Wie Netzwerkmathematik Ihnen helfen kann, Freunde zu finden

Wenn Sie die Struktur bestehender Freundschaften in Ihrer Umgebung untersuchen, können Sie besser neue Beziehungen aufbauen und gleichzeitig einen neuen Freundeskreis bilden.

Umzug in eine neue Schule, ein neuer Job, Umzug in eine neue Stadt - wie macht man neue Freunde? Sie können sich dem Problem aktiv nähern und strategisch nützliche Beziehungen zu beliebten Leuten aufbauen. Oder Sie können alles dem Zufall überlassen und sich auf zufällige Gruppen und Verbindungen verlassen. In jedem Ansatz kann das Verständnis der Struktur bestehender Freundschaften in einer neuen Umgebung Ihnen helfen, die besten neuen Beziehungen aufzubauen, die letztendlich Ihren Bekanntenkreis bestimmen.

Stellen Sie sich vor, Sie ziehen in eine neue ungewöhnliche Stadt, Regularsk, in der es eine seltsame Regel gibt: Jede Person kann nicht mehr als vier Freunde haben, aber jeder möchte die Anzahl seiner Verbindungen maximieren. Wie wird die Struktur der Regularsk-Anleihen aussehen? Um diese Frage zu untersuchen, verwenden wir ein mathematisches Objekt, das als Netzwerk bezeichnet wird.

Einfach ausgedrückt ist ein Netzwerk eine Sammlung von Objekten, die als „Knoten“ bezeichnet werden, und die Verbindungen zwischen ihnen. Netzwerke sind ein mathematisch flexibles Konzept. Sie können Computer und Kabel bezeichnen, die sie verbinden, Autoren und ihre Assistenten, Rubiks Würfelzustände und Transformationen, die einen Übergang zwischen ihnen ermöglichen - tatsächlich jede Art von Verbindungen, real oder abstrakt. Um Freundschaften in Regularsk zu studieren, werden wir ein Netzwerk schaffen, in dem Menschen Knoten und Freundschaften zwischen ihnen sein werden.

Bei der Bezeichnung des Netzwerks ist es hilfreich, die Knoten in Form von Punkten und die Verbindungen in Form von Linien darzustellen, die wir auch als Kanten bezeichnen können. Ein solches Netzwerkdiagramm kann uns helfen, seine Struktur zu verstehen. Wie wird das Regularsk-Freundschaftsnetzwerk aussehen? Irgendwann kann es so aussehen:



Jede Person wird versuchen, vier Freunde zu finden, und neue Leute, die in die Stadt kommen, werden nach denen suchen, die noch weniger als vier Freunde haben. Dieses Netzwerk wird im Laufe der Zeit wachsen und durch Hinzufügen neuer Knoten ständig erweitert. (Es ist möglich, unabhängige Gruppen zu bilden, aber in diesem Beispiel vernachlässigen wir sie).

Netzwerkdiagramme können helfen, sie zu verstehen, und zeigen eine klare Struktur. Wenn Netzwerke jedoch wachsen oder keine so regelmäßige Struktur wie das reguläre Netzwerk aufweisen, werden Diagramme möglicherweise weniger nützlich. In diesem Fall ist es nützlich, verschiedene Methoden zur Analyse der Netzwerkstruktur zu entwickeln. Eine davon besteht darin, die Verteilung der Eckpunkte zu bewerten.

In einem Netzwerk wird die Anzahl der Verbindungen eines bestimmten Knotens als Grad bezeichnet. Ein Knoten ist stark mit vielen anderen verbunden. Ein Knoten mit einem niedrigen Grad ist weniger anderen Knoten zugeordnet.


Links - ein Knoten mit einem Grad von 8, rechts - mit einem Grad von 3

Der Grad der Knoten ist ein wichtiges Merkmal des Netzwerks, jedoch lokal: Er beschreibt die Struktur des Netzwerks nur innerhalb eines Knotens. Wenn Sie jedoch die Grade aller Knoten gleichzeitig abdecken, können Sie ein nützliches Werkzeug zum Studium der globalen Netzwerkstruktur erstellen.

In unserem Freundesnetzwerk ist der Grad jedes Knotens die Anzahl der Freunde einer Person. In Regularsk haben die meisten Leute vier Freunde, also haben die meisten Knoten einen Grad von 4. Niemand wird mehr Freunde haben, aber jemand wird weniger haben, also wird es Knoten mit den Graden 3, 2 oder 1 geben. Sie können die Verteilung der Grade zusammenfassen wie folgt:



Dieses Histogramm vermittelt wichtige Informationen über die Struktur unseres Netzwerks. In diesem einfachen Beispiel vermittelt es uns möglicherweise nicht so viel wie ein vollständiges Netzwerkdiagramm, aber wir werden sehen, wie die Verteilung der Grade für das Studium verschiedener Netzwerke sehr nützlich sein kann.

Lass uns in eine andere Stadt ziehen. In einem Durcheinander beginnt die Datierung zufällig. Da der Zufall eine schwierige Sache ist, lassen Sie uns den Umfang klar umreißen: Jeder Einwohner der Stadt wird durch einen Netzwerkknoten gekennzeichnet, und jeder mögliche Rand ist eine freundliche Verbindung. Um eine zufällige Verbindung herzustellen, wählen wir eine dieser möglichen Kanten auf zufällige Weise aus und zeichnen sie, wodurch eine Verbindung zwischen zwei Knoten und damit eine Freundschaft zwischen zwei Personen hergestellt wird.

Wie wird das Mess-Netzwerk aussehen? Wenn wir davon ausgehen, dass wir mit mehreren Knoten begonnen und zufällig mehrere Kanten hinzugefügt haben, kann das Bild wie folgt aussehen:



In einem solchen Diagramm ist die Struktur schwer zu erkennen. Vieles sagt uns jedoch die Verteilung der Abschlüsse in diesem Netzwerk. Es ist schwierig, direkt zu berechnen, kann aber anhand mehrerer wichtiger Eigenschaften und eines einfachen Beispiels dargestellt werden.

Angenommen, Sie sind einer von zehn Bewohnern der Messe. Wie viele wahrscheinliche Freundschaften können darin bestehen? Jeder von zehn Bewohnern kann mit neun anderen assoziiert werden, daher ist es grundsätzlich möglich, 10 × 9 = 90 Kanten zu zeichnen. Bei einer solchen Berechnung wird jedoch jede Verbindung zweimal berücksichtigt - einmal für jeden der beiden Freunde. Daher sollte die Gesamtzahl der Anleihen tatsächlich 90/2 = 45 betragen.

Nehmen wir nun an, wir wählen zufällig eine freundschaftliche Beziehung aus - das heißt eine der 45 möglichen Kanten. Wie wahrscheinlich ist es, dass sich die Rippe mit Ihnen verbindet? Neun Kanten können Sie zu einem der verbleibenden neun Knoten führen. Da neun von 45 möglichen Kanten zu Ihnen führen, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Kante eine Verbindung zu Ihnen herstellt, 9/45 = 1/5 oder 20%.

Das gleiche Argument gilt jedoch für Disorder, sodass jeder Knoten eine 20% ige Chance hat, eine Verbindung zu einer zufällig ausgewählten Kante herzustellen. Mit zunehmender Anzahl von Kanten und Knoten ändern sich diese Wahrscheinlichkeiten geringfügig, bleiben aber auf lange Sicht ungefähr auf dem gleichen Niveau. Das heißt, Freundschaften werden ungefähr gleichmäßig über das Mess verteilt. An einigen Stellen werden kleine Abweichungen beobachtet, aber die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person zu viele oder zu wenige Freundschaften hat, ist gering. In der Störung werden die meisten Bewohner wahrscheinlich enge Freunde mit durchschnittlichen Freunden haben.

Diese Merkmale beziehen sich auf die " Binomialverteilung " der Grade eines typischen zufälligen Netzwerks.



Wenn wir nur Zugriff auf die Gradverteilung im Netzwerk haben, können wir bereits eine gewisse Einheitlichkeit darin feststellen: Die meisten Knoten in Bezug auf die Konnektivität sind durchschnittlich, und eine sehr kleine Anzahl von Knoten befindet sich in extremen Positionen. Diese Informationen sind nützlich, um die Netzwerkstruktur zu verstehen. Durch das Hinzufügen von Knoten, dh mit dem Eintreffen neuer Personen in der Stadt, ändert sich die Verteilung geringfügig, wobei die Hauptmerkmale beibehalten werden.

Aber keines dieser Beispiele - nicht mehr als vier Freunde in Regularsk oder eine zufällig auftretende Freundschaft in Unordnung - ist ein realistisches Modell für Freundschaftsbeziehungen. Menschen können mehr als vier Freunde haben, und die Anwesenheit einer großen Anzahl von Bekannten ist überhaupt nicht so selten wie in der Binomialverteilung. Was wird ein realistischeres Modell der Freundschaft sein?

Wenn Sie Beziehungen zu Freunden und Freunden von Freunden aufbauen, ähnelt die Struktur Ihrer Freundschaften höchstwahrscheinlich anderen realen Netzwerken - Nahrungsmittelnetzwerken , Protein-Protein-Interaktionen oder dem Internet. Ihre Eigenschaften charakterisieren die sogenannten skalierungslosen Netzwerke - ein solches Konnektivitätsmodell dominiert seit mehr als 20 Jahren die Wissenschaft der Netzwerke. Forscher aus den Bereichen Mathematik, Physik, Wirtschaft, Biologie und Sozialwissenschaften haben charakteristische Anzeichen für das Vorhandensein skalierloser Netzwerke in ihren Forschungsgebieten beobachtet.


Anspruchsvolles skalierungsfreies Netzwerk für soziale Netzwerke

Die Struktur eines skalierungslosen Netzwerks hängt vom einfachen Prinzip der „bevorzugten Verbindungen“ ab. Die bevorzugte Verbindung ist die Regel „Rich Get Rich“, die sich auf das Netzwerkwachstum bezieht. Ein Knoten mit einer großen Anzahl vorhandener Verbindungen erhält viel häufiger neue Verbindungen als ein Knoten mit einer kleinen Anzahl. Neue Verbindungen zeigen eine Tendenz zu Knoten mit einer großen Anzahl von Verbindungen.

Ist dies im Zusammenhang mit der Bildung von Freundschaften sinnvoll? Grundsätzlich ist davon auszugehen, dass eine Person mit mehr Freunden eher neue Freunde findet. Da er bereits mit einer großen Anzahl von Menschen in Verbindung steht, ist die Wahrscheinlichkeit, aufgrund bestehender Verbindungen neue Menschen kennenzulernen, hoch. Je mehr Freunde, desto mehr Möglichkeiten, neue Freunde zu finden. Und die Tatsache, dass sie bereits viele Freunde haben, sagt, dass sie eine Gelegenheit oder eine Vorliebe für Freundschaft haben. Dies zieht eher andere an, ebenso wie beliebte Websites Links von anderen Websites und Blogs anziehen und entwickelte Städte neue Eisenbahnen und Flugrouten schaffen.

Obwohl verschiedene Faktoren das Wachstum skalierbarer Netzwerke beeinflussen, halten viele bevorzugte Verbindungen für die wichtigsten. Er hat auch einen erstaunlichen Einfluss auf die Verteilung der Abschlüsse im Netzwerk.



Es sagt das Auftreten einer "Dickschwanz" -Verteilung voraus. Die meisten Knoten im Netzwerk haben einen geringen Grad, aber es gibt auch Knoten mit zunehmendem Grad. Dies unterscheidet sich stark von den Regularsk- und Disorder-freundlichen Netzwerken, in denen es nur sehr wenige oder keine Knoten mit hohem Grad gibt.

Diese Knoten fungieren in hohem Maße als Hubs von Netzwerken und sind ein kritisches Merkmal von skalierungslosen Netzwerken. Sie sind soziale Schmetterlinge in Freundesnetzwerken, Banken im Zentrum der Wirtschaft, zentralisierte Router, die regionale Internetverbindungen zulassen , Kevinov Beykonov in der Schauspielwelt . Hubs können ein Gefühl für eine enge Welt in einem riesigen Netzwerk vermitteln. Beispielsweise sind zwei zufällig ausgewählte Personen aus 2 Milliarden Facebook-Nutzern im Durchschnitt nicht weiter voneinander entfernt als in vier freundschaftlichen Beziehungen . Die Anzahl und Vielfalt der Hubs verleiht großen Netzwerken Widerstand gegen eine bestimmte Art von Diskontinuität. Selbst wenn viele Internetverbindungen ausfallen, können Nachrichten beispielsweise weiterhin erreicht werden, insbesondere weil es immer noch viele Möglichkeiten gibt, zu vielen Hubs zu vielen anderen Hubs zu gelangen.

Und obwohl viele der Meinung sind, dass skalierungsfreie Netzwerke und ihre Eigenschaften nützlich sind, gibt es in diesem Forschungsbereich Widersprüche. Die genauen mathematischen Eigenschaften einer solchen Gradverteilung sind manchmal schwer zu interpretieren. In Linked: The New Science of Networks schreibt der Pionier der Netzwerkforschung und Physiker Albert Lazlo Barabasi , dass in Netzwerken mit bevorzugten Verbindungen die Verteilung der Grade einem Potenzgesetz folgt. Leistungsverteilungen finden sich häufig in vielen physikalischen Situationen - zum Beispiel im Gesetz der inversen Quadrate für die Schwerkraft oder elektrische Felder. Sie können als Funktionen mit der Form dargestellt werden

$$

$$f (x) = {{a} \ über {x ^ k}}$$

Ihre Grafiken sehen normalerweise so aus:



Leistungsverteilungen haben „dicke Schwänze“. Aber wie dick? Wie viele Hubs eines bestimmten Grades sollten in einem solchen Netzwerk gefunden werden? In einer in diesem Jahr veröffentlichten Studie wurden mehr als 1000 reale Netzwerke untersucht, und es wurde festgestellt, dass nur ein Drittel von ihnen eine durch ein Potenzgesetz beschriebene Gradverteilung aufweisen kann. Für viele Netzwerke könnte die Gradverteilung genauer als exponentiell oder lognormal beschrieben werden . Sie haben möglicherweise Eigenschaften auf hoher Ebene von skalierungslosen Netzwerken, aber können sie als solche betrachtet werden, wenn die Grade in ihnen nicht wie erwartet verteilt sind? Und spielt es überhaupt eine Rolle?

Es ist wichtig, ob wir unsere Theorien mit unseren Daten in Beziehung setzen wollen. Ist bevorzugte Kommunikation ein wichtiger Faktor beim Aufbau skalierungsfreier Netzwerke? Gibt es andere Faktoren, die eine wichtige Rolle spielen und die Gradverteilung auf die andere Seite führen können? Wenn wir diese Fragen beantworten und verstehen, welche Fragen als nächstes gestellt werden sollten, werden wir die Natur und Struktur von Netzwerken, wie sie sich entwickeln und entwickeln, wirklich besser verstehen.

Diese Widersprüche erinnern uns auch daran, dass Mathematik wie Netzwerke auch eine Sammlung sich entwickelnder Verbindungen ist. Die aktuelle Forschung stellt 20 Jahre alte Hypothesen in einem relativ neuen Bereich der Netzwerkforschung in Frage. Neue Ideen, die sich dem Netzwerk anschließen, verbinden uns alle mit der Mathematik der Vergangenheit und der Zukunft. In mathematischen Fragen wie im Bereich der Freundschaft ist es also nützlich, Hubs zu finden und Ihren Abschluss zu maximieren.

Übungen

• Wie sieht ein Netzwerk von Freunden aus, wenn jede Person genau zwei Freunde hat?
• In Regularsk kann jede Person bis zu vier Freunde finden. Es kann separate Gruppen geben, in denen jede Person genau vier Freunde hat. Wie viele Personen können in eine solche Gruppe aufgenommen werden? (Hinweis: Die Antwort bezieht sich auf reguläre Polyeder ).
• Unsere Netzwerke basieren auf der Tatsache, dass Freundschaft ein symmetrisches Konzept ist. Wenn A mit B befreundet ist, ist B mit A befreundet. Wie können wir unser Netzwerkmodell so korrigieren, dass es asymmetrische Verbindungen enthält, in denen A mit B befreundet sein kann und B nicht mit A befreundet sein kann?
• In Friends ist jeder Bewohner mit allen anderen befreundet. Wenn in Friends n Menschen leben, wie viele Freundschaftsbeziehungen entstehen dort?