Theorie des Glücks. Das Gesetz der Wassermelonenschale und die Normalität der Abnormalität

Ich vertrete die ungeordneten Kapitel aus meinem Buch "Theory of Happiness" mit dem Untertitel "Mathematical Foundations of the Laws of Meanness" vor dem Gericht von Habrs Lesern. Dieses populärwissenschaftliche Buch ist noch nicht veröffentlicht und erzählt sehr informell, wie Mathematik es Ihnen ermöglicht, die Welt und das Leben der Menschen mit einem neuen Grad an Bewusstsein zu betrachten. Es ist für diejenigen, die sich für Wissenschaft interessieren und für diejenigen, die sich für das Leben interessieren. Und da unser Leben komplex und im Großen und Ganzen unvorhersehbar ist, liegt der Schwerpunkt des Buches hauptsächlich auf der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Statistik. Hier werden Theoreme nicht bewiesen und die Grundlagen der Wissenschaft nicht gegeben, dies ist keineswegs ein Lehrbuch, sondern das, was man Freizeitwissenschaft nennt. Aber genau dieser fast spielerische Ansatz ermöglicht es uns, Intuition zu entwickeln, Vorlesungen für Studenten mit anschaulichen Beispielen aufzuhellen und schließlich Nicht-Mathematikern und unseren Kindern zu erklären, was wir in unserer trockenen Wissenschaft so interessant fanden.



In diesem Kapitel analysieren wir zunächst Wassermelonen und ihre Schalen, finden ihren Zusammenhang mit Murphys berühmtem Gesetz heraus und stellen bei aller Schwere sicher, dass der Geschmack nicht diskutiert wird.

Scheint es mir allein, dass ich normal bin?

Wie oft, wenn wir die Nachrichten sehen oder die Kommentare dazu lesen, sind wir ratlos: "Gibt es normale Menschen auf dieser Welt ?!" Es scheint so, als ob es das geben sollte, weil wir viele sind und im Durchschnitt sollten wir normal sein. Gleichzeitig sagen die Weisen, dass jeder von uns einzigartig ist. Und Teenager sind sich sicher, dass sie sich von der grauen Masse der „normalen Menschen“ unterscheiden und nicht wie alle anderen sind.

Mit Statistiken vertraute Leser haben natürlich oft gesehen, dass bei verschiedenen asymmetrischen Verteilungen der Modus (Maximum im Wahrscheinlichkeitsdichtediagramm) nicht mit dem Durchschnittswert oder der mathematischen Erwartung übereinstimmt. Das heißt, der Durchschnittswert entspricht nicht der höchsten Wahrscheinlichkeitsdichte, aber es wird erwartet, dass er, wenn nicht der am häufigsten anzutreffende, zumindest dominant ist. Es ist jedoch nicht alles so einfach. Bisher haben wir univariate Verteilungen betrachtet - Verteilungen im eindimensionalen Ergebnisraum. Aber das Leben ist vielfältig und schon gar nicht eindimensional! Und wenn Sie zusätzliche Dimensionen hinzufügen, können ganz unerwartete Dinge passieren.

Eines der Merkmale der mehrdimensionalen Geometrie ist die Erhöhung des Anteils der Grenzwerte in einem begrenzten Volumen. Das ist gemeint. Betrachten Sie das klassische Problem der Wassermelone in Räumen mit unterschiedlichen Abmessungen und machen Sie sich daran, herauszufinden, wie viel wundervolles Zuckerpulpe wir von dieser riesigen, starken und köstlichen Wassermelone erhalten. Wenn wir sie schneiden, stellen wir fest, dass die Dicke ihrer Schale nicht größer ist $$ aus seinem Radius? Es scheint so $$ Das ist sehr schmerzhaft, aber schauen Sie sich die Abbildung am Anfang des Artikels an. Vielleicht finden wir eine Wassermelone mit solchen Proportionen durchaus akzeptabel.

Beginnen wir mit einer eindimensionalen Wassermelone - dies ist eine rosa Säule, und ihre Schale besteht aus zwei kleinen weißen Segmenten entlang der Ränder. Die Gesamtlänge der Kruste - dies ist ein Analogon zum Volumen in einer eindimensionalen Welt - wird sein $$ der Gesamtlänge der Wassermelone. Eine zweidimensionale, pfannkuchenförmige Wassermelone, die Kruste in Form eines weißen Rings, ist flächenmäßig kleiner als ihr innerer Teil, bereits dreimal. In der üblichen dreidimensionalen Welt wird eine solche Kruste fast sein $$ Gesamtvolumen. Es gibt einen Haken.

Die Anteile, die die Schale in einer Wassermelone verschiedener Dimensionen einnimmt.

Sowohl für eine Kugel als auch für einen Körper beliebiger Form können wir die Abhängigkeit des Verhältnisses des Volumens der Kruste zum Gesamtvolumen des Körpers erhalten. Sie wird durch das Verhältnis der Dicke der Kruste zur charakteristischen Körpergröße ausgedrückt $$ und ist eine Exponentialfunktion der Raumdimension $$ ::

$$

Hier ist eine grafische Darstellung des Wachstums des Anteils eines Radius von fünfzehn Prozent der Wassermelonenkruste an ihrem Volumen mit einer weiteren Vergrößerung der Raumdimension.


Im vierdimensionalen Raum lässt unsere konventionelle Wassermelone mit kurzen Melonen nur die Hälfte des Fleisches übrig, und in der elfdimensionalen Welt können wir uns nur daran erfreuen $$ von der ganzen Wassermelone, die Kruste wegwerfend, die zusammensetzt $$ sein Radius!

Wir sind also bereit, das tiefgreifende Gesetz der Wassermelonenschale zu formulieren:

Wenn Sie eine mehrdimensionale Wassermelone kaufen, erhalten Sie im Grunde ihre Schale.

Es ist natürlich eine Schande, aber was hat das mit der Normalität unserer Welt und den Gesetzen der Gemeinheit zu tun? Leider ist er es, der die Suche nach dem sogenannten „goldenen Mittelwert“ behindert, die Ergebnisse von Meinungsumfragen abwertet und die Rolle unwahrscheinlicher Probleme erhöht.

Tatsache ist, dass der Raum der Menschen mit all ihren Parametern im Wesentlichen mehrdimensional ist. Ganz unabhängige Dimensionen können als offensichtliche Größe, Gewicht, Alter und Wohlstand sowie als Grad der intellektuellen (IQ) und emotionalen (EQ) Entwicklung angesehen werden. Schließlich können beobachtbare, wenn auch schlecht formalisierte Gesichtsmerkmale oder Charaktereigenschaften wie der Grad der Gesprächigkeit, Sturheit oder Verliebtheit. Wir können leicht ein Dutzend und eine halbe Parameter berechnen, die eine Person charakterisieren. Und für jeden dieser Parameter gibt es eine bestimmte statistisch bestimmte „Norm“ - den am meisten erwarteten und darüber hinaus häufig beobachteten Wert. Wie viele Menschen in einem so reichen Parameterraum werden in jeder Hinsicht typisch sein? Der Ausdruck, den wir zur Berechnung des Verhältnisses der Schalen- und Wassermelonenvolumina verwendet haben, kann auch zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit verwendet werden, unter mindestens „abnormalen“ Personen zu sein. In der Tat ist die Wahrscheinlichkeit, alle Kriterien der Typizität zu erfüllen, gleichzeitig gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten, für jedes Kriterium einzeln typisch zu sein.

Jetzt werden wir die Aufgabe stark vereinfachen, um keine erschreckenden Formeln zu schreiben, nach denen nichts richtig berechnet werden kann. Angenommen, die Eigenschaften von Menschen in jeder Richtung gehorchen einer normalen (Gaußschen) Verteilung um einen bestimmten Durchschnittswert. Dies ist natürlich äußerst kühn, aber für unsere Zwecke durchaus vernünftig, da wir nicht über bestimmte Merkmale sprechen, sondern ehrlich gesagt phantasieren und versuchen, zumindest etwas Bestimmtes in einem so wackeligen Thema zu formulieren. Daher ist es zu früh, um Details zu laden, bis das allgemeinste Bild sichtbar ist. Daher haben wir alle Kriterien mit unseren Mitteln und Abweichungen einer Normalverteilung untergeordnet. So können wir die Parameter der typischsten Person der Welt bestimmen und die Abweichungen von ihnen zählen. Außerdem ist es uns egal, welche spezifischen Dispersionswerte für jedes Kriterium angezeigt werden, da wir nur an der Wahrscheinlichkeit interessiert sind, über die Standardabweichung hinauszugehen, und dieser Wert nicht von der Skala der Verteilung selbst abhängt. All dies führt dazu, dass, wenn wir für bezeichnen $$ die Wahrscheinlichkeit, außerhalb der durch die Standardabweichung begrenzten Region zu sein (in der äußeren „Kruste“ der Verteilung zu erscheinen, die eher nicht der Kruste einer Wassermelone ähnelt, sondern der Erdatmosphäre, die weit in den Weltraum vordringt und immer dünner wird); etwas Ungewöhnliches, wenn man bedenkt $$ Die Kriterien werden nach der Formel "Wassermelone" berechnet:

$$

Für eine Gaußsche Verteilung $$ wo $$ - Standardabweichung.

Die Wahrscheinlichkeiten, für eine unterschiedliche Anzahl von Vergleichskriterien und für einen unterschiedlichen „Schweregrad“ der Normdefinition „abnormal“ zu sein. Die oberen und unteren Graphen unterscheiden sich darin, dass sie bei der Bestimmung der "Normalität" einen Radius von einer bzw. zwei Standardabweichungen verwenden.

Nun, es stellt sich heraus, dass es normal ist, zumindest etwas abnormal zu sein. Wenn Sie Menschen anhand der zehn wichtigsten Parameter bewerten, müssen Sie darauf vorbereitet sein, dass nur 2% der Gesamtbevölkerung ganz normal sind. Sobald wir sie finden, werden sie außerdem sofort zu Berühmtheiten, da sie ihre Mittelmäßigkeit verloren haben!

Das gleiche Gesetz der Gemeinheit

Eines der klassischen Gesetze der Gemeinheit, das im Herzen des Ingenieurs Edward Murphy formuliert wurde, lautet:

"Alles, was schief gehen kann, wird schief gehen."

Es ist etwas tiefer als die triviale Aussage, dass alle Ergebnisse, auch die unwahrscheinlichsten, in der gesamten Stichprobe beobachtet werden.

Angenommen, um einige Arbeiten auszuführen, müssen eine Reihe von Aktionen ausgeführt werden, und für jede von ihnen besteht eine geringe Ausfallwahrscheinlichkeit. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass alles reibungslos verläuft? Es ist ganz einfach: Sie müssen die Erfolgswahrscheinlichkeit für alle Schritte multiplizieren. Und dann kommt das Gesetz der Wassermelonenschale: Je größer die Anzahl der Schritte, desto wichtiger ist die Rolle der Grenzen, in unserem Fall Notsituationen. Ein Dutzend Schritte reichen aus, damit die Fehlerwahrscheinlichkeit von 5% bei jedem von ihnen die Ausfallwahrscheinlichkeit des Ganzen auf 50% erhöht! Gleiches gilt für komplexe Systeme mit vielen Teilen, von denen jedes ausfallen kann. Im einfachsten Fall wird die Ausfallwahrscheinlichkeit des Systems aus der Ausfallwahrscheinlichkeit jedes Teils nach dem gleichen Gesetz der Wassermelonenschale berechnet.

Unsere Argumentation ist äußerst einfach, und Murphys Gesetz ist eher emotional als objektiv und scheint eine Binsenweisheit zu sein. Aus dieser Beobachtung heraus begann jedoch in den vierziger und fünfziger Jahren des zwanzigsten Jahrhunderts eine neue große Wissenschaft: die Theorie der Zuverlässigkeit. Sie fügte Zeit, die Verknüpfung von Systemelementen, der Wirtschaft sowie den menschlichen Faktor hinzu und fand Anwendung außerhalb der Ingenieurwissenschaften: in der Wirtschaft, der Steuerungstheorie und schließlich in der Programmierung.

Wir werden auf dieses Thema zurückkommen, wenn wir das Gesetz des letzten Tages studieren, das den Drucker am Tag des Projektabschlusses zum Müll zwingt. Murphys Gesetz, altehrwürdig - eine wirklich schreckliche Kraft! In der Zwischenzeit zurück zum Thema Einzigartigkeit und Normalität.

Glück bedeutet, Freunde mit der gleichen Diagnose wie Sie zu finden.

Wir sind alle verschieden, das ist verständlich, aber ist es möglich, die Frage der Einhaltung einer Norm überhaupt zu stellen. Versuchen wir zu bewerten und zu vergleichen? Sie fragen, was ist daran falsch? Wir vergleichen immer jemanden mit jemandem, meistens uns selbst mit anderen, aber manchmal erlauben wir, jemand anderen zu bewerten. Aus mathematischer Sicht ist jedoch nicht alles so einfach.

Vergleichen heißt, das Ordnungsverhältnis bestimmen. Das heißt, um zu bezeichnen, dass ein Element einer bestimmten Menge in gewissem Sinne einem anderen vorausgeht. Das haben wir schon in der Schule gelernt: 2 weniger als 20, ein Elefant ist schwächer als ein Wal, ein Vertrag ist teurer als Geld usw. Aber hier sind einige Fragen. Was kommt vor Montag oder Dienstag? Was ist mit Sonntag oder Montag? Und welcher Sonntag ist das vor Montag oder der nach Samstag? Und welche Zahl ist größer: 2 + 3i oder 3 + 2i? Wir können die Farben des Regenbogens der Reihe nach benennen und sogar alle Zwischenfarben mit der reellen Zahl - der Lichtfrequenz - verknüpfen. Neben diesen Farben gibt es jedoch viele nicht-spektrale Farben. Sie bilden ein Farbrad, das Typografen und Designern vertraut ist. Können alle mit dem Auge sichtbaren Farben in der richtigen Reihenfolge angeordnet werden? Diese Beispiele zeigen, dass es Schwierigkeiten mit der Ordnungsbeziehung gibt. Beispielsweise funktioniert die Transitivität an vielen Wochentagen nicht (weil $$ sollte $$ aber für $$ sollte $$ folgt dem nicht $$ folgt immer $$ ) Der Versuch, das Konzept von mehr / weniger im Bereich komplexer Zahlen einzuführen, stimmt nicht mit der Arithmetik dieser Zahlen überein, und die Farben weisen beide Mängel auf.

Und wie kann man Menschen, Bücher, Geschirr, Programmiersprachen und andere Objekte vergleichen, die viele Parameter haben, sogar bedingt formalisiert? Im Prinzip ist es möglich, aber nur wenn man sich zuerst auf Definitionen und Metriken einigt, sonst wird es eine endlose, stürmische und bedeutungslose Debatte sein. Leider entsteht eine hitzige Debatte meistens bereits in der Phase der Auswahl von Metriken, da sie selbst eine bestimmte Menge bilden, auf der auch das Ordnungsverhältnis bestimmt werden muss.

Es ist jedoch möglich, eine völlig aussagekräftige und eindeutige Argumentationsmöglichkeit für die Vergleichbarkeit mehrdimensionaler Objekte, beispielsweise von Menschen, anzubieten. In einem mehrdimensionalen Parameterraum kann jedes Objekt durch einen Vektor - eine Reihe von Zahlen - die Werte der Kriterien dargestellt werden, die es charakterisieren. Betrachtet man ein Ensemble von Vektoren (zum Beispiel die menschliche Gesellschaft), so wird sich herausstellen, dass einige von ihnen gemeinsam gerichtet sind oder sich zumindest in Richtungen schließen, jetzt können sie bereits in ihrer Länge verglichen werden. Gleichzeitig sind einige Vektoren orthogonal (im geometrischen Sinne - senkrecht, im weiteren Sinne - unabhängig), und die ihnen entsprechenden Personen sind einfach nicht nachvollziehbar: Sie erscheinen in konjugierten Räumen in einer Reihe von Parametern, wie die berüchtigten Physiker und Texter. Es macht keinen Sinn zu behaupten, dass ein guter Dichter in irgendeiner Weise besser oder schlechter ist als ein talentierter Ingenieur oder ein naturbegabter Athlet. Das einzige, was beurteilt werden kann, ist die Länge des Vektors - der Grad der Begabung, die Entfernung vom Durchschnitt.

In diesem Zusammenhang kann sich eine merkwürdige Frage stellen: Welcher Anteil von Zufallsvektoren im Raum einer bestimmten Dimension wird codirektional sein und welcher Teil wird orthogonal sein? Wie viel können Sie Gleichgesinnte finden oder zumindest diejenigen, mit denen Sie sich vergleichen können?

In der zweidimensionalen Welt entspricht jeder Vektor einem eindimensionalen Raum aus kollinearem (codirektionalem) und eindimensionalem Raum aus orthogonalen Vektoren. Wenn wir die "fast" gleichgerichteten und "fast" orthogonalen Vektoren betrachten, dann bilden sie Sektoren desselben Bereichs mit der gleichen Wahl der zulässigen Abweichung. Das heißt, ähnliche und unterschiedliche Objekte sind, wenn zwei Kriterien berücksichtigt werden, gleich groß.


Fast kollineare und fast orthogonale Vektoren im zweidimensionalen und dreidimensionalen Raum.

In der dreidimensionalen Welt wird sich das Bild ändern. Co-gerichtete Vektoren bilden immer noch einen eindimensionalen Raum, während orthogonale Vektoren bereits die Ebene füllen - den zweidimensionalen Raum. Festlegen der Länge der Vektoren $$ und Ermöglichen einer leichten Abweichung von den idealen Richtungen um einen Winkel $$ kann die Anzahl der nahezu gleichgerichteten Vektoren mit der Fläche der kreisförmigen Bereiche um die Pole verglichen werden $$ und die Anzahl der fast orthogonalen Vektoren - mit der Fläche des Streifens um den Äquator: $$ . Ihre Haltung $$ bei gleichzeitiger Reduzierung der Abweichung $$ unbegrenzt wachsen.

In der vierdimensionalen Welt bilden orthogonale Vektoren bereits einen dreidimensionalen Raum, während die codirektionalen Vektoren noch im eindimensionalen Raum liegen und der Unterschied in ihrer Anzahl bereits proportional zum Quadrat der Abweichung vom Ideal wächst. In diesem Stadium ist es jedoch besser, sich der Wahrscheinlichkeitstheorie zuzuwenden und herauszufinden, wie hoch die Chancen sind, orthogonale oder codirektionale Vektoren zu erhalten, wobei zwei Vektoren aus dem Raum in zufälliger Dimension entnommen werden $$ ? Die Verteilung der Winkel zwischen Zufallsvektoren wird uns darüber berichten. Glücklicherweise kann die Diskussion der Bereiche mehrdimensionaler Sphären analytisch berechnet und in der endgültigen Form dargestellt werden:

$$

Hier $$ Ist eine Gammafunktion, eine Verallgemeinerung einer Fakultät auf reelle (und sogar komplexe) Zahlen.

Winkelverteilungen von Zufallsvektoren für Räume unterschiedlicher Dimensionen.

Nun ist klar, dass für den zweidimensionalen Raum die Winkel gleichmäßig verteilt sind, für den dreidimensionalen Raum - proportional zur Sinusfunktion, und mit zunehmender Dimension tendiert die Verteilung zur Normalisierung mit einer stetig abnehmenden Streuung. Für alle Dimensionen über zwei beträgt der Verteilungsmodus 90 Grad und der Anteil der zueinander orthogonalen Vektoren nimmt mit zunehmender Anzahl von Parametern zu. Die wichtigste Beobachtung ist, dass Co-Richtungsvektoren (mit einem Winkel von etwa 0 oder 180 Grad praktisch nicht bei einer ausreichend hohen Raumdimension verbleiben). Betrachten wir mehr oder weniger ähnliche (Co-Richtungsvektoren, vergleichbar) mit einem Winkel von weniger als 30 Grad (dies ist ein sehr kleiner Winkel: $$ ) Wenn dann zwei Kriterien verglichen werden, die einem ausgewählten Vektor ähnlich sind, stellt sich heraus, dass nur ein Drittel aller Zufallsvektoren vorhanden ist. Wenn Sie drei Kriterien verwenden, können Sie nur mit einem bestimmten Vektor vergleichen $$ das ganze Set für vier Kriterien - schon $$ und jede nachfolgende Addition der Dimension reduziert diesen Anteil um die Hälfte. Wenn wir strenger sind und uns auf einen kleineren Winkel beschränken, nimmt der Anteil der Vektoren, die als ähnlich angesehen werden, noch schneller ab.

So erhalten wir die Vektorformulierung des Gesetzes der Wassermelonenschale:

In hochdimensionalen Räumen sind fast alle Vektoren orthogonal zueinander.

oder gleichwertig: der Geschmack und die Farbe ohne Partner.

Vergleichen Sie mit Bedacht, suchen Sie nicht nach Normalität im Leben und haben Sie keine Angst vor Anomalien. Die Mathematik selbst sagt uns, dass wir in einer komplexen Welt von Menschen nur über den Grad der Ähnlichkeit sprechen können, nicht aber über Vergleiche. Es gibt also keinen Grund, sich auf endlose Streitigkeiten einzulassen, auf der Suche nach der Wahrheit. Stattdessen lohnt es sich, zuzuhören und zu versuchen, eine andere Meinung zu hören, einen Blick aus einem anderen, konjugierten Raum zu sehen und so Ihre Wahrnehmung der Welt zu bereichern.

Die Weisen haben Recht: Wir sind alle einzigartig und in unserer Einzigartigkeit genau gleich.

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Ich lade Sie, die ersten Leser dieses Buches, zu Fragen, Ergänzungen und Kommentaren ein, die es ohne Zweifel genauer, reicher und interessanter machen werden.