Das Prinzip der geringsten Aktion. Teil 1

Als ich zum ersten Mal von diesem Prinzip erfuhr, hatte ich das Gefühl einer Art Mystik. Es scheint, dass die Natur auf mysteriöse Weise alle möglichen Wege des Systems durchläuft und das Beste aus ihnen auswählt.

Heute möchte ich ein wenig über eines der bemerkenswertesten physikalischen Prinzipien sprechen - das Prinzip der geringsten Handlung.

Hintergrund

Seit den Tagen von Galileo war bekannt, dass sich Körper, die von keinen Kräften betroffen sind, in geraden Linien bewegen, dh auf dem kürzesten Weg. Lichtstrahlen breiten sich in geraden Linien aus.

Bei Reflexion bewegt sich das Licht auch so, dass es auf kürzestem Weg von einem Punkt zum anderen gelangt. Im Bild ist der kürzeste Weg der grüne Weg, bei dem der Einfallswinkel gleich dem Reflexionswinkel ist. Jeder andere Pfad, z. B. Rot, ist länger.


Dies ist leicht zu beweisen, indem einfach die Wege der Strahlen zur gegenüberliegenden Seite des Spiegels reflektiert werden. Im Bild sind sie mit einer gepunkteten Linie dargestellt.


Es ist zu sehen, dass sich der grüne Pfad des ACB in einen direkten ACB verwandelt. Und der rote Pfad verwandelt sich in eine unterbrochene Linie ADB ', die natürlich länger als der grüne ist.

Pierre Fermat schlug 1662 vor, dass die Lichtgeschwindigkeit in einer dichten Substanz, beispielsweise in Glas, geringer ist als in Luft. Zuvor gab es eine allgemein akzeptierte Version von Descartes, nach der die Lichtgeschwindigkeit in der Materie größer sein sollte als in der Luft, um das korrekte Brechungsgesetz zu erhalten. Für Fermat schien die Annahme, dass sich Licht in einem dichteren Medium schneller bewegen kann als in einem verdünnten, unnatürlich. Daher schlug er vor, dass alles genau das Gegenteil sei und erwies sich als erstaunlich - unter dieser Annahme wird das Licht gebrochen, um sein Ziel in kürzester Zeit zu erreichen.


In der Abbildung zeigt die grüne Farbe den Pfad, auf dem sich der Lichtstrahl tatsächlich bewegt. Der rot markierte Weg ist der kürzeste, aber nicht der schnellste, da das Licht einen größeren Weg durch das Glas hat und darin langsamer ist. Der schnellste ist der reale Weg des Lichtstrahls.

All diese Tatsachen deuten darauf hin, dass die Natur rational handelt, dass sich Licht und Körper am besten bewegen und so wenig Aufwand wie möglich betreiben. Aber was für eine Anstrengung es war und wie man es zählt, blieb ein Rätsel.

1744 führte Maupertuis das Konzept der „Aktion“ ein und formulierte das Prinzip, nach dem sich die wahre Flugbahn eines Teilchens von jeder anderen darin unterscheidet, dass die Aktion dafür minimal ist. Maupertuis selbst konnte jedoch nicht klar definieren, was diese Aktion bedeutet. Die strenge mathematische Formulierung des Prinzips der geringsten Wirkung wurde bereits von anderen Mathematikern entwickelt - Euler, Lagrange, und schließlich von William Hamilton gegeben:


In der mathematischen Sprache wird das Prinzip der geringsten Handlung ziemlich kurz formuliert, aber nicht alle Leser können die Bedeutung der verwendeten Notation verstehen. Ich möchte versuchen, dieses Prinzip klarer und in einfachen Worten zu erklären.

Freier Körper

Stellen Sie sich vor, Sie sitzen irgendwann in einem Auto $$ und zur Zeit $$ Sie haben eine einfache Aufgabe erhalten: zu der Zeit $$ Sie müssen mit dem Auto zum Punkt kommen $$ .


Der Kraftstoff für das Auto ist teuer und Sie möchten ihn natürlich so wenig wie möglich ausgeben. Ihr Auto wird mit den neuesten Supertechnologien hergestellt und kann so schnell beschleunigen oder bremsen, wie Sie möchten. Es ist jedoch so konzipiert, dass je schneller es geht, desto mehr Kraftstoff verbraucht es. Darüber hinaus ist der Kraftstoffverbrauch proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit. Wenn Sie doppelt so schnell fahren, verbrauchen Sie im gleichen Zeitraum viermal mehr Kraftstoff. Neben der Geschwindigkeit beeinflusst die Masse des Autos auch den Kraftstoffverbrauch. Je schwerer unser Auto ist, desto mehr Kraftstoff verbraucht es. Der Kraftstoffverbrauch unseres Autos beträgt zu jedem Zeitpunkt $$ d.h. genau die kinetische Energie des Autos.

Wie müssen Sie also gehen, um auf den Punkt zu kommen? $$ zur genau festgelegten Zeit und um so wenig Kraftstoff wie möglich zu verbrauchen? Es ist klar, dass Sie in einer geraden Linie gehen müssen. Mit zunehmender Fahrstrecke wird der Kraftstoff nicht weniger verbraucht. Und dann können Sie verschiedene Taktiken wählen. Zum Beispiel können Sie schnell zur Sache kommen $$ im Voraus und einfach sitzen, warten, wenn die Zeit kommt $$ . Die Fahrgeschwindigkeit und damit der Kraftstoffverbrauch zu einem bestimmten Zeitpunkt wird sich als groß herausstellen, aber auch die Fahrzeit wird reduziert. Vielleicht ist der Gesamtkraftstoffverbrauch in diesem Fall nicht so hoch. Oder Sie können gleichmäßig mit der gleichen Geschwindigkeit fahren, so dass Sie ohne Eile zu einem bestimmten Zeitpunkt ankommen $$ . Oder ein Teil des Weges, um schnell und ein Teil langsamer zu fahren. Welchen besseren Weg gibt es?

Es stellt sich heraus, dass die optimalste und wirtschaftlichste Art zu fahren darin besteht, mit einer konstanten Geschwindigkeit zu fahren, beispielsweise an einem Punkt $$ zum genau festgelegten Zeitpunkt $$ . Bei jeder anderen Option wird mehr Kraftstoff verbraucht. Sie können es selbst anhand einiger Beispiele überprüfen. Der Grund ist, dass der Kraftstoffverbrauch proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit steigt. Daher steigt mit zunehmender Geschwindigkeit der Kraftstoffverbrauch schneller als die Fahrzeit ab und der Gesamtkraftstoffverbrauch steigt ebenfalls an.

Wir haben also herausgefunden, dass, wenn ein Auto zu einem bestimmten Zeitpunkt im Verhältnis zu seiner kinetischen Energie Kraftstoff verbraucht, dies der wirtschaftlichste Weg ist, um von einem Punkt aus zu gelangen $$ auf den Punkt $$ Zu einer genau festgelegten Zeit muss man gleichmäßig und geradlinig fahren, so wie sich ein Körper ohne auf ihn einwirkende Kräfte bewegt. Jede andere Fahrweise führt zu einem höheren Gesamtkraftstoffverbrauch.

In der Schwerkraft

Jetzt wollen wir unser Auto ein bisschen verbessern. Lassen Sie uns Düsentriebwerke daran befestigen, damit es frei in jede Richtung fliegen kann. Im Allgemeinen blieb das Design gleich, so dass der Kraftstoffverbrauch wiederum streng proportional zur kinetischen Energie des Autos blieb. Wenn jetzt die Aufgabe gegeben ist, aus dem Punkt heraus zu fliegen $$ zur Zeit $$ und auf den Punkt fliegen $$ von Zeit zu Zeit $$ Dann wird der wirtschaftlichste Weg nach wie vor natürlich gleichmäßig und geradlinig fliegen, um an einem Punkt zu sein $$ zum genau festgelegten Zeitpunkt $$ . Dies entspricht wiederum der freien Bewegung des Körpers im dreidimensionalen Raum.


In das neueste Automodell wurde jedoch ein ungewöhnliches Gerät eingebaut. Dieses Gerät kann buchstäblich aus dem Nichts Kraftstoff produzieren. Das Design ist jedoch so, dass je höher das Auto ist, desto mehr Kraftstoff erzeugt das Gerät zu jedem Zeitpunkt. Die Kraftstoffproduktion ist direkt proportional zur Höhe $$ auf dem sich das Auto gerade befindet. Je schwerer das Auto ist, desto leistungsstärker ist das Gerät und desto mehr Kraftstoff wird produziert. Die Leistung ist direkt proportional zur Masse des Autos $$ . Das Gerät stellte sich so heraus, dass die Kraftstoffproduktion genau gleich ist $$ (wo $$ - Erdbeschleunigung), d.h. potentielle Energie des Autos.

Der Kraftstoffverbrauch ist zu jedem Zeitpunkt gleich der kinetischen Energie abzüglich der potentiellen Energie des Autos (abzüglich der potentiellen Energie, da das installierte Gerät Kraftstoff erzeugt und nicht verbraucht). Jetzt ist unsere Aufgabe die sparsamste Fahrzeugbewegung zwischen Punkten $$ und $$ immer härter. Die geradlinige gleichmäßige Bewegung ist in diesem Fall nicht die effektivste. Es stellt sich heraus, dass es optimaler ist, ein wenig an Höhe zu gewinnen, eine Weile dort zu verweilen, mehr Kraftstoff entwickelt zu haben und dann auf den Punkt zu kommen $$ . Bei der richtigen Flugbahn blockiert die gesamte Treibstoffproduktion aufgrund des Anstiegs den zusätzlichen Treibstoffverbrauch, indem die Weglänge erhöht und die Geschwindigkeit erhöht wird. Wenn Sie sorgfältig rechnen, fliegt der wirtschaftlichste Weg für ein Auto entlang einer Parabel, genau entlang einer solchen Flugbahn und mit genau der Geschwindigkeit, mit der ein Stein im Schwerefeld der Erde fliegen würde.


Eine Erklärung lohnt sich hier. Natürlich können Sie von dem Punkt $$ Wirf einen Stein auf viele verschiedene Arten, damit er einen Punkt trifft $$ . Aber du musst es werfen, damit es aus dem Punkt fliegt $$ zur Zeit $$ traf den Punkt $$ genau zur richtigen Zeit $$ . Diese Bewegung wird für unser Auto am sparsamsten sein.

Lagrange-Funktion und Prinzip der geringsten Wirkung

Jetzt können wir diese Analogie auf reale physische Körper übertragen. Ein Analogon der Kraftstoffverbrauchsintensität für Körper wird als Lagrange-Funktion oder Lagrangian (zu Ehren von Lagrange) bezeichnet und mit dem Buchstaben bezeichnet $$ . Lagrangian zeigt, wie viel „Kraftstoff“ der Körper zu einem bestimmten Zeitpunkt verbraucht. Für einen Körper, der sich in einem potentiellen Feld bewegt, ist der Lagrange gleich seiner kinetischen Energie minus potentieller Energie.

Ein Analogon der Gesamtmenge des verbrauchten Kraftstoffs während der gesamten Bewegungszeit, d.h. Der Wert des Lagrange, der sich über die gesamte Bewegungszeit angesammelt hat, wird als „Aktion“ bezeichnet.

Das Prinzip der geringsten Aktion besteht darin, dass sich der Körper so bewegt, dass die Aktion (die von der Bewegungsbahn abhängt) minimal ist. Gleichzeitig sollte man nicht vergessen, dass die Anfangs- und Endbedingungen spezifiziert sind, d.h. wo der Körper zu einem Zeitpunkt ist $$ und zur Zeit $$ .

Darüber hinaus muss sich die Karosserie nicht in einem einheitlichen Gravitationsfeld bewegen, das wir für unser Auto berücksichtigt haben. Sie können ganz andere Situationen betrachten. Der Körper kann auf einem Gummiband schwingen, auf einem Pendel schwingen oder um die Sonne fliegen. In all diesen Fällen bewegt er sich so, dass der „Gesamtkraftstoffverbrauch“ minimiert wird, d. H. Aktion.

Wenn das System aus mehreren Körpern besteht, ist der Lagrange eines solchen Systems gleich der gesamten kinetischen Energie aller Körper abzüglich der gesamten potentiellen Energie aller Körper. Und wieder bewegen sich alle Körper koordiniert, so dass die Wirkung des gesamten Systems bei einer solchen Bewegung minimal ist.

Nicht so einfach

Tatsächlich habe ich ein wenig geschummelt, indem ich sagte, dass sich Körper immer so bewegen, dass die Aktion minimiert wird. Obwohl dies in so vielen Fällen zutrifft, können Sie Situationen finden, in denen die Aktion eindeutig nicht minimal ist.

Nehmen Sie zum Beispiel einen Ball und legen Sie ihn in einen leeren Raum. In einiger Entfernung davon setzen wir eine elastische Wand. Angenommen, wir möchten, dass der Ball nach einiger Zeit am selben Ort ist. Unter solchen Bedingungen kann sich der Ball auf zwei verschiedene Arten bewegen. Erstens kann es einfach an Ort und Stelle bleiben. Zweitens kann es gegen die Wand geschoben werden. Der Ball wird zur Wand fliegen, von ihr abprallen und zurückkommen. Es ist klar, dass Sie ihn so schnell schieben können, dass er genau zum richtigen Zeitpunkt zurückkehrt.


Beide Varianten der Ballbewegung sind möglich, aber die Aktion im zweiten Fall wird mehr ausfallen, da sich der Ball die ganze Zeit über mit einer kinetischen Energie ungleich Null bewegt.

Wie kann das Prinzip des geringsten Handelns gespeichert werden, damit es in solchen Situationen fair ist? Wir werden das nächste Mal darüber sprechen.