Gemischtes Dezimal-Binärformat gegen IEEE754

Im vorherigen Thema haben wir ein neues Format für die Darstellung von Dezimal-Gleitkommazahlen betrachtet, das wir als gemischtes Dezimal-Binär-Format (SDDF) bezeichnet haben.

Mit diesem Format können Sie arithmetische Berechnungen auf einem Computer durchführen, ohne BCD mit der gleichen Genauigkeit zu verwenden, als ob die Berechnungen manuell durchgeführt würden.
Denken Sie daran, dass ein gemischtes Dezimal-Binär-Format (SDDF) ein Binärcode-Darstellungsformat für Dezimal-Gleitkommazahlen ist, bei dem die ganzzahlige Mantisse das binäre Äquivalent ihres Dezimalwerts ist und der Exponent das binäre Äquivalent der Potenz von 10 ist. Die reelle Zahl in SDF wird als dargestellt

$$

$$F = SM_ {2} 10 ^ {e}$$

wo $$$M_ {2}$und e sind binäre ganze Zahlen. Das binäre Äquivalent einer Dezimalzahl ist der Binärcode dieser Dezimalzahl im ausgewählten Format. Das Dezimaläquivalent einer Binärzahl ist der Dezimalcode dieser Binärzahl.

Vergleichen wir die grundlegenden Eigenschaften von Gleitkommazahlen, die im IEEE754-Standard und in SDDF dargestellt sind. Betrachten Sie der Einfachheit halber ein 16-Bit-Maschinenwort. Dies ist das sogenannte Format mit halber Genauigkeit . Die Vergleichsergebnisse können leicht auf den Fall eines Austauschformats mit einfacher und doppelter Genauigkeit skaliert werden.

Wir teilen das 16-Bit-Binärwort in die folgenden Felder ein: S, e, m. Wo ist die S-Ziffer des Vorzeichens der Zahl, e - 5 Bits des verschobenen Exponenten, m - 10 Bits des binären Äquivalents der Dezimalmantisse der Zahl. Der maximale Binärwert des im 5-Bit-Register aufgezeichneten Offset-Exponenten ist gleich emax = 11111 oder in Dezimalform emax = 31. Der Offset beträgt in diesem Fall 15.

Also

1 . Die gepackte Zahlenmantisse in IEEE754 enthält den Bruchteil der Zahlenmantisse.

Die Mantissenzahl in SDDF ist eine binäre Ganzzahl.

2 . Die normalisierte IEEE-Mantisse in der entpackten Form sieht aus wie 1.xxxxxxxxxx. Wobei x eine beliebige Binärziffer ist.

Da die Mantisse normalisiert ist, ist ihr ganzer Teil in entpackter Form immer gleich 1. Dieses Gerät kann nicht im Speicher der Maschine gespeichert werden. In der entpackten Form hat die Mantisse unter Berücksichtigung der virtuellen Einheit 11 Bits.

Die normalisierte Mantisse in der SDDF ist eine binäre Ganzzahl, die dem Äquivalent der Dezimalzahl entspricht, die in unserem Fall durch drei Ziffern dargestellt wird: UXX. Dabei ist U eine Dezimalstelle ungleich Null. X ist eine beliebige Dezimalstelle.

Eine maximale Dezimalzahl von 1023 kann in 10 Bits der Mantisse dargestellt werden. Es kann garantiert werden, dass alle ganzen Zahlen unter 1023 durch 10 Bits dargestellt werden. Daher können alle Dezimalzahlen mit Mantisse ≤ 999 durch 10 Bits der Mantisse genau dargestellt werden.

3 . In IEEE754 beträgt die maximal normalisierte binäre Mantisse Mmax = 1,1111111111 = 1,9990234375

Die garantierte Anzahl gültiger Ziffern, die durch eine binäre 11-Bit-Mantisse dargestellt werden können, beträgt 3 .

Die maximale normalisierte Dezimalmantisse in SDDF beträgt Mmax = 999 oder binär Mmax = 1 111 100 111. Das Dezimaläquivalent der Mantisse besteht aus 3 Dezimalstellen. Daher wird die dreistellige Mantisse in unserem Beispiel in SDDF 3 in signifikanten Dezimalstellen genau dargestellt.

4 . In IEEE754 beträgt der minimale normalisierte Mantissenwert mit emin = 0: Mmin = 1,0

Die minimale normalisierte Mantisse in SDDF bei emin = 0 ist gleich der Dezimalzahl Mmin = 100. Oder in binärer Form Mmin = 0001100100.

5 . Die maximale positive Dezimalzahl, die im IEEE754-Format mit einem voreingenommenen Exponenten geschrieben werden kann, ist

Fmax = 2 ^ emax * Mmax = 2 ^ 31 * 1,9990234375 = 4292870144 = 4,292870144 * 10 ^ 9. In der Norm ist die maximale Anzahl jedoch die Zahl Fmax = 2 ^ emax = 2 ^ 31 = 4294967296 = 4,294967296 * 10 ^ 8. Zahlen> 2 ^ 31 gelten als gleich plus unendlich.

Die maximale positive Dezimalzahl, die mit einem voreingenommenen Exponenten genau im SDDF-Format geschrieben werden kann, ist

Fmax = 10 ^ emax * Mmax = 10 ^ 31 * 999 = 9,99 * 10 ^ 33

6 . Der Bereich der ungefähren normalisierten Zahlen, die im IEEE-Format dargestellt werden können, ist

Fmax / Fmin = 2 ^ 31 = 4294967296 = 4,294967296 * 10 ^ 8

Der Bereich der exakten Zahlen, die im SDDF-Format dargestellt werden können, ist gleich
Fmax / Fmin = 9,99 * 10 ^ 31

7 . Der Schritt zum Ändern der Binärzahl in IEEE mit einem Offset-Exponenten (emin = 0) ist:
h = 0,0000000001 = 2 ^ -10 = 0,0009765625

Der Schritt zum Ändern der Dezimalzahl in der SDDF mit einem verschobenen Exponenten (emin = 0) ist:
h = 00001100100 = 100

8 . In IEEE754 sind mit einem vorgespannten Exponenten, wenn e = 0 ist, alle Zahlen, die <1,0 sind, subnormal. Je kleiner die subnormale Zahl ist, desto weniger genau wird das Dezimaläquivalent dargestellt. Spezielle Algorithmen sind erforderlich, um subnormale Zahlen in ein Austauschformat zu codieren, aus einem Austauschformat zu decodieren, sowie spezielle Traps, um subnormale Zahlen während arithmetischer Operationen zu bestimmen.

In SDDF gibt es keine subnormalen Zahlen. Alle Zahlen werden mit einer Genauigkeit von bis zu 3 signifikanten Stellen dargestellt.

9 . Bei einem unverzerrten Exponenten beträgt die maximal normalisierte positive Dezimalzahl, die im IEEE754-Format geschrieben werden kann
Fmax = 2 ^ emax * Mmax = 2 ^ 15 * 1,9990234375 = 65504. Im Standard ist die maximale Anzahl jedoch die Zahl Fmax = 2 ^ emax = 2 ^ 15 = 32768. Zahlen> 32768 werden als gleich plus unendlich betrachtet.

Bei einem unverzerrten Exponenten ist die maximale positive Dezimalzahl, die in die SDDF geschrieben werden kann, gleich

Fmax = 10 ^ emax * Mmax = 999 * 10 ^ 15 = 9,99 * 10 ^ 17

10 . Bei einem unverzerrten Exponenten beträgt die minimale normalisierte positive Dezimalzahl im IEEE754-Format Fmin = 1,0 * 2 ^ -15 =
3,0517578125 * 10 ^ -5.

Bei einem unverzerrten Exponenten beträgt die minimale normalisierte positive Dezimalzahl, die im SDDF-Format geschrieben werden kann, Fmin = 100 * 10 ^ -15 = 10 ^ -13

11 . Bei einem unverzerrten Exponenten beträgt der minimale binäre äquivalente Dezimalschritt in IEEE:

h = 0,0000000001 * 2 ^ -15 = 2 ^ -25 = 3,0517578125 * 10 ^ -5

Bei einem unverzerrten Exponenten stimmt der minimale Schritt in der SDDF mit der minimalen Anzahl überein und ist gleich:

h = 001100100 * 10 ^ -15 = 10 ^ -13

12 . In IEEE754 ist die Funktion der Abhängigkeit des Wertes des Dezimaläquivalents der Zahl Fd von ihrem Binärwert nicht einheitlich, weil Um die niedrigstwertige Ziffer der Dezimalmantisse der Zahl um 1 zu ändern, ist in der Regel die Summe von mehreren h gleich der Maschine Ɛ erforderlich.
Wenn zum Beispiel e = 0 ist, haben wir für Fd1 = 1.0 = 1.0000000000 und Fd2 = 1.1≈1.0001100110
Fd2-Fd1 = 1.0001100110 -1.0000000000 = 0.0001100110 = 0.099609375
0,0001100110 / h = 0,0001100110 / 0,0000000001 = 1100110 = 102 = Ɛ

In SDDF ist die Funktion der Abhängigkeit des Wertes des Dezimaläquivalents der Zahl Fd von ihrem Binärwert einheitlich. Jede Änderung von h des binären Äquivalents der Mantisse der Dezimalzahl führt zu einer Änderung des 1 niedrigstwertigen Bits des Dezimaläquivalents der Zahl. Hier Maschine Ɛ = 1. Wirklich.

Wenn e = 0,
Fd1 = 100 = 0001100100
Fd2 = 200 = 0011001000
Fd2-Fd1 = 0011001000-0001100100 = 0001100100 = 100 = h

Abschließend präsentieren wir die Hauptmerkmale der Darstellung von reellen Zahlen im IEEE754-Standard und im SDDF für das Austauschformat, das aus 32 Bit besteht (einfache Genauigkeit im IEEE754-Standard).

Für IEEE754 werden Maschinenwortbits mit einfacher Genauigkeit als S - 1 Bit des Vorzeichencodes, e - 8 Bits des vorgespannten Exponenten, m - 23 explizite Mantissenbits zugewiesen. Ausgepackt, m = 24.

Für IEEE754:
Der exponentielle Verschiebungskoeffizient beträgt 127 emax = 127. Die unverzerrte Ordnung der kleinsten normalisierten Zahl mit M = 1,0 ist p = e-127 + 1 = -126. Zahlen <2 ^ -126 gelten als subnormal.

Die minimale normalisierte Zahl ist Fmin = 1,0 * 2 ^ -126 = 1,1754943508222875079687365372222e-38

Die maximal normalisierte Anzahl
Fmax = 2 ^ 127 = 1,7014118346046923173168730371588e + 38

Zahlen, die 2 ^ 127 überschreiten, gelten als positive Unendlichkeit.

Für SDDF werden die Ziffern des Maschinenworts wie folgt verteilt: S - 1 Ziffer, e - 7 Bits, m - 24 Bits. Der exponentielle Verschiebungskoeffizient beträgt 63. Dann

emax = 64
Mmax = 9999999
Fmax = 9999999 * 10 ^ 64 = 9,999999 * 10 ^ 70
Fmin = 1.000.000 * 10 ^ -63 = 10 ^ -57

Die Genauigkeit der Darstellung von reellen Dezimalzahlen beträgt 7 signifikante Dezimalstellen.