Mathe-Titanen streiten sich um den epischen Beweis der ABC-Hypothese

Zwei Mathematiker behaupten, ein Loch im Herzen der Beweise gefunden zu haben, die die mathematische Gemeinschaft seit sechs Jahren erschüttert haben.

In einem im September 2018 im Internet veröffentlichten Bericht haben Peter Scholze von der Universität Bonn und Jacob Styx von der Goethe-Universität in Frankfurt in einer riesigen Reihe umfangreicher Werke von Shinichi Motizuki , dem berühmten genialen Mathematiker der Universität Kyoto, beschrieben, was Styx die „ernsthafte und unersetzliche Lücke“ nennt . Die 2012 im Internet veröffentlichten Werke von Motizuki beweisen angeblich die abc-Hypothese , eines der weitreichendsten Probleme der Zahlentheorie .

Trotz der vielen Konferenzen, die versuchten, Motizukis Beweis zu erklären, hatten Experten der Zahlentheorie Schwierigkeiten, mit den dahinter stehenden Ideen fertig zu werden. Seine Werkreihe mit einem Gesamtvolumen von mehr als 500 Seiten ist in einem obskuren Stil verfasst und verweist auf seine frühere Arbeit von etwa 500 Seiten, die zur Entstehung eines „Gefühls endloser Regression“ führt, wie es der Mathematiker Brian Conrad von der Stanford University ausdrückte .

Von den Mathematikern, die den Beweis studiert haben, glauben 12 bis 18 an seine Richtigkeit, wie mir Ivan Fesenko von der University of Nottingham per E-Mail schrieb. Doch als Konrad im vergangenen Dezember in einem Blog die Situation bei der Beweisdiskussion kommentierte, bürgten nur Mathematiker aus dem "inneren Kreis von Mochizuki" für die Richtigkeit der Beweise. "Es gibt niemanden mehr, der, wenn auch informell, erklären möchte, dass er von der Vollständigkeit der Beweise überzeugt ist."

Wie Frank Kalegari von der University of Chicago im Dezember in seinem Blog schrieb , "zögern Mathematiker, Probleme mit Motizukis Beweisen zu melden, weil sie nicht auf einen bestimmten Fehler hinweisen können."

Jetzt hat sich alles geändert. In ihrem Bericht argumentieren Scholze und Styx, dass die Argumentation, die näher am Ende des Beweises von „Korollar 3.12“ im dritten von Motizukis vier Werken liegt, grundsätzlich falsch ist. Und diese Konsequenz ist notwendig für seinen Beweis der abc-Hypothese.

"Es scheint mir, dass das Problem mit der abc-Hypothese offen bleibt", sagte Scholze. "Und jeder hat die Chance, ihn zu beweisen."


Peter Scholze

Die Schlussfolgerungen von Scholze und Styx basieren nicht nur auf ihrer eigenen Untersuchung der Arbeit, sondern auch auf dem wöchentlichen Besuch von Motizuki und seinem Kollegen Yuchiro Hoshi im März an der Universität Kyoto, um diese Beweise zu diskutieren. Scholze sagt, dass dieser Besuch ihm und Styx sehr geholfen hat, ihren Einwänden auf den Grund zu gehen. Infolgedessen kamen zwei Wissenschaftler zu dem Schluss, dass es keine Beweise gibt, schreiben sie in den Bericht.

Dieses Treffen endete jedoch mit der Unzufriedenheit der Parteien. Motizuki konnte Scholze und Styx nicht davon überzeugen, dass sein Beweis korrekt war, und sie konnten ihn nicht davon überzeugen, dass er falsch war. Motizuki hat den Bericht von Scholze und Styx bereits auf seiner Website veröffentlicht und einige seiner Einwände hinzugefügt.

In ihnen führt Motizuki die Kritik an Scholze und Styx auf „bestimmte grundlegende Fehlinterpretationen“ seiner Arbeit zurück. Ihre "negative Einstellung", schreibt er, "bedeutet nicht, dass es irgendwelche Mängel gibt" in seiner Theorie.

So wie Motizukis ernsthafter Ruf Mathematiker dazu brachte, seine Arbeit als ernsthaften Versuch zu betrachten, eine Hypothese zu beweisen, stellt Scholze und Styx 'Ruf sicher, dass Mathematiker darauf achten, was sie sagen wollen. Obwohl Scholze erst 30 Jahre alt war, kletterte er auf seinem Feld schnell an die Spitze. Im August erhielt er den Fields Prize , die höchste Auszeichnung in Mathematik. Styx ist Experte für das Studium der anabelschen Geometrie Mochizuki.

"Peter und Jacob sind äußerst vorsichtige und nachdenkliche Mathematiker", sagte Conrad. "Wenn sie irgendwelche Bedenken haben, sollten sie wirklich geklärt werden."

Stolperstein

Die abc-Hypothese, die Conrad als "eine der bekanntesten Hypothesen in der Zahlentheorie" bezeichnete, beginnt mit einer der einfachsten Gleichungen, die allgemein dargestellt werden können: a + b = c. Die drei Zahlen a, b und c sind positive ganze Zahlen ohne gemeinsame Primteiler. Das heißt, wir können die Gleichung 8 + 9 = 17 oder 5 + 16 = 21 betrachten, aber nicht 6 + 9 = 15, da die Zahlen 6, 9 und 15 durch 3 geteilt werden.

Mit einer solchen Gleichung können wir alle Primzahlen betrachten, in die eine der drei an der Gleichung beteiligten Zahlen unterteilt ist - im Fall der Gleichung 5 + 16 = 21 sind diese Primzahlen beispielsweise 2, 3, 5 und 7. Ihr Produkt ist 210 und es ist viel größer als jede der an der Gleichung beteiligten Zahlen. Und umgekehrt nehmen in der Gleichung 5 + 27 = 32 die Primzahlen 2, 3 und 5 teil, deren Produkt 30 ist - und dies ist weniger als die Zahl 32, die an der Gleichung beteiligt ist. Das Produkt ist so klein, weil die Zahlen 27 und 32 sehr kleine einfache Teiler (3 und 2) haben, die einfach viele Male wiederholt werden, um diese Zahlen zu erhalten.

Wenn Sie anfangen, mit anderen ABC-Triple zu spielen, stellen Sie möglicherweise fest, dass diese zweite Option äußerst selten ist. Zum Beispiel gibt es unter 3044 verschiedenen Tripeln, für die die Terme a und b kleiner als 100 sind, nur sieben, bei denen das Produkt der Primteiler kleiner als c ist. Die in den 1980er Jahren formulierte abc-Hypothese formalisiert eine intuitive Vorstellung von der Seltenheit solcher Tripel.

Zurück zum Beispiel 5 + 27 = 32. 32 ist mehr als 30, aber nicht viel. Dies ist weniger als 30 ² oder 30 ^1,5 oder sogar 30 ^1,02 , was 32,11 entspricht. Die abc-Hypothese besagt, dass wenn Sie einen Grad größer als 1 wählen, es nur eine endliche Anzahl von Tripeln abc gibt, für die c mehr ist als das Produkt von Primteilern, die auf den gewählten Grad angehoben sind.

"Die abc-Hypothese ist eine sehr einfache Aussage in Bezug auf Multiplikation und Division", sagte Minyun Kim von der Universität Oxford. Er sagte, dass mit dieser Aussage "es das Gefühl gibt, dass Sie eine sehr grundlegende Struktur numerischer Systeme enthüllen, die Sie zuvor noch nicht gesehen haben."

Die Einfachheit der Gleichung a + b = c bedeutet, dass eine Vielzahl anderer Probleme unter ihren Einfluss fallen. Zum Beispiel ist Fermats großer Satz mit Gleichungen der Form x ⁿ + y ⁿ = z ⁿ und der katalanischen Hypothese verbunden , die besagt, dass 8 und 9 die einzigen aufeinanderfolgenden zwei perfekten Grade sind [Zahlen ausgedrückt als ganze Zahl in einem ganzzahligen Grad / ca. transl.] (da 8 = 2 ³ und 9 = 3 ² ), spricht von einer Gleichung der Form x ^m + 1 = y ⁿ . Die abc-Hypothese (in einer bestimmten Form) würde diesen beiden Theoremen neue Beweise liefern und einen ganzen Berg offener Probleme lösen, die damit verbunden sind.


Jacob Styx

Diese Hypothese "scheint immer an der Grenze zwischen Bekanntem und Unbekanntem zu liegen", schrieb Dorian Goldfeld von der Columbia University.

Das Ausmaß der Konsequenzen des Beweises der Hypothese überzeugte Experten der Zahlentheorie davon, dass es sehr schwierig sein würde, sie zu beweisen. Als 2012 berichtet wurde, dass Motizuki die Beweise vorlegte, waren viele Mathematiker erfreut, in seine Arbeit einzutauchen - aber nur aufgrund einer ungewohnten Sprache und ungewöhnlichen Darstellung von Informationen zum Stillstand zu kommen. Die Definitionen umfassten mehrere Seiten, gefolgt von Theoremen mit denselben langen Aussagen, und ihre Beweise wurden in Sätzen wie „folgt unmittelbar aus der Definition“ beschrieben.

"Jedes Mal, wenn ich von der Analyse der Arbeit von Mochizuki durch einen Experten (inoffiziell) höre, ist seine Rezension unverschämt vertraut: weite Felder trivialer Dinge, gefolgt von riesigen Bergen ungerechtfertigter Schlussfolgerungen ", schrieb Kalegari im Dezember in seinem Blog.

Scholze war einer der ersten Leser der Arbeit. Er ist dafür bekannt, dass er Mathematik schnell aufnehmen und tief in sie eintauchen kann. Deshalb ging er weiter als viele Theoretiker und beendete kurz nach ihrem Erscheinen das, was er als „grobe Lektüre“ der vier Hauptwerke bezeichnete. Scholze wurde durch lange Sätze mit kurzen Beweisen verwechselt, was ihm wahr, aber unbegründet erschien. Er schrieb später , dass in zwei Zwischenwerken "wenig passiert".

Dann kam Scholze in seiner dritten Arbeit zu Korollar 3.12. Mathematiker verwenden normalerweise das Wort "Konsequenz", um einen Satz zu bezeichnen, der dem vorherigen untergeordnet ist, was wichtiger ist. Im Fall von Korollar 3.12 aus Motizuki sind sich die Mathematiker jedoch einig, dass dies der Hauptsatz zum Beweis der abc-Hypothese ist. Ohne sie "gibt es keine Beweise ", schrieb Calegari. "Dies ist ein kritischer Schritt."

Diese Folgerung ist der einzige Satz in zwei Zwischenwerken, deren Beweis mehr als ein paar Zeilen umfasst - er erstreckt sich über neun Seiten. Scholze ging durch sie hindurch und erreichte den Punkt, an dem er der Logik nicht mehr folgen konnte.

Zu dieser Zeit war er erst 24 Jahre alt und er war der Ansicht, dass der Beweis falsch war. Aber er ging praktisch nicht in die Diskussion der Werke ein, es sei denn, er wurde direkt danach gefragt. Schließlich, so dachte er, dürften andere Mathematiker in diesen Werken bedeutende Ideen finden, die er vermisst hat. Oder vielleicht kommen sie irgendwann zu dem gleichen Schluss wie er. Auf die eine oder andere Weise, so glaubte er, wird die mathematische Gemeinschaft es herausfinden können.

Eschers Treppe

In der Zwischenzeit hatten andere Mathematiker Schwierigkeiten, mit unpassierbarer Arbeit fertig zu werden. Viele hatten große Hoffnungen auf ein Treffen , das der Arbeit von Motizuki gewidmet war und für Ende 2015 an der Universität Oxford geplant war. Als jedoch mehrere Kollegen von Motizuki versuchten, die Schlüsselideen des Beweises zu erklären, fiel eine „Nebelwolke“ auf das Publikum, wie Konrad kurz nach dem Treffen in dem Bericht schrieb. "Menschen, die diese Arbeit verstanden haben, mussten den Spezialisten für arithmetische Geometrie erfolgreicher erklären, worauf es ankam " , schrieb er .

Innerhalb weniger Tage nach seinem Posten erhielt Conrad unerwartete Briefe von drei Mathematikern (einer davon war Scholze), in denen dasselbe beschrieben wurde: Sie konnten die Arbeit lesen und verstehen, bis sie einen bestimmten Punkt erreichten. "Jeder der drei wurde durch Beweise 3.12 gestoppt", schrieb Conrad später.

Kim hörte ähnliche Kritiken über Korollar 3.12 von einer anderen Mathematikerin, Teruhisa Koshikawa, die an der Universität Kyoto arbeitet. Styx stolperte auch über diesen Ort. Allmählich erfuhren viele Experten der Zahlentheorie, dass diese Konsequenz zu einem Stolperstein wurde, aber es war nicht klar, ob sein Beweis ein Loch enthielt oder ob Motizuki nur seine Argumentation besser erklären musste.

Dann, im Jahr 2017, gingen zum Entsetzen vieler Theoretiker Gerüchte um, dass die Werke von Mochizuki zur Veröffentlichung angenommen wurden. Mochizuki selbst war Chefredakteur dieser Zeitschrift, Publications of the Research Institute for Mathematical Sciences . Kalegari nannte diese Situation " schlecht aussehend " (obwohl Redakteure in solchen Situationen normalerweise von einer Entscheidung ausgeschlossen sind). Vor allem aber waren Mathematiker besorgt, dass die Arbeit noch unlesbar sei.


Shinichi Motizuki über Videoanrufe auf der Konferenz 2015 zu seinem Beweis

"Kein einziger Experte, der behauptet, die Beweise zu verstehen, konnte sie einem der vielen Experten erklären, die verwirrt bleiben", schrieb Matthew Emerton von der University of Chicago.

Calegari schrieb einen Artikel, in dem diese Situation als „ völliger Misserfolg “ beschrieben wurde, und prominente Theoretiker griffen seinen Standpunkt auf. "Wir haben eine lächerliche Situation, in der abc in Kyoto als Theorem und an allen anderen Orten als Hypothese angesehen wird", schrieb Kalegari.

Das PRIMS-Magazin antwortete bald auf Presseanfragen mit einer Erklärung, in der es erklärte, dass das Werk nicht zur Veröffentlichung angenommen wurde. Scholze beschloss jedoch bereits zuvor, öffentlich zu erklären, was er lange in privaten Gesprächen mit vielen Theoretikern gesagt hatte. Er entschied, dass all diese Beweisdiskussion "zu sozial" geworden war. "Alle sagten, dass diese Beweise nicht so scheinen, aber niemand sagte:" Es gibt einen Ort, an dem niemand die Beweise verstanden hat. "

In den Kommentaren zu der Aufzeichnung schrieb Kalegari Scholze, dass er „der Logik nach Abb. 3.8 im Beweis von Folgerung 3.12 “. Er fügte hinzu, dass Mathematiker, die behaupten, den Beweis zu verstehen, nicht zugeben wollen, dass dort etwas hinzugefügt werden muss.

Shigefumi Mori , ein Kollege von Motizuki von der Universität Kyoto, Gewinner des Fields-Preises, schrieb an Scholze mit dem Vorschlag, ein Treffen mit Motizuki zu vereinbaren. Scholze wiederum kontaktierte Styx und im März reiste das Paar nach Kyoto, um mit Mochizuki und Hoshi über den Stolperstein zu sprechen.

Mochizukis Ansatz zur abc-Hypothese führt das Problem in den Bereich der elliptischen Kurven , einer speziellen Art der kubischen Gleichung mit zwei Variablen, x und y. Dieser Übergang, der bereits vor Mochizuki bekannt war, ist einfach: Sie müssen jede abc-Gleichung mit einer elliptischen Kurve verbinden, deren Graph die x-Achse an den Punkten a, b und am Ursprung schneidet. Er ermöglicht es Mathematikern jedoch, die reichhaltige Struktur elliptischer Kurven zu verwenden, mit denen die Zahlentheorie kombiniert wird Geometrie, Integralschreibweise und andere Bereiche. (Dieselbe Passage steht im Zentrum des Beweises von Fermats großem Theorem von 1994 durch Andrew Wiles .)

Infolgedessen reduziert sich die abc-Hypothese darauf, die Ungleichung zwischen zwei Größen zu beweisen, die mit elliptischen Kurven verbunden sind. Die Arbeit von Motizuki übersetzt diese Ungleichung in eine weitere Form, die, wie Styx sagte, als Vergleich der Volumina zweier Mengen dargestellt werden kann. In Korollar 3.12 bietet er seinen Beweis für diese Ungleichung an, die, falls zutreffend, die abc-Hypothese beweisen würde.

Im Beweis werden, wie Scholze und Styx beschreiben, die Volumina von zwei Sätzen so betrachtet, als ob sie sich in zwei verschiedenen Kopien von reellen Zahlen befinden, die als Teil eines Kreises von sechs verschiedenen Kopien von reellen Zahlen dargestellt werden, und ein Markup wird gegeben, um zu erklären, wie jede Kopie zusammenhängt sein Nachbar im Kreis. Um die Beziehung zwischen den Volumina der Sätze untereinander zu verfolgen, müssen Sie verstehen, wie Volumenmessungen in einer Kopie mit Messungen in anderen Kopien zusammenhängen, wie Styx sagte.

"Wenn Sie eine Ungleichung von zwei Objekten haben, aber gleichzeitig das Messlineal mehrmals komprimiert wird, was außerhalb Ihrer Kontrolle liegt, verlieren Sie die Kontrolle darüber, was Ungleichheit überhaupt bedeutet", sagte Styx.

Scholze und Styx glauben, dass in diesem kritischen Moment der Beweise alles zusammenbricht. In den Mochizuki-Markierungen sind die Messlinien logisch miteinander kompatibel. Aber wenn Sie um den Kreis gehen, sagte Styx, haben Sie ein Lineal, das nicht dem entspricht, das es sein wird, wenn Sie in die andere Richtung gehen. Diese Situation, sagte er, ähnelt der geschlossenen Treppe des berühmten Escher , wo Sie klettern und sich dann an derselben Stelle befinden können [genauer gesagt, dies ist die Penrose-Treppe , auf deren Grundlage Escher eine berühmte Zeichnung / Notiz gemacht hat. übersetzt.].

Scholze und Styx kamen zu dem Schluss, dass diese Inkompatibilität von Volumenmessungen dazu führt, dass falsche Werte in der resultierenden Ungleichung verglichen werden. Und wenn Sie alles so einstellen, dass die Volumina vergleichbar werden, wird Ungleichheit bedeutungslos, heißt es.

Scholze und Styx "fanden einen bestimmten Grund, warum der Beweis nicht funktioniert", sagte Kieran Kedlaya, ein Mathematiker an der Universität von Kalifornien in San Diego, der die Arbeit von Motizuki im Detail studierte. „Wenn der Beweis wahr ist, muss er mit etwas anderem funktionieren, mit etwas weniger Offensichtlichem“ als das, was Scholze und Styx beschreiben.

Mochizuki behauptet, dies sei genau das Vorhandensein von etwas weniger Offensichtlichem. Er schreibt, dass Scholze und Styx sich irren, wenn sie willkürlich mathematische Objekte gleichsetzen, die als unterschiedlich angesehen werden sollten. Als er seinen Kollegen von der Essenz der Einwände von Scholze und Styx erzählte, schrieb er, sei seine Beschreibung „auf eine bemerkenswert allgemeine Überraschung und sogar auf Misstrauen gestoßen (und wurde danach verspottet), dass solch ein unglaubliches Missverständnis überhaupt entstehen könnte“.

Jetzt müssen Mathematiker die Argumente von Scholze und Styx und die Antwort von Mochizuki verdauen. Scholze hofft, dass dieser Prozess im Gegensatz zu Motizukis ersten Arbeiten nicht lange dauern wird, da ihre Natur mit dem Styx der Einwände technisch nicht so kompliziert ist. Andere Theoretiker "sollten in der Lage sein, der Linie unserer Diskussion mit Motizuki ohne Probleme zu folgen", sagte er.

Mochizuki scheint alles völlig falsch zu sein. Aus seiner Sicht beruht die Kritik an Scholze und Styx auf "Zeitmangel, um die diskutierte Mathematik richtig zu verstehen", was wahrscheinlich auf "ein Gefühl tiefen Unbehagens oder Unkenntnis einer neuen Denkweise über vertraute mathematische Objekte" zurückzuführen ist.

Mathematiker, die zuvor Motizukis Beweis skeptisch gegenüberstanden, könnten durchaus entscheiden, dass der Bericht von Scholze und Styx dieser Geschichte ein Ende setzt, sagte Kim. Andere werden die Berichte selbst studieren wollen, und dies hat, wie Kim glaubt, bereits begonnen. "Ich glaube nicht, dass ich es vermeiden kann, alles selbst zu überprüfen, bevor ich etwas für mich selbst entscheide", schrieb er per Post.

In den letzten Jahren haben viele Experten der Zahlentheorie aufgehört, Motizukis Arbeit zu verstehen. Aber wenn Mochizuki oder seine Anhänger eine detaillierte und kohärente Erklärung dafür liefern können, warum das Bild von Scholze und Styx zu vereinfacht ist (wenn ja), "kann es viel dazu beitragen, die mit diesem Problem verbundene Müdigkeit zu beseitigen und die Menschen zu neuen Versuchen zu inspirieren". - sagte Kedlaya.

In der Zwischenzeit sagt Scholze: "Ich denke, dies kann nicht als Beweis herangezogen werden, bis Motizuki eine ernsthafte Änderung vorgenommen und den Schlüsselschritt viel besser erklärt hat." Er selbst sieht in seinen Worten „keine Schlüsselidee, die uns dem Beweis der ABC-Hypothese näher bringen könnte“.

Unabhängig vom Ergebnis der Diskussion sollte eine klare Benennung eines bestimmten Beweisortes für Mochizuki die Dinge sehr gut klären, sagte Kim. "Was Jacob und Peter getan haben, ist ein sehr wichtiger Dienst für die Gemeinde", sagte er. "Egal was passiert, ich bin sicher, dass diese Berichte eine gewisse Art von Fortschritt sein werden."