Theorie des Glücks. Fluch des Direktors und verfluchte Drucker

Ich mache die Leser von Habr weiterhin mit den Kapiteln aus seinem Buch "Theory of Happiness" mit dem Untertitel "Mathematical Foundations of the Laws of Meanness" bekannt. Dieses populärwissenschaftliche Buch ist noch nicht veröffentlicht und erzählt sehr informell, wie Mathematik es Ihnen ermöglicht, die Welt und das Leben der Menschen mit einem neuen Grad an Bewusstsein zu betrachten. Es ist für diejenigen, die sich für Wissenschaft interessieren und für diejenigen, die sich für das Leben interessieren. Und da unser Leben komplex und im Großen und Ganzen unvorhersehbar ist, liegt der Schwerpunkt des Buches hauptsächlich auf der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Statistik. Hier werden Theoreme nicht bewiesen und die Grundlagen der Wissenschaft nicht gegeben, dies ist keineswegs ein Lehrbuch, sondern das, was man Freizeitwissenschaft nennt. Aber genau diese fast spielerische Herangehensweise ermöglicht es uns, Intuition zu entwickeln, Vorlesungen für Studenten mit anschaulichen Beispielen aufzuhellen und schließlich Nicht-Mathematikern und unseren Kindern zu erklären, was wir in unserer trockenen Wissenschaft so interessant fanden.





Wir werden über Zeitdruck, Fristen und nicht rechtzeitig brechende Drucker sprechen.

Goofy Strategie

Im vorherigen Kapitel haben wir über zufällige Prozesse gesprochen. Einer der einfachsten Prozesse, der ein Minimum an zusätzlichen Annahmen erfordert, ist der Poisson-Fluss. Ich möchte Sie daran erinnern, dass es implementiert werden kann, indem eine bekannte Anzahl unabhängiger Ereignisse zufällig über ein Zeitintervall verteilt wird. Gute Beispiele sind Regentropfenschläge auf dem Dach, der Fluss von Privatwagen auf der Straße, starke Erdbeben usw.

Aber was bekommen wir, wenn Ereignisse nicht mehr unabhängig sind und eine geordnete Kette bilden? Sprich in einer Kette $$$\ {A, B, C \}$ Veranstaltung $$$B$ kann erst nach dem Ereignis passieren $$$A$ und vor der Veranstaltung $$$C$ obwohl die Momente, in denen diese Ereignisse auftreten, zufällig bleiben. Mal sehen, wie solche geordneten Ketten in ein begrenztes Zeitintervall passen. Wir werden das erste Ereignis an einem beliebigen Punkt arrangieren, das zweite ist ebenfalls zufällig, aber immer später als das erste, das dritte nach dem zweiten und so weiter. Für jede nächste Stufe bleibt immer weniger Zeit, so dass eine merkliche Zunahme der Intensität des Prozesses auf der rechten Seite des Intervalls (vor Ablauf der Frist) beobachtet werden sollte. Früher oder später endet die Zeit für die Erledigung von Aufgaben und die Kette endet. Wir nennen den Prozess, den wir aufgebaut haben, eine stochastische Kette mit einer Frist und die ausgewählte ungeordnete Strategie, die Arbeit zu erledigen, eine dumme Strategie . Die Abbildung zeigt ein Beispiel einer auf diese Weise konstruierten Kette aus $$$5$ Phasen der Arbeit, die freigegeben wurde $$$10$ Tage.


Ein Beispiel für eine stochastische Kette mit einer Frist. In diesem Fall war es möglich, fünf Dinge zu tun. Sie können noch Zeit haben, das sechste zu tun, aber sieben Mal ist es nicht genug.

Wir formulieren das Problem, indem wir beispielsweise einen Theaterregisseur als Testperson nehmen. Lassen Sie den Regisseur und die Truppe zur Verfügung haben $$$n$ Tage für die Durchführung einer Aktion. Vorbereitung ist eingebrochen $$$k$ aufeinanderfolgende Probenphasen, für deren Abschluss jeweils ein Tag erforderlich ist. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Frist durch die Umsetzung des von uns beschriebenen Arbeitsprozesses nicht eingehalten wird? Wenn die Vorbereitung der Veranstaltung die Einbeziehung verschiedener Personen und verschiedener Produktionsprozesse erfordert, sind Überlagerungen, Krankheiten oder einfach nur Blues möglich - alles Voraussetzungen für die Umsetzung unserer stochastischen Terminkette.

Zunächst wandte ich mich der Imitationsmodellierung zu, um herauszufinden, wie die Länge der Ketten verteilt ist, die mit der dummen Strategie in einem begrenzten Zeitraum einer bestimmten Länge durchgeführt werden kann. Hier ist, wofür Sie bekommen $$$n = 10$ ::


Die Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Länge der Ketten, die in der zugewiesenen Zeit ausgeführt werden kann.

Diese Verteilung findet sich in keinem Nachschlagewerk zur Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematischen Statistik. Es ist mir gelungen, eine analytische Lösung für die Wahrscheinlichkeitsfunktion in der endgültigen Form zu erhalten:

$$

$$P_n (k) = \ genfrac {[} {]} {0pt} {} {n} {k} \ frac {1} {n!},$$

hier $$$P_n (k)$ - die Wahrscheinlichkeit einer Kettenlänge $$$k$ in $$$n$ Zeiträume und das Design $$$\ genfrac {[} {]} {0pt} {} {n} {k}$ bezeichnet die sogenannten Stirling-Zahlen der ersten Art , die in der Kombinatorik bei der Berechnung zyklischer Permutationen auftreten. Mit dem Recht des Entdeckers werde ich diese Distribution den Namen Stirling nennen. Es war sogar möglich, genaue Ausdrücke für die mathematische Erwartung der Länge der Ketten und ihrer Dispersion zu erhalten:

$$

$$M [k] = H_ {n}, \ quad D [k] = H_ {n} -H_n ^ {(2)}.$$

Hier $$$H_ {n}$ Ist die harmonische Zahl: eine Teilsumme der divergierenden harmonischen Reihe $$$\ {1, \ frac12, \ frac13, ..., \ frac1n \}$ und $$$H_ {n} ^ {(2)}$ - Teilmenge der Serie $$$\ {1, \ frac14, \ frac19, ..., \ frac1 {n ^ 2} \}$ . Um diese Werte zu berechnen, habe ich die resultierende Verteilung untersucht. Die durchschnittliche Länge der Ketten mit Wachstum $$$n$ wächst sehr langsam, wenn auch unbegrenzt. Ohne viel Fehler können wir sagen, dass es logarithmisch wächst. Die Varianz unterscheidet sich wiederum nicht wesentlich vom Durchschnitt und dem zusätzlichen Koeffizienten $$$H_ {n} ^ {(2)}$ neigt zu konstant $$$\ pi ^ 2/6$ . Wenig später wird diese Beobachtung nützlich sein.

Schauen wir uns noch einmal die Verteilung der Kettenlängen an. Es ist offensichtlich, dass es absolut keine Chance gibt, überhaupt keine Zeit zu haben, etwas zu tun - es wird Zeit für ihn geben. Kurze Ketten von zwei Fällen machen ein Zehntel der Gesamtzahl aus - dies sind solche erfolglosen Ketten, die am letzten Tag (von zehn) begannen und keine Zeit ließen, um fortzufahren. Es wird erwartet, dass der Anteil sehr langer Ketten gering ist und mit zunehmender Länge abnimmt und fast verschwindet. Nun, es ist fast unmöglich, versehentlich eine Kette von zehn Fällen abzuschließen - die Wahrscheinlichkeit eines solchen Ergebnisses ist $$$\ frac {1} {10!}$ .

Zu unserer Frage: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass die $$$n$ Tage vor dir $$$k$ In aufeinanderfolgenden Phasen der Aufgabe hilft die Verteilungsfunktion bei der Beantwortung der kumulativen Kurve für die Stirling-Verteilung. Wir konstruieren solche Kurven für $$$n = 7, \ 30, \ 365$ und $$$25.000$ entsprechend Woche, Monat, Jahr und (natürlich bedingt) allem Leben.


Die Wahrscheinlichkeit, keine Zeit zu haben, um Ketten unterschiedlicher Länge zu der einen oder anderen Zeit zu vervollständigen.

Diese Grafiken zeigen, dass die Wahrscheinlichkeit, einen Monat nicht mit einer Aufgabe zu erfüllen, hat $$$5$ Schritte überschreiten $$$80 \%$ . Und dass es besser ist, nicht mehr als drei Fälle für einen unorganisierten Busen pro Woche zu planen, und er wird nicht ein Dutzend Fälle mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als einem Fall durchführen $$$50 \%$ und ein Leben lang! Wir sind davon überzeugt, dass mit einer Erhöhung der Fristen um mehrere Größenordnungen die Anzahl der Fälle von erreichbaren Fehlern unbedeutend zunimmt. Das Leben ist so kurz!

Schneller, schneller!

Lassen Sie uns nun das Phänomen des Zeitdrucks und seine anstrengenden Eigenschaften untersuchen. Dazu werden wir mehrere tausend stochastische Ketten bauen und diese mitteln, um das erwartete Arbeitstempo zu erreichen .


Viele stochastische Terminketten und das erwartete Arbeitstempo.

Beachten Sie, dass die Achse des Diagramms auf die Gesamtzahl der Fälle und die gesamte zugewiesene Zeit reduziert wird. Dies ermöglicht es uns einerseits, sowohl verschiedene Begriffe als auch unterschiedliche Längenketten zu vergleichen, und andererseits haben wir wieder etwas Ähnliches wie die Lorentz-Kurve: eine Art formalisierte Reflexion von Ungerechtigkeit.

Das beobachtete Tempo ist leider sehr ungleichmäßig: in der ersten Hälfte des Semesters kaum $$$10 \%$ Arbeit, und eine gute Hälfte aller Dinge muss erledigt werden, die mir zur Verfügung stehen $$$10 \%$ Zeit, aber das Hauptmerkmal: Das Tempo oder vielmehr die Steigung nimmt schnell zu, wenn sich die Frist nähert! Am Vorabend des Jahresberichts erhielten wir ein Modell der Wut oder Panik des neuen Jahres und fanden auch das Gesetz der Gemeinheit, das jedem vertraut war, der ein Konzert, einen Kostümabend oder eine andere Veranstaltung organisieren musste:

Egal wie viel Zeit für die Vorbereitung der Veranstaltung zur Verfügung stand, die meisten Angelegenheiten werden in der letzten Nacht bleiben!

Hervorragende Beispiele für solche Prozesse sind beispielsweise in den Geschichten von Karel apek „Wie man eine Zeitung macht“ und „Wie ein Stück inszeniert wird“ beschrieben . Ist der Grund für diesen Fluch nur in unserer Desorganisation und Nachlässigkeit? Dies sind natürlich die Hauptgründe, aber wir sind nicht so schuldig, dass es unmöglich wäre, uns durch ein mathematisches Gesetz zu rechtfertigen. Die Dummkopfstrategie sieht natürlich albern aus, aber die exponentielle Steigerung des Tempos ist kein Scherz! Gibt es eine Möglichkeit, damit umzugehen?

Das erwartete Arbeitstempo kann genau berechnet werden. Die Formel ist nicht zu elegant, aber es ist bemerkenswert, dass sie die Anzahl der Tage enthält $$$n$ und enthält nicht die Anzahl der geplanten Fälle:

$$

$$T_n (x) = - \ frac {\ log_2 \ left [1-x \ left (1-2 ^ {- H_n-1} \ right) \ right]} {H_n + 1}.$$

Der Logarithmus ist eine langsame Funktion, sofern er nicht gegen die Wand gedrückt wird. In den letzten Tagen vor Ablauf der Frist hat das Tempo katastrophal zugenommen, genauso wie der Logarithmus bei Annäherung an Null in den Abgrund fällt. Dies hängt jedoch immer noch von der Anzahl der zugewiesenen Tage ab. Sie können sehen, wie das erwartete Tempo für Woche, Monat und Jahr aussieht:


Die wahrscheinlichste Abschlussrate in einer begrenzten Zeit. Interessanterweise wirkt sich eine enge Frist günstig aus. Der Name ist nur eine Woche in Reserve, wir werden höchstwahrscheinlich beginnen, die Arbeit gleichmäßiger zu erledigen (bis zur Hälfte der Frist wird ein Drittel der Arbeit fertig sein), und wenn das ganze Jahr vor uns liegt, können wir uns entspannen und es dann bereuen.

Für einen idealen perfektionistischen Künstler, der die Arbeit absolut gleichmäßig erledigt, sollte das Ausführungstempo zur Diagonale tendieren (blaue gestrichelte Linie in der Abbildung). Dies ähnelt der Gleichheitskurve im Lorentz-Diagramm, die Gerechtigkeit bedeutet. So wie wir den Gini-Koeffizienten für das Lorentz-Diagramm berechnet haben, können wir anhand des Bereichs zwischen der Kurve des Arbeitstempos und der idealen Kurve einen bestimmten Mittelwertkoeffizienten berechnen, der zeigt, wie weit wir vom Ideal entfernt sind. Sie hängt von der Länge der zugewiesenen Laufzeit ab und nimmt mit dem Wachstum langsam zu $$$n$ . In den Beispielen, die wir für die Woche, den Monat und das Jahr angegeben haben, beträgt der Mittelwertkoeffizient $$$0,25$ , $$$0,44$ und $$$0,65$ .

Wie gehe ich mit der wachsenden Welle von Sorgen und Zeitdruck um? Sie können sich zum Beispiel zusammenreißen. Eine Person mit ausgezeichnetem Studentensyndrom kann natürlich versuchen, das nächste so früh wie möglich zu tun. Ein plausibles Modell ist die Wahl des Moments für die nächste Aufgabe nach einer Exponentialverteilung mit einer Dichte, die umgekehrt proportional zur verbleibenden Zeit ist. Dies wird einige Unsicherheiten in unserem Leben nicht ausschließen, aber es wird gute Absichten zum Ausdruck bringen, alle Dinge so schnell wie möglich zu tun. Wir nennen diese Strategie eine Strategie mit guten Absichten . Hier sind die Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die rechtzeitige Erledigung von Aufgaben für den Anhänger dieser Strategie, der in der Hälfte der Fälle im ersten Quartal der verbleibenden Zeit das nächste tun wird:


Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist für eine gut gemeinte Strategie nicht pünktlich.

Deutlich besser! Innerhalb einer Woche haben Sie mit hoher Wahrscheinlichkeit Zeit, fünf Dinge zu tun und sich zwei Tage frei zu lassen. Dennoch ist die Zunahme der Möglichkeiten für große Zeiträume nicht revolutionär. Das Problem liegt in der Tatsache, dass die erwartete Anzahl erfolgreich abgeschlossener Fälle immer noch proportional zum Logarithmus der zugewiesenen Zeit bleibt und der Logarithmus extrem langsam wächst! Wenn Sie also viel planen, müssen Sie berücksichtigen, dass die Intensität des Prozesses zwangsläufig zunimmt und höchstwahrscheinlich nicht genügend Zeit für die Frist zur Verfügung steht. In jedem Fall muss man bedenken, dass das Leben kurz ist und um Zeit zu haben, um den Plan zu verwirklichen, muss man sofort handeln!

Bewundern wir das Tempo eines gut gemeinten, exzellenten Schülers.


Das erwartete Arbeitstempo einer methodischen Person, die versucht, so schnell wie möglich zur nächsten Arbeitsstufe überzugehen. Die Grafiken zeigen die Ergebnisse der Mittelung von Zehntausenden numerischer Experimente zur Modellierung einer Aufgabe mit einer festgelegten Anzahl von Stufen. Die rote Linie zeigt das Tempolimit für eine große Anzahl von Aufgaben an.

Unser ordentlicher Spezialist hat es geschafft, die Arbeit gleichmäßiger zu verteilen und viel mehr zu arbeiten, aber er wartet immer noch auf Zeitdruck. Eine solche Person führt kurze Ketten mit einer erheblichen Übererfüllung des Plans durch, und eine Kette von sieben Fällen ist nahezu perfekt. Mit zunehmender Anzahl von Fällen tendiert das erwartete Tempo jedoch schnell zu dem theoretischen Tempo, das mit der Boob-Strategie erzielt wird! Die Gesamtleistung hat zugenommen, aber das Parken vor Ablauf der Frist ist nicht verstrichen. So ist es möglich, das Laden zu beenden und die echte Bohrung!

Es gibt jedoch einen anderen weithin bekannten Weg, um die Ausführung von Arbeiten wesentlich zu disziplinieren: Anstelle einer Frist müssen Sie viele davon erledigen. Lassen Sie uns die Frist in zwei gleiche Teile teilen und diese neue Frist einhalten, beispielsweise als Zwischenbericht. Für jeden dieser Teile können wir eine Kurve des erwarteten Arbeitstempos erstellen, wie in der Abbildung gezeigt.

Wenn Sie die Zeit, die für die Fertigstellung der Arbeit benötigt wird, in mehrere Zwischenberichtsperioden aufteilen, können Sie die Arbeit gleichmäßiger erledigen, erhöhen jedoch den Stress, wenn sich jeder neue Bericht nähert.

Trotz des Umstands mit einem Zwischenbericht haben wir unser Ziel erreicht: Die Fläche unter der Gesamtausführungsratenkurve nahm ab und die Mittelwertigkeit verringerte sich von $$$0,65$ vorher $$$0,3$ . Darüber hinaus bringt die Reduzierung des Begriffs (natürlich zusammen mit der Reduzierung der Anzahl der Fälle) das erwartete Arbeitstempo dem Ideal näher, sodass sich das Mittelwertverhältnis mehr als halbiert hat. Wenn Sie beispielsweise zwei weitere vierteljährliche Berichte hinzufügen, wird dies auf reduziert $$$0,13$ Aber auf diese Weise werden wir unsere Darsteller in vier stressige Phasen gleichzeitig treiben und sie werden immer noch laut leiden und sich über das Schicksal und die Bosse beschweren! Nun, wir können unseren Mitarbeitern unsere Berechnungen zeigen und beweisen, dass sie durch die Einführung von Quartalsberichten die Gemeinheit ihres Lebens um das Fünffache reduziert haben, wenn dies für sie natürlich ein Trost ist.

Da die Anzahl der Zwischentermine tendenziell der Anzahl der Arbeitstage entspricht, nähert sich das Arbeitstempo einem idealen, aber sehr langweiligen Tempo an.

Bitte schön! Auch der Drucker ist kaputt!

Fügen Sie ein paar Worte zur Dummy-Strategie und zur Stirling-Verteilung hinzu. Die von uns erhaltene Verteilung zeigt die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Anzahl von Ereignissen in einem bestimmten Zeitintervall zu erhalten. Ereignisse in einem echten Poisson-Stream mit Intensität zählen $$$\ lambda$ Wir kommen zur berühmten Poisson-Distribution:

$$

$$P (k) = e ^ {- \ lambda} \ frac {\ lambda ^ k} {k!},$$

Vertrauen beschreiben, um genau zu bekommen $$$k$ Ereignisse in einem einzigen Zeitintervall. Der Ausdruck für Stirling-Zahlen hat eine asymptotische Ausdehnung, die für große $$$n$ reduziert die Verteilung der Kettenlängen mit einer Frist auf eine verschobene Poisson-Verteilung mit Intensität $$$\ lambda = H_n-1$ . Aus statistischer Sicht kann unser stochastischer Deadline-Prozess entweder als Poisson-Prozess in einem kondensierenden Zeitraster oder als inhomogener Poisson-Prozess betrachtet werden, dessen Intensität monoton und schnell zunimmt. Und obwohl unser Prozess streng genommen nicht Poisson ist, da die Ereignisse darin nicht unabhängig sind, sind die statistischen Eigenschaften, die wir benötigen, ähnlich. Ihre Ähnlichkeit wird auch durch die Nähe des Durchschnittswerts und der Varianz der Stirlingverteilung angezeigt, die für die Poisson-Verteilung charakteristisch ist.

Diese Schlussfolgerung ermöglicht es uns, eine Frage zu stellen: Was ist, wenn wir den Prozess der Abwicklung der Kette von Angelegenheiten, die wir aufgebaut haben, um von uns unabhängige seltene Probleme aufbauen: Schneesturm, schrecklicher Stau, laufende Nase, Druckerausfall oder ein Nationalfeiertag?

Für den Poisson-Prozess wird ein zufälliger Dezimierungsprozess definiert, der darin besteht, dass wir mit einiger Wahrscheinlichkeit beginnen, Ereignisse aus dem Stream zu entfernen. Zufallsausdünnung mit Wahrscheinlichkeit $$$(1-p)$ verlässt den Prozess Poisson, aber seine Intensität nimmt ab und multipliziert mit $$$p$ . Ereignisse, die dem Zusammentreffen von Schwierigkeiten und jeder Phase der Arbeit selbst entsprechen, bilden den Poisson-Prozess mit deutlich geringerer Intensität, aber in unserem Fall auch monoton und schnell wachsend. So schnell, dass, egal wie gering die Wahrscheinlichkeit von Problemen ist, für eine ausreichend große Anzahl von Fällen (oder die für die Arbeit vorgesehene Zeit) näher an der Frist eine vollständig beobachtbare ansteigt. Und der Drucker wird es am Vorabend des Kurses richtig machen!

Seien Sie nicht überrascht, wenn der Bus gerade dann kaputt geht, wenn Sie bereits zu spät sind. Der Bus wünscht Ihnen keinen Schaden. Wenn Sie ein Mädchen sind, dann ist die Reihenfolge der Dinge: Wählen Sie ein Kleid, essen Sie Süßigkeiten, waschen Sie sich, ziehen Sie das ausgewählte Kleid an, ziehen Sie Make-up an, ziehen Sie eine Kette an, verschieben Sie Dinge aus Ihrer Handtasche in eine Handtasche, reinigen Sie Schuhe und andere Dinge und alles andere geht zum wichtigsten und aufregendsten Termin - einem Datum ! Und das Tempo, mit dem Sie dem Schicksal entgegen fliegen, ist bereits so verrückt, dass die unwahrscheinlichsten Wunder geschehen.

Was ist am Ende ein Wunder, wenn nicht die Verwirklichung des Unglaublichen!