Dimensionsloser Ballon. Utilitaristische Dimensionsanalyse Magie

Ich wurde aufgefordert, diesen kurzen Artikel durch den kürzlich veröffentlichten Artikel über Habré Dynamics des Vertikalfluges eines Flugzeugs zu schreiben, das leichter als Luft ist . Ich wollte einen Kommentar schreiben, aber er entwickelte sich schnell zu etwas mehr und es scheint nützlicher zu sein.

Der Originalartikel enthält ein Beispiel für die Berechnung der Dynamik eines Ballons oder eines Ballons in der Atmosphäre. In diesem Fall werden sowohl der Luftwiderstand als auch Gradienten der Dichte und Temperatur der Atmosphäre berücksichtigt, so dass sich das Problem auf eine nichttriviale Differentialgleichung reduziert, die mit der Python-Sprache erfolgreich numerisch gelöst werden kann. In dem Artikel ist alles in Ordnung: Der Ball startete, stoppte wo nötig, wir bekamen sowohl die maximale Höhe als auch die Zeit des Aufstiegs. Ich brauchte einen weiteren Ball, um mehr zu starten, ihn gründlicher zu laden oder Wasserstoff in Helium umzuwandeln - kein Problem - die Parameter im Programm zu ändern und alles erneut zu berechnen. Das Programm ist verständlich, linear, es funktioniert. Was kann hier also verbessert werden, wenn das Modell nicht kompliziert ist?

Sie können das Modell und die Berechnungen universell nützlich machen, nicht für einen bestimmten Ball, sondern für eine Vielzahl von Aufgaben. Es ist möglich, eine optimale Berechnungsgenauigkeit bei der numerischen Integration der Differentialgleichung sicherzustellen. Sie müssen die Integrationsgrenzen und -schritte bei der Berechnung in einer Vielzahl von Parametern nicht mehr manuell festlegen. Schließlich können Sie ohne numerische Lösung viel über die Dynamik des Fluges unseres Balls erzählen. Und für all dies gibt es einen alten Trick, wahr und zuverlässig, der einst für Berechnungen auf Computern und bevor sie erscheinen, obligatorisch ist und jetzt optional und oft mit Magie und Kunst verbunden ist - Gleichungen in eine dimensionslose Form und ihre eigenen Maßstäbe zu bringen . Ich werde das Problem der Luftfahrt als Beispiel verwenden und zeigen, wie die Analyse des Problems mit dieser Technik aussagekräftiger und eleganter wird. Und dann werde ich erklären, warum dies für Programmierer wichtig sein kann und warum dieser Artikel im Hub „Functional Programming“ landete.

Das Wesentliche beim Reduzieren von Gleichungen auf ihre eigenen Skalen besteht darin, solche Maßeinheiten für Zeit, Entfernungen, Massen, Ströme und andere dimensionale Variablen zu finden und einzuführen, in denen die Aufgabe die einfachste und eleganteste Form annimmt. Solche Einheiten werden als charakteristische oder geeignete Skalen des Problems bezeichnet. Gleichzeitig wird die Anzahl der Parameter, die sich auf die Lösung auswirken, erheblich reduziert. Wenn Sie das Glück haben, auf eine selbstähnliche Lösung zu stoßen, verschwinden die Parameter möglicherweise vollständig!

Normalerweise lernt man diese Technik kennen, wenn man die Dynamik eines harmonischen Oszillators untersucht und die Bewegungsgleichung in eine kanonische Form bringt. Unabhängig vom Oszillator (groß oder klein, nieder- oder hochfrequent, mechanisch oder elektromagnetisch) messen Sie die Zeit nicht in Sekunden, sondern in Perioden freier Schwingungen und die Amplitude nicht in Metern, sondern beispielsweise in der Größe der anfänglichen Abweichung Dann hat die Gleichung für jeden Linearoszillator dieselbe Form:

$$

$$x '' + 2 \ zeta x '+ x = 0$$

Es reicht aus, die Eigenschaften der Lösungen dieser Gleichung zu untersuchen, um alles über alle harmonischen viskosen Reibungsoszillatoren zu wissen. Ohne Reibung verschwinden die Parameter vollständig im Problem, und wir erhalten als Lösung eine beispielhafte Sinuskurve. Trotzdem sind andere Sinuskurven bis zu einer einfachen linearen Änderung der Koordinaten absolut identisch, so dass es keinen Sinn macht, sie einzeln zu analysieren.

Dies ist auch bei der Analyse von Kurven zweiter Ordnung der Fall. Nachdem wir die Parabel, Hyperbel oder Ellipse in ihrer kanonischen (kompaktesten) Form untersucht haben, haben wir alle ihre bemerkenswerten Eigenschaften gelernt. Danach erstreckt sich dieses Wissen auf jedes nicht triviale Quadrat. Darüber hinaus wird dieselbe Technik bei der Analyse von Gleichungen der Mathematik zweiter Ordnung (in partiellen Ableitungen) verwendet.

Das Problem in der Physik auf eine eigene dimensionslose Form zu bringen, entspricht der Suche nach der kanonischen Form oder einem Muster in der Programmierung. Und zum Glück kann es mit einem vollständig formalen Algorithmus ausgedrückt werden:

1. Wir führen formale Skalierungsfaktoren für Variablen ein.
2. wir teilen die ganze Gleichung durch jede Größe, die die Dimension ihrer Terme hat;
3. Aus den resultierenden dimensionslosen Komplexen, einschließlich Skalierungsfaktoren, wählen wir so viele Faktoren wie möglich aus und setzen sie der Einheit gleich.
4. Wir lösen die resultierenden Gleichungen, indem wir Skalierungsfaktoren in Bezug auf die Parameter des Problems ausdrücken und die verbleibenden Komplexe als Ähnlichkeitskriterien verwenden.

Als Ergebnis erhalten wir Gleichungen in kanonischer Form, die Eigenwerte des Problems sowie Ähnlichkeitskriterien für die Verallgemeinerung von Lösungen für physikalisch ähnliche Systeme. Je mehr Skalen Sie eingeben können (z. B. mithilfe von Symmetrie), desto präziser wird die Bewegungsgleichung und desto weniger Steuerparameter bleiben im Problem. Der wahre Schatz für den Forscher ist die Situation, in der es möglich ist, alle Parameter des Problems auszuschließen und alle möglichen Lösungen in einer Kurve darzustellen. Solche Lösungen werden als selbstähnlich bezeichnet und vereinfachen das Leben erheblich, indem sie partielle Differentialgleichungen in gewöhnliche Differentialgleichungen oder sogar in algebraische umwandeln. Der zweite und dritte Schritt des obigen Algorithmus erfordern Auswahl und Argumentation, sie sind am wenigsten formal, aber selbst wenn Sie die Brute-Force-Methode verwenden, können Sie in diesem Stadium ein sehr tiefes systematisches Verständnis des Problems erhalten.

Wenden wir uns der ursprünglichen Bewegungsgleichung zu, die im Artikel über Flugzeuge angegeben ist, und zeigen wir anhand ihres Beispiels, wie es auf seinen eigenen Skalen in eine dimensionslose Form umgewandelt werden kann. Die Gleichung hat die Form:

$$

$$m \ frac {d ^ 2h} {dt ^ 2} = -mg + g W \ rho_0 e ^ {- bh} - \ frac {1} {2} c S \ rho_0 e ^ {- bh} \ operatorname { Zeichen} \ left (\ frac {dh} {dt} \ right) \ left (\ frac {dh} {dt} \ right) ^ 2,$$

mit Anfangsbedingungen

$$

$$h (0) = h '(0) = 0.$$

Hier $$$h$ - die Höhe des Balls, $$$m$ - Masse des gesamten Flugzeugs mit Fracht, $$$g$ - Erdbeschleunigung, $$$W$ - das Gasvolumen in der Kugel, $$$c$ - Luftwiderstandsbeiwert, $$$S$ - charakteristischer Widerstandsbereich, $$$ρ_0$ - Luftdichte in Nullhöhe, $$$b$ - Koeffizient in der Boltzmann-Verteilung.

Erster Schritt. Wir führen die formalen Skalen für Zeit und Entfernungen ein:

$$

$$h = h_0 y, \ quad t = t_0 \ tau \ qquad (1)$$

und schreiben Sie die Bewegungsgleichung unter Verwendung von Strichen neu, um die Ableitungen zu bezeichnen:

$$

$$m \ frac {h_0} {t_0 ^ 2} y '' = -mg + g W \ rho_0 e ^ {- b h_0 y} \ left [1 - \ frac {c S} {2W g} \ frac {h_0 ^ 2} {t_0 ^ 2} \ operatorname {sign} (y ') (y') ^ 2 \ right].$$

Die Anfangsbedingungen in unserem Fall sind trivial, so dass sie weggelassen werden können, aber im Allgemeinen müssen wir sie auch neu schreiben.

Der zweite Schritt ist in der Tat die Nichtmessung der Gleichung. Alle darin enthaltenen Begriffe haben die Dimension der Kraft, und wir können sie in jede Kraft aufteilen. Normalerweise geteilt durch die Trägheitskraft - durch einen Faktor in der zweiten Ableitung der Entfernung. In diesem Fall werden als Parameter des Problems in der Regel bekannte Kriterien für die dynamische Ähnlichkeit wie die Reynolds- oder Euler-Zahlen erhalten. In unserer Aufgabe ordnen wir jedoch alle in der Aufgabe enthaltenen Kräfte der Schwerkraft zu $$$mg$ und deshalb. Uns interessiert vor allem die Position des statischen Gleichgewichts - die maximale Höhe der Kugel bei gegebener Tragfähigkeit und die Übergangszeit dazu. Das statische Gleichgewicht hängt nicht von den Trägheitseigenschaften des Systems ab, sondern direkt von der Schwerkraft. Also teilen und reduzieren wir, was möglich ist:

$$

$$\ frac {h_0} {gt_0 ^ 2} y '' = -1 + \ frac {W \ rho_0} {m} e ^ {- b h_0 y} \ left [1 - \ frac {c S} {2W g } \ frac {h_0 ^ 2} {t_0 ^ 2} \ operatorname {sign} (y ') (y') ^ 2 \ right].$$

Alles, die Gleichung ist dimensionslos, jetzt sind alle Variablen und alle darin enthaltenen Begriffe nur noch Zahlen. Und jetzt können wir solche Längen- und Zeitskalen frei wählen, um die Anzahl der Aufgabenparameter zu minimieren. Wir haben zwei Unbekannte $$$h_0$ und $$$t_0$ und vier dimensionslose Komplexe:

$$

$$\ frac {h_0} {gt_0 ^ 2}, \ quad \ frac {W \ rho_0} {m}, \ quad b h_0, \ quad \ frac {c S} {2W g} \ frac {h_0 ^ 2} { t_0 ^ 2}$$

Das heißt, wir können zwei von ihnen verschwinden lassen, indem wir sie einfach mit der Einheit gleichsetzen. Darüber hinaus hängt der zweite Komplex nicht von großen Faktoren ab, und wir müssen die beiden verbleibenden für die Zerstörung auswählen. Und wieder wenden wir uns dem Argument über das statische Gleichgewicht zu, das uns interessiert. Die Gleichgewichtsposition wird durch den Ausgleich der Nullbeschleunigung bestimmt, dh es spielt für uns keine Rolle, welcher Faktor in der zweiten Ableitung der Höhe enthalten ist, und wir können die Anzahl der Parameter auf der rechten Seite der Gleichung minimieren. Wir kommen also zu folgender Lösung: Wir wählen die Skalierungsfaktoren so, dass der dritte und vierte der von uns aufgelisteten Komplexe aus der Gleichung verschwinden. Dafür nehmen wir an

$$

$$b h_0 = 1, \ quad \ frac {c S} {2W g} \ frac {h_0 ^ 2} {t_0 ^ 2} = 1$$

und erhalten Sie unser eigenes Ausmaß des Problems:

$$

$$h_0 = \ frac {1} {b}, \ quad t_0 = \ frac {1} {b} \ sqrt {\ frac {c S} {2W g}}. \ qquad (2)$$

Die übrigen Parameter werden wie folgt bezeichnet:

$$

$$\ frac {h_0} {gt_0 ^ 2} = \ frac {1} {\ gamma}, \ quad \ frac {W \ rho_0} {m} = B.$$

Dies ist wahrscheinlich die magischste Phase unserer Transformationen, die der Kunst am nächsten kommt. Erfahrung und einige Überlegungen helfen jedoch bei der Auswahl der richtigen Skala. Und diese Erfahrung ermöglicht es uns, ähnliche Phänomene in verschiedenen Bereichen der Wissenschaft zu beobachten und die charakteristischen Eigenschaften komplexer Systeme zu erraten.

Ich werde mir erlauben, die Analyse der physikalischen Bedeutung der Skalen und Parameter, die wir erhalten haben, zu verschieben, obwohl dies auch sehr angenehm und interessant ist, aber ich werde mich sofort dem köstlichsten zuwenden - der dimensionslosen Gleichung auf ihren eigenen Skalen:

$$

$$\ frac {1} {\ gamma} y '' = B e ^ {- y} \ left (1 - \ operatorname {sign} (y ') (y') ^ 2 \ right) -1, \ quad y (0) = y '(0) = 0. \ qquad (3)$$

Hier! Ich bin bereit, eine solche Gleichung zu lösen, zu analysieren und numerisch zu integrieren. Und wenn ich mich entscheide, kann ich leicht von meiner eigenen Skala zu Metern und Sekunden wechseln, die in den Verhältnissen (1) und (2) codiert sind.

Also fangen wir an. Lassen Sie uns zunächst herausfinden, wo unser verallgemeinerter Ballon anhalten wird. Dazu setzen wir in Gleichung (3) sowohl Geschwindigkeit als auch Beschleunigung auf Null:

$$

$$0 = B e ^ {- y ^ *} - 1,$$

Woher bekommen wir?

$$

$$y ^ * = \ ln B.$$

Sofort schließen: Damit die maximale Höhe existiert, die Bedingung $$$B> 1 ​​$ . Als nächstes schätzen wir, wie lange der Ball diese Höhe erreichen wird. Dazu setzen wir die Beschleunigung mit Null gleich und lösen das Cauchy-Problem erster Ordnung:

$$

$$0 = Sei e ^ {- y} \ left (1 - (y ') ^ 2 \ right) - 1, \ quad y (0) = y ^ *.$$

Es wird analytisch durch die Methode der Trennung von Variablen gelöst und auf das Integral reduziert:

$$

$$\ tau ^ * = \ int_0 ^ {y ^ *} \ frac {B dy} {\ sqrt {Be ^ y}} = 2 \ operatorname {arth} \ left (\ sqrt {1 - \ frac {1} { B}} \ rechts).$$

Schauen Sie, hier sind sie - die Früchte der richtig gewählten Schuppen! Sowohl die maximale Höhe als auch die charakteristische Zeit ihrer Erreichung werden nur durch den Parameter ausgedrückt $$$B$ . Dies bedeutet, dass wir einen Wert festlegen können $$$B> 1 ​​$ konstruieren Sie eine Reihe von Graphen zum Lösen von Gleichung (3) für verschiedene Werte $$$\ gamma$ und damit sofort alle Möglichkeiten zur Lösung des Problems für beliebige Werte beschreiben $$$B$ !

Dies ist eine universelle Ein-Parameter-Familie von Lösungen, die durch numerische Integration von Problem (3) für verschiedene Werte erhalten werden $$$\ gamma$ ::


Nach Erreichen der Gleichgewichtshöhe schwingt der Ballon einige Zeit gedämpft, die charakteristische Zeit zum Erreichen dieser Höhe wird jedoch korrekt geschätzt. Vom Kriterium $$$\ gamma$ nur die Schwingungsdauer und die Zeit ihres Zerfalls hängen ab. Je größer dieser Parameter ist, desto „härter“ ist unser System.

Es bleibt, diese Familie von Graphen in eine dimensionale Ansicht zu übersetzen, indem einfach die Werte entlang der Achsen mit den entsprechenden Skalierungsfaktoren multipliziert werden. Und jetzt ist das numerische Experiment vorbei und seine Ergebnisse haben universelle Bedeutung erlangt. Sie können reale Dimensionsparameter der Aufgabe ersetzen und sofort Zahlen auf den Achsen erhalten, bereits in Metern und Sekunden! Ein solches Ergebnis kann bereits in einem seriösen Handbuch für harte Ballonfahrer oder in einem wissenschaftlichen Artikel veröffentlicht werden, der das gesamte Phänomen in einer Grafik beschreibt.

Nun wollen wir sehen, was wir in Form von Parametern und Variablen erhalten haben. Ersetzen Sie die Masse der Kugel $$$m$ Gesamtgasmasse $$$W \ rho_g$ und Nutzlastmassen $$$M$ ::

$$

$$m = W \ rho_g + M = W \ rho_g (1 + \ alpha),$$

wo $$$\ alpha = \ frac {M} {W \ rho_g}$ - die relative Tragfähigkeit des Luftfahrzeugs. Zusätzlich nehmen wir den Ball kugelförmig und drücken seine Fläche und sein Volumen durch den Radius aus $$$R$ . In dieser Darstellung erhalten wir die Parameter des Problems:

$$

$$B = \ frac {\ rho_0} {\ rho_g (1 + \ alpha)}, \\ \ gamma = \ frac {3 c B} {8 R b}.$$

Der erste ist der Auftriebskoeffizient, der vom verwendeten Gas und der angehobenen Last abhängt. Dies ist ein sehr wichtiger Parameter, der alle Massenmengen umfasst. Die zweite zeigt, wie die Größe und Form des Balls mit dem Dichtegradienten in der Atmosphäre zusammenhängen, dh wie groß die atmosphärischen Inhomogenitäten im Verhältnis zur Größe des Balls sind.

Die Skala wird wie folgt ausgedrückt:

$$

$$h_0 = 1 / b \\ \ tau_0 = \ frac {1} {2 b} \ sqrt {\ frac {3 c B} {2 g R}} = \ sqrt {\ frac {\ gamma} {gb}}$$

Die Entfernungsskala wird nur durch den Dichtegradienten bestimmt. Das ist absolut richtig, denn gerade wegen dieses Gefälles hört der Aufstieg des Balls im Allgemeinen irgendwo auf. Die charakteristische Zeit umfasste dynamische Größen - Gravitationsbeschleunigung, Massenverhältnisse und Luftwiderstand.

Die charakteristische Höhe und Zeit der Annäherung des Balls

$$

$$h ^ * = y ^ * h_0 = \ frac {1} {b} \ ln B, \\ t ^ * = \ tau ^ * t_0 = 2 \ sqrt {\ frac {\ gamma} {gb}} \ operatorname {arth} \ left (\ sqrt {1 - \ frac {1} {B}} \ right)$$

auch ausgedrückt in Bezug auf die Hauptparameter und den Umfang der Aufgabe.

Lassen Sie uns zum Beispiel sehen, was mit den im Originalartikel angegebenen physikalischen Parametern passiert:

$$

$$B = 4,57 \\ \ gamma = 686 \\ h_0 = 8000 \ m \\ \ tau_0 = 12,47 \ min \\ h ^ * = 12166,6 \ m \\ t ^ * = 13,72 \ min$$

Zusammenfassend. Nachdem wir ein wenig auf Papier gearbeitet hatten, bevor wir die Aufgabe der Maschine zuführten, konnten wir ein verständlicheres, universelleres Ergebnis erzielen und die wichtigsten Eigenschaften der Lösung erkennen. Gleichzeitig haben wir die „Modularität“ der Lösung nicht verloren. Hier ist was ich meine. Wir haben das Problem allgemein formuliert und dann, nachdem wir bereits eine Lösung erhalten hatten, neue „Merkmale“ hinzugefügt. So haben wir beispielsweise das Konzept der Nutzlast und die Masse des Gases, das es anhebt, geteilt. Diese Komplikation wirkte sich auf die Skalenwerte aus, änderte jedoch nichts an der Art der Lösung.

Wenn anschließend der Temperaturgradient addiert werden muss, wird der Ausdruck im Exponenten komplizierter, aber sein Wesen und vor allem die Skala ändern sich nicht:

$$

$$\ exp \ left (\ frac {-b h T_0} {T_0 - a h} \ right)$$

Nach der Dimensionierung sieht es folgendermaßen aus:

$$

$$\ exp \ left (\ frac {-y} {1 - \ psi y} \ right),$$

Wo ist der neue Parameter? $$$\ psi = \ frac {a} {bT_0}$ zeigt, wie korreliert die Dichte- und Temperaturgradienten sind. Da dies von uns unabhängige atmosphärische Parameter sind, $$$\ psi$ Ist eine Konstante gleich $$$0,17$ . Der Wert der Konstante zeigt übrigens die Bedeutung des Effekts des Temperaturgradienten, er ist nicht groß, aber nicht vernachlässigbar. Die Familie der Graphen wird sich ein wenig ändern, aber vor allem bleibt sie ein Parameter.

Die Verwendung der eigenen Skalen des Problems für Berechnungen hat ein weiteres wichtiges Plus: In diesem Fall nehmen Variablen normalerweise „moderate“ Werte an, dh nahe der Einheit. Dies ist sehr nützlich für Gleitkommaberechnungen: Bei Operationen mit Werten, die in der Größenordnung stark variieren, geht die Genauigkeit nicht verloren. Darüber hinaus wird es möglich, die Rollen einzelner Effekte in einer Aufgabe korrekt zu vergleichen, indem die Werte ihrer Ähnlichkeitskriterien oder die Werte von Variablen verglichen werden. Zum Beispiel der Wert $$$B = 4,5$ gibt an, wie oft die Wechselwirkungskräfte mit der Atmosphäre größer sind als die Schwerkraft. Und das Quadrat der charakteristischen dimensionslosen Anstiegsgeschwindigkeit $$$(y ^ * / \ tau ^ *) ^ 2 \ sim 0,3$ zeigt den Grad der Bedeutung des Luftwiderstands bei der vertikalen Bewegung des Flugzeugs im Vergleich zum Auftrieb, der durch eine Einheit in Klammern ausgedrückt wird.

Schließlich haben Berechnungen in dimensionslosen Variablen und Parametern eine gewisse interne Übereinstimmung mit der Tatsache, dass die Lösungen von Differentialgleichungen fast immer transzendentale Funktionen sind und nur dimensionslose Größen ihre Argumente und Ergebnisse sein können. Der Computer arbeitet auch ausschließlich mit Zahlen - dimensionslosen Größen. Die statische Typisierung ermöglicht es Ihnen im Prinzip, die Dimensionen physikalischer Größen auf Typenebene einzugeben und Programme während der Kompilierung auf Richtigkeit zu überprüfen. In der numerischen Phase arbeiten wir jedoch immer noch nur mit den Größen selbst. Alle mit Einheiten und Abmessungen verbundenen Fehler gehen bei solchen Berechnungen verloren. Es ist vernünftig, die Aufgabe für Berechnungen vorzubereiten, ohne das Überflüssige auszuschließen und dem Löser nur das Wesentlichste und Natürlichste zu überlassen.

Und was würde passieren, wenn wir andere Komplexe wählen oder alle Kräfte nicht der Schwerkraft, sondern beispielsweise der Trägheit zuschreiben würden? Zwei Parameter würden in der Gleichung verbleiben, aber die Kurvenfamilie würde zu zwei Parametern, und sie könnte nicht in einem Diagramm gezeigt werden. Ich gebe zu, zuerst ist es mir einfach passiert, als die Längenskala den Radius des Balls bekam. Aber nachdem ich mit diesen Kurven gespielt hatte, sah ich ihre geometrische Ähnlichkeit (Sie sehen eine in allen Parabeln), und eine weitere flüchtige Analyse der erhaltenen Kriterien und Gleichungen führte mich zu versteckter Symmetrie und schlug vor, wie die „kanonische Form“ unserer Gleichungen aussehen sollte. Dies ist jedoch eine schöne Beschäftigung! Die Aufgabe selbst beginnt über sich selbst zu erzählen. Es macht mir so viel Freude, ein System von Typen und Datenstrukturen in einem Programm in Haskell oder C # aufzubauen: Wenn die Architektur des Programms der internen Struktur der Aufgabe entspricht, wird alles überraschend natürlich, elegant, Sonderfälle werden „automatisch“ ausgearbeitet und die Anzahl der Abstraktionsebenen nimmt ab.

Die Dimensionen physikalischer Größen an sich sind sehr interessant. Sie bilden einen linearen Raum, und die Suche nach Ähnlichkeitskriterien kann auf das Problem reduziert werden, einen Kern in einem dimensionalen Raum zu finden, wodurch dieser Prozess formalisiert wird. Sie spielen zum Teil die Rolle von Typen im physischen Computing. Da der Compiler statische Eingaben verwendet, um die Richtigkeit des Programms zu überprüfen, verwendet der Physiker Dimensionen, um seine Berechnungen und Ergebnisse zu überprüfen.Wie in einer streng typisierten reinen Funktionssprache (zum Beispiel in Haskell) kann ein Funktionscode aus seinem Typ abgeleitet werden. Ebenso kann man auf der Grundlage der Dimension physikalischer Größen dimensionslose Komplexe und charakteristische Größen in physikalischen Systemen konstruieren und äußerst nützliche und universelle Ergebnisse erzielen. Es gibt viele Beispiele dafür in der Mechanik, Gas- und Thermodynamik, Quantenmechanik usw. Ich empfehle Ihnen, sich mit einer wunderbaren Arbeit vertraut zu machen , die eine Reihe schöner Beispiele für die Anwendung der Dimensionsanalyse auf Probleme aus dem Satz von Pythagoras auf die Schwingungen von Sternen und die Rayleigh-Streuung am Himmel bietet. Diese Arbeit zitiert die Worte von John Wheeler, dem Lehrer Richard Feynman, der den Namen "Wheeler Rules" erhielt:

« , . : (! ! !) , ; . : , . , . . ».

Dieser Rat für Programmierer kommt mir sehr bekannt vor: Schreiben Sie keinen Funktionscode, ohne sich für seine Signatur (Typ) und sein Verhalten (Tests) entschieden zu haben. Bevor Sie Code schreiben, sollten Sie Typen, Datenstrukturen und deren Beziehungen berücksichtigen. Genau dafür sind OOP und funktionale Programmierung stark - diese Prinzipien funktionieren nicht nur dort, sie schlagen bei geschickter Anwendung selbst die natürlichsten und elegantesten Lösungen vor, und im Fall von FP tun sie dies auf einer tiefen mathematischen Ebene, wodurch es möglich wird, die Eigenschaften von Programmen zu beweisen und einige zu berechnen Arbeiten Sie an der Ausgabe von Programmeigenschaften an den Compiler.

Mathe lernen, schön programmieren und Spaß haben!