Datenaustausch und Differentialgleichungen

In einem der Projekte, an denen ich gearbeitet habe, wurde ein Datenaustauschmechanismus zwischen entfernten Komponenten des Systems implementiert, der gemäß dem folgenden Szenario funktioniert: Die Quellkomponente A bereitet ihrerseits Daten für die Übertragung vor; Komponentenempfänger B öffnet regelmäßig eine Kommunikationssitzung und nimmt alle Daten auf, die A zum Zeitpunkt der Verbindung gesammelt hat. Daten, die bereits während einer Kommunikationssitzung eintreffen, werden bis zur nächsten Verbindung verzögert.

Irgendwann wurde mir klar, dass die Datenübertragung in einem solchen Schema unter Verwendung einer gewöhnlichen Differentialgleichung beschrieben wird. Beschreibung des Modells und der Schlussfolgerungen, die mit seiner Hilfe unter dem Schnitt erhalten wurden.

Wir bezeichnen $$$x (t)$- die Datenmenge in einigen willkürlichen Einheiten, die sich zum Zeitpunkt des Austauschs auf der Seite der Komponente A angesammelt haben $$$t$. Lassen Sie die Pause zwischen dem Ende der Austauschsitzung und dem Beginn der nächsten gleich $$$a_0> 0$Zeiteinheiten, und die Übertragung einer Dateneinheit erfordert $$$a_1> 0$Zeiteinheiten. Dann auf die Überweisung $$$x (t)$Dateneinheiten erforderlich $$$a_0 + a_1x (t)$Zeiteinheiten. Datenrate ist

$$

$$\ frac {x (t)} {a_0 + a_1x (t)}. \ quad (1)$$

Wenn die Datenspeicherrate auf Seite A angegeben ist $$$f (t)$dann $$$x (t)$ist eine Lösung für die Differentialgleichung:

$$

$$\ frac {dx} {dt} = - \ frac {x} {a_0 + a_1x} + f (t). \ quad (2)$$

Da ein unbegrenztes Wachstum des Volumens noch nicht gesendeter Daten eine äußerst unerwünschte Situation ist, wird es zu einer wichtigen Aufgabe, Bedingungen für die Begrenztheit von Lösungen für diese Gleichung zu erhalten.

Der Einfachheit halber betrachten wir die Funktion $$$f (t)$kontinuierlich. Lass

$$

$$f (t) = \ phi_0 + \ phi (t),$$

wo

$$

$$\ left | \ int_0 ^ t \ phi (s) ds \ right | \ leq K _ {\ phi} <+ \ infty$$

für alle $$$t \ geq 0$und $$$\ phi_0> 0$- konstant, spielt die Rolle des Durchschnittswertes.

Schauen wir uns einige Beispiele an. Lass $$$f (t)$periodisch und sein Zeitplan hat die Form:


In diesem Fall $$$\ phi_0 = 1/3$, $$$\ phi (t) = f (t) - \ phi_0$.
Durch numerische Integration von Gleichung (1) für mehrere Parameterwerte $$$a_0, a_1$und Anfangswerte $$$x (0)$erhalten wir folgende Entscheidungsgraphen:


Die Beispiele zeigen: wann $$$1 / a_1> \ phi_0$Lösungen sind auch für verschiedene Werte begrenzt $$$x (0)$Das System tendiert zu einem stabilen Zustand. Weniger kürzere Pausen zwischen den Sitzungen $$$a_0$desto schneller ist diese Konvergenz. Bei $$$1 / a_1 <\ phi_0$Eine solche Konvergenz wird nicht beobachtet und die Lösungen wachsen mit der Zeit. Die Verkürzung der Pausen verlangsamt die Wachstumsrate, aber die Tendenz zu einer unbegrenzten Zunahme $$$x (t)$noch gespeichert.

Im allgemeinen Fall kann gezeigt werden, dass wenn $$$1 / a_1> \ phi_0$dann sind die Lösungen von Gleichung (1) begrenzt, und wenn $$$1 / a_1 <\ phi_0$- Es werden unbegrenzte Lösungen erhalten. Das heißt, die Begrenztheit von Entscheidungen wird nur durch das Verhältnis der Raten der Datenakkumulation und -extraktion bestimmt. Dauer der Pausen zwischen den Austauschsitzungen $$$a_0$Der einzige Parameter, der leicht gesteuert werden kann, hat keinen wesentlichen Einfluss auf das Verhalten des Systems. Obwohl, wie aus Beziehung (1) und den Beispielen ersichtlich, mit ihrer Zunahme der Wechselkurs abnimmt.

Die Analyse des Modells ermöglicht es uns daher, die folgenden Schlussfolgerungen zu ziehen. Wenn der Wechselkurs nicht ausreicht und auf der Quellseite die zu sendende Datenmenge ständig wächst, ist es nicht sinnvoll, die Situation zu korrigieren, indem die Pausen zwischen den Sitzungen verringert werden. Hier kann nur eine Steigerung der Systemleistung helfen.

Wenn der Austauschdienst jedoch Computer zum Nachteil anderer Aufgaben ständig lädt, besteht die richtige Entscheidung darin, die Pausendauer in angemessenen Grenzen zu verlängern: Dies wirkt sich nur auf die Relevanz der Daten aus, ohne dass die Gefahr besteht, dass die Quelle mit nicht gesendeten Daten überfüllt wird.

Detaillierte Berechnungen für die Bedingungen begrenzter Entscheidungen und einige andere Probleme im Zusammenhang mit dem betrachteten Modell werden in den Materialien des nach E.V. benannten Schulseminars „Mathematische Modellierung, numerische Methoden und Programmkomplexe“ veröffentlicht. Voskresensky. Sie können den Artikel hier anzeigen und herunterladen.