Nach Gauß erkennen wir den „königlichen“ Status der Mathematik an. Da unser Unternehmen über ein Kompetenzzentrum „Algorithmic Support“ verfügt, verfügen wir häufig über interessante Materialien zu diesem Thema: Unsere Kollegen schreiben ihre eigenen Artikel für Autoren und studieren dann Das Interessante passiert mit ausländischen Kollegen, die kurze Rezensionen und Übersetzungen von Artikeln Dritter vorbereiten. Dies wird wahrscheinlich für diejenigen nützlich sein, die unsere Interessen teilen. Deshalb haben wir uns entschlossen, diese Materialien und Kenntnisse zu teilen.
In der Mathematik kommt es häufig vor, dass es die einfachsten Dinge sind, die jedem bekannt zu sein scheinen, wie z. B. rationale Zahlen, die unglaublich schwer zu verstehen sind. Zum Beispiel suchen Mathematiker seit mehreren hundert Jahren nach rationalen Lösungen für diophantinische Gleichungen. Die aus der Physik entlehnten Ideen halfen, die tausendjährige Aufgabe näher zu lösen. Wir stellen einen Artikel vor, der im Quanta Magazine veröffentlicht wurde, mit unserer Teilübersetzung und Übersicht.
Minhyun Kim, Mathematiker an der Universität Oxford, versucht herauszufinden, welche rationalen Zahlen bestimmte Arten von diophantinischen Gleichungen lösen können. Dieses mathematische Problem wird auf etwa 3.000 Jahre geschätzt. Da rationale Entscheidungen geometrischen Mustern nicht gehorchen, ist dies in der Tat eine schwierige Aufgabe. So kompliziert, dass Gerd Falting 1986 den Fields-Preis erhielt, nur um zu beweisen, dass einige Klassen diophantinischer Gleichungen eine endliche Anzahl rationaler Lösungen haben. Die Mathematiker selbst nennen Faltings Durchbruch „ineffektiven Beweis“, weil er nicht die genaue Anzahl rationaler Lösungen nennt und es nicht erlaubt, sie zu identifizieren.
Kim versucht, rationale Zahlen in einem erweiterten numerischen Kontext zu betrachten, in dem verborgene Muster auftreten. Kim hat es geschafft, einen solchen Kontext in der Physik zu entdecken: Laut dem Mathematiker haben rationale Lösungen viel mit der Flugbahn des Lichts gemeinsam. Kim bezweifelte lange Zeit, dass er Recht hatte und dass seine Arbeit andere Wissenschaftler überzeugen konnte, und erst kürzlich hatte er beschlossen, seine Idee der Öffentlichkeit vorzustellen. Laut Kim selbst wird die Zahlentheorie in den nächsten 15 Jahren viel enger mit der Physik verflochten sein.
Kevin Hartnett , Autor eines in Quanta veröffentlichten Artikels, schreibt:
„Mathematiker sagen oft, je symmetrischer ein Objekt ist, desto einfacher ist es, es zu studieren. In diesem Sinne möchten sie das Studium diophantinischer Gleichungen in einen symmetrischeren Kontext stellen als den, in dem das Problem normalerweise auftritt. Wenn dies möglich ist, könnte man die erkannte Symmetrie verwenden, um nach den notwendigen rationalen Punkten zu suchen.
Zahlenmengen können auch symmetrisch sein. Je symmetrischer die Zahlenmengen sind, desto einfacher ist es zu verstehen: Sie können symmetrische Beziehungen verwenden, um unbekannte Werte zu berechnen. Zahlen mit einer bestimmten Art von symmetrischen Beziehungen bilden eine „Gruppe“, und Sie können die Eigenschaften der Gruppe verwenden, um alle darin enthaltenen Zahlen zu verstehen. Die Menge der rationalen Lösungen der Gleichung hat jedoch keine Symmetrie und bildet keine Gruppe, die den Mathematikern eine unmögliche Aufgabe stellt, nämlich den Versuch, alle Lösungen einzeln zu finden.
Ab den 1940er Jahren begannen Mathematiker, Wege zu erkunden, um diophantinische Gleichungen in symmetrischere Kontexte zu setzen. Claude Chabati entdeckte, dass innerhalb des größeren geometrischen Raums, den er mit p-adischen Zahlen konstruierte, rationale Zahlen ihren eigenen symmetrischen Unterraum bilden. Er kombinierte diesen Unterraum mit dem Diagramm der diophantinischen Gleichungen: Ihre Schnittpunkte entsprechen rationalen Lösungen der Gleichung.
In den 1980er Jahren ergänzte Robert Coleman die Arbeit von Chabati. Für einige Jahrzehnte danach war der Coleman-Chabati-Ansatz das beste Werkzeug, um rationale Lösungen für diophantinische Gleichungen zu finden. Dies funktioniert jedoch nur, wenn der Gleichungsgraph in einem bestimmten Verhältnis zu einem größeren Raum steht. Wenn dieser Anteil die Anforderungen nicht erfüllt, ist die Suche nach genauen Punkten, an denen sich die Gleichungskurve mit rationalen Zahlen schneidet, kompliziert.
Um Chabatis Arbeit zu erweitern, wollte Kim einen noch größeren Raum finden, in den diophantinische Gleichungen gestellt werden können. "
Und hier schlägt Kim vor, ein Analogon der physikalischen Konzepte von "Raum-Zeit", "Raum der Räume" zu verwenden:
„Um zu verstehen, warum, betrachten Sie einen Lichtstrahl. Physiker glauben, dass sich Licht durch den mehrdimensionalen Raum von Feldern bewegt. In diesem Raum bewegt sich Licht auf einem Weg, der dem Prinzip der "geringsten Wirkung" entspricht, dh auf einem Weg, der die Zeit minimiert, die erforderlich ist, um sich von Punkt A nach Punkt B zu bewegen. Dieses Prinzip erklärt, warum Licht beim Übergang von einem Medium zum anderen gebrochen wird: Der gekrümmte Pfad minimiert den Zeitaufwand. Solche größeren Räume von Räumen, denen man in der Physik begegnet, haben zusätzliche Symmetrien, die in allen Räumen, die sie darstellen, fehlen. Diese Symmetrien lenken die Aufmerksamkeit auf bestimmte Punkte und betonen beispielsweise den Weg, der die Zeit minimiert. Auf andere Weise oder in einem anderen Kontext konstruiert, können dieselben Symmetrien durch andere Punkte hervorgehoben werden, beispielsweise durch Punkte, die rationalen Gleichungslösungen entsprechen.
In der Zahlentheorie gibt es so etwas wie Raumzeit. Dies bietet auch verschiedene Möglichkeiten, Pfade zu formen und den Raum aller möglichen Pfade zu schaffen. Kim entwickelt ein Schema, in dem die Probleme, die Flugbahn des Lichts zu finden und rationale Lösungen für diophantinische Gleichungen zu finden, die Gesichter eines Problems sind.
Lösungen diophantinischer Gleichungen bilden Räume, Kurven, die durch Gleichungen definiert sind. Diese Kurven können eindimensional wie ein Kreis oder mehrdimensional sein. Wenn Sie beispielsweise die komplexen Lösungen der Diophantin-Gleichung x4 + y4 = 1 darstellen, erhalten Sie einen Torus mit drei Löchern. Die rationalen Punkte dieses Torus haben keine geometrische Struktur, und dies macht ihre Suche zu einer schwierigen Aufgabe, aber sie können Punkten in einem mehrdimensionalen Raum von Räumen entsprechen, die bereits eine bestimmte Struktur haben werden. “
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