immer fair, eine Änderung der Zeichnungen als Bearbeitungsprozess zu betrachten. Trotz all dieser Kurven und Biegungen vermittelten die Zeichnungen der Pentagone die gewünschte Bedeutung. Der Stempel
„Beginnings“ mit genauen Zeichnungen spiegelt die Werte der Zeit wider, sagt er, aber diese Praxis ist früheren Versionen nicht treu. "Ich würde es eine Neuzeichnung von Zeichnungen nach dem Geschmack moderner Mathematiker nennen, die nach metrischer Genauigkeit suchen", sagt Hartshorn.
"Dies waren handgezeichnete Entwürfe für Konzepte, die nicht immer einfach schriftlich zu schreiben sind", fügt der Wissenschaftshistoriker Courtney Roby hinzu, der an der Cornell University alte Wissenschaftstexte studiert. "Zeichnungen sind die Kreationen bestimmter Autoren und Schreiber, ihre Kreativität, Experimente und Veränderungen."
Die Evolution begann
Lee war vom neunten Jahrhundert bis zur ersten gedruckten Version von
The Beginnings , die 1482 nach der Erfindung der Druckmaschine erschien, mit Manuskripten beschäftigt. Seit dieser Zeit, so Lee, sind
Anfänge an vielen europäischen Universitäten zum Standardlehrbuch geworden, und ihre Zeichnungen sind zu einem Lehrmittel geworden. Infolgedessen „beobachten wir im Zeitalter der Druckkultur völlig unterschiedliche Arten von Zeichnungen“, sagt Lee, der eine Sammlung von mindestens fünf Papyri, 32 antiken griechischen Manuskripten, 92 übersetzten Manuskripten und 32 Nachal-Drucken digitalisiert.
Bis zum neunzehnten Jahrhundert galt die euklidische Abhandlung als Modell strenger und strukturierter mathematischer Beweise. Für diese Beweise sind Zeichnungen erforderlich. „Ohne Blaupausen sind sie nutzlos“, erklärt der Philosoph John Mumma von der University of California und argumentiert, dass
die Blaupausen von
Beginnings nicht nur ein visuelles Lehrmittel sind, sondern auch wichtig, um die Aussagen selbst zu beweisen (3).
Ende des 19. und Anfang des 20. Jahrhunderts stellten Mathematiker die Überlegenheit
der Anfänge in Frage, und teilweise war der Grund dafür Euklids Abhängigkeit von den Zeichnungen. Insbesondere der deutsche Mathematiker David Hilbert forderte eine formellere Herangehensweise an die Mathematik, wobei nur Logik verwendet wurde und keine Zeichnungen für Beweise erforderlich waren, die er als eine Art „Krücke“ der Mathematik betrachtete.
"Sie lehnten die" Anfänge "von Euklid ab, weil sie nicht sehr streng wirkten", sagt John Mumma. "Es wurde angenommen, dass er die Zeichnungen intuitiv und zu locker verwendet hat."
In
„Beginnings“ gab es beispielsweise eine Zeichnung, die einen Punkt auf einer Linie zwischen zwei anderen Punkten zeigt. Hilbert brauchte eine analytische Beschreibung dessen, was er "Intermediatität" nannte, ohne die Verwendung von Zeichnungen. Der britische Philosoph und Logiker Bertrand Russell kritisierte auch den Ansatz von Euklid: Er bemerkte, dass viele antike griechische Beweise schwach sind, weil sie die Kraft ihrer Argumentation den Zeichnungen und nicht ausschließlich der Logik entnehmen. "Wahre Beweise müssen auch ohne gezeichnete Zahlen gültig bleiben, aber viele euklidische Beweise bestehen diesen Test nicht", schrieb Russell 1902 (4). (Der erste Beweis in
den Anfängen zeigt, wie ein gleichschenkliges Dreieck unter Verwendung von zwei sich kreuzenden Kreisen konstruiert wird. Der Schnittpunkt ist jedoch aus der Zeichnung gerechtfertigt, seine Existenz ist nicht streng bewiesen.)
Viele moderne Mathematikhistoriker betrachten den Ansatz von Euklid jedoch als eine andere Sichtweise der Mathematik - und sie ist nicht unbedingt schwach, nur weil sie Zeichnungen verwendet. Diese Gelehrten argumentieren, dass die Zeichnung ein Beweis ist und dass es keinen universellen Weg gibt, Mathematik zu verstehen. „Wir können tatsächlich alles verstehen, indem wir genau die Informationen in der Zeichnung als Beweismittel verwenden“, sagt Mumma. "Dies ist nicht nur eine Illustration."
Die moderne Forschung hat sich seit den 1990er Jahren größtenteils auf Zeichnungen konzentriert, als Revil Netz von der Stanford University und Kenneth Manders von der University of Pittsburgh feststellten, dass alte mathematische Zeichnungen es verdienen, aus einem anderen Blickwinkel betrachtet zu werden. Laut Netz konzentriert sich der Forschungsbereich auf zwei Aspekte: die grafischste Darstellung und die Art und Weise, wie Menschen Zeichnungen verwenden (5, 6). Er argumentiert, dass die Arbeit von Lee von der Stanford University beim Vergleich von Zeichnungen aus verschiedenen Jahrhunderten diese beiden Aspekte kombiniert und es Ihnen ermöglicht, das Fachgebiet zu erweitern.
Laut Netz wird Lees Arbeit Historikern helfen zu verstehen, wie "die Wissenschaft von der theoretischen Geometrie der alten Griechen zu einer ... angewandteren und physikalischeren Verwendung der Geometrie für die reale Welt übergegangen ist".
Nach
den Anfängen möchte Lee die Blaupausen in Euklids
Optik , einer frühen Arbeit zur Physik des Lichts, analysieren und sich dann auf die Arbeit von Ptolemaios und Archimedes konzentrieren. Er hofft, dass seine Forschung das Interesse von Historikern, Philosophen und Mathematikern wecken wird, zu analysieren, wie Menschen Zeichnungen verwendeten (und weiterhin verwenden), um tiefe mathematische Ideen zu studieren. "Wir neigen dazu, die Blaupausen loszuwerden", sagt er. „Einige Ideen können jedoch nicht im Text vermittelt werden. Sie müssen grafisch übertragen werden. “
Referenzen
- Saito K, Sidoli N (2012) Diagramme und Argumente in der antiken griechischen Mathematik: Lehren aus Vergleichen der Manuskriptdiagramme mit denen in modernen kritischen Ausgaben. Die Geschichte des mathematischen Beweises in alten Traditionen, Hrsg. Chemla K (Cambridge Univ Press, Cambridge, UK), S. 135–162. Google Scholar
- Hawking S, Hrsg. (2002) Auf den Schultern der Riesen (Running Press, Philadelphia). Google Scholar
- Mumma J (2010) Beweise, Bilder und Euklid. Synthese 175: 255–287. CrossRef Web of Science Google Scholar
- Russell B (1902) Die Lehre von Euklid. Math Gaz 2: 165–167. Google Scholar
- Netz R (1998) Griechische mathematische Diagramme: Ihre Verwendung und ihre Bedeutung. Lerne Mathe 18: 33–39. Google Scholar
- Manders K (1995) Diagrammbasierte geometrische Praxis. Die Philosophie der mathematischen Praxis, Hrsg. Mancosu P (Oxford Univ Press, Oxford), S. 65–79. Google Scholar