Frühes Universum 3. Doppler-Effekt und spezielle Relativitätstheorie

Auf der Website der kostenlosen Vorträge veröffentlichte MIT OpenCourseWare einen Kurs über die Kosmologie von Alan Gus, einem der Schöpfer des Inflationsmodells des Universums.

Ihre Aufmerksamkeit wird auf die Übersetzung der dritten Vorlesung gelenkt: "Der Doppler-Effekt und die spezielle Relativitätstheorie."


Nichtrelativistische Dopplerverschiebung

Am Ende der letzten Vorlesung haben wir begonnen, die Doppler-Verschiebung zu diskutieren und die Notation einzuführen. Es war ein Fall, in dem der Beobachter bewegungslos ist und sich die Quelle mit Geschwindigkeit bewegt $$$v$ . Wir haben Schallwellen betrachtet, die im Vergleich zu einem Medium eine feste Geschwindigkeit hatten.


Die Wellengeschwindigkeit relativ zum Medium wird bezeichnet $$$u$ , $$$v$ bedeutet Quellentfernungsrate wie gezeigt. $$$Δt_s$ - das Zeitintervall zwischen den von der Quelle emittierten Wellenbergen, dh die Periode der Welle an der Quelle. $$$Δt_o$ gibt die Periode der Welle beim Beobachter an. Wir müssen die Beziehung zwischen berechnen $$$Δt_o$ und $$$Δt_s$ .

Die Abbildung zeigt die verschiedenen Schritte in diesem Prozess. In der ersten Phase bewegt sich die Quelle nach rechts und sendet den ersten Wellenkamm aus. Bisher nichts besonders Interessantes.

In einem zweiten Schritt sendet die Quelle einen zweiten Wellenberg aus. Während dieser Zeit hat sich die Quelle bewegt. Diese Bewegung wird gelb hervorgehoben. Die Zeit zwischen der Emission der Wellenberge beträgt $$$Δt_s$ . Daher beträgt die Entfernung, die die Quelle während dieser Zeit zurücklegt $$$vΔt_s$ . Nennen Sie diese Entfernung $$$Δl$ .
Dies ist ein wirklich wichtiger Schritt, der die Doppler-Verschiebung erklärt. Es ist zu sehen, dass der zweite Kamm der Welle etwas mehr als der erste Kamm vorbeiziehen sollte $$$Δl$ .
Die dritte Stufe - die Welle passierte die Entfernung zwischen dem Beobachter und der Quelle. Zu diesem Zeitpunkt hat der erste Grat gerade den Betrachter getroffen. Die vierte Stufe - der zweite Grat traf den Betrachter.

Um zu verstehen, was der Doppler-Verschiebung entspricht, sollte beachtet werden, dass es keinen Unterschied in der Periode der Welle zwischen dem Beobachter und der Quelle geben würde, wenn beide Objekte bewegungslos wären. Jeder Wellenkamm würde den Beobachter mit einer Verzögerung treffen, die der Zeit entspricht, während der die Schallwelle die Entfernung von der Quelle zum Beobachter zurücklegt. In Abwesenheit von Bewegung ist diese Verzögerung jedoch für jeden Grat gleich. Wenn sich die Quelle also nicht bewegt $$$Δt_o$ = $$$Δt_s$ .
Aufgrund der Bewegung der Quelle muss der zweite Grat jedoch eine größere Strecke zurücklegen als $$$Δl$ . Die Differenz zwischen den Perioden entspricht der Zeit, die die Welle benötigt, um diese Strecke zurückzulegen.

$$

$$Δt_o = Δt_s + \ frac {Δl} u$$

Wir wissen, was gleich ist $$$Δl$ . $$$Δl$ - das ist einfach $$$vΔt_s$ . Wenn wir unsere Gleichung einsetzen, erhalten wir:

$$

$$Δt_o = Δt_s + \ frac {vΔt_s} u$$

Diese Gleichung zeigt die Beziehung zwischen $$$Δt_o$ und $$$Δt_s$ . Sie können die Beziehung finden $$$Δt_o$ und $$$Δt_s$ .

$$

$$\ frac {Δt_o} {Δt_s} = 1+ \ frac vu$$

Dieses Verhältnis ist auch das Verhältnis der Wellenlänge des Beobachters $$$λ_o$ und an der Quelle $$$λ_s$ , weil die Wellenlänge einfach gleich der Geschwindigkeit der Welle mal ihrer Periode ist $$$Δt$ .
Es gibt eine Standarddefinition zur Beschreibung von Doppler oder Rotverschiebung.

$$$$ display $$ \ frac {λ_} {λ_s} = 1 + z $$ display $$

$$$z$ genannt Doppler oder Rotverschiebung. Astronomen subtrahieren eins vom Wellenlängenverhältnis, so dass, wenn beide Objekte bewegungslos sind, $$$z$ es stellte sich als 0 heraus. Dieser Fall entspricht dem Fehlen einer Rotverschiebung und bedeutet, dass die Wellenlänge an der Quelle und am Beobachter gleich ist.

$$$$ Anzeige $$ \ frac {λ_} {λ_s} = \ frac {Δt_o} {Δt_s} = 1+ \ frac vu = 1 + z $$ Anzeige $$

So erhalten wir die Rotverschiebung für nichtrelativistische Bewegung oder Schallwelle, wenn sich die Quelle bewegt:

$$

$$z = \ frac vu$$

Nun wenden wir uns einem anderen einfachen Fall zu, in dem sich der Beobachter bewegt und die Quelle stationär ist. Die Quelle befindet sich immer noch rechts und der Beobachter befindet sich links. Diesmal bewegt sich der Beobachter jedoch mit einer Geschwindigkeit $$$v$ . In beiden Fällen $$$v$ Ist die Relativgeschwindigkeit zwischen der Quelle und dem Beobachter.


Der erste Schritt ist wieder ganz einfach. Die Quelle sendet den ersten Wellenkamm aus. Stufe zwei - der zweite Wellenkamm wird von der Quelle ausgesendet. Stufe Nummer drei - der erste Wellenkamm erreicht den Betrachter. Stufe vier - der zweite Wellenkamm erreicht den Betrachter.

Zwischen der Zeit, zu der der erste Grat zum Beobachter kommt, und der Zeit, zu der der zweite Grat zum Beobachter kommt, dh der Zeit zwischen der dritten und vierten Stufe, in der sich der Beobachter bewegt hat. Er bewegte sich eine Strecke gleich $$$v$ mal die Zeit zwischen diesen Schritten. Die Zeit zwischen diesen Stufen ist nur die Zeit, die zwischen dem Empfang von zwei Graten durch den Beobachter vergeht. Dies ist, was wir bezeichnet haben $$$Δt_o$ Wird die Wellenperiode vom Beobachter gemessen? Die zurückgelegte Strecke ist einfach $$$vΔt_o$ . Alles, was benötigt wird, um eine Antwort zu erhalten, geschieht in der letzten Phase innerhalb des gelben Rechtecks.

Sie können die Gleichungen für diesen Fall schreiben. Diesmal ist es etwas komplizierter. Beginnen wir mit der gleichen Idee. $$$Δt_o$ wäre gleich $$$Δt_s$ wenn es keine Bewegung gab. Aber $$$Δt_o$ es wird etwas größer aufgrund der zusätzlichen Entfernung, die der zweite Grat geht. Diese zusätzliche Distanz wird erneut aufgerufen $$$Δl$ . Die Verzögerungszeit wird wieder sein $$$Δl$ geteilt durch $$$u$ Wellengeschwindigkeit.

Aber diesmal haben wir eine andere Formel für $$$Δl$ . Diesmal $$$Δl$ ist gleich $$$vΔt_o$ , und nicht $$$vΔt_s$ wie im vorherigen Fall.

$$$$ Anzeige $$ Δt_o = Δt_s + \ frac {Δl} u = Δt_s + \ frac {vΔt_o} u $$ Anzeige $$

Die Gleichung wird etwas komplizierter, weil $$$Δt_o$ erscheint auf beiden Seiten der Gleichung. Dies ist jedoch eine Gleichung mit einer unbekannten, aus der es leicht zu finden ist $$$Δt_o$ . Nach einfachen algebraischen Transformationen erhalten wir:

$$

$$\ frac {Δt_o} {Δt_s} = (1- \ frac vu) ^ {- 1}$$

Wenn wir die Einheit subtrahieren, erhalten wir die endgültige Gleichung für $$$z$ , wieder für den nichtrelativistischen Fall, wenn sich der Beobachter bewegt:

$$

$$z = \ frac {Δt_o} {Δt_s} -1 = (1- \ frac vu) ^ {- 1} - 1 = \ frac {v / u} {1-v / u}$$

Es ist erwähnenswert, dass bei der Geschwindigkeit $$$v$ klein im Vergleich zur Wellengeschwindigkeit, die häufig auftritt, wenn wir eine Lichtwelle betrachten, aber auch bei Schallausbreitung auftritt, dann sind beide Formeln für $$$z$ sind fast gleich. Sie sind beide proportional $$$v / u$ wenn $$$v / u$ nicht genug. Der einzige Unterschied ist der Nenner.

Im zweiten Fall haben wir den Nenner $$$1-v / u$ . Im ersten Fall $$$z$ einfach gleich $$$v / u$ und es gibt keinen Nenner. Wenn $$$v / u$ klein ist, dann liegt der Nenner im zweiten Fall nahe bei 1. Somit sind die beiden Formeln fast gleich. Sie können dies etwas genauer beschreiben, indem Sie in beiden Fällen die Differenz zwischen z berechnen. Nach einfachen Berechnungen erhalten wir:

$$

$$z_ {source \ _moves} - z_ {Observer \ _moves} = \ frac {(v / u) ^ 2} {1- \ frac vu}$$

Die Formel zeigt deutlich, dass der Unterschied zwischen $$$z$ proportional $$$(v / u) ^ 2$ nicht nur $$$v / u$ . Wenn $$$v / u$ gleich einem Tausendstel wird die Differenz ein Millionstel betragen. Daher spielt es bei langsamen Geschwindigkeiten keine Rolle, ob sich die Quelle oder der Beobachter bewegt. Aber die Antworten werden natürlich sehr unterschiedlich sein, wenn die Geschwindigkeit $$$v$ vergleichbar mit $$$u$ .
STUDENT: Verstößt dies gegen Galileos Relativitätsprinzip?

LEHRER: Eigentlich nicht. Für unsere Berechnungen ist die Luft, in der sich die Schallwelle bewegt, kritisch. In beiden Fällen ruht die Luft relativ zum Muster. Wenn Galileos Transformationen von einem Bild zum anderen durchgeführt werden, bewegt sich die Luft nach der Transformation und das Bild ist nicht genau das gleiche.

Daher stimmt alles mit der galiläischen Relativitätstheorie überein. Es muss daran erinnert werden, dass Luft hier eine entscheidende Rolle spielt. Wenn wir sagen, dass der Beobachter oder die Quelle in Ruhe ist, bedeutet dies in Wirklichkeit, dass er in Bezug auf das Medium, in dem sich die Welle bewegt, in Ruhe ist.

STUDENT: Mir ist aufgefallen, wenn $$$v$ mehr $$$u$ , dann ist im ersten Fall die Antwort immer positiv, alles ist in Ordnung. Aber wenn $$$v$ mehr $$$u$ im zweiten Fall wird eine negative Antwort erhalten. Es scheint mir seltsam.

LEHRER: Ja, wenn $$$v$ mehr $$$u$ dann wird im Fall der Bewegung des Beobachters die Antwort negativ. Dies bedeutet, dass die Welle den Beobachter niemals erreichen wird. Wenn sich der Beobachter schneller als mit der Geschwindigkeit der Welle bewegt, wird die Welle ihn niemals einholen. Deshalb bekommen wir so eine ungewöhnliche Antwort. Wenn sich die Quelle schneller als die Geschwindigkeit der Welle bewegt, erreicht die Welle immer noch den Beobachter. Daher erhalten wir im ersten Fall die richtige Antwort.

Relativistische Zeitdilatation
Wenden wir uns nun dem relativistischen Fall zu. Wir brauchen einige Fakten aus der Relativitätstheorie. Da es spezielle Kurse zur Relativitätstheorie gibt, möchte ich nicht, dass unsere Vorlesungen zu einem solchen Kurs werden. Ich möchte jedoch, dass unser Kurs von Menschen, die die Relativitätstheorie nicht abgeschlossen haben, vollständig verstanden wird. Die Kenntnis der speziellen Relativitätstheorie ist keine Voraussetzung für unseren Kurs. Mein Ziel wird es daher sein, Ihnen genug über die spezielle Relativitätstheorie zu erzählen, damit Sie verstehen können, was folgt. Ich werde die Ergebnisse nicht ausgeben, ihre Schlussfolgerung finden Sie in anderen Kursen. Wenn Sie sie nicht besuchen möchten, ist das auch in Ordnung. Aber ich möchte, dass mein Kurs logisch konsistent ist.

Wir werden also die Konsequenzen der speziellen Relativitätstheorie betrachten, ohne zu versuchen, sie direkt mit den Grundgedanken der speziellen Relativitätstheorie zu verbinden. Ich erinnere mich jedoch, woher die spezielle Relativitätstheorie kam. Es entstand in Albert Einsteins Kopf, als er die vor einer Minute gestellte galiläische Relativitätstheorie untersuchte. Die galiläische Relativitätstheorie besagt, dass, wenn Sie einen physikalischen Prozess in einem Referenzrahmen betrachten, der sich mit einer einheitlichen Geschwindigkeit relativ zu einem anderen Referenzrahmen bewegt, in beiden Berichtssystemen die Gesetze der Physik auf dieselbe Weise beschrieben werden sollten.

Galileos Relativitätstheorie spielte eine sehr wichtige Rolle in der Geschichte der Physik. Die Schlüsselfrage während der Zeit von Galileo war, ob sich die Erde um die Sonne oder die Sonne um die Erde bewegte. Galileo beteiligte sich aktiv an diesem Streit. Eines der Argumente dafür, dass sich die Sonne um die Erde bewegen sollte und nicht umgekehrt, war, dass wenn wir uns um die Sonne bewegen, dies bedeutet, dass wir uns mit der Erde mit einer sehr hohen Geschwindigkeit bewegen. Die Geschwindigkeit der Erde um die Sonne ist nach herkömmlichen Maßstäben hoch. Die damaligen Leute glaubten, dass eine solche Bewegung offensichtlich zu spüren sein sollte. Dies war ein Beweis dafür, dass die Erde bewegungslos war und sich die Sonne bewegte. Denn sonst wäre die Wirkung der schnellen Bewegung der Erde zu spüren.

Für Galileos Standpunkt, dass sich die Erde bewegt, ist es entscheidend, dass wir eine solche Bewegung nicht bemerken. Wenn wir uns gleichmäßig bewegen, bleiben die Gesetze der Physik genau die gleichen wie wenn wir allein bleiben würden. Dies ist die Essenz von Galileos Relativitätstheorie. Es wurde sehr deutlich von Galileo in seinen Schriften angegeben.

All dies galt für mechanische Phänomene. In den 1860er Jahren leitete Maxwell jedoch seine Gleichungen ab. Oder besser gesagt, er schloss ihre Schlussfolgerung, dass die meisten dieser Gleichungen bereits existierten. Aus Maxwells Gleichungen folgt, dass sich Licht mit einer festen Geschwindigkeit bewegen muss, die als elektrische und magnetische Konstanten ausgedrückt werden kann $$$ε_0$ und $$$µ_0$ . Diese Geschwindigkeit bezeichnen wir $$$c$ . Stellen Sie sich nun vor, Sie treffen ein Raumschiff, das sich mit einer Geschwindigkeit bewegt, die beispielsweise der Hälfte entspricht $$$c$ und jagte nach einem Lichtstrahl. Nach der damals bekannten Physik stellte sich heraus, dass sich ein Raumschiff mit einer Geschwindigkeit bewegt $$$c / 2$ wird sich der Lichtimpuls mit einer Geschwindigkeit von allem entfernen $$$c / 2$ . Dies bedeutet jedoch, dass sich die Gesetze der Physik im Bezugsrahmen eines sich so schnell bewegenden Raumfahrzeugs irgendwie unterscheiden müssen. Maxwells Gleichungen müssen von der Standardform abweichen.

Es gab einige Spannungen zwischen Maxwells Physik und Newtons Physik. Spannung, aber kein Widerspruch. Man kann sich vorstellen, dass es ein festes Bezugssystem gibt, in dem Maxwells Gleichungen eine einfache Form haben. Aber Newtons Gleichungen haben in allen Trägheitsreferenzrahmen die gleiche Form. Um zu erklären, warum dies geschieht, haben die Physiker die Idee des Äthers erfunden, dh einer Umgebung, in der sich Lichtwellen ausbreiten, wie Luft, in der sich Schallwellen ausbreiten. Der Referenzrahmen, in dem Maxwells Gleichungen eine einfache Form haben, ist der Referenzrahmen, in dem der Äther ruht. Wenn wir uns relativ zum Äther bewegen, werden die Gleichungen anders. Das dachten die Leute 1904. Es war eine konsequente Sichtweise, aber es bedeutete, dass es eine Dualität zwischen Elektromagnetismus und Mechanik gab.

Einstein fand die Physik vielleicht nicht so unlogisch. Vielleicht gibt es einen eleganteren Weg, der alles erklären kann. Er erkannte, dass Sie die Maxwell-Gleichungen invariant machen können, wenn Sie die Gleichungen ändern, die zum Konvertieren zwischen verschiedenen Referenzrahmen verwendet werden. Sie können die Maxwell-Gleichungen in allen Referenzrahmen gültig machen. Kehren wir zu unserem Beispiel eines Schiffes zurück, das einem Lichtstrahl nachjagt. Nach den von Einstein vorgeschlagenen neuen Transformationsgleichungen stellt sich heraus, obwohl dies der Intuition widerspricht, dass sich der Lichtimpuls mit einer Geschwindigkeit vom Schiff wegbewegt $$$s$ . Obwohl sich das Schiff selbst mit einer Geschwindigkeit bewegt $$$c / 2$ versuchen, einen Lichtimpuls zu fangen.

Es ist nicht klar, wie das sein kann. Aber es stellt sich heraus, dass genau das passiert. Im Grunde war es Einsteins Vermutung. Er schlug vor, dass es keinen Äther gibt, dass die Gesetze der Physik, des Elektromagnetismus und der Mechanik in allen Referenzrahmen gleich sind. Damit sich dies herausstellt, müssen sich die Transformationsgleichungen zwischen verschiedenen Referenzsystemen von den von Galileo verwendeten unterscheiden.

Diese Transformationen werden Lorentz-Transformationen genannt. In dieser Vorlesung werden wir sie nicht ausschreiben. In dieser Vorlesung werden wir über drei physikalische Effekte sprechen, die sich aus Lorentz-Transformationen ergeben. Einer dieser Effekte ist die Zeitdilatation. Wenig später werden wir zwei weitere Haupteffekte diskutieren, die notwendig sind, um die spezielle Relativitätstheorie zu verstehen und zu erklären, wie es sein kann, dass die Lichtgeschwindigkeit für alle Beobachter gleich ist, auch für diejenigen, die sich bewegen.


Wenn Sie eine sich bewegende Uhr beobachten, verlangsamt sich die Zeit, wenn Sie eine sich bewegende Uhr beobachten. Ich stelle fest, dass ich das Wort "Look" in Anführungszeichen setze. Wir werden darauf zurückkommen und im Detail diskutieren, was unter dem Wort "Aussehen" zu verstehen ist. Trotzdem wird eine sich bewegende Uhr in meinem Referenzrahmen in einer absolut vorhersehbaren Anzahl von Malen immer langsamer aussehen. Diese Zahl ist ein bekannter Ausdruck in der speziellen Relativitätstheorie. $$$γ$ ::

$$

$$γ = \ frac 1 {\ sqrt {1-β ^ 2}}$$

wo $$$β$ Ist nur eine Bezeichnung für $$$v / c$ ist die Geschwindigkeit der Uhr geteilt durch die Lichtgeschwindigkeit. Wenn $$$v / c$ klein, dann ist die Verlangsamung auch klein, $$$γ$ fast gleich 1. Zeitdilatation um 1 Zeit bedeutet, dass sich die Zeit überhaupt nicht verlangsamt. Wenn $$$γ$ nahe 1, dann ist der Effekt vernachlässigbar. Aber eine sich bewegende Uhr wird immer langsamer.

Kommen wir zurück zum Wort "Schau". Es gibt Subtilität. Letztes Jahr veröffentlichte die PBS einen vierteiligen Film, Space Fabric, von Brian Green. Er versuchte die Zeitdilatation zu veranschaulichen. Er zeigte einen Mann, der auf einem Stuhl saß, und einen Mann, der auf ihn zuging und eine Uhr über dem Kopf trug. Die Kamera zeigte, dass eine Person, die in einem Sessel sitzt, sehen würde, wie sich die Uhr langsamer bewegt, wenn sie sich bewegt. Das ist nicht wahr. Das sieht er eigentlich nicht. Und dies ist das Hauptproblem des Wortes "Aussehen".

Wenn wir sagen, dass eine sich bewegende Uhr langsamer ist, heißt das nicht, dass der Betrachter sie wirklich sieht. Die Komplexität der Situation besteht darin, dass Sie beim Betrachten von etwas Lichtimpulse registrieren, die zu einem bestimmten Zeitpunkt in Ihre Augen kommen. Da sich Licht in endlicher Zeit bewegt, bedeutet dies, dass Sie verschiedene Dinge zu unterschiedlichen Zeiten sehen. Wenn zum Beispiel ein Objekt vorhanden ist, beispielsweise ein Laserpointer, der auf mich zufliegt, sehe ich seinen hinteren Teil dort, wo er zu einem früheren Zeitpunkt als der vordere Teil war. Weil das von hinten emittierte Licht mehr Zeit braucht, um mein Auge zu erreichen, als das von der Vorderseite des Zeigers emittierte Licht.

Wenn sich mir ein Objekt nähert, sehe ich daher zu verschiedenen Zeitpunkten seine verschiedenen Teile. Das alles erschwert. Was ich unter Berücksichtigung der speziellen Relativitätstheorie sehen werde, ist ziemlich schwierig. Es kann berechnet werden, aber es gibt keinen einfachen Ausdruck dafür. Es ist notwendig, Schritt für Schritt zu berechnen, was ich zu einem bestimmten Zeitpunkt sehen werde. Dies ist absolut kein einfaches Bild.

Somit ist die Aussage, dass die Uhr langsamer läuft $$$γ$ Zeiten basiert nicht auf dem, was der Betrachter tatsächlich sieht. Es basiert auf dem, was der Referenzrahmen sehen wird, nicht auf einer bestimmten Person. Dies führt letztendlich zu einem einfacheren Bild. Das Referenzsystem kann als eine Reihe von Linealen dargestellt werden, die miteinander verbunden sind, so dass sie ein Koordinatengitter bilden, und als eine Reihe von Uhren, die sich überall innerhalb dieses Gitters befinden.

Darüber hinaus werden alle Beobachtungen vor Ort gemacht. Das heißt, wenn wir die Zeit in einem Referenzsystem messen wollen, verwenden wir nicht die Zentraluhr und warten darauf, dass der Lichtimpuls diese Zentraluhr erreicht. Stattdessen ist das Referenzsystem mit Uhren gefüllt, die von Anfang an miteinander synchronisiert wurden. Wenn wir wissen wollen, wann ein Ereignis passiert ist, schauen wir auf die Uhr daneben. Diese Uhr zeigt an, wann dieses Ereignis aufgetreten ist.

So arbeiten wir in der Regel mit verschiedenen Koordinatensystemen.Wenn wir verstehen wollen, was ein bestimmter Beobachter sieht, ist das Bild kompliziert. Wir müssen die Lichtgeschwindigkeit berücksichtigen. Nur wenn wir die Zeit für die Ausbreitung von Licht ausschließen und berechnen, was die lokale Uhr anzeigt, können wir die Zeitdilatation in einer einfachen Form sehen, dass sich bewegende Uhren immer langsamer bewegen.

Insbesondere am Beispiel einer Person, die auf einem Stuhl sitzt, und einer Uhr, die sich ihm nähert. Eine Person wird erfahren, worüber wir in dieser Vorlesung sprechen - Doppler-Verschiebung. Wenn sich die Uhr ihm nähert, wird er eine blaue Verschiebung erleben, keine rote. Er wird sehen, dass die Uhr schneller und nicht langsamer läuft, genau das Gegenteil von dem, was im Fernsehprogramm gezeigt wurde. Es scheint ihm, dass sich die Uhr schneller bewegt, weil jeder nachfolgende Lichtimpuls eine kürzere Strecke zurücklegt, wenn sich die Uhr dem Betrachter nähert. Dieser Effekt leistet einen größeren Beitrag als der Effekt der Verlangsamung einer sich bewegenden Uhr im Vergleich zu einer festen Uhr direkt daneben.

STUDENT: Wenn eine Uhr sehr schnell an uns vorbei fliegt, können wir dann sehen, dass sie langsamer wird, wenn sie streng senkrecht zu uns steht?

LEHRER: Ja, Sie haben absolut Recht. Wenn die Uhr am Betrachter vorbeifliegt und ihm genau gegenübersteht, ist die Geschwindigkeit der Uhr in seinem Referenzrahmen senkrecht zur Geschwindigkeit der Photonen, die er sieht. Gleichzeitig wird er den reinen Effekt der Zeitdilatation sehen.

Ich möchte hinzufügen, dass ich und einige andere Leute vom MIT an der Erstellung des Films von Brian Green beteiligt waren. Wir haben dieses Problem lange Zeit mit Brian Green per E-Mail besprochen. Wir haben alle gesagt, dass das falsch ist. Brian Green vertrat jedoch die Position, dass dies absichtlich getan wurde, dass er versuchte, den Effekt der Zeitdilatation zu veranschaulichen, ohne die Doppler-Verschiebung zu diskutieren. Da er nicht über Doppler-Verschiebung sprechen wollte, ignorierte er einfach die Tatsache ihrer Existenz. Wir alle dachten, dass dies aus pädagogischer Sicht falsch war. Aber wir konnten Brian nicht davon überzeugen.

Relativistische Doppler-Verschiebung

Nun berechnen wir erneut die Doppler-Verschiebung, diesmal unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die sich bewegende Uhr langsamer ist$$$γ$mal. Wir werden uns mit dem relativistischen Fall befassen, in dem die Welle eine Lichtwelle ist. Und Geschwindigkeiten können mit der Lichtgeschwindigkeit vergleichbar sein. Diesmal ist der Effekt der Zeitdilatation groß genug, um dies zu berücksichtigen.

Diesmal sollten beide Antworten gleich sein. Wenn die Antworten unterschiedlich sind, stellt sich heraus, dass unser Bild von der Welt falsch und widersprüchlich ist. Es spielt keine Rolle, ob sich die Quelle oder der Beobachter bewegt. Zuvor war es wichtig, und wir führten dies auf die Tatsache zurück, dass Luft in den Prozess involviert war. Wenn wir eine Transformation durchführen, um von einem Fall zum anderen zu gelangen, von dem Fall, in dem sich die Quelle bewegt, zu dem Fall, in dem sich der Beobachter bewegt, hat die Luft in verschiedenen Fällen unterschiedliche Geschwindigkeiten. In einem Fall ist es bewegungslos, im anderen Fall bewegt es sich. Daher hatten wir nicht vor, die gleiche Antwort zu erhalten.

Wenn wir uns jedoch von dem Fall, in dem sich die Quelle bewegt, zu dem Fall bewegen, in dem sich der Beobachter bewegt, muss sich der Äther mit einer anderen Geschwindigkeit bewegen. Das Hauptaxiom der speziellen Relativitätstheorie ist jedoch, dass es keinen Äther gibt, zumindest keine physikalischen Effekte, die sich aus dem Äther ergeben. Sie können also so tun, als ob es nicht existiert. Daher müssen wir in der speziellen Relativitätstheorie die gleiche Antwort erhalten, sei es eine sich bewegende Quelle oder ein sich bewegender Beobachter. Dies ist tatsächlich die gleiche Situation, die nur aus verschiedenen Referenzrahmen betrachtet wird. Die spezielle Relativitätstheorie behauptet, dass es keine Rolle spielt, in welchem ​​Referenzrahmen wir die Berechnungen durchführen. Wir werden die gleichen Zahlen verwenden, aber diesmal werden wir die Tatsache berücksichtigen, dass sich bewegende Uhren langsamer bewegen$$$γ$ mal.


Lassen Sie uns zunächst überlegen, in welchem ​​Stadium es für uns wichtig ist, die Zeit einer sich bewegenden Uhr zu verlangsamen. Am zweiten. In diesem Stadium misst die Quelle den Zeitraum zwischen der Emission von zwei Wellenbergen mit einer sich bewegenden Uhr. Man kann sich einfach vorstellen, dass die Quelle eine Reihe von Impulsen aussendet, wobei jeder Impuls ein Wellenberg ist. Für mich sieht das etwas einfacher aus, da Sie nicht an die Sinuswelle denken müssen, die die Quelle tatsächlich erzeugt.

Die Zeit zwischen diesen Impulsen, gemessen am Takt der Quelle, haben wir als bezeichnet$$$Δt_s$ .Die Quelle bewegt sich in unserem Bild. Wir werden alle Berechnungen in unserem Referenzrahmen durchführen. Dies ist sehr wichtig, da die Transformationen zwischen Referenzsystemen in der speziellen Relativitätstheorie etwas kompliziert sind. Wenn Sie ein Problem lösen, ist es sehr wichtig, einen Referenzrahmen auszuwählen, mit dem Sie das Problem beschreiben und einhalten. Wenn etwas ursprünglich in einem anderen Referenzrahmen beschrieben wurde, müssen Sie verstehen, wie es in Ihrem Referenzrahmen aussieht. Um dies dann mit anderen Ereignissen zu korrelieren, die in Ihrem Referenzrahmen beschrieben sind.

Für unsere Aufgabe wird unser Referenzrahmen ein Referenzrahmen für das Bild sein, ein Referenzrahmen, der relativ zum Betrachter in Ruhe ist. Sie können es auch als Referenzsystem des Beobachters bezeichnen. In Bezug auf dieses Referenzsystem bewegt sich die Quelle. Die Quelle sendet eine Folge von Impulsen aus. Man kann sich vorstellen, dass die Quelle nur eine Uhr ist. Jedes Phänomen, das sich in regelmäßigen Abständen wiederholt, ist eine Uhr. Somit ist die Quelle eine sich bewegende Uhr, die langsamer läuft$$$γ$mal.

Ansonsten ändert sich nichts. Der Beobachter hat auch eine Uhr, mit der er die Zeit zwischen den Graten misst. Aber die Uhr des Beobachters ruht in unserem Bezugsrahmen. Somit ist der Uhr des Beobachters keine Zeitdilatation zugeordnet, sondern nur eine Zeitdilatation, die mit der Uhr der Quelle verbunden ist. Und wieder ist alles Wichtige im gelben Rechteck abgebildet. Jetzt müssen Sie sich die Gleichungen ansehen und sehen, wie sie sich ändern.

Das letzte Mal war das vom Beobachter gemessene Zeitintervall die Summe von zwei Mitgliedern. Als erstes Mitglied war$$$Δt_s$Es wäre das einzige Mitglied, wenn die Quelle in Ruhe wäre. Dies gilt auch in unserem Fall. Aber die Zeit an der Quelle ist langsamer$$$γ$mal. Das heißt, wenn Sie Änderungen in der Pfadlänge nicht berücksichtigen - wir werden diese Änderungen im nächsten Term berücksichtigen -, unterscheidet sich der vom Beobachter gemessene Zeitraum von dem von der Quelle in gemessenen Zeitraum$$$γ$mal. Aber Sie müssen herausfinden, ob$$$γ$stehen im Zähler oder Nenner. Ein mentales Beispiel kann helfen.

Der Quellentakt geht also langsamer. Angenommen, wir sprechen von einem Zeitintervall von einer Sekunde. Wenn die Uhr der Quelle langsamer wird, bedeutet dies, dass mehr Zeit vergehen muss, damit wir eine Sekunde an der Quelle vergehen können. Nehmen wir an, die Uhr läuft zweimal langsamer. Dies bedeutet, dass die Quelle nur alle zwei Sekunden eine Sekunde hat. Dies bedeutet, dass der Zeitraum, den wir sehen werden, länger als sein wird$$$Δt_s$ in $$$γ$mal. Daher stellen wir vor dem ersten Semester einen Faktor$$$γ$ . Der zweite Term ist immer noch gleich $$$Δl/u$ .

$$

$$Δt_o = γΔt_s + \frac{Δl}u$$

Aber der Ausdruck für $$$Δl$ auch ändern. $$$Δl$Ist das Zeitintervall, das ein Lichtimpuls benötigt, um eine zusätzliche Strecke zurückzulegen. Der zusätzliche Abstand ist proportional zur Zeit zwischen den Impulsen. Diese Zeit ändert sich aufgrund der Verlangsamung des Quellentakts. So nimmt auch die zweite Amtszeit zu$$$γ$ mal.

$$

$$Δt_o = γΔt_s + \frac{Δl}u = γΔt_s + \frac{vγΔt_s}u = γ(1+\frac vu)Δt_s$$

Die ganze Antwort nimmt also zu $$$γ$mal. Angesichts dessen

$$

$$γ = \sqrt{\frac 1{1-{(\frac vu)}^2}}$$

und

$$

$$1-{(\frac vu)}^2 = (1-\frac vu)(1+\frac vu)$$

nach algebraischen Transformationen erhalten wir

$$

$$Δt_o = \sqrt \frac {1+β}{1-β}Δt_s$$

Wir haben also eine Antwort erhalten, die die spezielle Relativitätstheorie im Fall der Quellenbewegung berücksichtigt. Unter Berücksichtigung der Relativitätstheorie nahm unsere Antwort zu$$$γ$mal. Wir erwarten, dass die Antwort nicht davon abhängt, ob sich die Quelle oder der Beobachter bewegt, aber dies muss natürlich mithilfe von Berechnungen überprüft werden.


Als Grundlage nehmen wir die Berechnung, die wir bereits für den nichtrelativistischen Fall mit einem sich bewegenden Beobachter durchgeführt haben. Wir werden versuchen, den relativistischen Fall zu berechnen. Jetzt ist die Uhr des Beobachters langsamer. Sie gehen langsamer in Bezug auf uns, in Bezug auf unseren Bezugsrahmen, wobei unser Bezugsrahmen per Definition der Bezugsrahmen unseres Bildes ist.

Das Wichtigste passiert wieder im gelben Rechteck. Die Quelle ist daher stationär$$$Δt_s$ - Es ist nur die von unserer Uhr gemessene Wellenperiode. Aber die vom Beobachter gemessene Periode $$$Δt_o$ wird anders sein. Daher werden wir unsere Gleichung auf eine andere Weise schreiben und den Ausdruck für ersetzen $$$Δl$ . Für $$$Δl$ statt $$$vΔt_o$ wir werden schreiben $$$vΔt '$ .

$$$Δt '$ nicht gleich $$$Δt_o$ . $$$Δt '$ - Dies ist die Zeit zwischen der dritten und vierten Stufe, dh die Zeit zwischen dem Eintreffen zweier benachbarter Wellenberge beim Beobachter, gemessen in unserem Referenzrahmen. Wir beschreiben alles unter dem Gesichtspunkt unseres Bezugsrahmens. $$$Δt '$ anders als $$$Δt_o$ in $$$γ$ Zeiten, weil in Bezug auf uns die Uhr des Beobachters langsamer ist $$$γ$ mal.

Auch hier müssen Sie ein wenig darüber nachdenken, wo Sie sein sollen $$$γ$ im Zähler oder Nenner. Wir wissen, dass die Uhr des Beobachters im Verhältnis zu unserer langsamer ist. Dies bedeutet, dass die Zeit, die ein Beobachter benötigt, um eine Sekunde zu vergehen, mehr als eine Sekunde dauern sollte. Deshalb $$$Δt '$ = $$$γΔt_o$ . Während der Zeit, in der die Uhr des Beobachters eine Sekunde vergeht, vergehen beispielsweise zwei Sekunden.

Wir werden die Berechnung wiederholen, die wir für den nichtrelativistischen Fall durchgeführt haben, als sich der Beobachter bewegte. Bei der Berechnung werden wir jedoch eine Zeitdilatation hinzufügen, die diese Berechnung wahr macht. Zuerst schreiben wir die Gleichungen auf, wie sie in unserem Referenzrahmen aussehen, dh sie verwenden das Intervall $$$Δt '$ ::

$$

$$Δt '= Δt_s + \ frac {vΔt'} c$$

Jetzt können wir Transformationen durchführen, die denen ähneln, die wir für den nichtrelativistischen Fall durchgeführt haben, und den Ausdruck für erhalten $$$Δt '$ ::

$$

$$Δt '= (1- \ frac vc) ^ {- 1} Δt_s$$

Ersetzen eines Ausdrucks für $$$Δt_o$ wir bekommen:

$$$$ Anzeige $$ Δt_o = \ frac 1γΔt '= \ sqrt {(1 + β) (1-β)} \ frac 1 {1-β} Δt_s $$ Anzeige $$

oder:

$$$$ Anzeige $$ Δt_o = \ sqrt \ frac {1 + β} {1-β} Δt_s $$ Anzeige $$

Dieser Ausdruck gilt sowohl für die Bewegung der Quelle als auch für die Bewegung des Beobachters.

Rotverschiebung $$$z$ im relativistischen Fall stellt sich heraus:

$$$$ display $$ z = \ frac {Δt_o} {Δt_s} -1 = \ sqrt \ frac {1 + β} {1-β} -1 $$ display $$

Also haben wir bekommen, was wir erwartet hatten. Dass das Ergebnis mit den Prinzipien der Relativitätstheorie übereinstimmt. Unsere Antwort hängt nicht davon ab, ob sich die Quelle oder der Beobachter bewegt, da es keine Rolle spielt, in welchem ​​Referenzrahmen wir die Berechnungen durchführen.

Andere Effekte der speziellen Relativitätstheorie

Jetzt möchte ich über zwei weitere kinematische Effekte der speziellen Relativitätstheorie sprechen, nämlich die Lorentz-Kontraktion und die Änderung des Konzepts der Gleichzeitigkeit. Bevor wir uns jedoch mit diesen Effekten befassen, müssen wir noch ein anderes Thema diskutieren. Dies ist eine Uhr, die sich mit Beschleunigung bewegt.

Die spezielle Relativitätstheorie beschreibt Trägheitsreferenzrahmen und welche Transformationen beim Übergang von einem Trägheitssystem zu einem anderen durchgeführt werden. Wenn wir wissen, wie die Uhr läuft, die sich im selben Referenzrahmen befindet, beschreibt die spezielle Relativitätstheorie vollständig, wie sich die Uhr im Referenzrahmen bewegt und sich mit einer gleichmäßigen Geschwindigkeit relativ zum ursprünglichen Referenzrahmen bewegt. Mit anderen Worten, sie beschreibt, wie die Uhr läuft, wenn sie sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt.

In der realen Welt haben wir jedoch nur sehr wenige Stunden, die als träge angesehen werden können. Jede Uhr, die wir um uns herum sehen - die Uhr an der Wand, die sich mit der Erde bewegt, oder meine Uhr - wird ständig beschleunigt. Wir wollen mit Uhren arbeiten können, die beschleunigen und sich mit relativistischen Geschwindigkeiten bewegen. Dies geschieht beispielsweise bei Satelliten. Wie Sie wahrscheinlich wissen, funktioniert das GPS-System nicht, wenn die Berechnungen die Auswirkungen der speziellen Relativitätstheorie und sogar der allgemeinen Relativitätstheorie nicht berücksichtigen. Die Untersuchung des Verhaltens einer beweglichen Uhr ist daher eine wichtige technologische Herausforderung.

Was können wir über eine beschleunigende Uhr sagen? Es gibt einen verbreiteten Mythos, dass eine allgemeine Relativitätstheorie erforderlich ist, um die Beschleunigung zu beschreiben. Daher müssen wir das Gespräch über die Beschleunigung der Stunden verschieben, bis wir einen Kurs in der allgemeinen Relativitätstheorie belegen. In der Tat ist dies nicht so. Die allgemeine Relativitätstheorie ist die Gravitationstheorie, die behauptet, dass Gravitation und Beschleunigung eng miteinander verbunden sind. In diesem Zusammenhang erscheint die Beschleunigung in der allgemeinen Relativitätstheorie.

Die spezielle Relativitätstheorie reicht jedoch aus, um jedes System zu beschreiben, das durch Gleichungen beschrieben wird, die mit der speziellen Relativitätstheorie übereinstimmen. Spezielle Relativitätstheorie beschreibt die Schwerkraft nicht. In einer Situation, in der die Schwerkraft wichtig ist, kann die spezielle Relativitätstheorie daher nicht die richtigen Ergebnisse liefern. Aber während die Schwerkraft fehlt und wir uns nur mit elektromagnetischen Kräften befassen, stört uns niemand, wenn wir die Gleichungen der speziellen Relativitätstheorie verwenden.

Wir müssen die Gleichungen der Dynamik in der speziellen Relativitätstheorie verwenden, die zeigen, wie Körper auf Kräfte reagieren. Immer wenn Kraft angewendet wird, erscheint eine Beschleunigung. Solche Gleichungen existieren. Wir können zum Beispiel Elektromagnetismus mit relativistischer Mechanik kombinieren, um ein System von Partikeln zu beschreiben, die unter Verwendung elektromagnetischer Kräfte in voller Übereinstimmung mit der speziellen Relativitätstheorie interagieren. Und trotz der Tatsache, dass diese Teilchen beschleunigen, können wir für sie alles berechnen, was wir wollen.

Insbesondere wenn es Uhren gibt, die aus Teilen bestehen, deren Physik wir verstehen, kann uns die spezielle Relativitätstheorie sagen, wie sich diese Uhren verhalten, selbst wenn sie beschleunigen. Diese Berechnung kann jedoch sehr, sehr kompliziert sein. Weil die Physik jeder echten Uhr, zum Beispiel meiner Uhr, sehr kompliziert ist. Wir müssen jedoch nicht die Gleichungen aufschreiben, die meine Uhr beschreiben, um zu verstehen, wie sie sich beim Beschleunigen verhalten.

Ich stelle fest, dass viele von Ihnen bereits viel Erfahrung mit dem Beschleunigen von Uhren haben, weil viele von Ihnen Uhren tragen, die ständig beschleunigen. Und sie arbeiten normalerweise. Wir gehen normalerweise davon aus, dass die Uhr zwar beschleunigt, aber gut genug ist, um der Beschleunigung durch Ihr Handgelenk standzuhalten und die richtige Zeit anzuzeigen.

Auf der anderen Seite kann man sich die gegenteilige Situation vorstellen. Wenn Sie ein mechanisches Uhrwerk nehmen und es gegen eine Wand werfen, stoßen sie gegen die Wand und halten an. Wenn sie gegen eine Wand stoßen, erfahren sie eine sehr große Beschleunigung. Wenn die Beschleunigung groß genug ist, können wir vorhersagen, was mit der Uhr passieren wird, auch wenn es sich um eine komplexe Interaktion handelt. Wenn die Beschleunigung groß genug ist, bricht sie nur die Uhr und stoppt. Dies ist einer der möglichen Auswirkungen, die eine Beschleunigung auf die Uhr haben kann.

Andere Effekte ähneln diesem. Wenn die Bewegung meiner Hand die Arbeit der Uhr beeinflusst, ist dies ein mechanischer Effekt, der berechnet werden kann, indem man die Mechanik der Uhr versteht und nicht die Prinzipien der allgemeinen Relativitätstheorie verwendet. Der Unterschied zur speziellen Relativitätstheorie besteht darin, dass die spezielle Relativitätstheorie eine genaue Vorhersage darüber machen kann, wie sich die Uhr verhält, wenn sie sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, auch ohne etwas über die Struktur dieser Uhr zu wissen. Eine spezielle Relativitätstheorie kann eine solche Vorhersage treffen, da es eine Symmetrie gibt, die Lorentz-Symmetrie, die eine sich bewegende und eine ruhende Uhr verbindet. Dies ist die genaue Symmetrie der Natur. Unabhängig davon, woraus die Uhr besteht, behauptet die spezielle Relativitätstheorie, dass sie langsamer wird, wenn sie sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegt $$$γ$ mal.

Andererseits gibt es weder in der speziellen Relativitätstheorie noch in der allgemeinen Relativitätstheorie ein ähnliches Prinzip bezüglich der Beschleunigung. Die Art und Weise, wie die Beschleunigung auf die Uhr wirkt, hängt natürlich davon ab, wie groß die Beschleunigung ist, wie die Uhr angeordnet ist und wie sich die Beschleunigung auf die verschiedenen inneren Teile der Uhr auswirkt. Das Fazit ist, dass wir, wenn wir über eine beschleunigende Uhr sprechen, immer davon ausgehen, dass die Uhr gut genug gemacht ist, so dass die Beschleunigung keinen Einfluss darauf hat, wie schnell sie geht. Wir gehen davon aus, dass dies perfekte Uhren sind, dass sie perfekt gemacht sind. Wenn wir sagen, dass die Beschleunigung die Geschwindigkeit der Uhr nicht beeinflusst, meinen wir, dass die Uhr zu jedem Zeitpunkt mit genau der gleichen Geschwindigkeit läuft wie andere Uhren, die sich gleichzeitig mit unserer Uhr mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen, jedoch ohne Beschleunigung .

Zu jeder Zeit hat meine Uhr eine bestimmte Geschwindigkeit. Das Tempo ihres Fortschritts wird nur geringfügig beeinflusst $$$γ$ Dies ist in unserem Fall sehr nahe an 1. Wenn wir meine Uhr als ideale Uhr betrachten, gehen wir davon aus, dass sie zu jedem Zeitpunkt mit der gleichen Geschwindigkeit wie die Uhr läuft, die nicht beschleunigt, sondern sich mit derselben bewegt Geschwindigkeit, wie eine Uhr. Also der Faktor $$$γ$ wird bleiben, aber es wird keinen Beschleunigungseffekt geben. Die Geschwindigkeit der Uhr wird nur durch ihre Geschwindigkeit relativ zu unserem Referenzsystem bestimmt.

Jetzt möchte ich ein wenig über andere Konsequenzen der speziellen Relativitätstheorie sprechen. Wenig später werden wir über dynamische Konsequenzen der speziellen Relativitätstheorie sprechen, zu denen bekannte Gleichungen gehören, wie z $$$e = mc ^ 2$ . Bevor wir jedoch über dynamische Größen wie Energie und Impuls sprechen, schließen wir mit der Betrachtung der kinematischen Effekte der speziellen Relativitätstheorie ab. Mit Kinematik meine ich die Konsequenzen einer speziellen Relativitätstheorie für die Messung von Zeit und Entfernung.

Wenn wir uns auf die Konsequenzen für die Messung von Zeit und Entfernungen und kinematische Effekte beschränken, dann gibt es genau drei solche Konsequenzen der speziellen Relativitätstheorie. Die gesamte spezielle Relativitätstheorie ist gewissermaßen in diesen drei Effekten enthalten. Die Verlangsamung der Zeit ist ein solcher Effekt.


Die zweite Konsequenz ist ein weiterer bekannter Effekt der speziellen Relativitätstheorie, der Lorentz-Kontraktion oder manchmal auch Lorentz-Fitzgerald-Kontraktion genannt. In seiner Beschreibung erscheint wieder das Wort "sieht". Ich werde dieses Wort immer in Anführungszeichen schreiben, um Sie daran zu erinnern, dass dies nicht ganz das ist, was der Betrachter sieht. Jede Rute, die sich mit Geschwindigkeit bewegt $$$v$ entlang seiner Länge relativ zu einem gegebenen Referenzrahmen "sucht" er nach einem Beobachter in diesem Referenzrahmen, der kürzer als seine Länge in ist $$$γ$ mal. Die Länge der Stange, die sich senkrecht zu ihrer Länge bewegt, ändert sich nicht. Dies ist alles in der Abbildung dargestellt.

Dies ist eine sehr berühmte Folge der speziellen Relativitätstheorie. Dies bedeutet, dass die Rakete immer kürzer wird, je schneller sie sich bewegt. Denken Sie auch hier daran, dass dies nicht das ist, was Sie tatsächlich sehen werden. Dies ist der Fall, wenn Messungen von lokalen Beobachtern durchgeführt werden und die Länge der Rakete anhand dieser Messungen berechnet wird.


Der dritte und letzte Effekt ist etwas schwieriger zu beschreiben. Dies ist jedoch ein sehr wichtiger Effekt. Die ersten beiden Effekte wären nicht konsistent, wenn es keinen dritten Effekt gäbe. Der dritte Effekt ist eine Änderung des Konzepts der Gleichzeitigkeit oder der Relativitätstheorie der Gleichzeitigkeit.

Angenommen, wir haben ein System, das aus zwei Stunden besteht, die in ihrem Bezugsrahmen synchronisiert sind, relativ zu dem sie ruhen. Lassen Sie sie auch durch eine Stange verbunden sein, die in ihrem Referenzrahmen eine gewisse Länge hat, die wir nennen werden $$$l_0$ . Wenn sich das gesamte System relativ schnell zu uns bewegt $$$v$ Entlang der Stange sieht diese Uhr für uns nicht synchron aus, obwohl sie in ihrem Referenzrahmen synchronisiert sind.

Insbesondere die Rückuhr wird der Zeit etwas vorausschauen $$$βl_0 / c$ . Ich möchte Sie daran erinnern $$$β = v / c$ . $$$l_0$ - der im Taktreferenzsystem gemessene Abstand zwischen den Uhren. $$$c$ - das ist natürlich die Lichtgeschwindigkeit. Wenn sich die Uhr dagegen in einer Richtung senkrecht zu der Verbindungslinie bewegt, sieht die Uhr synchronisiert aus.

Dieser Effekt ist sehr wichtig für die Integrität des gesamten Bildes. Wir werden nicht beweisen, dass die spezielle Theorie konsistent ist. Wir könnten dies sehr gut tun, aber wir werden dies nicht tun, da unser Kurs nicht einer detaillierten Untersuchung der speziellen Relativitätstheorie gewidmet ist. Es scheint jedoch, dass es eine ziemlich offensichtliche Diskrepanz zwischen der Konsequenz der speziellen Relativitätstheorie gibt - dass sich bewegende Uhren langsamer sind - und dem Postulat, dass für alle Trägheitsbeobachter dieselben Gesetze der Physik gelten. Das heißt, wenn Sie sich relativ zu mir bewegen, ist Ihre Uhr für mich langsamer. Gleichzeitig ist meine Uhr für Sie langsamer. Weil Sie aus Ihrer Sicht in Ruhe sind und ich mich auf Sie zu bewege. Aus Ihrer Sicht bewegt sich meine Uhr. Und meine Uhr sollte langsamer werden.

Mir scheint, Ihre Uhr läuft langsamer. Es scheint dir, dass meine Uhr langsamer läuft. Dies scheint ein Widerspruch zu sein. Was passiert, wenn wir die Uhr einfach nebeneinander stellen und vergleichen, wie es geht? Welche Uhr geht schneller? Wie können wir uns darauf einigen? Natürlich können wir die Uhr nicht nebeneinander halten und gleichzeitig relativ zueinander bewegen. Dies ist einer der Gründe für die Lösung des Widerspruchs. Denken Sie daran, dass ich eigentlich meine, wenn ich sage, dass Ihre Uhr langsamer läuft. Ich mache alle meine Messungen, ohne Ihre Uhr direkt zu beobachten, da dann eine Verzögerung der Signalausbreitung auftritt, die das Bild kompliziert. Ich nehme alle meine Messungen mit Hilfe vieler lokaler Beobachter vor, die um mich herum sind und in Bezug auf mich in Ruhe sind. Sie geben mir ihre Ergebnisse. Erst nachdem ich ihre Ergebnisse erhalten und kombiniert habe, bekomme ich ein einziges Bild davon, was, wo und wann passiert ist.

Wenn ich also sage, dass Ihre Uhr langsam ist, meine ich, dass ich viele Uhren habe, die in Bezug auf mich in Ruhe sind. Wenn Ihre Uhr an mir vorbei fliegt, vergleichen lokale Beobachter Ihre Uhr mit ihrer Uhr. Dann geben sie die Ergebnisse an mich weiter. Wenn Ihre Uhr beispielsweise zweimal langsamer läuft, bedeutet dies, dass Ihre Uhr nur eine halbe Sekunde anzeigt, wenn Ihre Uhr an der Uhr meines Beobachters vorbeifliegt und seine Uhr eine Sekunde anzeigt. Wenn sie an den weiter entfernten Uhren meines Referenzrahmens vorbeifliegen und die Uhren meines Referenzrahmens zwei Sekunden anzeigen, zeigt Ihre Uhr eine Sekunde an und so weiter. In diesem Sinne läuft Ihre Uhr langsamer.

Dies sollte mit der Tatsache vereinbar sein, dass meine Uhr Ihrer Ansicht nach auch langsamer läuft. Wenn Sie davon ausgehen, dass die Uhr in meinem Referenzsystem synchronisiert ist, kommen Sie zu dem Schluss, dass meine Uhr schneller ist. Denn wenn Ihre Uhr eine halbe Sekunde zeigt, zeigt meine Uhr eine Sekunde. Wenn Ihre Uhr eine Sekunde anzeigt, zeigt meine Uhr zwei Sekunden an. Nach diesem direkten Vergleich stellt sich heraus, dass meine Uhr schneller ist.

Gleichzeitig wissen wir aber, dass dies nicht stimmt. Sie sollten das gleiche Ergebnis wie ich erhalten. Wenn wir uns relativ zueinander bewegen, sollten Sie denken, dass sich meine Uhr langsamer bewegt. Der Ausweg aus dieser schwierigen Situation ist die Relativität der Gleichzeitigkeit. Aus Ihrer Sicht zeigt die Reihenfolge der Uhren aus meinem Referenzsystem, wenn sie an Ihnen vorbeifliegen, wirklich eine größere Zeit als Ihre Uhr. Aus Ihrer Sicht ist meine Uhr jedoch nicht miteinander synchronisiert. Daher können Sie nicht feststellen, wie schnell meine Uhr läuft, indem Sie die Zeit auf verschiedenen Uhren messen.

Wenn Sie herausfinden möchten, wie schnell meine Uhr läuft, müssen Sie eine meiner Uhren im Auge behalten und beobachten, wie sich die Messwerte im Laufe der Zeit ändern. Sie sollten die Messwerte verschiedener Uhren nicht vergleichen, da meine Uhren aus Ihrer Sicht nicht miteinander synchronisiert sind. Aber wenn Sie eine meiner Uhren mit einem Satz Ihrer Uhren betrachten, die für Sie unbeweglich sind, so wie ich mein Uhrenset verwendet habe, als ich die Geschwindigkeit Ihrer Uhr gemessen habe, dann passt alles zusammen. Sie werden sehen, dass meine Uhr langsamer läuft. Ich werde sehen, wie deine Uhr langsamer wird. Da wir uns nicht darüber einig sind, welche Ereignisse gleichzeitig eintreten, entsteht kein Widerspruch. Daher ist die Relativität der Gleichzeitigkeit kritisch, da wir sonst einen krassen Widerspruch im Gesamtbild bekommen würden.

Das ist alles, was ich in der heutigen Vorlesung erzählen wollte. Wir haben die kinematischen Konsequenzen der speziellen Relativitätstheorie diskutiert. Wie gesagt, wir werden nicht versuchen, sie herauszubringen. Wenn Sie daran interessiert sind, wie sie erhalten werden, können Sie einen Spezialkurs in spezieller Relativitätstheorie belegen.

Später werden wir die Konsequenzen der speziellen Relativitätstheorie für Impuls und Energie diskutieren, die für uns wichtig sein werden. Energie und Impuls interessieren uns nur, solange sie so definiert sind, dass es sich um konservierte Mengen handelt. Deshalb sind Energie und Impuls in der Physik wichtig. Bei einem geschlossenen System ändern sich die Gesamtenergie und der Impuls nicht. Energie und Impuls können von einem Teil des Systems auf einen anderen übertragen werden. Aber Energie und Dynamik können weder erzeugt noch zerstört werden.

Wenn wir die Definitionen von Energie und Impuls aus der Newtonschen Mechanik nehmen und sie in der relativistischen Kinematik verwenden, stellt sich heraus, dass beispielsweise bei einer Kollision eines Teilchens Energie und Impuls in einem Referenzrahmen und nicht in einem anderen Referenzrahmen gespeichert werden. Die Erhaltungsgesetze würden vom verwendeten Referenzrahmen abhängen.

Daher hat Einstein die Definitionen von Energie und Impuls geringfügig so geändert, dass sie, wenn sie in einem Referenzrahmen gespeichert sind, in jedem anderen Referenzrahmen gespeichert werden, der mit den ersten Transformationen der speziellen Relativitätstheorie verbunden ist. Sobald wir die Kinematik des Übergangs von einem Referenzrahmen zu einem anderen ändern, müssen wir auch die Definitionen von Energie und Impuls ändern, damit die Erhaltungsgesetze in allen Referenzrahmen gültig sind. In Zukunft führen wir leicht modifizierte, leicht nicht-Newtonsche Definitionen der Energie und des Impulses bewegter Teilchen ein.