Magische Konstante

Es gibt Quadrate, die Magie genannt werden. Nun, wahrscheinlich weiß jeder, dass die Summe der Zahlen in solchen Quadraten horizontal, vertikal und der Hauptdiagonalen gleich ist, dh gleich der gleichen Zahl wird diese Zahlensumme als magische Konstante bezeichnet (im Folgenden M _n , wobei n die Größe des Quadrats ist; n> 2). Als ich in der Schule war, erinnerte ich mich an die Formel zur Berechnung dieser Konstante: M _n = n * (n ² + 1) / 2, mir war nicht klar, woher es kam ... wir werden versuchen, es hier abzuleiten, vielleicht hat es bereits jemand abgeleitet, vielleicht das gleiche Vielleicht auf andere Weise spielt es keine Rolle, nur zu schreiben.

Ich habe noch einmal Zahlen auf Quadrate eingegeben, als ich so etwas bemerkt habe. Wenn Sie Zahlen von 1 bis n ² in Spalten von links nach rechts eingeben, erhalten Sie immer die magische Konstante, wenn Sie Zahlen auf einer Hauptdiagonale hinzufügen. Hier sehen Sie:

M ₃ :
1 4 7
2 5 8
3 6 9

M ₄ :
1 5 9 13
2 6 10 14
3 7 11 15
4 8 12 16

Nach der Formel:

M ₃ = n * (n ² + 1) / 2 = 3 * (3 * 3 + 1) / 2 = 30/2 = 15
M ₄ = n * (n ² + 1) / 2 = 4 * (4 * 4 + 1) / 2 = 68/2 = 34

Diagonal (oben fett dargestellt):

M ₃ = 1 + 5 + 9 = 15
M ₄ = 1 + 6 + 11 + 16 = 34

Im Gegensatz zur Formel können Diagonalen eine Antwort geben, was passiert. Betrachten Sie die Zahlen auf den Diagonalen:

M ₃ = 1 + 5 + 9
M ₄ = 1 + 6 + 11 + 16

Wir schreiben es anders um:

M ₃ = 1 + (3 + 2) + (3 * 2 + 3)
M ₄ = 1 + (4 + 2) + (4 · 2 + 3) + (4 · 3 + 4)

Hast du es bemerkt? Jetzt in allgemeiner Form von n:

M _n = 1 + (n + 2) + (n * 2 + 3) + (n * 3 + 4) + (n * 4 + 5) + ... + (n * (n-1) + n)

Gruppiere es neu (fett)
M _n = 1 + (n + 2 ) + (n * 2 + 3 ) + (n * 3 + 4 ) + (n * 4 + 5 ) + ... + (n * (n-1) + n )

und dies (fett hervorgehoben)
M _n = 1 + ( n + 2) + ( n * 2 + 3) + ( n * 3 + 4) + ( n * 4 + 5) + ... + ( n * (n-1) + n)

und bekommen:

M _n = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n) + (n + n * 2 + n * 3 + n * 4 + ... + n * (n-1))

n aus der Klammer setzen:

M _n = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n) + n * (1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n-1)) [1]

Jetzt führen wir eine neue Notation ein,

S _n = 1 + 2 + 3 + ... + n [2]
dann
S _n-1 = 1 + 2 + 3 + ... + (n-1) = S _n - n [3]

Jetzt schreiben wir die Formel [1] unter Berücksichtigung der Notation [2] und [3] neu und erhalten:

M _n = S _n + n * (S _n - n) [4]

oder so:

M _n = S _n * (n + 1) - n ²

[5]

S _n in diesem Sinne -



offensichtlich berechnet durch die Formel S _n = n ^2/2 + n / 2 = n * (n + 1) / 2,
Ersatz in [5]:

M _n = S _n * (n + 1) - n ² = n * (n + 1) * (n + 1) / 2 - n ² = n * (n ² + 2 * n + 1 - 2 * n) / 2 = n * (n ² + 1) / 2

M _n = n * (n ² + 1) / 2

Chtd