Frühes Universum 5. Kosmologische Rotverschiebung und Dynamik eines einheitlich expandierenden Universums, Teil 1

Auf der Website der kostenlosen Vorträge veröffentlichte MIT OpenCourseWare einen Kurs über die Kosmologie von Alan Gus, einem der Schöpfer des Inflationsmodells des Universums.

Ihre Aufmerksamkeit wird auf die Übersetzung der fünften Vorlesung gelenkt: "Kosmologische Rotverschiebung und Dynamik eines einheitlich expandierenden Universums, Teil 1".


Heute beenden wir die Betrachtung der Kinematik eines sich gleichmäßig ausdehnenden Universums, die wir letztes Mal besprochen haben. Die einzige Frage aus diesem Thema, die wir noch nicht angesprochen haben, ist die kosmologische Rotverschiebung. Dann gehen wir weiter zur Dynamik der gleichmäßigen Expansion - wie die Schwerkraft die Expansion des Universums beeinflusst. Dies wird das Hauptthema der heutigen und der nächsten Vorträge sein.

Kosmologische Zeit

Ich möchte Sie daran erinnern, dass wir am Ende der letzten Vorlesung über die Uhrensynchronisation im Koordinatensystem gesprochen haben, mit der wir ein gleichmäßig expandierendes Universum beschreiben werden. Denken Sie daran, dass wir die zugehörigen Koordinaten eingeführt haben, die sich mit dem Universum ausdehnen. Wir nehmen an, dass das Universum vollständig homogen und isotrop ist und alle Objekte in diesem Koordinatensystem ruhen.

Im realen Universum gibt es eine gewisse Bewegung der Materie relativ zu diesem Koordinatensystem, da das Universum nicht vollständig homogen ist. Aber jetzt werden wir mit einer Näherung arbeiten, in der unser Modelluniversum absolut homogen ist und alle Materie relativ zu einem expandierenden Koordinatensystem ruht.

Denken Sie jetzt daran, wie wir die kosmologische Zeit in der letzten Vorlesung bestimmt haben. Stellen Sie sich vor, an jedem Punkt im Universum befindet sich eine Uhr, die relativ zur Materie in Ruhe ist, und damit ein expandierendes begleitendes Koordinatensystem. Alle diese Uhren messen die Ortszeit und wir möchten uns auf ihre Synchronisation einigen. Beim letzten Mal haben wir herausgefunden, dass wir die Uhr synchronisieren können, wenn es kosmologische Phänomene gibt, die von überall im Universum sichtbar sind und sich mit der Zeit ändern. Wir haben zwei Beispiele gegeben: Eines ist die Änderung der Hubble-Konstante, die lokal gemessen werden kann und sich darauf einigt, Ihre Uhr auf Null zu setzen, wenn die Hubble-Konstante einen bestimmten Wert annimmt.

Das zweite Beispiel ist die Temperatur der kosmischen Mikrowellen-Hintergrundstrahlung. In unserem Modelluniversum können Sie zustimmen, Ihre Uhr auf Null zu setzen, wenn die Temperatur der kosmischen Hintergrundstrahlung 5 Grad oder eine bestimmte Zahl erreicht. Wenn es ähnliche Phänomene gibt und sie sich in unserem Universum befinden, können Sie alle Uhren synchronisieren. Es ist wichtig zu verstehen, dass die einmal synchronisierte Uhr aufgrund unserer Annahme der Gleichmäßigkeit synchron bleibt. Das heißt, wenn alle zustimmen, dass die Temperatur der kosmischen Hintergrundstrahlung zum Zeitpunkt Null 10 Grad beträgt und jeder 15 Minuten wartet, wird jeder in diesem Zeitraum den gleichen Temperaturabfall feststellen, da dies sonst unsere Hypothese der absoluten Gleichmäßigkeit verletzen würde .

STUDENT: Stimmt es, dass die Hintergrundstrahlungstemperatur für alle Trägheitsbeobachter gleich ist?

LEHRER: Es ist nicht genau dasselbe für verschiedene Trägheitsbeobachter. Gleiches gilt für eine privilegierte Klasse von Beobachtern, die sich in Bezug auf die durchschnittliche Verteilung der Materie und damit in Bezug auf das zugehörige Koordinatensystem in Ruhe befinden. Wenn Sie beginnen, sich durch kosmische Hintergrundstrahlung zu bewegen, sehen Sie keine gleichmäßige Temperaturverteilung mehr. Sie sehen Strahlung in einer Richtung heißer und in der anderen kälter. Wie ich bereits erwähnte, sehen wir diesen Effekt in unserem realen Universum. Wir bewegen uns anscheinend relativ zur kosmischen Hintergrundstrahlung mit etwa 1/1000 der Lichtgeschwindigkeit. Die Strahlungstemperatur ist also in Bezug auf die Bewegung des Betrachters nicht unveränderlich.

Man kann eine andere Frage stellen: Ist die Temperatur der Hintergrundstrahlung an verschiedenen Stellen des sichtbaren Universums gleich? Soweit wir das beurteilen können, ja. Es gibt eine direkte Möglichkeit, die Temperatur der Hintergrundstrahlung zu messen, über die wir wahrscheinlich später im Kurs sprechen werden, indem bestimmte Spektrallinien in fernen Galaxien beobachtet werden. In einigen Galaxien, in denen diese Linien sichtbar sind, kann die Temperatur der kosmischen Mikrowellen-Hintergrundstrahlung direkt gemessen werden. In unserem Modell gehen wir von einer vollständigen Homogenität aus, dass überall alles gleich ist. Obwohl die Homogenität im realen Universum nicht vollständig ist, gibt es starke Hinweise auf die ungefähre Homogenität unseres Universums.

STUDENT: Wenn einige Beobachter in der Nähe von Schwarzen Löchern leben, wirkt sich dies auf die Uhrensynchronisation für solche Beobachter aus?

LEHRER: Natürlich wird es. Man kann eine Uhr kosmologisch synchronisieren, nur wenn man annimmt, dass das Universum absolut homogen ist. Sobald Heterogenitäten wie Schwarze Löcher oder auch nur Sterne wie die Sonne auftreten, erzeugen sie Abweichungen, die verhindern, dass sich die Uhr miteinander synchronisiert. Sobald die Massenkonzentration auftritt, wird die Gleichmäßigkeit nur annähernd. Diese Abweichungen sind jedoch gering. Von der Sonne ausgehende Abweichungen liegen in der Größenordnung von einem Millionstel. Daher wird das Universum in sehr guter Näherung durch unser homogenes Modell beschrieben. Wenn Sie sich jedoch einem der supermassiven Schwarzen Löcher in den Zentren der Galaxien nähern, stellt sich heraus, dass es einen sehr starken Einfluss auf den Fortschritt Ihrer Uhr hat.

Kosmologische Rotverschiebung

Das nächste Thema ist, wie ich versprochen habe, die kosmologische Rotverschiebung. In der dritten Vorlesung sprachen wir über die Doppler-Verschiebung für Schallwellen und die relativistische Doppler-Verschiebung für Lichtwellen unter Berücksichtigung der speziellen Relativitätstheorie. Die Kosmologie wird jedoch durch die spezielle Relativitätstheorie nicht vollständig beschrieben, obwohl die spezielle Relativitätstheorie zur Beschreibung lokaler Ereignisse in der Kosmologie verwendet wird. Die spezielle Relativitätstheorie schließt die Auswirkungen der Schwerkraft nicht ein, und auf globaler Ebene sind die Auswirkungen der Schwerkraft für die Kosmologie sehr wichtig. Daher reicht die spezielle Relativitätstheorie nicht aus, um viele Eigenschaften des Universums zu verstehen, einschließlich der kosmologischen Rotverschiebung. Es stellt sich jedoch heraus, dass es einen Weg gibt, die kosmologische Rotverschiebung zu beschreiben, was sie noch einfacher erklärt als die spezielle Relativitätstheorie. Zuerst werde ich es beschreiben, und dann werden wir darüber sprechen, wie dieses sehr einfach aussehende Ergebnis mit der Schlussfolgerung der speziellen Relativitätstheorie verglichen wird, die zumindest lokal auch korrekt sein sollte.

Nehmen wir also an, wir betrachten eine entfernte Galaxie und Licht wird von einer Quelle in dieser Galaxie emittiert. Wir wollen verstehen, in welcher Beziehung die Frequenz des Lichts in der Strahlung zu der Frequenz steht, die wir sehen werden, wenn Licht empfangen wird.


Um sich diese Situation vorzustellen, führen wir ein Koordinatensystem ein. $$$x$ . Dies wird unser Begleitkoordinatensystem sein. $$$x$ gemessen in Abteilungen. Wir werden uns an den Ursprung und die ferne Galaxie in einiger Entfernung von uns setzen. Sie hat eine bestimmte Koordinate. $$$l_c$ ( $$$c$ bezeichnet gleichzeitig). $$$l_c$ Ist die begleitende Entfernung von uns zur Galaxie. Die physische Entfernung, die wir anrufen werden $$$l_p$ ( $$$p$ bedeutet physisch), hängt von der Zeit ab, weil sich das Universum ausdehnt. Wie wir schon sagten $$$l_p (t) = a (t) l_c$ . Skalierungsfaktor $$$a (t)$ , die von der Zeit abhängt, wird mit der zugehörigen Entfernung multipliziert, die nicht von der Zeit abhängig ist. Somit nehmen die physikalischen Abstände einfach proportional zum Skalierungsfaktor zu $$$a (t)$ .

Angenommen, die Galaxie sendet eine Lichtwelle aus und wir versuchen, den Abstand zwischen den Wellenbergen zu bestimmen, der der Wellenlänge entspricht. Da wir nur an Graten interessiert sind, stellen wir uns einfach vor, dass jeder Grat ein Impuls ist und was uns zwischen ihnen passiert, interessiert uns nicht. Wir werden den aufeinanderfolgenden Lichtimpulsen folgen, die von der Galaxie ausgesendet werden.

Für unser Modell ist es wichtig zu wissen, wie sich Lichtwellen in einem begleitenden Koordinatensystem ausbreiten. Wenn $$$x$ Ist dann die zugehörige Koordinate $$$dx / dt$ - die begleitende Lichtgeschwindigkeit, die der üblichen Lichtgeschwindigkeit entspricht $$$c$ aber geteilt durch den Skalierungsfaktor:

$$

$$\ frac {dx} {dt} = \ frac c {a (t)}$$

Der Skalierungsfaktor spielt hier die Rolle der Umrechnung von Zählern in Divisionen. $$$c$ gemessen in Metern pro Sekunde. Teilen $$$c$ auf $$$a (t)$ Wir bekommen die Lichtgeschwindigkeit in Teilungen pro Sekunde, wie wir wollten, weil $$$x$ nicht in Metern gemessen, sondern in Teilungen. Division ist eine beliebige Einheit, die wir zur Beschreibung unseres Begleitkoordinatensystems auswählen.

Ein wichtiges Merkmal dieser Gleichung ist, dass die Lichtgeschwindigkeit im zugehörigen Koordinatensystem von der Zeit abhängt, aber nicht von $$$x$ . Unser Universum ist homogen, also alle Punkte $$$x$ Äquivalent. Daher bewegen sich zu jedem Zeitpunkt zwei Lichtimpulse mit der gleichen Begleitgeschwindigkeit, unabhängig davon, wo sie sich befinden. Das ist alles was wir brauchen. Der erste Impuls verlässt die ferne Galaxie und bewegt sich auf uns zu, der zweite Impuls folgt dem ersten. Der zweite Impuls bewegt sich zu jedem Zeitpunkt mit der gleichen Begleitgeschwindigkeit wie der erste Impuls, selbst wenn sich seine Begleitgeschwindigkeit mit der Zeit ändert.

Dies bedeutet Folgendes. Die Begleitgeschwindigkeit der Impulse kann mit der Zeit variieren, aber solange sich beide mit der gleichen Begleitgeschwindigkeit bewegen, befinden sie sich zu einem bestimmten Zeitpunkt im zugehörigen Koordinatensystem genau im gleichen Abstand voneinander. $$$Δx$ Der zugehörige Abstand zwischen zwei Impulsen ändert sich nicht mit der Zeit. Wenn sich die begleitende Entfernung nicht mit der Zeit ändert und die physikalische Entfernung immer gleich dem Produkt des Skalierungsfaktors durch die begleitende Entfernung ist, wird die physikalische Wellenlänge des Lichtimpulses einfach proportional zum Skalierungsfaktor gestreckt. Die Wellenlänge wird mit der Ausdehnung des Universums zunehmen, genauso wie jede andere Entfernung in unserem Modell des Universums mit der Ausdehnung des Universums zunehmen wird. Dies ist eine Schlüsselidee, es ist sehr einfach und es enthält alles.

Das $$$Δx$ bedeutet ständig das $$$Δl$ Die physische Entfernung ist proportional $$$a (t)$ , was bedeutet, dass die Wellenlänge des Lichts $$$λ$ ist als Funktion von t proportional $$$a (t)$ .

Die Wellenlänge hängt mit der Periode des Wellenverhältnisses zusammen $$$λ = cΔt$ . Die Wellenlänge ist die Entfernung, die eine Welle in einer Periode zurücklegt. Deshalb, wenn $$$λ$ proportional $$$a (t)$ dann $$$Δt$ wird die Wellenperiode proportional sein $$$a (t)$ . Deshalb:

$$$$ display $$ \ frac {Δt_ {acc.}} {Δt_ {source}} = \ frac {λ _ {acc.}} {λ _ {source}} = \ frac {a (t_ {acc. )}} {a (t_ {source)}} $$ display $$

.

Das Wellenlängenverhältnis ist also einfach die Häufigkeit, mit der sich das Universum gedehnt hat. Es ist gleich dem Verhältnis der Skalierungsfaktoren in der Anfangs- und Endzeit. Wir haben die Rotverschiebung anhand der Wellenperiode bestimmt. Das Verhältnis der Perioden oder das Verhältnis der Wellenlängen oder das Verhältnis der Skalierungsfaktoren beträgt 1 + z.

$$

$$1 + z = \ frac {a (t_ {obs.)}} {A (t_ {source)}}$$

Das Verhältnis der kosmologischen Rotverschiebung zur speziellen Relativitätstheorie
Wie hängt die kosmologische Rotverschiebung mit der Rotverschiebung der speziellen Relativitätstheorie zusammen, deren Formel wir zuvor abgeleitet haben? Unser Ergebnis unterscheidet sich in zweierlei Hinsicht von der Berechnung, die wir in der dritten Vorlesung durchgeführt haben. Der erste Grund, der uns wichtig ist, ist, dass die kosmologische Berechnung Effekte berücksichtigt, die bei früheren Berechnungen nicht berücksichtigt wurden. Insbesondere trotz der Tatsache, dass wir die Antwort mit einem sehr einfachen kinematischen Argument erhalten haben, in dem es auf den ersten Blick praktisch keine Mathematik gibt, ist sie tatsächlich sehr stark, da sie nicht nur die spezielle Relativitätstheorie, sondern auch die allgemeine Theorie berücksichtigt Relativitätstheorie. Es umfasst alle Auswirkungen der Schwerkraft. Die Schwerkraft beeinflusst nicht die Tatsache, dass die begleitende Lichtgeschwindigkeit ist $$$c / a (t)$ . Dies ist nur eine Umrechnung von Einheiten, zusammen mit der grundlegenden physikalischen Annahme, dass die Lichtgeschwindigkeit immer gleich ist $$$c$ in Bezug auf jeden Beobachter.

Wenn wir die Schwerkraft betrachten, bleibt dieses Verhältnis daher erhalten, und dies war das einzige, was wir verwendet haben, sodass die Schwerkraft die Antwort nicht beeinflussen kann. Haben wir etwas von der speziellen Relativitätstheorie verpasst? Ich habe die Zeitdilatation nicht berücksichtigt, die für unsere relativistische Rotverschiebungsberechnung entscheidend war.

Habe ich einen fehler gemacht Muss ich irgendwo eine Zeitdilatation hinzufügen? In der Tat nein. Wir hatten zwei Stunden Zeit für unsere Berechnung: die Uhr in der Galaxie und unsere Uhr, mit der wir die Strahlungsperiode und die Empfangsperiode gemessen haben. Beide Uhren ruhen jedoch relativ zur lokalen Materie, obwohl sie sich relativ zueinander bewegen. Daher messen sie per Definition die kosmologische Zeit. Kosmologische Zeit ist eine sehr eigenartige Art von Zeit, es ist keine Zeit in einem Trägheitssystem. Die Uhren bewegen sich relativ zueinander. Wenn wir also die Zeit im Trägheitssystem bestimmen würden, könnte eine solche Uhr niemals synchronisiert werden und die Zeit würde nicht mit ihnen zusammenfallen.

Aber im System der kosmologischen Zeit zeigen sie dieselbe Zeit. Da jede Uhr relativ zur lokalen Materie in Ruhe ist, messen sie $$$t$ kosmologische Zeit. Somit ist keine Zeitdilatation notwendig. Es ist nicht so, dass wir es vergessen hätten, es ist nicht da. Es wird nicht in Berechnungen verwendet.

Somit liefert das erzielte Ergebnis, egal wie einfach es auch erscheinen mag, tatsächlich die Auswirkungen sowohl der speziellen Relativitätstheorie als auch der Schwerkraft vollständig. Lassen Sie mich feststellen, dass es nicht offensichtlich ist, wo die Schwerkraft hier ist. Ich habe dir gesagt, dass das Ergebnis alle Auswirkungen der Schwerkraft beinhaltet. Wo ist die Schwerkraft verborgen? Ich möchte Ihnen diese Frage stellen. Wie wirkt sich die Schwerkraft auf die Berechnungen aus, obwohl ich die Schwerkraft bei der Berechnung nicht erwähnt habe?

STUDENT: Durch den Skalierungsfaktor.

LEHRER: Richtig, durch den Skalierungsfaktor. Wir haben nicht darüber gesprochen, wie man sich ändert $$$a (t)$ . Ändern $$$a (t)$ wird explizit Schwerkrafteffekte einschließen. Aus diesem Grund hängt unser Ergebnis von der Schwerkraft ab, obwohl wir die Schwerkraft nicht verwenden oder erwähnen mussten, um eine Antwort zu erhalten. Die Antwort für die kosmologische Rotverschiebung ist so einfach, weil $$$a (t)$ enthält bereits viele Informationen. Wir haben dies nur ausgenutzt, um abhängig davon einen sehr einfachen Ausdruck zu erhalten $$$a (t)$ ohne noch etwas darüber zu sagen, wie wir rechnen werden $$$a (t)$ . Dies ist der erste Unterschied.

Ein weiterer wichtiger Unterschied zwischen den beiden Berechnungen sind die in der Antwort verwendeten Variablen. Je nachdem, welche Variablen verwendet werden, kann es mehrere unterschiedliche Antworten auf dieselbe Frage geben. In diesem Fall drücken wir Rotverschiebung aus $$$z$ für Objekte, die in einem zugehörigen Koordinatensystem ruhen. Die Berechnung in der speziellen Relativitätstheorie ergibt dagegen z in Abhängigkeit von der im Trägheitskoordinatensystem gemessenen Geschwindigkeit. Somit werden die Ergebnisse in völlig unterschiedlichen Begriffen ausgedrückt.

Was passiert, wenn wir versuchen, die Antworten zu vergleichen, die wir für die relativistischen und kosmologischen Rotverschiebungen erhalten haben? Es gibt nur einen Fall, in dem ein Vergleich legitim ist. Da die Berechnung, die wir gerade durchgeführt haben, die Auswirkungen der Schwerkraft umfasst und die Berechnung unter Verwendung der speziellen Relativitätstheorie nicht die Auswirkungen der Schwerkraft umfasst, können wir sie nur dann vergleichen und sicherstellen, dass sie zusammenfallen, wenn die Schwerkraft vernachlässigbar ist.

Wir können das kosmologische Modell betrachten, bei dem die Schwerkraft klein ist, da besteht kein Widerspruch. Wenn die Schwerkraft vernachlässigbar ist, wie wird sie sich verhalten? $$$a (t)$ ? Wenn es keine Schwerkraft gibt, $$$a (t)$ sollte linear abhängen von $$$t$ . Dies bedeutet, dass alle Geschwindigkeiten konstant sind. So ist im besonderen Fall der Abwesenheit der Schwerkraft $$$a (t)$ wächst linear mit der Zeit. In diesem Fall können Sie immer sicherstellen, dass die Konstante, die dem linearen Term hinzugefügt wird, Null wird, indem Sie zum Zeitpunkt des Zeitpunkts nur die Nullzeit einstellen $$$a (t)$ gleich Null. In Abwesenheit der Schwerkraft können wir das also sagen $$$a (t)$ muss proportional zu t sein.

Dann müssen für diesen speziellen Fall unsere beiden Berechnungen übereinstimmen. Sie können es selbst überprüfen. Es ist nicht so einfach, dafür müssen Sie die Beziehung zwischen den beiden Koordinatensystemen verstehen. Die Antwort auf die spezielle Relativitätstheorie wird in einem Trägheitskoordinatensystem gegeben, das in Gegenwart der Schwerkraft überhaupt nicht existiert. Aufgrund der Zeitdilatation und Lorentz-Kontraktion, die mit der Bewegung im expandierenden Universum verbunden sind, ist es auf komplexe Weise mit dem expandierenden Koordinatensystem verbunden.

Sie müssen die Beziehung zwischen diesen beiden Koordinatensystemen herausfinden. Wenn Sie dies tun und die Antworten vergleichen, werden Sie feststellen, dass sie wirklich genau übereinstimmen. All dies stimmt hervorragend mit der speziellen Relativitätstheorie überein, insbesondere in dem Fall, in dem die Schwerkraft fehlt.

Newton und das statische Universum

Wir haben alles besprochen, was ich über die Kinematik eines sich gleichmäßig ausdehnenden Universums erzählen wollte. Jetzt sind wir bereit, uns der Dynamik zuzuwenden. Wir müssen herausfinden, wie sich die Schwerkraft auf das Universum auswirkt, um berechnen zu können, wie$$a ( t ) ändert sich mit der Zeit. Dies ist das einzige Ziel, um das Verhalten zu verstehen.$a(t)$$$$a(t)$ .

Diese Frage geht gewissermaßen auf Isaac Newton zurück. Ich möchte darauf hinweisen, dass eines der interessanten Dinge in der Kosmologie ist, dass viele große Physiker große Fehler gemacht haben, wenn sie sich die Geschichte der Kosmologie ansehen, um kosmologische Probleme zu analysieren. Heute werden wir einen von Newtons Fehlern diskutieren. Selbst große Physiker wie Newton könnten dumme Fehler machen. Er hat wirklich einen dummen Fehler gemacht, als er die kosmologischen Konsequenzen seiner eigenen Gravitationstheorie analysiert hat.

Newton glaubte, wie alle vor Hubble, dass das Universum statisch sei. Er stellte das Universum als statische Verteilung der im Raum verstreuten Sterne dar. Zu Beginn seiner Karriere nahm er, soweit ich die Geschichte kenne, an, dass die Verteilung der Sterne im unendlichen Raum endlich war. Aber irgendwann wurde ihm klar, dass, wenn es im leeren Raum eine endliche Massenverteilung gibt und die gesamte Substanz mit einer Anziehungskraft zueinander hingezogen wird, die umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung ist, von der er wusste, dass sie komprimiert werden sollte, da er sie öffnete Punkt. Er entschied, dass seine Annahme nicht funktionierte, aber er war sich dennoch sicher, dass das Universum statisch war, da alles statisch aussah und sich die Sterne nirgendwo bewegten.

Also fragte er sich, was geändert werden könnte, und entschied, dass es besser ist anzunehmen, dass die Sterne unendlich im Raum verteilt sind, anstatt anzunehmen, dass die Sterne eine endliche Verteilung bilden. Er argumentierte wie folgt, und dies ist genau der Fehler, dass die Sterne, selbst wenn sie sich alle anziehen, keine bevorzugte Bewegungsrichtung haben, selbst wenn sie sich gegenseitig anziehen. Da sie keine bevorzugte Bewegungsrichtung haben, weil sie von allen Seiten angezogen werden, bleiben sie an Ort und Stelle. Daher glaubte er, dass eine unendliche, gleichmäßige Verteilung der Materie stabil sein würde, dass bei einer solchen unendlichen Verteilung der Masse keine Gravitationskräfte auftreten würden.

Er hörte offenbar verschiedene Argumente dafür. Eines der Argumente, dass die unendliche Verteilung stabil sein würde, war das Argument, dass eine unendliche Kraft, die sie nach rechts zieht, und eine unendliche Kraft, die sie nach links zieht, auf das Teilchen wirken. Da beide unendlich sind, neutralisieren sie sich gegenseitig. Newton akzeptierte dieses Argument nicht. Er war raffiniert genug, um zu verstehen, dass Unendlichkeit minus Unendlichkeit nicht unbedingt Null ist. Newton war jedoch überzeugt, dass die unendliche Massenverteilung stabil sein würde.

Das Argument, das ihn überzeugte, war nicht die Unendlichkeit der Materie auf jeder Seite, sondern die Symmetrie. Das Argument, das er annahm, war, dass, wenn Sie einen Punkt dieser unendlichen Verteilung betrachten, wenn Sie sich um diesen Punkt kümmern, alle Richtungen gleich aussehen, wobei sich die Substanz bis ins Unendliche erstreckt, und daher wird es keine Richtung geben, in die die Kraft sollte auf ein bestimmtes Teilchen einwirken. Und wenn die Kraft keine Richtung hat, sollte sie Null sein. Dies war das Argument, das Newton vertrat.

Jetzt werden wir dies genauer diskutieren und versuchen zu verstehen, wie moderne Gelehrte mit diesem Argument umgehen. Ich möchte übrigens eine historische Tatsache erwähnen. Newtons Argumentation wurde meines Wissens seit Hunderten von Jahren von niemandem in Frage gestellt, bis hin zu Albert Einstein. Albert Einstein, der versuchte, die Kosmologie mit seiner neuen allgemeinen Relativitätstheorie zu beschreiben, war der erste, der erkannte, dass selbst wenn man eine unendliche Massenverteilung hat, diese zusammenbricht. Einstein erkannte, dass dasselbe in der Newtonschen Physik passieren würde, dies ist kein Merkmal der allgemeinen Relativitätstheorie. Historisch gesehen war lediglich die Schaffung einer allgemeinen Relativitätstheorie erforderlich, um die Menschen zum Umdenken und Verstehen zu bringen, dass Newton falsch lag.

Die Unmöglichkeit eines statischen Universums

Die Schwierigkeit bei dem Versuch, das Problem so zu analysieren, wie Newton es tat, besteht darin, dass Newton die Schwerkraft als eine in der Ferne wirkende Kraft betrachtete. Wenn wir zwei Objekte in einiger Entfernung haben$$r auseinander ziehen sie sich mit einer proportionalen Kraft an$r$$$$1/r^2$ .Seit Newtons Zeit wurden andere Arten der Beschreibung der Newtonschen Schwerkraft erfunden, die die Situation viel klarer machen. Die Schwierigkeit bei der Verwendung von Newtons Beschreibung besteht darin, dass wir versuchen, alle diese Kräfte proportional zu addieren$$1 / r 2 erhalten wir unterschiedliche Beträge, deren Interpretation wir verstehen müssen. Um zu verstehen, dass Newton falsch lag, ist es am einfachsten, andere Formulierungen der Newtonschen Schwerkraft zu betrachten. Ich werde zwei davon beschreiben, mit denen Sie vielleicht bereits vertraut sind. Ich werde das erste in Analogie zum Coulombschen Gesetz beschreiben. Coulombs Gesetz ist in der Tat dasselbe wie das Gesetz der Schwerkraft. Das Coulombsche Gesetz besagt, dass jedes geladene Teilchen ein elektrisches Feld erzeugt, das gleich der Ladung ist, geteilt durch den quadratischen Abstand und multipliziert mit einem von der Ladung gerichteten Einheitsvektor.$1/r^2$

$$

$$\vec E=\frac q{r^2} \hat r$$

Dies ist das Gesetz von Coulomb. Manchmal hat es eine Konstante, abhängig davon, in welchen Einheiten es gemessen wird$$q , aber das ist für uns nicht wichtig. Ich gehe davon aus, dass wir diese Gleichung verwenden, wobei die Konstante 1 ist.Wie Sie wissen, können Sie aus dem Coulomb-Gesetzdas Gauß-Gesetz erhalten. Wenn das Coulomb-Gesetz wahr ist, können wir definitiv sagen, wie groß das Integraldes elektrischen Feldflussesüber einer geschlossenen Oberflächeist. Es ist proportional zur Gesamtladungsmenge innerhalb der Oberfläche.$q$

$$

$$\oint\limits_S \vec E \cdot d\vec a = 4πq_{}$$

wo $$q in n ist die Gesamtladungsmenge innerhalb einer geschlossenen Oberfläche. Sie können Newtons Gravitationsgesetz aufschreiben, fast so, wie Newton es formuliert hat. Sie können die Gravitationsbeschleunigung in einer bestimmten Entfernung vom Objekt ausdrücken:$q_{}$

$$

$$\vec g=\frac {-GM}{r^2} \hat r$$

Dies ist das gleiche inverse Quadratgesetz und ähnlich dem Coulombschen Gesetz, mit Ausnahme der Konstante am Anfang. Die Konstante hat das entgegengesetzte Vorzeichen, was in einigen Fällen wichtig ist, aber jetzt nicht. Wichtig ist, dass diese Gleichung als Gaußsches Gesetz umformuliert werden kann und als Gaußsches Gravitationsgesetz bezeichnet wird. Der einzige Unterschied besteht in der Konstante vor uns:

$$

$$\oint\limits_S \vec g \cdot d\vec a = -4πGM_{}$$

Nehmen wir nun die gleichmäßige Verteilung der Materie, die Newton in Betracht gezogen hat. Newton argumentierte, dass es möglich ist, eine homogene Verteilung der Materie zu erreichen, die den gesamten unendlichen Raum ausfüllt, und dass sie statisch sein wird, dh es wird keine Beschleunigung geben. Das Fehlen einer Beschleunigung in Newtons Sprache bedeutet dies$$→ g muss überall Null sein. Aber aus der letzten Formel folgt, dass wenn$\vec g$$$→ g ist überall gleich Null, dann das Integral von$\vec g$$$→ g über einer geschlossenen Fläche ist ebenfalls gleich Null, und daher sollte auch die in dieser Fläche eingeschlossene Gesamtmasse gleich Null sein. Wenn wir jedoch eine gleichmäßige Massenverteilung haben, ist die gesamte eingeschlossene Masse natürlich für kein Volumen ungleich Null Null. Somit ist klar, dass die Behauptung, dass das System statisch ist, der Formulierung des Gaußschen Newtonschen Gravitationsgesetzes direkt widerspricht.Nur zum Spaß werde ich Ihnen ein ähnliches Argument geben, das eine andere modernere Formulierung der Newtonschen Schwerkraft verwendet. Wenn Sie sie nicht getroffen haben und nicht verstehen, wovon ich spreche, machen Sie sich keine Sorgen, das ist nicht so wichtig. Für diejenigen von euch, die sie kennen, werde ich sie bringen. Eine andere Möglichkeit, die Newtonsche Schwerkraft zu formulieren, besteht darin, das Gravitationspotential einzuführen. Ich werde den Brief benutzen$\vec g$

$$φ für das Gravitationspotential. Es ist wie folgt mit einer Gravitationsbeschleunigung verbunden:$φ$$$→g =- →∇ φ$\vec g = - \vec ∇φ$ wo $$→∇ φ$\vec ∇φ$Ist ein Gefälle $$$φ$ . Farbverlauf $$φ ist gleich einem Einheitsvektor$φ$$$I in der Richtung der xmultipliziert mit der Ableitung von$\hat i$$$φ von$φ$$$x plus einen Einheitsvektor$x$$$J in der Richtung der Achse y, multipliziert mit der Ableitung von$\hat j$$$φ von$φ$$$y plus einen Einheitsvektor$y$$$K multipliziert mit der Ableitung von$\hat k$$$φ von$φ$$$$z$ ::

$$

$$\vec ∇φ = \hat i \frac {\partial φ}{\partial x} + \hat j \frac {\partial φ}{\partial y} + \hat k \frac {\partial φ}{\partial z}$$

Sobald wir das Gravitationspotential bestimmt haben, können wir die Differentialform des Gaußschen Gesetzes schreiben, das zur sogenannten Poisson-Gleichung wird. Es behauptet das

$$

$$∇^2φ = 4πGρ$$

wobei ρ die Massendichte ist und $$$∇^2φ$ definiert als die zweite Ableitung von $$$φ$ von $$$x$ plus die zweite Ableitung von $$$φ$ von $$$y$ plus die zweite Ableitung von $$$φ$ von $$$z$ ::

$$$$ display $$ ∇ ^ 2φ = \ frac {\ partiell ^ 2 φ} {\ partiell x ^ 2} + \ frac {\ partiell ^ 2 φ} {\ partiell y ^ 2} + \ frac {\ partiell ^ 2 φ} {\ partielle z ^ 2} $$ Anzeige $$

Dies nennt man die Poisson-Gleichung. Wenn die Massendichte angegeben ist, können Sie das Gravitationspotential ermitteln, den Gradienten berechnen und ermitteln $$$\ vec g$ . Dies entspricht anderen Formulierungen der Schwerkraft. Dies gibt uns jedoch einen weiteren Test für Newtons Behauptung, dass es eine gleichmäßige Verteilung der Materie ohne Gravitationskräfte gibt. Wenn es keine Gravitationskräfte gibt, dann $$$\ vec g$ sollte Null sein, wie wir vor einer Minute sagten. Und von der Tatsache, dass $$$\ vec g$ gleich Null folgt, dass der Gradient $$$φ$ gleich Null.

Wenn Sie sich die Verlaufsformel ansehen, ist dies ein Vektor. Für einen Nullvektor muss jede seiner drei Komponenten gleich Null sein und daher die Ableitung von $$$φ$ von $$$x$ Ableitung von $$$φ$ von $$$y$ die Ableitung von $$$φ$ von $$$z$ wird verschwinden. Das bedeutet das $$$φ$ muss überall konstant sein, es hat keine Ableitung in Bezug auf eine räumliche Koordinate. Deshalb, wenn $$$\ vec g$ gleich Null dann der Gradient $$$φ$ gleich Null und $$$φ$ ist eine Konstante im gesamten Raum. Wenn $$$φ$ es ist überall konstant, was in Abwesenheit der Schwerkraft stattfindet, dann ist sofort klar, dass $$$∇ ^ 2φ$ muss gleich Null sein, was bedeutet, dass ρ gleich Null sein muss, dh es wird keine Massendichte geben. Aber Newton wollte eine Massendichte ungleich Null, eine Substanz, die gleichmäßig über den unendlichen Raum verteilt ist. Dies ist eine weitere Demonstration, dass Newtons Argument falsch war.

Bedingt konvergente Integrale

Wir kamen zu dem Schluss, dass Newton falsch lag, aber wir müssen Newtons Argumentation genauer analysieren, um genau zu verstehen, wo er einen Fehler gemacht hat. Das nächste, was ich diskutieren möchte, ist die Mehrdeutigkeit, die mit der Addition von Newtonschen Gravitationskräften für ein unendliches Universum verbunden ist. Ich erwähnte, dass das eigentliche Problem bei Newtons Berechnungen darin besteht, dass der von ihm berechnete Betrag divergiert, und Sie müssen vorsichtig sein, wenn Sie versuchen, ihn zu berechnen.

Um dies zu verdeutlichen, möchte ich mit einem Beispiel eines Integrals beginnen, das einen mehrdeutigen Wert ergibt. Ich werde einige mathematische Konzepte vorstellen. Stellen wir uns vor, wir haben eine beliebige Funktion $$$f (x)$ wo $$$x$ wird nur eine Variable sein.

Wir werden es in drei Dimensionen verallgemeinern, was uns interessiert, aber wir werden mit einer Variablen beginnen. Wenn wir eine Funktion haben $$$f (x)$ können wir das Integral von minus unendlich bis unendlich von betrachten $$$f (x)$ Ich werde ihn anrufen $$$I_1$ ::

$$

$$I_1 = \ int \ begrenzt _ {- \ infty} ^ \ infty f (x) dx$$

Es ist ein solches Integral, das durch Addition aller auf den Körper einwirkenden Gravitationskräfte erhalten wird. Jetzt möchte ich den Fall betrachten, wenn $$$I_1$ ist endlich.

Ich muss zuerst genauer bestimmen, was ich damit meine $$$I_1$ , Integral von minus bis plus unendlich. Wir können das Integral von minus unendlich bis unendlich als die Grenze des Integrals von definieren $$$-L$ vorher $$$L$ von $$$f (x)$ bei denen $$$L$ neigt zur Unendlichkeit:

$$

$$I_1 = \ lim_ {L \ bis \ infty} \ int \ begrenzt _ {- L} ^ Lf (x) dx$$

Wir müssen das Integral von berechnen $$$-L$ vorher $$$L$ . Wenn wir das annehmen $$$f (x)$ ist endlich, das Integral ist auch immer endlich. Ich werde davon ausgehen, dass die Funktion selbst $$$f (x)$ ist endlich, wir werden uns nur um die Konvergenz des Integrals für sorgen $$$L$ zur Unendlichkeit neigen. Also für jeden gegeben $$$L$ Das Integral ist eine Art Zahl. Dann kann man sich fragen, ob diese Zahl wann an die Grenze geht $$$L$ neigt zur Unendlichkeit? Wenn ja, dann nennen wir es den Wert $$$I_1$ . Dies ist nur eine Definition dessen, was wir unter dem Integral von minus unendlich bis unendlich verstehen.

Betrachten Sie nun den Fall, wenn dieser Wert existiert, wenn $$$I_1$ weniger unendlich, das heißt, es hat einen endlichen Wert. Ich möchte aber auch das Integral betrachten, das ich nennen werde $$$I_2$ , das auch als Integral von minus unendlich bis unendlich definiert ist, jedoch vom absoluten Wert $$$f (x)$ ::

$$

$$I_2 = \ int \ begrenzt _ {- \ infty} ^ \ infty | f (x) | dx$$

Nun eine kleine Terminologie. Wenn $$$I_2$ weniger unendlich, wenn es konvergiert, dann $$$I_1$ absolut konvergent genannt . Absolut konvergent bedeutet, dass das Integral konvergiert, auch wenn der Absolutwert der Funktion verwendet wird. Im Gegenteil, wenn $$$I_2$ divergiert, aber gleichzeitig $$$I_1$ konvergiert dann $$$I_1$ bedingt konvergent genannt . Wenn also das Integral einer Funktion konvergiert, das Integral des Absolutwerts derselben Funktion jedoch nicht konvergiert, wird dieser Fall als bedingte Konvergenz bezeichnet.

Der Grund für diese Trennung ist, dass bedingt konvergente Integrale sehr gefährlich sind. Sie sind gefährlich, weil sie nicht genau definiert sind. Sie können jeden gewünschten Wert erhalten, indem Sie den Integranden in einer anderen Reihenfolge hinzufügen. Solange wir uns an eine bestimmte Reihenfolge halten, die im Symbol des Integrals enthalten ist, erhalten wir eine eindeutige Antwort. Wenn wir zum Beispiel einfach den Beginn der Integration verschieben, können wir eine andere Antwort erhalten. Normalerweise erwarten wir das nicht. Normalerweise integrieren wir einfach entlang der Zahlenlinie, egal wo wir mit der Berechnung des Integrals beginnen. Daher wird das Ergebnis viel weniger definiert, wenn wir mit bedingt konvergenten Integralen arbeiten.

Bevor wir zu dem spezifischen Integral übergehen, das uns interessiert, mit dessen Hilfe wir versuchen werden, die Gravitationskräfte der unendlichen Verteilung der Materie zu addieren, werde ich ein Beispiel für eine sehr einfache Funktion geben, die diese Mehrdeutigkeit veranschaulicht, wenn das Integral konvergiert, aber nicht absolut konvergiert. Sie können jede gewünschte Antwort erhalten, indem Sie die Teile des Integrals in einer anderen Reihenfolge hinzufügen. Ein Beispiel, das ich betrachten werde, ist die Funktion f (x), die +1 ist, wenn x> 0 und -1, wenn x <0 ist. Ich gebe nicht an, was es ist, wenn x = 0 ist, dies spielt während der Integration keine Rolle. Ein einzelner Punkt spielt keine Rolle. Sie können einen beliebigen Wert für die Funktion mit x = 0 annehmen, dies ändert nichts.

Wenn wir es symmetrisch integrieren, gemäß der Definition dessen, was wir unter Integration von minus unendlich zu unendlich verstehen, erhalten wir eine vollständige Reduktion.

Wenn wir von integrieren $$$-L$ vorher $$$L$ erhalten wir Null, weil zwischen den negativen und den positiven Teilen des Integrals eine vollständige Reduktion besteht. Dann, wenn Sie das Limit nehmen, wann $$$L$ neigt zur Unendlichkeit, die Nullgrenze wird Null sein. Diese Aussage enthält keine Mehrdeutigkeit.

Wenn wir also die Teile des Integrals in der angegebenen Reihenfolge addieren, erhalten wir das Integral, das gleich Null ist. Das Ergebnis hängt jedoch von der Reihenfolge ab, in der wir diese Teile einsetzen. Insbesondere wenn wir einfach den Beginn der Integration ändern und uns vom neuen Anfang entfernen, erhalten wir eine andere Antwort. Schauen wir uns das Limit noch einmal an, wenn $$$L$ neigt zur Unendlichkeit, aber anstatt sich zu integrieren $$$-L$ vorher $$$L$ wir werden aus integrieren $$$a-l$ vorher $$$a + L$ .

Dies ist eigentlich das gleiche Integral, wir haben gerade unseren Beginn der Integration nach rechts verschoben. In einem bestimmten Fall $$$a$ ist gleich Null, und wir bekommen das gleiche wie zuvor, aber wenn $$$a$ ungleich Null bedeutet dies, dass unser Integral ab berechnet wird $$$x = a$ nicht von $$$x = 0$ .

Zuerst müssen wir das Integral von berechnen $$$a-l$ vorher $$$a + L$ und dann das Limit nehmen, wenn $$$L$ strebe nach Unendlichkeit und schau, was wir bekommen.

Es ist leicht zu verstehen, was wir bekommen. Sobald $$$L$ größer werden $$$a$ ändert sich die Antwort nicht mehr mit zunehmendem $$$L$ . Wenn wir zunehmen $$$L$ Wir fügen links einen negativen Teil und rechts den gleichen positiven Teil hinzu, und sie neutralisieren sich gegenseitig. Wann $$$L = a$ wird das Integral von 0 bis 2 sein $$$a$ . Im Integral gibt es nur positive Werte der Funktion, das Integrationsintervall beträgt 2 $$$a$ Dies bedeutet, dass das Integral 2 ist $$$a$ . Für alle großen Werte $$$L$ das Integral wird das gleiche sein, weil, als $$$L$ Wie gesagt, wir haben nur das Hinzufügen von positiven Werten rechts und negativen Werten links reduziert. Daher hat die Grenze in dieser Integration einen bestimmten Wert, der gleich 2 ist $$$a$ .

$$$a$ - Dies ist die Nummer, von der aus wir mit der Integration begonnen haben. Es kann also alles sein. Wir können wählen $$$a$ wie wir wollen. Somit können wir jede gewünschte Antwort erhalten, wenn wir Teile des Integrals in einer beliebigen Reihenfolge hinzufügen können. Dies ist die grundlegende Unsicherheit von bedingt konvergenten Integralen. Wir werden sehen, dass ein Versuch, die auf ein Teilchen wirkenden Kräfte in einer unendlichen Massenverteilung zu addieren, genau ein solches bedingt konvergentes Integral ist. Daher können wir jede Antwort erhalten, die wir wollen, und es wird nichts bedeuten, wenn Sie es nicht sehr sorgfältig tun.

Das Problem der Addition von Gravitationskräften

Jetzt möchte ich die Kraft berechnen, die auf ein Teilchen in einer unendlichen Verteilung der Materie wirkt, und zeigen, dass ich je nach Reihenfolge, in der ich die Gravitationskräfte addiere, unterschiedliche Antworten erhalten kann. In jedem Beispiel füge ich Stärke in einer bestimmten Reihenfolge hinzu und erhalte eine bestimmte Antwort. Je nachdem, welche Additionsreihenfolge ich wähle, erhalte ich jedoch unterschiedliche Antworten.

Versuchen wir, die Gravitationskraft irgendwann zu berechnen $$$P$ in der unendlichen Verteilung der Materie. Die Substanz füllt die Folie und den gesamten Raum bis ins Unendliche. Wir werden den Gravitationsbeitrag all dieser Substanzen in einer bestimmten Reihenfolge hinzufügen.

In unserer ersten Berechnung addieren wir die Gravitationskräfte einer Substanz, die sich in konzentrischen Schalen befindet, die an einem Punkt zentriert sind $$$P$ . Zuerst nehmen wir die innerste Schale, dann die zweite Schale, die dritte Schale usw. weiter vom Zentrum entfernt. In diesem Fall ist es leicht zu verstehen, dass die Kraft auf den Punkt wirkt $$$P$ berechnet in dieser Reihenfolge ist 0, weil für jede Shell $$$P$ Befindet sich in der Mitte und aus Symmetriegründen müssen die Kräfte ausgeglichen werden. Tatsächlich ist es bekannt, und wir werden diese Tatsache bald ausnutzen, dass das Gravitationsfeld der Schale innerhalb der Schale Null ist. Dies wurde von Newton bewiesen. Und außerhalb der Schale sieht das Gravitationsfeld genau so aus, als ob das gesamte Schalenmaterial in seiner Mitte konzentriert wäre. Es ist klar, dass in diesem Fall die Gravitationskraft am Punkt $$$P$ gleich 0.

Wir werden nun einen komplexeren Fall betrachten, in dem wir auch die Gravitationskraft an einem Punkt berechnen $$$P$ . Aber wir werden Kugelschalen verwenden, die um einen anderen Punkt zentriert sind. $$$Q$ . Jetzt $$$Q$ definiert die Muscheln, mit denen wir die Stärke erhöhen. Wir werden auch Kräfte von allen Schalen von Null bis unendlich hinzufügen, d.h. Addieren Sie alle Kräfte am Punkt $$$P$ von all der unendlichen Verteilung der Materie. Aber wir werden diese Kräfte in einer anderen Reihenfolge hinzufügen, weil wir die Schale in der richtigen Reihenfolge zentrieren $$$Q$ . Zuerst betrachten wir den Beitrag des schattierten Bereichs, der alle Muscheln umgibt $$$Q$ mit Radien kleiner als der Abstand von $$$Q$ vorher $$$P$ . Für all diese Muscheln ist der Punkt $$$P$ liegt außerhalb der Schale. Daher wirkt jede Schale genauso wie eine Punktmasse, die der Gesamtmasse der an einem Punkt konzentrierten Schale entspricht $$$Q$ , das Zentrum aller Muscheln. Somit trägt die Substanz, die sich im schattierten Bereich befindet, zur Kraft am Punkt bei $$$P$ gleich der Kraft, die eine schattierte Masse erzeugen würde, wenn alles an einem Punkt konzentriert wäre $$$Q$ .

Auf der anderen Seite werden alle anderen Muscheln Muscheln sein, für die $$$P$ befindet sich im Inneren. $$$P$ ist nicht mehr in der Mitte dieser Muscheln, aber Newton fand heraus, dass es keine Rolle spielt. Innerhalb der Kugelschale ist die Gravitationskraft an jedem Ort Null, unabhängig davon, wie nahe sie an der Grenze liegt. Alle Kräfte aus verschiedenen Teilen der Schale werden präzise kompensiert. Wenn wir uns der Grenze nähern, können wir davon ausgehen, dass es eine Anziehungskraft in Richtung dieser Grenze gibt. In diesem Fall wird die Anziehungskraft auf ein bestimmtes Teilchen an dieser Grenze tatsächlich stärker, weil sie proportional ist $$$1 / r ^ 2$ . Aber wenn wir uns der Grenze nähern, ist immer mehr Substanz auf der anderen Seite. Und diese beiden Effekte heben sich vollständig auf. Übrigens kann die Tatsache, dass die auf ein Teilchen innerhalb der Schale wirkende Kraft Null ist, leicht unter Verwendung des Gaußschen Gesetzes für die Schwerkraft bewiesen werden.

Daher leisten die Außenschalen keinen Beitrag. Wir fanden, dass die Kraft am Punkt $$$P$ gleich der Kraft, die durch die schattierte Masse erzeugt wird. Gravitationsbeschleunigung an einem Punkt $$$P$ wird durch eine einfache Formel bestimmt: Sie ist gleich dem G-fachen der Gesamtmasse des schattierten Bereichs geteilt durch $$$b ^ 2$ wo $$$b$ gleich dem Abstand zwischen $$$Q$ und $$$P$ und multipliziert mit einem Einheitsvektor, der von gerichtet ist $$$Q$ zur Seite $$$P$ ::

$$

$$\ vec g = \ frac {GM} {b ^ 2} \ hat e_ {QP}$$

Und dies ist ein Wert ungleich Null. Somit erhalten wir ein Null- oder Nicht-Null-Ergebnis, abhängig von der Reihenfolge, in der wir die Kräfte aus unserer unendlichen Verteilung der Materie addieren. Außerdem können wir jede Antwort bekommen, weil wir wählen können $$$b$ was auch immer. Die Antwort hängt von ab $$$b$ und wird beliebig groß, wenn es wächst $$$b$ . Es scheint, dass die Reaktion mit zunehmender Geschwindigkeit abnimmt $$$b$ aber tatsächlich wächst es als Masse $$$M$ wächst wie $$$b ^ 3$ . Wir können Stärke in jede Richtung gewinnen, indem wir wählen $$$Q$ in die richtige Richtung von $$$P$ . In der Tat können wir mit dieser Methode zur Addition der Stärke jede Antwort erhalten.

Das Problem ist, dass diese Schalen tatsächlich nicht existieren. Wir arbeiten nur mental mit diesen Muscheln. Die Substanz ist gleichmäßig verteilt und es gibt keine Schalen. Muscheln sind rein mentale Objekte, die die Reaktion nicht beeinflussen sollten. Sie bestimmen nur die Reihenfolge, in der wir die Gravitationskräfte zusammenfassen.