Welche Bedeutung hat 196 884 = 196 883 + 1? Wie erklärt man es an den Fingern?

Quora-Antwort von Michael Griffin, Mathe-Postdoc

Senia Scheidwasser hat diese Frage sehr gut und einfach beantwortet . Ich empfehle, diese Kurzversion zu lesen. Aber es gibt eine viel erstaunlichere Geschichte aus der Monstrous Moonshine-Hypothese, gemischt mit der Mackay-Gleichung: von Jack Daniels Whisky über Schwarze Löcher bis hin zur Quantengravitation.

In dieser Geschichte werden häufig Symmetrien und mathematische „Gruppen“ erwähnt. Beginnen wir also mit dem, was unter einer Gruppe in Mathematik zu verstehen ist. Eine Gruppe kann dargestellt werden, um eine Reihe von Objekten unter Beibehaltung einer bestimmten Struktur neu anzuordnen. Operationen in der Gruppe müssen bestimmten Regeln folgen. Beispielsweise sollte es immer möglich sein, die Operation abzubrechen. Wenn Sie eine Operation und dann eine andere ausführen, erhalten Sie die dritte Operation in der Gruppe .


Vier Rotationsoptionen und vier Symmetrieachsen des Quadrats. Bildquelle

Wenn Sie Figuren darstellen möchten, ist die Symmetrie eines Quadrats ein einfaches Beispiel für eine Gruppe. Es kann auf drei Arten gedreht werden: 90 ° nach rechts (im Uhrzeigersinn), 180 ° und 90 ° nach links (gegen den Uhrzeigersinn); es gibt vier Symmetrien: vertikale, horizontale und zwei diagonale Achsen); und es gibt eine Symmetrie der Identität, wenn sich nichts ändert. Wenn Sie das Quadrat um 90 ° nach rechts drehen und dann entlang der vertikalen Achse drehen, erhalten Sie eine andere Symmetrie. Insbesondere ist das Ergebnis das gleiche, als würde es sofort auf der diagonalen Achse von links oben nach rechts unten reflektiert. Dies ist eine Art Multiplikationstabelle für Gruppenelemente. Tatsächlich können wir eine Multiplikationstabelle schreiben, um die Struktur der Gruppe besser zu verstehen. Ich habe es genau hier gemacht. Das Symbol "i" in der Tabelle ist die Symmetrie der Identität, wenn sich nichts ändert. "R" und "L" - 90 ° Drehung nach rechts bzw. links. "F" ist eine 180 ° -Drehung, und jede Linie ist eine Reflexion entlang der Achse in Richtung dieser Linie.



Einige Gruppen können in kleinere Teile aufgeteilt werden. Wenn Sie beispielsweise zwei Quadrate haben, gibt es möglicherweise zwei Kopien derselben Symmetrieoperationen, von denen jede unabhängig von der anderen auf ein Quadrat einwirkt. Einfache Gruppen können nicht in kleinere unabhängige Gruppen unterteilt werden, daher sind sie in der Gruppentheorie eine Art Primzahl. Endliche Primgruppen sind jedoch etwas schwieriger zu klassifizieren als Primzahlen. In der zweiten Hälfte des letzten Jahrhunderts wurden erhebliche Fortschritte bei den Versuchen erzielt, alle endlichen einfachen Gruppen vollständig zu klassifizieren. Die meisten einfachen Gruppen passen in ordentlich organisierte Familien. Beispielsweise enthält eine Familie alle Symmetrien regulärer N-Gons (z. B. ein gleichseitiges Dreieck, Quadrat, reguläres Fünfeck usw.). Aber nicht alle Gruppen passen in eine normale Familie. Es gibt genau 26 "sporadische" Gruppen, die Waisen sind. Sie sind normalerweise etwas schwieriger zu definieren, aber viele von ihnen können aus Gittersymmetrien in mehreren Dimensionen konstruiert werden. Die größte der einfachen sporadischen Gruppen ist das Monster .

1973 fanden Fisher und Griss erstmals (unabhängig) Beweise dafür, dass eine sehr große einfache Gruppe existieren kann, wenn sie bestimmte Eigenschaften erfüllt. Aber nur ein Jahrzehnt später konnte nachgewiesen werden, dass diese Eigenschaften stabil sind und die Gruppe tatsächlich existiert. Griss nannte diese schwer fassbare hypothetische Gruppe den Friendly Giant (Friendly Giant, die Initialen von F. G. für Fischer-Griss). Aber Conway, die bekanntere Mathematikerin, nannte sie das Monster - und ein solcher Name wurde festgelegt. Übrigens spielt dieser Conway eine wichtige Rolle in unserer Geschichte, aber höchstwahrscheinlich haben Sie schon einmal davon gehört. Dies ist genau der Conway, der das Spiel "Leben" erfunden und den Satz des freien Willens bewiesen hat. Wenn Sie sich nicht erinnern, lesen Sie es!

1975 trafen sich zwei Mathematiker, Augg und Tits, auf einer Konferenz in Paris. Teats berechnete, dass wenn das Monster existiert, seine Größe wie folgt sein wird:

2 ^ 46 · 3 ^ 20 · 5 ^ 9 · 7 ^ 6 · 11 ^ 2 · 13 ^ 3 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71
≈ 8 × 10 ^ 53

Dies ist eine sehr große Zahl. Sehr, sehr, sehr groß. Dies ist die ungefähre Anzahl von Atomen in Saturn und Jupiter zusammen. Auggs Aufmerksamkeit wurde jedoch nicht durch die Größe, sondern durch einfache Faktorisierung erregt.

Augg studierte zu dieser Zeit Stücke, die als modulare Kurven bezeichnet wurden. Wenn N eine positive ganze Zahl ist, gibt es eine Fläche, nennen wir sie X (N), die einige wichtige arithmetische Informationen über die Zahl N erfasst (wenn Sie sich an komplexe Zahlen aus der Schule erinnern, kann eine solche Fläche durch „Rollen“ oder „Falten“ des Komplexes erhalten werden Ebene mit einer Reihe von Symmetrien, abhängig von der Anzahl N). Augg stellte eine Frage wie diese: Wenn N eine Primzahl ist, in welchem ​​Fall sieht diese Oberfläche (oder modulare Kurve) dann wie eine Kugel aus und nicht wie ein Donut mit einem oder mehreren Griffen (dh „Löchern“ im Donut)? Er fand das nur, wenn N zur Menge gehört

{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59, 71}

Dies sind die gleichen Primzahlen, die bei der Berechnung von Titten für Monstergröße verwendet werden! Es gibt jedoch absolut keinen offensichtlichen Zusammenhang zwischen diesen beiden Berechnungen. Augg war von diesem offensichtlichen Zufall so überwältigt, dass er Jack Daniel jedem, der es erklären konnte, eine Flasche Whisky anbot.

Aus offensichtlichen Gründen hilft das Zusammenstellen einer Multiplikationstabelle nicht, das Monster zu studieren. Wenn wir die Multiplikationstabelle mit Wasserstoffatomen schreiben, passt sie nicht in unsere Galaxie. Stattdessen gelang es Mathematikern, eine Monster-Charaktertabelle zusammenzustellen . Ja, es klingt wie ein Dungeons & Dragons-Spielführer, und vielleicht ist dies keine schlechte Art, einen Tisch zu präsentieren. Dies ist eine Art Necronomicon für das Monster; Eine 194 × 194-Zahlentabelle gibt Mathematikern einen Einblick in das astronomisch riesige Monster. In der ersten Spalte sind die "Größen irreduzibler Darstellungen" des Monsters aufgeführt. Dies sind bizarre Wörter, aber das Wesentliche unserer Geschichte ist, dass die ersten beiden Bedeutungen in der ersten Spalte die Zahlen 1 und 196.883 sind . Hier erscheint die Mackay-Gleichung.

Mackay wies Conway darauf hin

196884 = 1 + 196883

Conway fand die McKay-Hypothese so absurd, dass er sie Fantasie oder Unsinn (Mondschein) nannte. In dieser Gleichung ist 196884 der erste Koeffizient einer wichtigen Funktion namens J-Funktion , die Mathematiker seit sehr langer Zeit untersucht haben. Hier kehren wir wieder zu Augg und seiner Frage auf der Flasche "Jack Daniels" zurück.

Eine J-Funktion ist eine modulare Funktion, dh sie nimmt einen Punkt mit einer modularen Kurve, wie sie von Ogg untersucht wurde - und gibt eine Zahl an (auch wenn Sie mit komplexen Zahlen vertraut sind, können Sie die modulare Funktion als Funktion auf gewöhnlichen komplexen Zahlen darstellen, aber mit einem obszönen Maß an Symmetrie). Es ist schwierig, klarer zu erklären, was eine modulare Funktion ist, aber gehen Sie nicht darauf ein.


Bildquelle

Zusätzlich ist die J-Funktion die grundlegendste modulare Funktion für die einfachste modulare Kurve X (1). Dies ist die „grundlegendste“ Funktion in dem Sinne, dass jede andere modulare Funktion für X (1) als Polynom oder als Verhältnis von Polynomen in einer J-Funktion geschrieben werden kann. Einige andere modulare Kurven, wie z. B. X (2), haben eine andere modulare Grundfunktion. Nennen wir es J_2. Tatsächlich hat X (N) die modulare Grundfunktion J_N dieser Art genau dann, wenn die Form X (N) eine Kugel ist (ohne "Griffe" oder "Löcher"), genau die gleiche wie die von Ogg.

Ein anderer Mathematiker, Thompson, erkannte, dass Mackays Beobachtung entwickelt werden konnte. Er bemerkte, dass die nächsten Koeffizienten der ursprünglichen J-Funktion auch als die Summe der Werte aus der ersten Spalte der Monster-Zeichentabelle geschrieben werden können. Darüber hinaus können Sie mehrere Koeffizienten anderer J_N-Funktionen als Summen anderer Werte aus der Tabelle schreiben. Zu dieser Zeit arbeitete Thompson noch mit einer unvollständigen Zeichentabelle. Erst 1979 schlossen Fisher, Livingston und Thorne die Berechnung der Symboltabelle ab, und später in diesem Jahr verwandelten Conway und Norton Thompsons Beobachtungen in eine exakte Hypothese. Sie argumentierten, dass es eine Möglichkeit gibt, einen beliebigen Koeffizienten der J-Funktion als Summe der Dimensionen der irreduziblen Monsterdarstellungen (d. H. Aufzeichnungen aus der ersten Spalte der Monstersymboltabelle) zu schreiben. Darüber hinaus kann dies so erfolgen, dass wir, wenn wir Einträge aus der ersten Spalte mit Einträgen aus einer anderen Spalte der Symboltabelle austauschen, die Koeffizienten einer der anderen Funktionen J_N erhalten! Hier sind zum Beispiel die ersten drei Koeffizienten der ursprünglichen J-Funktion (auf der linken Seite der Gleichungen):

196884 = 1 + 196883,

21493760 = 1 + 196883 + 21296876 und

864299970 = 2 × 1 + 2 × 196883 + 21296876 + 842609326,

Dabei sind 1 , 196883 , 21296876 und 842609326 die ersten vier Werte in der ersten Spalte der Monster-Zeichentabelle. Und hier sind die ersten drei Koeffizienten der Funktion J_2 (wieder auf der linken Seite der Gleichungen):

4372 = 1 + 4371

96256 = 1 + 4371 + 91884 und

1240002 = 2 × 1 + 2 × 4371 + 91884 + 1139374,

Dabei sind 1 , 4371 , 91884 und 1139374 die ersten vier Werte in der zweiten Spalte der Monster-Zeichentabelle. Und so weiter: Jede Spalte der Symboltabelle gibt die Koeffizienten der modularen Basisfunktion für einige modulare Kurven an. Conway und Norton nannten ihre Hypothese monströsen Unsinn (Monstrous Moonshine).

Vor ungefähr einem Jahr hatte ich Gelegenheit, mit Conway darüber zu sprechen, wie diese Hypothese aussah. Er sagte, dass er sich die neuen Werte in der Monstersymboltabelle angesehen habe, deren Berechnung so viel Aufwand gekostet habe, und dann in die Mathematikbibliothek gegangen sei und ein Buch geöffnet habe, das Jahrzehnte zuvor mit Tabellen von Koeffizienten modularer Funktionen geschrieben worden sei. Und er beschrieb dieses Gefühl des tiefen Grauens, als die gleichen Zahlen oder ihre offensichtlichen Kombinationen ihn von den Seiten eines alten Buches aus betrachteten.

1982 zeigte Griss endlich, wie man ein Monster baut. Zum ersten Mal konnten Mathematiker die Klausel "Wenn das Monster existiert" loswerden. Zehn Jahre später bewies Borcherds, ein ehemaliger Schüler von Conway, die Hypothese anhand der Theorie der "Vertex-Operator-Algebren", die er speziell für diesen Zweck erstellt hatte. Diese Theorie wurde auf der Grundlage der alten physikalischen Theorie der 1960er Jahre erstellt. Für diese Beweise erhielt Borcherds in vielerlei Hinsicht die Fields-Medaille von 1998. Dies ist eine Art Nobelpreis für Mathematik, mit der Ausnahme, dass Sie aus unerklärlichen Gründen unter 40 Jahre alt sein müssen, um ihn zu erhalten. Wie ich gehört habe, hat Augg die Antwort von Borcherds auf seine Frage befriedigt, aber Borcherds trinkt nicht, so dass die Flasche Jack Daniels nicht beansprucht wird. Auf der anderen Seite sieht Conway, obwohl er mit Borcherds 'Arbeit sehr zufrieden ist, immer noch nur einen Scheck, aber keine Erklärung. Ja, jetzt wissen wir, dass die Koeffizienten modularer Funktionen die Summe der Werte der Monstersymbole sind, aber Conway glaubt, dass wir immer noch kein klares Bild haben. WIE KÖNNEN SIE DAS ERWARTEN?

Die Geschichte endet nicht dort. 2007 arbeitete Witten an der Konfliktlösung in der Quantengravitation. Quantenmechanik und allgemeine Relativitätstheorie sind nicht sehr kompatibel. Witten arbeitete an einer vereinfachten Frage und ließ alles außer der Schwerkraft aus der Relativitätstheorie fallen. Er fand Grund zu der Annahme, dass die VOA aus der Hypothese der Schlüssel zur Gravitationstheorie in dieser vereinfachten Konstruktion ist. In dieser Theorie verwandelt sich die J-Funktion in eine Schnittfunktion, die verschiedene Energiezustände zählt. Hier erscheinen verschiedene Monstersymbole, die den Zuständen des Schwarzen Lochs entsprechen. Witten fragte, ob einige dieser Schwarzlochzustände häufiger sind als andere. Wenn wir zurück zu Monster gehen, kommt es im Grunde auf die Frage an, wie viele Einheiten wir erwarten, wenn wir einen bestimmten Koeffizienten einer J-Funktion aufschlüsseln. Oder wie oft 196.883? Sind Einheiten selten? Oder gibt es meistens Einheiten mit ein paar interessanten Bedeutungen, die hier und da verstreut sind? Ich denke, viele Menschen haben diese Frage, wenn sie zum ersten Mal auf die Hypothese eines monströsen Unsinns stoßen. Wenn alles hauptsächlich auf Einheiten hinauslaufen würde, würde dies die Theorie viel weniger interessant machen. Aber mach dir keine Sorgen. Trotz der Tatsache, dass wir Einheiten von Anfang an sehen, werden sie sehr selten, wenn wir zu größeren Koeffizienten wechseln, und größere Symbole beginnen zu übernehmen. Nach dem 200. Koeffizienten erscheinen die Symbole hauptsächlich proportional zur Größe ihrer Messung. Ein Verhältnis von 1 zu allen anderen Zeichen beträgt etwa 1 zu 5,8 × 10 ^ 27. Dies ist ungefähr das Verhältnis der Masse der Büroklammer zur Masse der Erde. Das zweitgrößte Symbol kommt 196883- mal häufiger vor, das dritte - 21296876- mal häufiger usw. Zurück zur Witten-Konfiguration bedeutet dies, dass größere Energiezustände für ein Schwarzes Loch häufiger sind, während der triviale Vakuumzustand ( 1 ) praktisch nicht existiert.

Es gibt viele weitere Studien zu diesem Thema. Wir (Mathematiker) haben ein Phänomen für andere Gruppen außerhalb des Monsters beobachtet (und in einigen Fällen bewiesen). Experten für Stringtheorie blicken weiterhin in unsere Arbeit und hoffen, diese neuen Variationen in neue Gravitationstheorien umzuwandeln.

Für technisch versierte Leser, die sich für Details interessieren, empfehle ich Terry Gannons Buch „Nonsense Beyond the Monster“ oder diesen wissenschaftlichen Artikel (öffentlich verfügbar).