In Erinnerung an meinen Lehrer, den ersten Dekan der Fakultät für Physik und Mathematik des Polytechnischen Instituts Novocherkassk, den Leiter der Abteilung für Theoretische Mechanik, Alexander Nikolayevich Kabelkov

Einführung

August, der Sommer neigt sich dem Ende zu. Die Leute eilten wütend zu den Meeren, und ja, es ist nicht überraschend - die Jahreszeit selbst. Und auf Habr blüht und riecht die Pseudowissenschaft nach heftiger Farbe . Wenn wir über das Thema dieser Ausgabe von "Modellieren ..." sprechen, werden wir darin Geschäft mit Vergnügen verbinden - wir werden den versprochenen Zyklus fortsetzen und ein wenig mit dieser Pseudowissenschaft für die neugierigen Köpfe der modernen Jugend kämpfen.


Aber die Frage ist nicht im Leerlauf gültig - seit Schuljahren glaubten wir, dass unser nächster Satellit im Weltraum - der Mond sich mit einem Zeitraum von 29,5 Tagen um die Erde bewegt, insbesondere ohne auf verwandte Details einzugehen. Tatsächlich ist unser Nachbar eine Art und bis zu einem gewissen Grad einzigartiges astronomisches Objekt, dessen Bewegung um die Erde nicht so einfach ist, wie es einige meiner Kollegen aus dem nächsten Ausland gerne hätten.

Wenn wir die Polemik beiseite lassen, werden wir im Rahmen unserer Kompetenz von verschiedenen Seiten versuchen, diese bedingungslos schöne, interessante und sehr aufschlussreiche Aufgabe zu betrachten.

1. Das Gesetz der Schwerkraft und welche Schlussfolgerungen wir daraus ziehen können

Das in der zweiten Hälfte des 17. Jahrhunderts von Sir Isaac Newton entdeckte Gesetz der Schwerkraft legt nahe, dass der Mond von der Erde (und die Erde vom Mond!) Mit einer Kraft angezogen wird, die entlang der Linie gerichtet ist, die die Zentren der betrachteten Himmelskörper verbindet und gleich groß ist

$$

$$F_ {1,2} = G \, \ frac {m_1 \, m_2} {r_ {1,2} ^ 2}$$

wobei m ₁ , m ₂ die Massen des Mondes bzw. der Erde sind; G = 6,67e-11 m ³ / (kg * s ² ) - Gravitationskonstante; r _1,2 ist der Abstand zwischen den Zentren des Mondes und der Erde. Wenn wir nur diese Kraft berücksichtigen, werden wir, nachdem wir das Problem der Bewegung des Mondes als Satellit der Erde gelöst und gelernt haben, die Position des Mondes am Himmel vor dem Hintergrund der Sterne zu berechnen, durch direkte Messungen der Äquatorialkoordinaten des Mondes bald davon überzeugt sein, dass in unserem Wintergarten nicht alles so glatt ist wie Ich möchte. Und hier geht es nicht um das Gesetz der universellen Gravitation (und in den frühen Stadien der Entwicklung der Himmelsmechanik wurden solche Gedanken ziemlich oft zum Ausdruck gebracht), sondern um die unerklärliche Empörung über die Bewegung des Mondes von anderen Körpern. Welche? Wir schauen in den Himmel und unser Blick ruht sofort auf einer kräftigen Masse von 1,99 bis 30 Kilogramm Plasmakugel direkt unter unserer Nase - der Sonne. Wird der Mond von der Sonne angezogen? Genau wie bei einer Kraft, deren absoluter Wert gleich ist

$$

$$F_ {1,3} = G \, \ frac {m_1 \, m_3} {r_ {1,3} ^ 2}$$

wobei m ₃ die Masse der Sonne ist; r _1.3 ist die Entfernung vom Mond zur Sonne. Vergleichen Sie diese Leistung mit der vorherigen.

$$

$$\ frac {F_ {1,3}} {F_ {1,2}} = \ frac {G \, \ frac {m_1 \, m_3} {r_ {1,3} ^ 2}} {G \, \ frac {m_1 \, m_2} {r_ {1,2} ^ 2}} = \ frac {m_3} {m_2} \, \ left (\ frac {r_ {1,2}} {r_ {1,3}} \ rechts) ^ 2$$

Nehmen wir die Position von Körpern ein, in denen die Anziehungskraft des Mondes auf die Sonne minimal ist: Alle drei Körper befinden sich auf einer geraden Linie und die Erde befindet sich zwischen Mond und Sonne. In diesem Fall hat unsere Formel die Form:

$$

$$\ frac {F_ {1,3}} {F_ {1,2}} = \ frac {m_3} {m_2} \, \ left (\ frac {\ rho} {a + \ rho} \ right) ^ 2$$

wo $$$\ rho = 3,844 \ cdot 10 ^ {8}$ , m - die durchschnittliche Entfernung von der Erde zum Mond; $$$a = 1.496 \ cdot10 ^ {11}$ , m - die durchschnittliche Entfernung von der Erde zur Sonne. Wir setzen reale Parameter in diese Formel ein

$$

$$\ frac {F_ {1,3}} {F_ {1,2}} = \ frac {1,99 \ cdot 10 ^ {30}} {5,98 \ cdot10 ^ {24}} \, \ left (\ frac {3,844 \ cdot10 ^ {8}} {1.496 \ cdot10 ^ {11} + 3.844 \ cdot10 ^ {8}} \ right) ^ 2 = $ 2.1$$

Das ist die Nummer! Es stellt sich heraus, dass der Mond von einer Kraft angezogen wird, die mehr als doppelt so groß ist wie die Anziehungskraft auf die Erde.

Eine solche Störung kann nicht länger ignoriert werden und wird definitiv die endgültige Flugbahn des Mondes beeinflussen. Gehen wir weiter und berücksichtigen wir unter der Annahme, dass die Erdumlaufbahn kreisförmig mit dem Radius a ist. Wir finden den geometrischen Ort der Punkte um die Erde, an dem die Anziehungskraft eines Objekts auf die Erde gleich der Kraft seiner Anziehungskraft auf die Sonne ist. Es wird eine Kugel mit einem Radius sein

$$

$$R = \ frac {a \, \ sqrt {\ gamma}} {1 - \ gamma}$$

verschoben entlang der Linie, die die Erde und die Sonne verbindet, um die Seite, die der Richtung zur Sonne um eine Strecke entgegengesetzt ist

$$

$$l = R \, \ sqrt {\ gamma}$$

wo $$$\ gamma = m_2 / m_3$ - das Verhältnis der Masse der Erde zur Masse der Sonne. Durch Einsetzen der numerischen Werte der Parameter erhalten wir die tatsächlichen Abmessungen dieser Region: R = 259300 Kilometer und l = 450 Kilometer. Diese Kugel wird die Schwerkraftkugel der Erde relativ zur Sonne genannt.

Die bekannte Umlaufbahn des Mondes liegt außerhalb dieser Region. Das heißt, an jedem Punkt der Flugbahn erfährt der Mond von der Seite der Sonne eine signifikant größere Anziehungskraft als von der Seite der Erde.

2. Satellit oder Planet? Gravitationsumfang

Diese Informationen lassen häufig die Debatte aufkommen, dass der Mond kein Satellit der Erde ist, sondern ein unabhängiger Planet des Sonnensystems, dessen Umlaufbahn durch die Anziehung einer nahe gelegenen Erde gestört wird.

Lassen Sie uns die von der Sonne in die Flugbahn des Mondes relativ zur Erde eingeführte Störung sowie die von der Erde in die Flugbahn des Mondes in Bezug auf die Sonne eingebrachte Störung anhand des von P. Laplace vorgeschlagenen Kriteriums bewerten. Betrachten Sie drei Körper: die Sonne (S), die Erde (E) und den Mond (M).
Wir nehmen an, dass die Umlaufbahnen der Erde relativ zur Sonne und der Mond relativ zur Erde kreisförmig sind.


Betrachten Sie die Bewegung des Mondes in einem geozentrischen Trägheitsreferenzrahmen. Die absolute Beschleunigung des Mondes im heliozentrischen Bezugssystem wird durch die auf ihn einwirkenden Schwerkraft bestimmt und ist gleich:

$$

$$\ vec a_1 = \ vec a_1 ^ {(3)} + \ vec a_1 ^ {(2)} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,3} + \ frac {1} { m_1} \, \ vec F_ {1,2}$$

Andererseits nach dem Coriolis-Theorem die absolute Beschleunigung des Mondes

$$

$$\ vec a_1 = \ vec a_2 + \ vec a_ {1,2}$$

wo $$$\ vec a_2$ - tragbare Beschleunigung gleich der Beschleunigung der Erde relativ zur Sonne; $$$\ vec a_ {1,2}$ - Mondbeschleunigung relativ zur Erde. Hier wird es keine Coriolis-Beschleunigung geben - das von uns gewählte Koordinatensystem bewegt sich progressiv. Von hier aus erhalten wir die Beschleunigung des Mondes relativ zur Erde

$$

$$\ vec a_ {1,2} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,3} + \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,2} - \ vec a_2$$

Ein Teil dieser Beschleunigung ist gleich $$$\ vec a_1 ^ {(2)} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,2}$ aufgrund der Anziehungskraft des Mondes auf die Erde und charakterisiert seine ungestörte geozentrische Bewegung. Der Rest von

$$

$$\ Delta \ vec a_ {1,3} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,3} - \ vec a_2$$

Mondbeschleunigung durch Sonnenstörung.

Wenn wir die Bewegung des Mondes in einem heliozentrischen Trägheitsreferenzsystem betrachten, dann ist alles viel einfacher, Beschleunigung $$$\ vec a_1 ^ {(3)} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,3}$ charakterisiert die ungestörte heliozentrische Bewegung des Mondes und die Beschleunigung $$$\ Delta \ vec a_ {1,2} = \ frac {1} {m_1} \, \ vec F_ {1,2}$ - Störung dieser Bewegung von der Seite der Erde.

Angesichts der Parameter der Umlaufbahnen der Erde und des Mondes, die in der gegenwärtigen Epoche existieren, ist die Ungleichung

$$

$$\ frac {| \ Delta \ vec a_ {1,3} |} {| \ vec a_ {1} ^ {(2)} |} <\ frac {| \ Delta \ vec a_ {1,2} |} {| \ vec a_ {1} ^ {(3)} |} \ quad \ quad (1)$$

Dies kann durch direkte Berechnung überprüft werden, aber ich werde auf die Quelle verweisen , um den Artikel nicht unnötig zu überladen.

Was bedeutet Ungleichung (1)? Ja, die Tatsache, dass relativ gesehen die Auswirkung der Störung des Mondes durch die Sonne (und sehr signifikant) geringer ist als die Auswirkung der Anziehung des Mondes zur Erde. Umgekehrt hat die Empörung der Erde über die geozentrische Flugbahn des Mondes einen entscheidenden Einfluss auf die Art seiner Bewegung. Der Einfluss der Erdgravitation ist in diesem Fall signifikanter, was bedeutet, dass der Mond von Rechts wegen zur Erde "gehört" und ihr Satellit ist.

Eine andere Sache ist interessant: Wenn Sie die Ungleichung (1) in eine Gleichung umwandeln, können Sie den geometrischen Ort der Punkte finden, an denen die Auswirkungen der Störung des Mondes (und jedes anderen Körpers) für die Erde und die Sonne gleich sind. Dies ist leider nicht so einfach wie im Fall der Schwerkraft. Berechnungen zeigen, dass diese Oberfläche durch eine Gleichung verrückter Ordnung beschrieben wird, aber nahe an einem Rotationsellipsoid liegt. Alles, was wir ohne unnötige Probleme tun können, ist, die Gesamtabmessungen dieser Oberfläche relativ zum Erdmittelpunkt zu bewerten. Gleichung numerisch lösen

$$

$$\ frac {| \ Delta \ vec a_ {1,3} |} {| \ vec a_ {1} ^ {(2)} |} = \ frac {| \ Delta \ vec a_ {1,2} |} {| \ vec a_ {1} ^ {(3)} |} \ quad \ quad (2)$$

relativ zum Abstand vom Erdmittelpunkt zur gewünschten Oberfläche an einer ausreichenden Anzahl von Punkten erhalten wir den Querschnitt der gewünschten Oberfläche durch die Ekliptikebene


Der Klarheit halber sind hier die geozentrische Umlaufbahn des Mondes und die Schwerkraftkugel der Erde gezeigt, die wir oben relativ zur Sonne gefunden haben. Aus der Figur ist ersichtlich, dass die Einflusssphäre oder die Sphäre der Gravitationswirkung der Erde relativ zur Sonne die Rotationsfläche relativ zur X-Achse ist, die entlang der geraden Linie zwischen Erde und Sonne (entlang der Sonnenfinsternisachse) abgeflacht ist. Die Umlaufbahn des Mondes befindet sich tief in dieser imaginären Oberfläche.

Für praktische Berechnungen wird diese Oberfläche bequem durch eine Kugel mit einem Mittelpunkt im Erdmittelpunkt und einem Radius von angenähert

$$

$$r = a \, \ left (\ frac {m} {M} \ right) ^ {\ frac {2} {5}} \ quad \ quad (3)$$

wobei m die Masse eines kleineren Himmelskörpers ist; M ist die Masse eines größeren Körpers, in dessen Gravitationsfeld sich ein kleinerer Körper bewegt; a ist der Abstand zwischen den Körperzentren. In unserem Fall

$$

$$r = a \, \ left (\ frac {m_2} {m_3} \ right) ^ {\ frac {2} {5}} = 1.496 \ cdot10 ^ {11} \, \ left (\ frac {5.98 \ cdot10 ^ {24}} {1.99 \ cdot10 ^ {30}} \ right) ^ {\ frac {2} {5}} = 925000, \, km$$

Diese unvollendete Million Kilometer ist die theoretische Grenze, über die sich die Macht der alten Frau der Erde nicht hinaus erstreckt - ihr Einfluss auf die Flugbahnen astronomischer Objekte ist so gering, dass er vernachlässigt werden kann. Dies bedeutet, dass das Starten des Mondes in einer kreisförmigen Umlaufbahn in einer Entfernung von 38,4 Millionen Kilometern von der Erde (wie es einige Linguisten tun) fehlschlagen wird, was physikalisch unmöglich ist.

Diese Kugel ist in der Abbildung zum Vergleich durch eine blaue gestrichelte Linie dargestellt. Bei bewertenden Berechnungen wird angenommen, dass ein Körper in dieser Kugel ausschließlich von der Seite der Erde aus Gravitation erfährt. Wenn sich der Körper außerhalb dieser Sphäre befindet, betrachten wir, dass sich der Körper im Gravitationsfeld der Sonne bewegt. In der praktischen Astronautik ist die Methode zur Konjugation von Kegelschnitten bekannt, die es ermöglicht, die Flugbahn eines Raumfahrzeugs unter Verwendung einer Lösung des Zweikörperproblems näherungsweise zu berechnen. Darüber hinaus ist der gesamte Raum, den der Apparat überwindet, in ähnliche Einflussbereiche unterteilt.

Zum Beispiel ist jetzt klar, dass das Raumschiff in den Aktionsbereich des Mondes relativ zur Erde fallen muss, um die theoretische Fähigkeit zu haben, Manöver zum Eintritt in die mondnahe Umlaufbahn durchzuführen. Sein Radius lässt sich leicht nach der Formel (3) berechnen und beträgt 66.000 Kilometer.

Somit kann der Mond zu Recht als Satellit der Erde betrachtet werden. Aufgrund des signifikanten Einflusses des Gravitationsfeldes der Sonne bewegt es sich jedoch nicht im zentralen Gravitationsfeld, was bedeutet, dass seine Flugbahn kein konischer Abschnitt ist.

3. Das Drei-Körper-Problem in der klassischen Formulierung

Wir werden also ein Modellproblem in einer allgemeinen Umgebung betrachten, das in der Himmelsmechanik als Dreikörperproblem bekannt ist. Betrachten wir drei Körper beliebiger Masse, die sich willkürlich im Raum befinden und sich ausschließlich unter dem Einfluss von Kräften gegenseitiger Anziehungskraft bewegen


Wir betrachten Körper als materielle Punkte. Die Position der Körper wird willkürlich gezählt, mit der das Trägheitsreferenzsystem Oxyz verbunden ist. Die Position jedes Körpers wird jeweils durch den Radiusvektor festgelegt $$$\ vec r_1$ , $$$\ vec r_2$ und $$$\ vec r_3$ . Die Anziehungskraft der Gravitation von der Seite zweier anderer Körper wirkt auf jeden Körper gemäß dem dritten Axiom der Punktdynamik (Newtons 3. Gesetz).

$$

$$\ vec F_ {i, j} = - \ vec F_ {j, i} \ quad \ quad (4)$$

Wir schreiben die Differentialgleichungen der Bewegung jedes Punktes in Vektorform

$$

$$\ begin {align} & m_1 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ vec F_ {1,2} + \ vec F_ {1,3} \\ & m_2 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = \ vec F_ {2,1} + \ vec F_ {2,3} \\ & m_3 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} {dt ^ 2} = \ vec F_ {3,1} + \ vec F_ {3,2} \ end {align}$$

oder unter Berücksichtigung von (4)

$$

$$\ begin {align} & m_1 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ vec F_ {1,2} + \ vec F_ {1,3} \\ & m_2 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = - \ vec F_ {1,2} + \ vec F_ {2,3} \\ & m_3 \, \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} { dt ^ 2} = - \ vec F_ {1,3} - \ vec F_ {2,3} \ end {align}$$

Nach dem Gesetz der universellen Gravitation sind die Wechselwirkungskräfte entlang der Vektoren gerichtet

$$

$$\ begin {align} & \ vec r_ {1,2} = \ vec r_2 - \ vec r_1 \\ & \ vec r_ {1,3} = \ vec r_3 - \ vec r_1 \\ & \ vec r_ {2 , 3} = \ vec r_3 - \ vec r_2 \\ \ end {align}$$

Entlang jedes dieser Vektoren geben wir einen entsprechenden Einheitsvektor aus

$$

$$\ vec e_ {i, j} = \ frac {1} {r_ {i, j}} \, \ vec r_ {i, j}$$

dann wird jede der Gravitationskräfte durch die Formel berechnet

$$

$$\ vec F_ {i, j} = G \, \ frac {m_i \, m_j} {r_ {i, j} ^ 2} \, \ vec e_ {i, j}$$

In Anbetracht dessen nimmt das System der Bewegungsgleichungen die Form an

$$

$$\ begin {align} & \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ frac {G \, m_2} {r_ {1,2} ^ 3} \, \ vec r_ {1,2 } + \ frac {G \, m_3} {r_ {1,3} ^ 3} \, \ vec r_ {1,3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = - \ frac {G \, m_1} {r_ {1,2} ^ 3} \, \ vec r_ {1,2} + \ frac {G \, m_3} {r_ {2,3} ^ 3} \, \ vec r_ {2,3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} {dt ^ 2} = - \ frac {G \, m_1} {r_ {1,3} ^ 3} \, \ vec r_ {1,3} - \ frac {G \, m_2} {r_ {2,3} ^ 3} \, \ vec r_ {2,3} \ end {align}$$

Wir führen die in der Himmelsmechanik akzeptierte Notation ein

$$

$$\ mu_i = G \, m_i$$

Ist der Gravitationsparameter des Anziehungszentrums. Dann nehmen die Bewegungsgleichungen die endgültige Vektorform an

$$

$$\ begin {align} & \ frac {d ^ 2 \ vec r_1} {dt ^ 2} = \ frac {\ mu_2} {r_ {1,2} ^ 3} \, \ vec r_ {1,2} + \ frac {\ mu_3} {r_ {1,3} ^ 3} \, \ vec r_ {1,3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_2} {dt ^ 2} = - \ frac {\ mu_1} {r_ {1,2} ^ 3} \, \ vec r_ {1,2} + \ frac {\ mu_3} {r_ {2,3} ^ 3} \, \ vec r_ {2,3} \ \ & \ frac {d ^ 2 \ vec r_3} {dt ^ 2} = - \ frac {\ mu_1} {r_ {1,3} ^ 3} \, \ vec r_ {1,3} - \ frac {\ mu_2} {r_ {2,3} ^ 3} \, \ vec r_ {2,3} \ end {align}$$

4. Rationierung von Gleichungen zu dimensionslosen Variablen

Eine ziemlich beliebte Technik in der mathematischen Modellierung ist die Reduktion von Differentialgleichungen und anderen Beziehungen, die den Prozess beschreiben, auf dimensionslose Phasenkoordinaten und dimensionslose Zeit. Andere Parameter werden ebenfalls normalisiert. Dies ermöglicht es uns, zwar unter Verwendung der numerischen Modellierung, aber in einer ziemlich allgemeinen Form eine ganze Klasse typischer Probleme zu betrachten. Ich lasse die Frage, wie gerechtfertigt dies in jedem zu lösenden Problem ist, aber ich stimme zu, dass dieser Ansatz in diesem Fall ziemlich fair ist.

Also führen wir einen abstrakten Himmelskörper mit einem Gravitationsparameter ein $$$\ mu$ , so dass die Rotationsperiode des Satelliten in einer elliptischen Umlaufbahn mit einer großen Halbachse $$$a$ um ihn herum ist gleich $$$T$ . Alle diese Größen sind aufgrund der Gesetze der Mechanik durch die Beziehung verbunden

$$

$$T = 2 \, \ pi \, \ left (\ frac {a ^ 3} {\ mu} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}$$

Wir führen das Ersetzen von Parametern ein. Für die Position der Punkte unseres Systems

$$

$$\ vec r_i = a \, \ vec \ xi_i$$

wo $$$\ vec \ xi_i$ - dimensionsloser Radiusvektor des i-ten Punktes;
für Gravitationsparameter von Körpern

$$

$$\ mu_i = \ varkappa_i \, \ mu$$

wo $$$\ varkappa_i$ - dimensionsloser Gravitationsparameter des i-ten Punktes;
für die Zeit

$$

$$t = T \, \ tau$$

wo $$$\ tau$ - dimensionslose Zeit.

Jetzt berechnen wir die Beschleunigungspunkte des Systems anhand dieser dimensionslosen Parameter neu. Wir wenden eine direkte zweifache Zeitdifferenzierung an. Für Geschwindigkeiten

$$

$$\ vec v_i = \ frac {d \ vec r_i} {dt} = a \, \ frac {d \ vec \ xi_i} {dt} = \ frac {a} {T} \, \ frac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau} = \ frac {1} {2 \, \ pi} \, \ sqrt {\ frac {\ mu} {a}} \, \ frac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau }.$$

Zur Beschleunigung

$$

$$\ vec a_i = \ frac {d \ vec v_i} {dt} = \ frac {1} {2 \, \ pi} \, \ sqrt {\ frac {\ mu} {a}} \, \ frac {1 } {dt} \ left (\ frac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau} \ right) = \ frac {1} {4 \, \ pi ^ 2} \, \ frac {\ mu} {a ^ 2} \, \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_i} {d \ tau ^ 2}$$

Wenn die erhaltenen Beziehungen in die Bewegungsgleichungen eingesetzt werden, kollabiert alles elegant zu schönen Gleichungen:

$$

$$\ begin {align} & \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_1} {d \ tau ^ 2} = 4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_2 \, \ frac {\ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1} {| \ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} + 4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_3 \, \ frac {\ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_1} {| \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_2} {d \ tau ^ 2} = -4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_1 \, \ frac {\ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1} {| \ vec \ xi_2 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} + 4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_3 \, \ frac {\ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2} {| \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2 | ^ 3} \ quad \ quad (5) \\ & \ frac {d ^ 2 \ vec \ xi_3} {d \ tau ^ 2} = -4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_1 \, \ frac {\ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_1} {| \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_1 | ^ 3} - 4 \, \ pi ^ 2 \, \ varkappa_2 \, \ frac {\ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2} {| \ vec \ xi_3 - \ vec \ xi_2 | ^ 3} \ end {align}$$

Dieses Gleichungssystem wird immer noch als nicht in analytische Funktionen integrierbar angesehen. Warum wird es in Betracht gezogen und nicht? Da die Erfolge der Funktionstheorie einer komplexen Variablen 1912 dazu führten, dass eine allgemeine Lösung für das Dreikörperproblem erschien, fand Karl Zundman einen Algorithmus zum Ermitteln der Koeffizienten für unendliche Reihen in Bezug auf einen komplexen Parameter, der theoretisch eine allgemeine Lösung für das Dreikörperproblem darstellt. Aber ... für die Anwendung der Sundman-Reihe in praktischen Berechnungen mit der dafür erforderlichen Genauigkeit ist es erforderlich, eine solche Anzahl von Mitgliedern dieser Reihe zu erhalten, dass diese Aufgabe die Fähigkeiten von Computern bis heute bei weitem übertrifft.

Daher ist die numerische Integration die einzige Möglichkeit, die Lösung von Gleichung (5) zu analysieren.

5. Berechnung der Anfangsbedingungen: Wir erhalten die Anfangsdaten

Wie ich bereits geschrieben habe , sollten Sie vor Beginn der numerischen Integration die Anfangsbedingungen für das zu lösende Problem berechnen. In dem betrachteten Problem wird die Suche nach den Anfangsbedingungen zu einem unabhängigen Teilproblem, da System (5) neun Skalargleichungen zweiter Ordnung liefert, die, wenn sie zur normalen Cauchy-Form übergehen, die Ordnung des Systems um den Faktor 2 erhöhen. Das heißt, wir müssen bis zu 18 Parameter berechnen - die Anfangspositionen und Komponenten der Anfangsgeschwindigkeit aller Punkte im System. Woher bekommen wir Daten über die Position der Himmelskörper, die uns interessieren? Wir leben in einer Welt, in der eine Person auf dem Mond wandelte - natürlich muss die Menschheit Informationen darüber haben, wie sich dieser Mond bewegt und wo er sich befindet.

Das heißt, Sie sagen, Sie, Alter, bieten uns an, dicke astronomische Bücher aus den Regalen zu nehmen, Staub von ihnen zu blasen ... Raten Sie nicht! Ich schlage vor, zur NASA zu gehen, wenn Sie tatsächlich auf dem Mond gelaufen sind, nämlich zum Jet Propulsion Laboratory in Pasadena, Kalifornien. Hier - JPL Horizonts Weboberfläche .

Nachdem wir einige Zeit mit dem Studium der Benutzeroberfläche verbracht haben, erhalten wir hier alle Daten, die wir benötigen. Wählen Sie ein Datum aus, zum Beispiel, ja, es ist uns egal, aber lassen Sie es den 27. Juli 2018 UT 20:21 sein. In diesem Moment wurde die vollständige Phase der Mondfinsternis beobachtet. Das Programm wird uns ein riesiges Fußtuch geben


Brrr, was ist das? Ohne Panik gibt es nichts zu befürchten für jemanden, der in der Schule gut Astronomie, Mechanik und Mathematik studiert hat. Das Wichtigste sind also die endgültig gesuchten Koordinaten und Geschwindigkeitskomponenten des Mondes.

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 1.537109094089627E-03 Y =-2.237488447258137E-03 Z = 5.112037386426180E-06 VX= 4.593816208618667E-04 VY= 3.187527302531735E-04 VZ=-5.183707711777675E-05 LT= 1.567825598846416E-05 RG= 2.714605874095336E-03 RR=-2.707898607099066E-06 $$EOE 

Ja, ja, ja, sie sind kartesisch! Wenn Sie das gesamte Fußtuch sorgfältig lesen, werden wir feststellen, dass der Ursprung dieses Koordinatensystems mit dem Erdmittelpunkt übereinstimmt. Die XY-Ebene liegt in der Ebene der Erdumlaufbahn (Ekliptikebene) für die Ära von J2000. Die X-Achse ist entlang der Schnittlinie der Äquatorialebene der Erde und der Ekliptik am Frühlingspunkt ausgerichtet. Die Z-Achse zeigt in Richtung des Nordpols der Erde senkrecht zur Ekliptikebene. Nun, die Y-Achse ergänzt all dieses Glück zu den rechten drei Vektoren. Standardmäßig Koordinateneinheiten: astronomische Einheiten (Smarties der NASA geben auch die Größe der autonomen Einheit in Kilometern an). Geschwindigkeitseinheiten: Astronomische Einheiten pro Tag, der Tag wird mit 86400 Sekunden angenommen. Volle Füllung!

Wir können ähnliche Informationen für die Erde erhalten.


Hier wird der Schwerpunkt (Sonnenschwerpunkt) des Sonnensystems als Ursprung gewählt. Daten, die für uns von Interesse sind

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 5.755663665315949E-01 Y =-8.298818915224488E-01 Z =-5.366994499016168E-05 VX= 1.388633512282171E-02 VY= 9.678934168415631E-03 VZ= 3.429889230737491E-07 LT= 5.832932117417083E-03 RG= 1.009940888883960E+00 RR=-3.947237246302148E-05 $$EOE 

Für den Mond benötigen wir die Koordinaten und die Geschwindigkeit relativ zum Schwerpunkt des Sonnensystems, wir können sie berechnen oder wir können die NASA bitten, uns solche Daten zu geben

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 5.771034756256845E-01 Y =-8.321193799697072E-01 Z =-4.855790760378579E-05 VX= 1.434571674368357E-02 VY= 9.997686898668805E-03 VZ=-5.149408819470315E-05 LT= 5.848610189172283E-03 RG= 1.012655462859054E+00 RR=-3.979984423450087E-05 $$EOE 

Wunderbar! Jetzt müssen Sie die empfangenen Daten leicht mit einer Datei verarbeiten.

6,38 Papageien und ein Papageienflügel

Zunächst werden wir die Skala bestimmen, da unsere Bewegungsgleichungen (5) in dimensionsloser Form geschrieben sind. Die von der NASA selbst bereitgestellten Daten zeigen, dass es sich lohnt, eine astronomische Einheit für die Koordinatenskala zu verwenden. Dementsprechend werden wir die Sonne als Standardkörper nehmen, auf den wir die Massen anderer Körper normalisieren, und die Periode der Erdumdrehung um die Sonne als Zeitskala.

Das alles ist natürlich sehr gut, aber wir haben die Anfangsbedingungen für die Sonne nicht festgelegt. "Warum?" Ein Linguist würde mich fragen. Und ich würde antworten, dass die Sonne keineswegs bewegungslos ist, sondern sich auch in ihrer Umlaufbahn um den Massenschwerpunkt des Sonnensystems dreht. Dies lässt sich anhand der NASA-Daten für die Sonne erkennen.

 $$SOE 2458327.347916670 = AD 2018-Jul-27 20:21:00.0003 TDB X = 6.520050993518213E+04 Y = 1.049687363172734E+06 Z =-1.304404963058507E+04 VX=-1.265326939350981E-02 VY= 5.853475278436883E-03 VZ= 3.136673455633667E-04 LT= 3.508397935601254E+00 RG= 1.051791240756026E+06 RR= 5.053500842402456E-03 $$EOE 

Wenn wir den RG-Parameter betrachten, sehen wir, dass sich die Sonne um den Schwerpunkt des Sonnensystems dreht, und am 27. Juli 2018 ist das Zentrum des Sterns eine Million Kilometer davon entfernt. Der Radius der Sonne als Referenz - 696 Tausend Kilometer. Das heißt, der Schwerpunkt des Sonnensystems liegt eine halbe Million Kilometer von der Oberfläche des Sterns entfernt. Warum? Ja, denn alle anderen Körper, die mit der Sonne interagieren, beschleunigen sie ebenfalls, hauptsächlich natürlich der schwere Jupiter. Dementsprechend hat die Sonne auch eine eigene Umlaufbahn.

Natürlich können wir diese Daten als Anfangsbedingungen auswählen, aber nein - wir lösen das Modell-Drei-Körper-Problem, und Jupiter und andere Zeichen sind nicht darin enthalten. Zum Nachteil des Realismus berechnen wir, wenn wir die Position und Geschwindigkeit der Erde und des Mondes kennen, die Anfangsbedingungen für die Sonne neu, so dass der Schwerpunkt des Sonnen-Erde-Mond-Systems am Ursprung liegt. Für den Schwerpunkt unseres mechanischen Systems gilt die Gleichung

$$

$$(m_1 + m_2 + m_3) \, \ vec r_C = m_1 \, \ vec r_1 + m_2 \, \ vec r_2 + m_3 \, \ vec r_3$$

Wir platzieren den Schwerpunkt am Ursprung, das heißt, wir fragen $$$\ vec r_C = 0$ dann

$$

$$m_1 \, \ vec r_1 + m_2 \, \ vec r_2 + m_3 \, \ vec r_3 = 0$$

woher

$$

$$\ begin {align} & m_3 \, \ vec r_3 = -m_1 \, \ vec r_1 - m_2 \, \ vec r_2 \\ & \ vec r_3 = - \ frac {m_1} {m_3} \ vec r_1 - \ frac {m_2} {m_3} \, \ vec r_2 \ end {align}$$

Kommen wir zu dimensionslosen Koordinaten und Parametern, indem Sie auswählen $$$\ mu = \ mu_3$

$$

$$\ vec \ xi_3 = - \ varkappa_1 \ vec \ xi_1 - \ varkappa_2 \ vec \ xi_2 \ quad \ quad (6)$$

Wenn wir (6) in Bezug auf die Zeit differenzieren und in die dimensionslose Zeit übergehen, erhalten wir auch die Beziehung für die Geschwindigkeiten

$$

$$\ vec u_3 = - \ varkappa_1 \, \ vec u_1 - \ varkappa_2 \, \ vec u_2$$

wo $$$\ vec u_i = \ cfrac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau}, \ forall i = \ overline {1,3}$

Jetzt schreiben wir ein Programm, das die Ausgangsbedingungen für unsere ausgewählten "Papageien" bildet. Worüber werden wir schreiben? Natürlich in Python! Wie Sie wissen, ist dies die beste Sprache für die mathematische Modellierung.

Wenn wir uns jedoch vom Sarkasmus lösen, werden wir zu diesem Zweck wirklich Python ausprobieren, und warum nicht? Ich werde auf jeden Fall einen Link zu allen Codes in meinem Github-Profil bereitstellen.


Programmauspuff

    mu[0] = 4901783000000.0 mu[1] = 386326400000000.0 mu[2] = 1.326663e+20    xi[0] = 3.6948215183509304e-08 xi[1] = 2.912016088486677e-06 xi[2] = 1.0   T = 31563683.35432583   , ..: [ 5.77103476e-01 -8.32119380e-01 -4.85579076e-05]   , ..: [ 5.75566367e-01 -8.29881892e-01 -5.36699450e-05]   , ..: [-1.69738146e-06 2.44737475e-06 1.58081871e-10]   , /: [24838.98933473 17310.56333294 -89.15979106] -//- : [ 5.24078311 3.65235907 -0.01881184]   , /: [2.40435899e+04 1.67586567e+04 5.93870516e-01] -//- : [5.07296163e+00 3.53591219e+00 1.25300854e-04]   , /: [-7.09330769e-02 -4.94410725e-02 1.56493465e-06] -//- : [-1.49661835e-05 -1.04315813e-05 3.30185861e-10] 

7. Integration von Bewegungsgleichungen und Analyse der Ergebnisse

Tatsächlich wird die Integration selbst auf ein mehr oder weniger standardmäßiges Verfahren zur Erstellung eines Gleichungssystems für SciPy reduziert: Umwandlung des ODE-Systems in die Cauchy-Form und Aufruf der entsprechenden Löserfunktionen. Um das System in die Cauchy-Form umzuwandeln, erinnern wir uns daran

$$

$$\ vec u_i = \ frac {d \ vec \ xi_i} {d \ tau}, \ forall i = \ overline {1,3} \ quad \ quad (7)$$

Dann wird der Zustandsvektor des Systems eingeführt

$$

$$\ vec y = \ left [\ vec \ xi_1, \ vec \ xi_2, \ vec \ xi_1, \ vec u_1, \ vec u_2, \ vec u_3 \ right] ^ T$$

Wir reduzieren (7) und (5) auf eine Vektorgleichung

$$

$$\ frac {d \ vec y} {d \ tau} = \ vec f (\ tau, \ vec y) \ quad \ quad (8)$$

Um (8) in die bestehenden Anfangsbedingungen zu integrieren, schreiben wir ein wenig, sehr wenig Code


Mal sehen, was wir haben. Die räumliche Flugbahn des Mondes für die ersten 29 Tage ab unserem gewählten Ausgangspunkt


sowie seine Projektion in die Ebene der Ekliptik.


„Hey Onkel, was gibst du uns ?! Das ist der Kreis! "

Erstens ist es kein Kreis - eine Verschiebung der Projektion der Flugbahn vom Ursprung nach rechts und unten ist spürbar. Zweitens - nichts bemerken? Nein, wirklich?


Ich verspreche, eine Begründung für die Tatsache vorzubereiten (basierend auf der Analyse von Kontofehlern und NASA-Daten), dass der erhaltene Pfadversatz keine Folge von Integrationsfehlern ist. Bisher schlage ich dem Leser vor, mein Wort dafür zu nehmen - diese Verschiebung ist eine Folge der solaren Störung der Mondbahn. Drehen Sie eine weitere Runde



Um wie viel Uhr! Beachten Sie außerdem die Tatsache, dass sich die Sonne basierend auf den anfänglichen Daten des Problems genau auf der Seite befindet, auf der sich die Flugbahn des Mondes bei jeder Umdrehung verschiebt. Ja, diese freche Sonne stiehlt uns unseren geliebten Begleiter! Oh, es ist die Sonne!

Wir können daraus schließen, dass die Sonnengravitation die Umlaufbahn des Mondes erheblich beeinflusst - die alte Frau geht nicht zweimal auf die gleiche Weise über den Himmel. Ein Bild für ein halbes Jahr Bewegung lässt sich (zumindest qualitativ) davon überzeugen (das Bild ist anklickbar)



Interessant? Natürlich würdest du. Astronomie ist im Allgemeinen eine amüsante Wissenschaft.

Nachtrag

An der Universität, an der ich fast sieben Jahre lang studiert und gearbeitet habe - dem Novocherkassk Polytechnic - fand jährlich die zonale Olympiade der Studenten der theoretischen Mechanik der nordkaukasischen Universitäten statt. Dreimal haben wir die Allrussische Olympiade genommen. Bei der Eröffnung sagte unser Hauptolympiade, Professor A. Kondratenko, immer: "Der Akademiker Krylov nannte die Mechanik die Poesie der exakten Wissenschaften."

Ich liebe Mechaniker. All das Gute, das ich in meinem Leben und meiner Karriere erreicht habe, ist dank dieser Wissenschaft und meiner wunderbaren Lehrer geschehen. Ich respektiere die Mechanik.

Daher werde ich niemals zulassen, dass sich jemand über diese Wissenschaft lustig macht und sie offen für ihre eigenen Zwecke nutzt, selbst wenn er mindestens dreimal Doktor der Wissenschaften und viermal Sprachwissenschaftler ist und mindestens eine Million Studienprogramme entwickelt hat. Ich bin der festen Überzeugung, dass das Schreiben von Artikeln über eine beliebte öffentliche Ressource ein sorgfältiges Korrekturlesen und ein normales Design gewährleisten sollte (LaTeX-Formeln sind keine Laune der Entwickler der Ressource!) Und das Fehlen von Fehlern, die zu Ergebnissen führen, die gegen die Naturgesetze verstoßen. Letzteres ist in der Regel ein Muss.

Ich sage meinen Schülern oft: "Der Computer befreit Ihre Hände, aber das bedeutet nicht, dass Sie auch das Gehirn ausschalten müssen."

Um die Mechanik zu schätzen und zu respektieren, fordere ich Sie auf, meine lieben Leser. Ich beantworte gerne alle Fragen und poste, wie versprochen, den Quellcode eines Beispiels zur Lösung des Drei-Körper-Problems in Python. Ich poste Github in meinem Profil .

Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!