🤑 👨‍👩‍👧‍👦 👿 Binäre Berechnungen für die Dezimalarithmetik 🤰🏼 🤴🏾 👩🏼

Als ich das in früheren Beiträgen [1,2,3,4] begonnene Problem der Dezimalgenauigkeit mithilfe der binären Arithmetik weiter untersuchte, konnte ich Algorithmen zur Berechnung von reellen Zahlen entwickeln, die im Format von dezimalen Gleitkommazahlen dargestellt wurden und genau das gleiche Ergebnis liefern, als ob Berechnungen würden manuell durchgeführt.

Diese Algorithmen verwenden binäre Arithmetik, die durch den IEEE754-Standard geregelt wird. Um die Funktionsweise der Algorithmen zu testen, wurde ein Testprogramm in C ++ entwickelt, das einen 18-Bit-Dezimalrechner implementiert.
Da das Volumen des Materials das Format des Beitrags überschreitet, habe ich die Hauptpunkte in Form von Abstracts dargelegt. Wir werden diesen Beitrag die Mai-Thesen nennen :(.

Also.

Es ist bekannt, dass

Dem Benutzer vertraute Arithmetik ist Dezimalarithmetik.

Es gibt auch b-ary Arithmetik, wobei b die Basis des Zahlensystems ist und einen beliebigen Wert ungleich Null annimmt [5].

Um Zahlen in verschiedenen Maßstäben anzuzeigen, verwenden wir die Notation von Gleitkommazahlen in Form eines Produkts der Mantisse und eines beliebigen Basisgrads. Dies ist die sogenannte Exponentialschreibweise.

Wenn der Grad der Zahl fest ist und die Mantisse der Zahl eine ganze Zahl ist, wird dieses Format als Festkommaformat bezeichnet. Ein Sonderfall des Festkommaformats ist eine Zahl, bei der der Grad Null ist. Dieses Format ist ein ganzzahliges Format.

Wenn die Mantisse eine Bruchzahl im b-ary-Zahlensystem mit dem ganzzahligen Teil c ≤ 0 und c <b ist, wird eine solche Zahl als normalisiert bezeichnet.

Trotz der Tatsache, dass die Zahlen aufgrund ihrer physischen Natur ungefähr sind, handelt es sich bei einem Computergerät um exakte Zahlen, und das Gerät muss Operationen mit einer benutzerdefinierten Genauigkeit ausführen.

Genaue Berechnungen im arithmetischen Mittel ergeben ein Ergebnis mit einer bestimmten Anzahl gültiger signifikanter Stellen nach dem Punkt [6].

Alle Berechnungen im Computer werden in binärer Form durchgeführt. Für sie ist die Basis b = 2.

Da das Binär- und das Dezimalzahlensystem nicht konvertierbar sind, erhalten wir beim Konvertieren von reellen Dezimalzahlen in Binärcode meistens den ungefähren Wert des binären Äquivalents der Dezimalzahl. Daher treten beim Übersetzen von Dezimalzahlen in Binärzahlen Darstellungsfehler auf.

Dezimalzahlen, die das genaue binäre Äquivalent haben, werden als darstellbar bezeichnet.
Dezimalzahlen, die nicht das genaue binäre Äquivalent haben, werden als nicht repräsentativ bezeichnet.

Alle ganzzahligen Dezimalzahlen sind darstellbar, wenn die Anzahl der signifikanten Stellen in ihrem binären Äquivalent das Bitraster des Maschinenwortbereichs, in den sie geschrieben sind, nicht überschreitet.

Je mehr Binärziffern das binäre Äquivalent der Zahl darstellt, desto kleiner ist der Darstellungsfehler. Dies erklärt den Wunsch, die Kapazität des Betriebsregisters des Prozessors ständig zu erhöhen.

Jede Dezimalzahl, deren binäres Äquivalent die Anzahl der signifikanten Stellen enthält, die das Bitraster eines Maschinenworts überschreitet, kann nur ungefähr dargestellt werden.

Arithmetische Operationen, die zu einem Ergebnis führen, bei dem die Bittiefe der Maschinenwortmantisse überschritten wird, geben eine ungefähre Zahl zurück.

Ungefähre Zahlen können wahre, zweifelhafte und falsche Zahlen enthalten.
Falsche Zahlen in den Berechnungen beeinträchtigen die Genauigkeit und können manchmal zu völlig falschen Ergebnissen führen [3].

In Übereinstimmung mit der Theorie der ungefähren Berechnungen werden ungefähre Zahlen gerundet, um falsche Ergebnisse zu erhalten, um falsche Zahlen auszuschließen [6].

Die Genauigkeit, die der Benutzer bei den Berechnungen wünscht oder erhalten kann, wird durch die Anzahl der gültigen Ziffern bestimmt, die der Berechnungsalgorithmus bereitstellt.

Jede Binärzahl kann auf die angegebene Anzahl von Binärziffern gerundet werden, wobei zusätzliche Bits verworfen werden.

Ebenso kann jede Dezimalzahl auf die erforderliche Anzahl von Dezimalstellen gerundet werden, wobei zusätzliche Ziffern verworfen werden.

Sie können zusätzliche Binärziffern in einer Binärzahl nicht einfach verwerfen, um das Dezimaläquivalent auf eine bestimmte Anzahl von Dezimalstellen zu runden, da durch Verringern der Bittiefe des Binäräquivalents einer Dezimalzahl die Anzahl der ungültigen Ziffern in der Dezimalzahl erhöht wird.

Jede reelle Zahl, die in Form eines Dezimalbruchs ausgedrückt wird, kann präzise im Format einer Gleitkommazahl (TFT) dargestellt werden, bei der die Mantisse eine ganze Zahl ist. Der Aussteller auf der NTC gibt die Position des Punktes in dieser Nummer an.

Wenn die Zahl im Format eines NTC mit einer ganzzahligen Mantisse dargestellt wird, können die Mantisse und der Exponent dieser Zahl genau in Binärcode konvertiert werden.

Neu

Ein Format, in dem die dezimale TNT-Mantisse durch das binäre Äquivalent der dezimalen ganzzahligen Mantisse dargestellt wird und der Exponent das binäre Äquivalent der Potenz von 10 (Basis b = 10) ist, wird als gemischtes dezimal-binäres Format (SDDF) bezeichnet.

Der Unterschied zwischen dem SDDF- und dem binären TFT-Format besteht darin, dass der Exponent in der SDDF gleich dem Basisgrad b = 10 ist, während der Exponent des binären TFT-Formats gleich dem binären Basisgrad b = 2 ist. Dementsprechend wird für SDDF die Nummer als dargestellt

F = M_{2} 10^{e}

$F = M_ {2} 10 ^ {e}$ und für die CNC im IEEE754-Standard als

F = M_{2} 2^{e}

$F = M_ {2} 2 ^ {e}$ .

Der Unterschied zwischen der SDDF und dem binären Dezimalformat (DDF oder BCD) der CTT besteht darin, dass in der DDF die Mantisse und der Exponent ganzzahlige Dezimalzahlen sind, in die jede Ziffer als Byte oder Tetrade geschrieben wird, während in der SDDF alle Dezimalzahlen ausgedrückt werden ihre ganzzahligen binären Äquivalente.

Somit kann jede dezimale reelle Zahl in SDDF mit einem Binärcode bis zu N signifikanten Dezimalstellen dargestellt werden.

Alle arithmetischen Operationen an dezimalen CTDs in SDDF werden gemäß den Regeln der gewöhnlichen Arithmetik ausgeführt, wobei alle Argumente ganze Zahlen sind.

Vor jeder arithmetischen Operation wird die Dezimalzahl im SDDF-Format dargestellt: [S, M, z, e]. Wo ist der S-Code des Vorzeichens der Nummer (0 oder 1). M ist das binäre ganzzahlige Äquivalent der Mantisse einer Zahl mit der Anzahl der Dezimalstellen N. Wobei N die Genauigkeit der Berechnungen ist. z ist das Vorzeichen des Exponenten, e ist der Wert des Exponenten. Eine solche Darstellung ist eine normalisierte Dezimaldarstellung.

Beispielsweise sollte für Berechnungen mit einer Genauigkeit von N = 7 signifikanten Stellen die Zahl 123.456 als 1234560 * 10 ^ -4 dargestellt werden.

Die minimale Dezimalmantisse für N = 7 ist M = 1.000.000.

Die maximale Dezimalmantisse für N = 7 ist M = 9999999.

Das binäre Äquivalent der maximalen 7-Bit-Nummer 9999999 ist 100 110 001 001 011 001 111 111. Es enthält 24 Binärziffern. Daher ist ein binäres 24-Bit-Register erforderlich, um Dezimal-Mantissen im Bereich von 1.000.000 bis 9999999 darzustellen.

Wenn in einem binären 32-Bit-Maschinenwort, in dem der Mantisse 24 Ziffern zugewiesen sind, dem Vorzeichen der Zahl S eine Ziffer, dem Exponenten z eine Ziffer und dem Exponenten 6 Ziffern zugeordnet sind, können in einer solchen SDF dezimale reelle Zahlen dargestellt werden genau auf N = 7 signifikante Dezimalzahlen. Die absoluten Werte dieser Zahlen reichen von 1.000.000 * 10 ^ -64 bis 9999999 * 10 ^ 64.

Nach jeder arithmetischen Operation sollte die Dezimalmantisse der Zahl normalisiert und auf die nächste ganze Zahl gerundet werden. Dazu muss das resultierende binäre Äquivalent der Mantisse der Zahl erforderlichenfalls mit dem binären Äquivalent von 10 so multipliziert oder dividiert werden, dass die Anzahl der Stellen des Dezimaläquivalents der Mantisse gleich N wird. Die resultierende Zahl sollte auf die nächste ganze Zahl gerundet werden.

Ein Beispiel.

Finden Sie bis zu N = 7 das Ergebnis des Ausdrucks (9675,423 * 10 ^ 2-9,675421 * 10 ^ 5) * 10 ^ 6 - 199992
Dieser Ausdruck wird manuell oder auf einem Windows-Rechner berechnet und entspricht der Zahl 8.000000
Wir schreiben die Operanden in normalisierter Form:

A=9,675423*10^5= 9675423*10^-1
B= 9675,421*10^2 = 9675421*10^-1
C=1000000 = 1000000*10^0
D = 1999920*10^-1

In SDDF werden diese Operanden wie folgt dargestellt:

A=[0, 9675423,1, 1]
B=[0,9675421,1, 1]
C=[0, 1000000,0, 0]
D=[0, 1999920,1, 1]

Finden Sie den Unterschied S = AB. Da die Exponenten der Operanden A und B gleich sind, finden wir die Mantisse ihres Unterschieds:

9675423-9675421=2

Um die Mantisse S zu normalisieren, müssen wir sie mit 10 ^ 6 multiplizieren, während der Exponent um 6 reduziert werden muss. Dann ist S = 2 * 1.000.000 = 2.000.000 * 10 ^ -7

Wir berechnen das Produkt P = D * C. Multiplizieren Sie dazu die Mantisse der Faktoren und addieren Sie die Exponentiale:

M = 2.000.000 * 10 ^ -7 * 1.000.000 * 10 * 0 = 2.000.000.000.000 * 10 ^ -7
Nach Normalisierung der Mantisse erhalten wir P = 2.000.000 * 10 ^ -1.
Das Ergebnis der Berechnung R ist gleich:
R = PD = 2.000.000 * 10 ^ -1-1999920 * 10 ^ -1 = 80 * 10 ^ -1
Nach der Normalisierung erhalten wir R = 8000000 * 10 ^ -6.

Zum Vergleich ergibt die Berechnung dieses Ausdrucks in Excel das Ergebnis R = 8.0000698E + 00.

Der Autor hat im SDDF einen Taschenrechneralgorithmus entwickelt, der die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Dezimalzahlen mit bis zu 18 signifikanten Stellen durchführt. Um die Richtigkeit des Algorithmus zu bestätigen, wurde ein C ++ - Programm geschrieben. Da der Autor kein professioneller Programmierer ist, ist das entwickelte Programm nur für das Studium des Berechnungsalgorithmus vorgesehen.

Unten sehen Sie als Beispiel einen Screenshot, der die Berechnung des folgenden Ausdrucks zeigt:

1,23456789098765432*10^8 * 9,87654321234567891*10^(-9) - 1,2193263123914037*10^0≈ 3.0*10^(-17)

Um die Leistung zu testen, wurde der Vorgang des Multiplizierens von zwei 18-Bit-Zahlen in einem Zyklus gestartet. Das Programm lief auf einem Intel® Core (TM) i3-4330 CPU@3.50GHz 3.50 GHz Computer. RAM 8,0 GB. Systemtyp: 64-Bit Die Geschwindigkeit betrug ≈ 2,4 · 10 & supmin; & sup6; Multiplikationen pro Sekunde.

Ich kann mich bisher nicht mit der Geschwindigkeit der Windows- und Excel-Rechner vergleichen, es gibt nicht genügend Informationen :(. Die Genauigkeit der Berechnungen ist dieselbe, als ob die Berechnungen manuell durchgeführt würden.

Referenzen:

Binäre Berechnungen für die Dezimalarithmetik

Es ist bekannt, dass

Neu

More articles: