Hintergrund

Der Grund für diese Veröffentlichung ist ein mehrdeutiger Artikel über das Prinzip der geringsten Aktion (IPA) , der vor einigen Tagen in der Ressource veröffentlicht wurde. Es ist mehrdeutig, weil sein Autor in einer populären Form versucht, dem Leser eines der Grundprinzipien einer mathematischen Beschreibung der Natur zu vermitteln, und es gelingt ihm teilweise. Wenn nicht für einen, aber am Ende der Veröffentlichung lauern. Unter dem Spoiler befindet sich ein vollständiges Zitat dieser Passage


Was ist meiner Meinung nach das Problem?

Das Problem ist, dass der Autor unter Berufung auf dieses Beispiel eine Reihe grundlegender Fehler gemacht hat. Hinzu kommt, dass der geplante zweite Teil laut Autor auf diesen Fehlern basiert. Ausgehend von dem Prinzip, die Ressource mit verlässlichen Informationen zu füllen, bin ich gezwungen, meine Position zu diesem Thema ausführlicher zu erläutern, und das Format der Kommentare hierfür reicht nicht aus.

In diesem Artikel wird erläutert, wie Mechanik auf der Grundlage von PND aufgebaut ist, und es wird versucht, dem Leser zu erklären, dass das vom Autor der zitierten Veröffentlichung aufgeworfene Problem fehlt.

1. Definition der Hamilton-Aktion. Prinzip der geringsten Aktion

Hamilton-Aktion heißt funktional

$$

$$S = \ int \ limit_ {t_1} ^ {t_2} \, L \ left (\ mathbf q (t), \ dot {\ mathbf q} (t) \ right) \, dt$$

wo

$$

$$L \ left (\ mathbf q (t), \ dot {\ mathbf q} (t) \ right) = T \ left (\ mathbf q (t), \ dot {\ mathbf q} (t) \ right) - \ Pi (\ mathbf q)$$

Ist die Lagrange-Funktion für ein mechanisches System, in dem (ohne die folgenden Argumente) T die kinetische Energie des Systems ist; P - seine potentielle Energie; q (t) ist der Vektor der verallgemeinerten Koordinaten dieses Systems, der eine Funktion der Zeit ist. Es wird angenommen, dass die Zeitpunkte t ₁ und t ₂ festgelegt sind.

Warum ist Funktionalität nicht Funktion? Weil eine Funktion per Definition eine Regel ist, nach der eine Zahl aus der Definitionsdomäne (Funktionsargument) einer anderen Zahl aus der Wertedomäne zugeordnet wird. Eine Funktion unterscheidet sich darin, dass das Argument keine Zahl, sondern eine ganze Funktion ist. In diesem Fall ist dies das Bewegungsgesetz des mechanischen Systems q (t), das mindestens über das Zeitintervall zwischen t ₁ und t _{2 definiert ist} .

Langfristig (und das ist milde ausgedrückt!) Machten uns Mechaniker (einschließlich des atemberaubenden Leonard Euler) die Formulierung ermöglichen

Prinzip der geringsten Handlung:

Ein mechanisches System, für das die Lagrange-Funktion spezifiziert ist $$$L \ left (\ mathbf q (t), \ dot {\ mathbf q} (t) \ right)$ bewegt sich so, dass das Gesetz seiner Bewegung q (t) dem Funktionalen ein Minimum liefert

$$

$$S = \ int \ limit_ {t_1} ^ {t_2} \, L \ left (\ mathbf q (t), \ dot {\ mathbf q} (t) \ right) \, dt \ to \ min$$

nannte die Hamilton-Aktion.

Bereits aus der Definition von PND folgt die Tatsache, dass dieses Prinzip nur für eine begrenzte Klasse mechanischer Systeme zu Bewegungsgleichungen führt. Für was? Und lassen Sie es uns herausfinden.

2. Die Grenzen der Anwendbarkeit des Grundsatzes der geringsten Wirkung. Einige Definitionen für die Kleinsten

Wie sich aus der Definition der Lagrange-Funktion ergibt, ermöglicht PND wiederum, Bewegungsgleichungen für mechanische Systeme zu erhalten, deren Kraftwirkung ausschließlich durch die potentielle Energie bestimmt wird. Um herauszufinden, über welche Systeme wir sprechen, werden wir verschiedene Definitionen geben, die ich, um den Artikel zu speichern, unter den Spoiler gestellt habe

3. Das Konzept der Variationen verallgemeinerter Koordinaten. Erklärung des Variationsproblems

Wir betrachten nun ein mechanisches System, das sich unter der Einwirkung potentieller Kräfte bewegt, dessen Position eindeutig durch den Vektor verallgemeinerter Koordinaten bestimmt wird

$$

$$\ mathbf q = \ left [q_1, \, q_2, \, \ dots, \, q_s \ right] ^ T \ quad (4)$$

Dabei ist s die Anzahl der Freiheitsgrade eines bestimmten Systems.

Tatsächlich, aber uns noch unbekannt, wird das Bewegungsgesetz dieses Systems durch die Abhängigkeit der verallgemeinerten Koordinaten (4) von der Zeit bestimmt. Betrachten Sie eine der verallgemeinerten Koordinaten $$$q_i = q_i (t)$ unter der Annahme einer ähnlichen Begründung für alle anderen Koordinaten.


Abbildung 1. Tatsächliche Bewegung und Kreisverkehr eines mechanischen Systems

In der Abbildung die Abhängigkeit $$$q_i (t)$ dargestellt durch eine rote Kurve. Wir wählen zwei beliebige feste Zeitpunkte t ₁ und t ₂ und setzen t ₂ > t ₁ . Systemposition $$$\ mathbf q_1 = \ mathbf q (t_1)$ Wir stimmen zu, die Ausgangsposition des Systems zu nennen, und $$$\ mathbf q_2 = \ mathbf q (t_2)$ - die Endposition des Systems.

Ich bestehe jedoch noch einmal darauf, dass der folgende Text sorgfältig gelesen wird! Trotz der Tatsache, dass wir die Anfangs- und Endposition des Systems festlegen, sind uns weder die erste noch die zweite Position im Voraus unbekannt! Sowie das unbekannte Bewegungsgesetz des Systems! Diese Bestimmungen gelten unabhängig von ihrer spezifischen Bedeutung genau als Anfangs- und Endposition.

Darüber hinaus glauben wir, dass von der Anfangsposition bis zum Endsystem verschiedene Wege gehen können, dh die Abhängigkeit $$$\ mathbf q = \ mathbf q (t)$ kann kinematisch möglich sein. Die tatsächliche Bewegung des Systems wird in einer einzelnen Variante (rote Kurve) vorliegen, die verbleibenden kinematisch möglichen Varianten werden als Kreisverkehrbewegungen bezeichnet $$$\ mathbf q ^ {*} = \ mathbf q ^ {*} (t)$ (blaue Kurve in der Abbildung). Unterschied zwischen real und Kreisverkehr

$$

$$\ delta q_i (t) = q ^ {*} _ i (t) - q_i (t), \ quad \ forall i = \ overline {1, s} \ quad (5)$$

wird als isochrone Variation verallgemeinerter Koordinaten bezeichnet

In diesem Zusammenhang sind Variationen (5) als infinitesimale Funktionen zu verstehen, die die Abweichung des Kreisverkehrs vom realen Kreisverkehr ausdrücken. Das kleine „Delta“ für die Bezeichnung wurde nicht zufällig ausgewählt und betont den grundlegenden Unterschied zwischen Variation und Funktionsdifferenz. Differential ist der lineare Hauptteil des Funktionsinkrements, das durch das Argumentinkrement verursacht wird. Im Falle einer Variation wird eine Änderung des Werts einer Funktion mit einem konstanten Wert des Arguments durch eine Änderung der Form der Funktion selbst verursacht! Wir variieren das Argument nicht in der Rolle der Zeit, daher wird die Variation als isochron bezeichnet. Wir variieren die Regel, nach der jeder Zeitwert mit einem bestimmten Wert verallgemeinerter Koordinaten in Übereinstimmung gebracht wird!

Tatsächlich variieren wir das Bewegungsgesetz, nach dem sich das System vom Ausgangszustand in den Endzustand bewegt. Der Anfangs- und Endzustand wird durch das tatsächliche Bewegungsgesetz bestimmt, aber ich betone noch einmal, dass wir ihre spezifischen Werte nicht kennen und kinematisch möglich sein können. Wir glauben nur, dass sie existieren und das System sich garantiert von einer Position zur anderen bewegt! In der Anfangs- und Endposition des Systems variieren wir das Bewegungsgesetz nicht, daher sind die Variationen der verallgemeinerten Koordinaten in der Anfangs- und Endposition gleich Null

$$

$$\ delta q_i (t_1) = \ delta q_i (t_2) = 0, \ quad \ forall i = \ overline {1, s} \ quad (6)$$

Basierend auf dem Prinzip der geringsten Aktion muss die tatsächliche Bewegung des Systems so sein, dass ein Minimum an Aktionsfunktionalität bereitgestellt wird. Das Variieren der Koordinaten führt zu einer Änderung der Funktionsweise der Aktion. Eine notwendige Bedingung, damit die Funktion einen Extremwert erreicht, ist die Gleichheit ihrer Variation mit Null

$$

$$\ Delta S = \ Delta \ Int \ Limits_ {t_1} ^ {t2} \, L (q_1, \ Punkte, q_s, \, \ Punkt q_1, \ Punkte, \ Punkt q_s) \, dt = 0 \ quad ( 7)$$

4. Die Lösung des Variationsproblems. Lagrange-Gleichungen der 2. Art

Lösen wir unser Variationsproblem, für das wir die vollständige Variation der Aktionsfunktion berechnen und mit Null gleichsetzen

$$

$$\ begin {align} \ delta S = & \ int \ border_ {t_1} ^ {t2} \, L (q_1 + \ delta q_1, \ dots, q_s + \ delta q_s, \, \ dot q_1 + \ delta \ Punkt q_1, \ Punkte, \ Punkt q_s + \ Delta \ Punkt q_s) \, dt - \\ & - \ int \ Grenzen_ {t_1} ^ {t2} \, L (q_1, \ Punkte, q_s, \, \ Punkt q_1, \ dots, \ dot q_s) \, dt = 0 \ end {align}$$

Lassen Sie uns alles unter ein Integral schieben, und da alle Operationen mit infinitesimalen Größen für Variationen gültig sind, transformieren wir dieses Krokodil in die Form

$$

$$\ int \ limit_ {t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limit_ {i = 1} ^ s \ frac {\ partielles L} {\ partielles q_i} \ delta q_i + \ sum \ limit_ {i = 1 } ^ s \ frac {\ partielles L} {\ partielles \ dot q_i} \ delta \ dot q_i \ right] \, dt = 0 \ quad (8)$$

Basierend auf der Definition der allgemeinen Geschwindigkeit

$$

$$\ delta \ dot q_i = \ frac {d (\ delta q_i)} {dt}$$

Dann wird Ausdruck (8) in die Form umgewandelt

$$

$$\ int \ limit_ {t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limit_ {i = 1} ^ s \ frac {\ partielles L} {\ partielles q_i} \ delta q_i \, dt + \ sum \ limit_ { i = 1} ^ s \ frac {\ partielles L} {\ partieller \ Punkt q_i} d (\ delta q_i) \ rechts] = 0$$

Der zweite Begriff ist in Teilen integriert

$$

$$\ sum \ limit_ {i = 1} ^ s \ frac {\ partielles L} {\ partielles \ dot q_i} \ delta q_i | _ {t_1} ^ {t_2} + \ int \ limit_ {t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limit_ {i = 1} ^ s \ frac {\ partielles L} {\ partielles q_i} \ delta q_i - \ sum \ limites {i = 1} ^ s \ frac {d} {dt} \ links (\ frac {\ partiell L} {\ partiell \ Punkt q_i} \ rechts) \ delta q_i \ rechts] \, dt = 0 \ quad (10)$$

Basierend auf Bedingung (7) haben wir

$$

$$\ sum \ limit_ {i = 1} ^ s \ frac {\ partielles L} {\ partielles \ dot q_i} \ Delta q_i | _ {t_1} ^ {t_2} = 0$$

dann bekommen wir die Gleichung

$$

$$\ int \ limit_ {t_1} ^ {t_2} \ left [\ sum \ limit_ {i = 1} ^ s \ left (\ frac {\ partielles L} {\ partielles q_i} - \ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ partielles L} {\ partielles \ dot q_i} \ right) \ right) \, \ delta q_i \ right] \, dt = 0$$

Bei beliebigen Integrationsgrenzen wird das Verschwinden eines bestimmten Integrals durch das Verschwinden des Integranden sichergestellt

$$

$$\ sum \ limit_ {i = 1} ^ s \ left [\ frac {\ partielles L} {\ partielles q_i} - \ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ partielles L} {\ partielles \ Punkt q_i} \ rechts) \ rechts] \, \ Delta q_i = 0 \ quad (11)$$

Angesichts der Tatsache, dass die Variationen der verallgemeinerten Koordinaten unabhängig sind, ist (11) nur gültig, wenn alle Koeffizienten der Variationen gleich Null sind, d.h.

$$

$$\ frac {\ partielles L} {\ partielles q_i} - \ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ partielles L} {\ partielles \ dot q_i} \ rechts) = 0, \ quad \ forall i = \ overline {1, s}$$

Niemand stört uns, jede der Gleichungen mit (-1) zu multiplizieren und eine vertrautere Notation zu erhalten

$$

$$\ frac {d} {dt} \ left (\ frac {\ partielles L} {\ partielles \ dot q_i} \ rechts) - \ frac {\ partielles L} {\ partielles q_i} = 0, \ quad \ forall i = \ overline {1, s} \ quad (12)$$

Gleichungen (12) sind die Lösung des Problems . Und an diesem Punkt liegt die Aufmerksamkeit wieder auf der Lösung des Variationsproblems durch das Prinzip der geringsten Wirkung. Dies ist keine Funktion , die nach Hamilton eine minimale Wirkung liefert, sondern ein System von Differentialgleichungen, durch deren Lösung eine solche Funktion gefunden werden kann . In diesem Fall ist dies eine Lagrange-Differentialgleichung zweiter Ordnung, die in Bezug auf die Lagrange-Funktion geschrieben wurde, dh in der Formulierung für konservative mechanische Systeme.

Und das ist es, das Prinzip der geringsten Wirkung endet dort und die Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen beginnt, die insbesondere besagt, dass die Lösung von Gleichung (12) eine Vektorfunktion der Form ist

$$

$$\ mathbf q = \ mathbf q (t, C_1, C_2, \ dots, C_ {2s})$$

wobei C ₁ , ..., C ₂ beliebige Integrationskonstanten sind.

Auf diese Weise

PND ist ein Grundprinzip, mit dem man die Bewegungsgleichungen eines Systems erhalten kann, für das die Lagrange-Funktion definiert ist

Ein Punkt! Bei den Problemen der analytischen Mechanik müssen die obigen Berechnungen nicht mehr durchgeführt werden, es reicht aus, ihr Ergebnis zu verwenden (12). Eine Funktion, die Gleichung (12) erfüllt, ist das Bewegungsgesetz eines Systems, das PND erfüllt.

5. Das Problem mit dem Ball und der Wand

Nun zurück zu der Aufgabe, mit der alles begann - über die eindimensionale Bewegung einer Kugel in der Nähe einer absolut elastischen Wand. Natürlich kann man für dieses Problem Differentialgleichungen der Bewegung erhalten. Da es sich um Differentialgleichungen der Bewegung handelt, liefert jede ihrer Lösungen ein Minimum an funktionaler Aktion, was bedeutet, dass PND ausgeführt wird! Die allgemeine Lösung der Bewegungsgleichungen der Kugel kann in Form des sogenannten Phasenporträts des betrachteten mechanischen Systems dargestellt werden. Dieses Phasenporträt


Abbildung 2. Phasenporträt des Systems im Ballproblem

Die Koordinate der Kugel ist auf der horizontalen Achse und die Geschwindigkeitsprojektion auf der x-Achse auf der vertikalen Achse aufgetragen. Es mag seltsam erscheinen, aber diese Zeichnung spiegelt alle möglichen Phasenverläufe des Balls unter beliebigen Anfangsbedingungen oder, wenn Sie möchten, Randbedingungen wider. Tatsächlich gibt es unendlich viele parallele Linien in der Grafik, die Zeichnung zeigt einige davon und die Bewegungsrichtung entlang der Phasenbahn.

Dies ist eine allgemeine Lösung für die Ballbewegungsgleichung. Jede dieser Phasenverläufe liefert ein Minimum der Aktionsfunktion, die sich direkt aus den oben durchgeführten Berechnungen ergibt.

Was macht der Aufgabenautor? Er sagt: Hier ist der Ball in Ruhe, und für den Zeitraum von t _A bis t _{B ist die} Aktion Null. Wenn der Ball gegen die Wand gedrückt wird, ist die Aktion im gleichen Zeitraum größer, da der Ball eine ungleich Null und unveränderte kinetische Energie hat. Aber warum bewegt sich der Ball zur Wand, weil im Ruhezustand weniger Action herrscht? PND hat also Probleme und funktioniert nicht! Aber wir werden dies definitiv im nächsten Artikel lösen.

Was der Autor sagt, ist Unsinn. Warum? Ja, weil er Aktionen auf verschiedenen Zweigen derselben realen Phasenbahn vergleicht! Währenddessen wird beim Anwenden des PND die Aktion auf der tatsächlichen Flugbahn und auf vielen Kreisverkehrstrajektorien verglichen.Das heißt, die Aktion auf der realen Flugbahn wird mit der Aktion auf den Flugbahnen verglichen, die nicht in der Natur liegen und niemals sein werden!

Unverständlich? Ich werde es noch verständlicher erklären. Betrachten Sie den Ruhezustand. Es wird durch einen Zweig eines Phasenporträts beschrieben, der mit der Abszissenachse zusammenfällt. Die Koordinate ändert sich im Laufe der Zeit nicht. Dies ist eine echte Bewegung. Und welche Art von Bewegung wird Kreisverkehr sein. Jede andere kinematisch möglich. Zum Beispiel kleine Kugelvibrationen in der Nähe der Ruheposition, die wir betrachten. Ermöglicht das Problem, dass der Ball entlang der x-Achse schwingt? Angenommen, dann ist eine solche Bewegung kinematisch möglich und kann als einer der Kreisverkehre angesehen werden.

Warum ruht der Ball noch? Ja, weil die Aktion in Ruhe über einen festgelegten Zeitraum von t _A bis t berechnet wird_B , es wird weniger Aktion geben, mit kleinen Schwankungen im gleichen Zeitraum. Dies bedeutet, dass die Natur den Schwingungen und jedem anderen „Rühren“ des Balls den Frieden vorzieht. In voller Übereinstimmung mit der IPA.

Nehmen wir an, wir haben den Ball gegen die Wand geschoben. Lassen Sie es uns so schieben, wie der Autor es wünscht, mit einer Geschwindigkeit, die aus den Randbedingungen ausgewählt wird, so dass sich _der Ball zum Zeitpunkt t _B in derselben Position befindet, von der aus er gestartet ist. Der Ball mit konstanter Geschwindigkeit erreicht die Wand, springt elastisch und kehrt zum Zeitpunkt t _B wieder mit konstanter Geschwindigkeit in seine Ausgangsposition zurück . Ok, das ist eine echte Bewegung. Welche Bewegung wird einer der Kreisverkehre sein? Zum Beispiel, wenn sich der Ball mit einer Geschwindigkeit, die sich mit der Zeit ändert, zur Wand hin und von dieser weg bewegt. Ist eine solche Bewegung kinematisch möglich? Möglicherweise.Warum ändert sich das Ballgeschwindigkeitsmodul nicht? Ja, da die Aktion auf einer solchen Phasenbahn im Vergleich zu jeder anderen Option, bei der die Geschwindigkeit von der Zeit abhängt, einen Mindestwert hat.

Das ist alles.Hier passiert nichts so Magisches. IPA funktioniert ohne Probleme.

Schlussfolgerungen und Wünsche

PND ist ein grundlegendes Naturgesetz. Daraus folgen insbesondere die Gesetze der Mechanik beispielsweise Differentialgleichungen der Bewegung (12). PND sagt uns, dass die Natur so strukturiert ist, dass die Bewegungsgleichung eines konservativen mechanischen Systems genau wie Ausdruck (12) aussieht und sonst nichts. Mehr wird von ihm nicht verlangt.

Keine Notwendigkeit, Probleme zu erfinden, wo sie nicht sind.