Über das Verhältnis von Primzahlen und irrationalen Zahlen

Nach einigen meiner Forschungen zu Primzahlen fand ich einen interessanten Zusammenhang mit irrationalen Zahlen. Diese Verbindung gibt eine Antwort auf die Frage, warum Primzahlen so „chaotisch“ und warum sie so komplex sind. Unter dem Schnitt finden Sie eine Erklärung dieses Zusammenhangs und eine Variante des verbesserten RSA-Algorithmus.

Einführung

Betrachten Sie das Set $$$\ lbrace 2n + 3m \ vert n, m \ in \ mathbb {N} \ rbrace$. Versuchen Sie nun, es zu arrangieren. Das heißt, finden Sie einen Weg, um das nächste Zahlenpaar n und m zu finden, wobei Sie das vorherige kennen. Offensichtlich: 2 + 2 + 2 = 3 + 3 und 2 + 2> 3, 2 <3. Somit werden Zahlenpaare wie folgt verteilt:

(1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (3,0), (2,1), (4,0), (3,1), (5 , 0) ...

Beachten Sie, dass die Reihenfolge und dementsprechend die Methode zum Erhalten des nächsten Zahlenpaars klar nachverfolgt werden. Es gibt keine Probleme und die Aufgabe ist trivial.
Betrachten Sie nun das Set $$$\ lbrace 2n + \ pi m \ vert n, m \ in \ mathbb {N} \ rbrace$. Leider oder zum Glück, aber dieses Set kann nicht im Sinne des vorherigen bestellt werden:

(1,0), (0,1), (2,0), (1,1), (3,0), (0,2), (2,1), (4,0), (3 , 1), (0,3) ...

Wenn Sie feststellen, dass Sie die genaue Reihenfolge gefunden haben, beenden Sie diese Paare weiter und stellen Sie fest, dass sie fehlerhaft sind. Das „Chaos“ dieser Zahlenpaare hängt direkt mit der Irrationalität der Zahl zusammen $$$\ pi$1761 von Johann Lambert bewiesen. Um Paare in einer Reihe anzuordnen, versuchen wir zunächst, ein Segment der Länge 2 in ein Segment der Länge einzupassen $$$\ pi$. Wir versuchen, das erhaltene Gleichgewicht in ein Segment der Länge 2 zu legen. Es passt nur einmal. Dies bedeutet, dass unser Rest seine Rolle bereits auf einem Längenabschnitt "spielen" wird $$$2 \ pi$, wo es nicht zwei Segmente der Länge 2 passt, sondern drei. Wenn wir eine solche Operation weiter ausführen, wird klar, dass sie, sobald wir den Eindruck haben, Ordnung gefunden zu haben, in einer bestimmten Anzahl von Schritten abbricht. Seit dem letzten, noch nicht verwendeten, wird die Waage früher oder später ihre Rolle "spielen" und die Reihenfolge wird sich ändern. Daher bleibt die Frage offen, einen „guten“ Algorithmus für dieses Problem zu finden.

Einige Definitionen

Lass $$$(\ mathbb {R}, +) \ simeq (\ mathbb {R} _ {> 0}, \ oplus)$wo $$$f$- ein Isomorphismus wie:
$$$f (x \ oplus y) = f (x) + f (y)$
Und dementsprechend für $$$g$- rückwärts zu $$$f$::
$$$g (x + y) = g (x) \ oplus g (y)$.
Nun definieren wir die für uns interessanten Interessen:
$$$W _ {\ oplus} = \ lbrace a_ {2} f (2) + a_ {3} f (3) + \ dots + a_ {n} f (n) + \ dots \ vert \ forall m \ in \ mathbb {N}, a_ {m} \ in \ mathbb {N} \ rbrace \ setminus \ lbrace 0 \ rbrace$
$$$\ Rightarrow W _ {\ oplus} \ subset \ mathbb {R} _ {> 0}$
Und lass $$$F (x, y) = f (x) + f (y)$. Dann:
$$$g (F (x, y)) = x \ oplus y$
Und $$$\ mathbb {T}$- Bild des Sets $$$W _ {\ oplus}$anzuzeigen $$$g$.
Und endlich, $$$\ mathbb {P} _ {\ oplus} = \ lbrace p \ in \ mathbb {T} \ vert \ forall w_ {1}, w_ {2} \ in W _ {\ oplus}, g (w_ {1} + w_ {2}) \ neq p \ rbrace$- viele Primzahlen für die Operation $$$\ oplus$.
Nun ist es einfach, diese Definitionen anhand eines bekannten Beispiels zu verdeutlichen. Für den Multiplikationsvorgang gilt: $$$f (x) = log_ {2} (x)$. Viel $$$W$- Das $$$log_ {2} (\ mathbb {N})$. Es lohnt sich anzuhalten und zu erklären, warum dies wichtig ist.

Die Verbindung selbst

Tatsächlich haben wir unter Verwendung eines Isomorphismus festgestellt, dass die Komplexität aller Probleme mit Primzahlen äquivalent zu Problemen mit Summen von Logarithmen ist, die irrational sind. Das heißt, wie wir im Beispiel mit einer Reihe von Zahlen gesehen haben $$$\ pi$und 2, es ist Irrationalität, die Chaos bringt. Hier verteilt die Irrationalität der Logarithmen die Primzahlen auf fast chaotische Weise auf einer Zahlenlinie. Es ist schwierig, die Paare n und m in einer Menge zu ordnen, zum Beispiel $$$\ lbrace n + mlog_ {2} 3 \ rbrace$. Mit anderen Worten, die Einfachheit einer Zahl hängt direkt von beispielsweise einer Dezimalstelle in der Zahl ab $$$log_ {2} 3$. Wir haben aber Primzahlen nicht nur für die Multiplikation definiert, sondern im Allgemeinen für eine beliebige binäre Operation. Ich habe dies getan, um zu zeigen, dass unsere Primzahlen in keiner Weise einzigartig sind.

RSA

Für die Binäroperation x + xy + y:
$$$\ mathbb {P} = \ lbrace 2,4,6,10,12,16,18,22,28,30,36,40,42,46 ... \ rbrace$.
Die Zufälligkeit dieser Menge ist durch irrationale Werte des Isomorphismus auf natürlichen Zahlen gekennzeichnet. Darüber hinaus scheint der Isomorphismus nicht in elementaren Funktionen ausgedrückt zu werden. Hier haben wir durch Operation andere Primzahlen konstruiert, deren Verteilung offensichtlich nicht von der Verteilung gewöhnlicher Primzahlen abhängt. Dies ermöglicht es uns, RSA auf einer beliebigen binären Operation so zu konstruieren, dass der Isomorphismus irrational ist. Schließlich ist die Funktion des Logarithmus für Kryptoanalytiker zu "gut". Und hier verhält sie sich absolut unvorhersehbar. Es ist möglich und umgekehrt, einen Isomorphismus zu konstruieren, durch den eine kommutative binäre Operation bestimmt wird.

Auf der Grundlage willkürlicher Primzahlen ändern wir das Problem der Faktorisierung einer zusammengesetzten Zahl in das Problem der Zerlegung einer fast willkürlichen irrationalen Zahl in die Summe der beiden anderen aus einer gegebenen Menge. Etwas sagt mir, dass diese Aufgabe zur Klasse NP gehören sollte.

Abschließend

Die Menschheit hat noch nicht viele Probleme mit Primzahlen gelöst, da die Mathematik unendlich viele ähnliche Probleme aufwirft. Es wird sich natürlich fragen, was man dagegen tun soll. Mein Vorschlag ist, alle Sätze aus der Zahlentheorie nicht für Addition und Multiplikation zu betrachten, sondern für Addition und eine willkürliche kommutative binäre Operation, die auf natürlichen Zahlen geschlossen ist. Dann wäre jede Aussage über Primzahlen nur eine Folge bestimmter Eigenschaften der Operation. Zum Beispiel wäre die Unendlichkeit der Primzahlen eine Folge der Monotonie der Operation und ihres ziemlich schnellen Wachstums. Dies ist jedoch ein Thema für einen separaten Artikel. Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit.