Amplitudenmodulation eines beliebigen Signals

Wie Sie wissen, ist AM eine Art von Modulation, bei der sich die Amplitude des Trägersignals gemäß dem Gesetz des Modulationssignals (Informationssignals) ändert. Es gibt viele Quellen mit einer theoretischen und praktischen Beschreibung von AM. Die Beschreibung wird zunächst gegeben, um die Frequenzzusammensetzung des AM-Signals zu zeigen. Als Modulationssignal wird üblicherweise ein Einzeltonsignal betrachtet. Dieses Signal wird durch eine einfache Sinusfunktion gesetzt. Sie fragten mich immer und ich fragte mich, wie ich AM beschreiben sollte, falls es ein beliebiges Signal als modulierendes Signal geben würde. Es ist ein beliebiges Signal, dessen Frequenzspektrum aus vielen Komponenten besteht, was von Interesse ist, da AM beim Senden zur Übertragung von Ton verwendet wird.

Versuchen wir, den AM für den obigen Fall zu beschreiben, wobei wir berücksichtigen, dass das Modulationssignal als kontinuierliche Summe einfacher Einzeltonsignale mit unterschiedlichen Frequenzen mit unterschiedlichen Amplituden und Phasen dargestellt werden kann. Ohne auf die Feinheiten der mathematischen Analyse einzugehen, kann dieses Signal als kontinuierliche Summe (Fourier-Integral) geschrieben werden:

$$ $$S (t) = \ int \ Grenzen_0 ^ mA (f) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) df, \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (1)$$

wo $$$m$ - die Obergrenze der Signalfrequenz (Band des Modulationssignals), $$$f$ Ist die Integrationsvariable für die Frequenz verantwortlich und $$$f \ in (0; m]$ . Funktionen $$$A (f)$ und $$$\ varphi (f)$ - die Amplitude und Phase der Signalkomponente bei einer Frequenz $$$f$ .

Der Integrand dieser Formel ist der sogenannte trigonometrische Faltung in die Amplitudenphasenform des Terms der Fourier-Reihe, in die das Signal erweitert werden kann. Das Integral in (1) kann als Fourier-Integral bezeichnet werden, da es tatsächlich eine kontinuierliche Summe ist, d.h. kontinuierliche Fourier-Reihe, in die das ursprüngliche Signal zerlegt wird. Die Erweiterung des Signals in einer ähnlichen Reihe gibt eine Vorstellung von der Frequenzzusammensetzung dieses Signals. Somit wird das anfängliche Modulationssignal als eine kontinuierliche Summe von Sinuskurven dargestellt (in diesem Fall der Einfachheit halber, $$$cos$ ) verschiedene Frequenzen $$$f$ von $$$0$ vorher $$$m$ hat jeder von ihnen seine eigene Amplitude $$$A (f)$ Phasenverschiebung $$$\ varphi (f)$ . Funktion $$$A (f)$ repräsentiert das Frequenzspektrum des ursprünglichen Signals $$$S (t)$ .

Es ist anzumerken, dass das Signal für einen begrenzten Zeitraum berücksichtigt wird. $$$t \ in [0; t_0]$ . Wenn es um ein Audiosignal geht, ist es im Allgemeinen in der Regel sinnvoll, das Frequenzspektrum für sehr kurze Signalfragmente zu berücksichtigen. Je länger die Signaldauer ist, desto mehr niederfrequente (gegen Null gerichtete) Komponenten erscheinen offensichtlich in der spektralen Zusammensetzung, was nicht mit Schallfrequenzen im hörbaren Bereich verglichen werden kann.

Zusätzlich zum Modulationssignal gibt es ein Tonsignal, bei dem es sich um eine Trägerschwingung mit einer Frequenz handelt $$$f_c$ Amplitude $$$C$ und Null Anfangsphase:

$$ $$S_c (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct), \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (2)$$

außerdem $$$f_c \ gg m$ . Tatsächlich ist beim Senden die Trägerfrequenz um ein Vielfaches größer als die Bandbreite des übertragenen Signals.

Nun wenden wir uns direkt dem Prozess der Amplitudenmodulation zu.

AM-Signal ist bekannt $$$S_ {AM}$ Es ergibt sich das Ergebnis der Multiplikation des Trägersignals und des Modulationssignals, die zuvor mit dem Modulationsindex vorgespannt und "indiziert" wurden $$$k$ d.h.

$$ $$S_ {AM} (t) = S_c (t) (1 + kS (t)). \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (3)$$

Um die sogenannte Übermodulation zu vermeiden $$$k \ in (0; 1)$ .

Wir setzen die Anfangsdaten (1) und (2) in den Ausdruck (3) ein, öffnen die Klammern und fügen sie unabhängig von der Integrationsvariablen in das Integral ein $$$f$ Einige Faktoren:

$$ $$S_ {AM} (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct) \ Big (1 + k \ int \ Grenzen_0 ^ mA (f) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) df \ Big) = \\ = C \ sin (2 \ pi f_ct) + C \ sin (2 \ pi f_ct) k \ int \ Grenzen_0 ^ mA (f) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) df = \\ = C \ sin (2 \ pi f_ct) + kC \ int \ Grenzen_0 ^ mA (f) \ sin (2 \ pi f_ct) \ cos (2 \ pi ft + \ varphi (f)) df.$$

Wir wenden die bekannte trigonometrische Schulformel an, um das Produkt für Integrandenfunktionen zu transformieren:

$$ $$\ sin a \ cos b = \ frac12 \ Big (\ sin (a-b) + \ sin (a + b) \ Big).$$

Diese Formel ist der Schlüssel für AM und betont diese „zwei Seiten“ in der spektralen Zusammensetzung des AM-Signals.

Wenn wir die Gleichheit fortsetzen, teilen wir das Integral der resultierenden Summe in die Summe zweier Integrale, erweitern die Klammern und entfernen die Klammern mit den notwendigen Faktoren in den Argumenten der Funktionen:

$$ $$S_ {AM} (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct) + kC \ int \ Grenzen_0 ^ mA (f) \ frac12 \ Big (\ sin (2 \ pi f_ct- (2 \ pi ft + \ varphi)) f)) + \\ + \ sin (2 \ pi f_ct + (2 \ pi ft + \ varphi (f)) \ Big) df = \\ = C \ sin (2 \ pi f_ct) + \ frac12kC \ int \ limit_0 ^ mA (f) \ sin (2 \ pi (f_c-f) t- \ varphi (f)) df + \\ + \ frac12kC \ int \ Grenzen_0 ^ mA (f) \ sin (2 \ pi (f_c + f) t + \ varphi (f)) df.$$

Die drei resultierenden Terme repräsentieren jeweils, wie aus der Gleichheit ersichtlich ist, das Trägersignal, die Signale der "unteren" und "oberen" Seite. Bevor wir eine konkrete Erklärung geben, setzen wir die Gleichheit fort, indem wir die Methode zum Ersetzen von Variablen in der folgenden Konfiguration anwenden:

$$ $$\ begin {bmatrix} w = w (f) = (f_c \ pm f), \; dw = \ pm df, \\ df = \ pm dw, \; f = \ pm (w-f_c), \\ w (0) = f_c, \; w (m) = (f_c \ pm m). \ end {bmatrix}.$$

Wir werden genau diesen Ersatz verwenden:

$$ $$S_ {AM} (t) = C \ sin (2 \ pi f_ct) - \\ - \ frac12kC \ int \ border_ {f_c} ^ {f_c-m} A (f_c-w) \ sin (2 \ pi wt - \ varphi (f_c-w)) dw + \\ + \ frac12kC \ int \ border_ {f_c} ^ {f_c + m} A (w-f_c) \ sin (2 \ pi wt + \ varphi (w-f_c)) dw$$

Durch Vertauschen der Integrationsgrenzen im ersten Integral (wodurch sich das Vorzeichen vor dem Integral in das Gegenteil ändert) können wir die beiden Integrale zu einem kombinieren. Darüber hinaus kann dort auch der erste Begriff eingeführt werden, der das Trägersignal beschreibt. In diesem Fall müssen natürlich die Integrandenfunktionen der Amplitude und Phase verallgemeinert werden. All dies geschieht unter bestimmten Bedingungen und für eine detailliertere Darstellung, ohne auf die Feinheiten der mathematischen Analyse einzugehen. So stellt sich heraus:

$$ $$S_ {AM} (t) = \ int \ Grenzen_ {f_c-m} ^ {f_c + m} B (w) \ sin (2 \ pi wt + \ psi (w)) dw,$$

wo

$$ $$B (w) = \ begin {Fälle} \ frac12kCA (f_c-w), \; \; \; (f_c-m) \ leqslant w <f_c \\ C, \; \; \; \; \; \; ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; w = f_c \\ \ frac12kCA (w-f_c), \; \; \; f_c <w \ leqslant (f_c + m) \ end {Fällen} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; (4)$$

und

$$ $$\ psi (w) = \ begin {Fälle} - \ varphi (f_c-w), \; \; \; (f_c-m) \ leqslant w <f_c \\ 0, \; \; \; \; \ ; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; w = f_c \\ \ varphi (w-f_c), \; \; \; f_c <w \ leqslant (f_c + m) \ end {Fällen}. \; \; \; \; \; \; \; \; ; \; \; (5)$$

Daher wurden neue stückweise definierte Funktionen (4) und (5) eingeführt, die die Änderung von Amplitude und Phase als Funktion der Frequenz beschreiben. Wenn man die Komponenten der Funktion (4) betrachtet, kann man feststellen, dass die dritte Komponente durch parallele Übertragung der Funktion erhalten wird $$$A (f)$ auf $$$f_c$ und der erste - mit einem vorläufigen Spiegel. Die konstanten Konstanten vor Funktionen, die die Amplitude reduzieren, berücksichtige ich nicht. Das heißt, im Spektrum des AM-Signals gibt es drei Komponenten: den Träger, die Oberseite und die Unterseite, die in (4) reflektiert wurden.

Zusammenfassend ist anzumerken, dass AM mit einem komplexeren Ansatz beschrieben werden kann, der auf komplexen Signalen und komplexen Zahlen basiert. Das in diesem Artikel beschriebene übliche Signal hat keine imaginäre Komponente. Unter Berücksichtigung der Darstellung mit Vektordiagrammen auf der komplexen Ebene besteht ein Signal ohne imaginäre Komponente aus zwei komplexen Signalen mit beiden Komponenten. Dies ist offensichtlich, wenn wir ein Einzeltonsignal als die Summe zweier Vektoren darstellen, die sich symmetrisch zur x (Re) -Achse in entgegengesetzte Richtungen drehen. Die Rotationsgeschwindigkeit dieser Vektoren entspricht der Frequenz des Signals und der Richtung zum Vorzeichen der Frequenz (positiv oder negativ). Daraus folgt, dass das Frequenzspektrum des Signals ohne imaginäre Komponente nicht nur eine positive, sondern auch eine negative Komponente aufweist. Und natürlich ist es in Bezug auf Null symmetrisch. Mit dieser Darstellung kann argumentiert werden, dass bei der Amplitudenmodulation das Spektrum des Modulationssignals auf einer Frequenzskala nach rechts von Null auf die Trägerfrequenz (und auch nach links) übertragen wird. In diesem Fall tritt die "untere Seite" nicht auf, sie existiert bereits im ursprünglichen Modulationssignal, obwohl sie sich im negativen Frequenzbereich befindet. Auf den ersten Blick klingt es seltsam, denn in der Natur scheint es keine negativen Frequenzen zu geben. Aber die Mathematik bietet viele Überraschungen.