Können Sie sich etwas Größeres als das Universum vorstellen, das aber gleichzeitig ruhig in Ihrem Kopf platziert ist? Was ist das Unendlichkeit! Eugenia Cheng schickt uns auf eine erstaunliche mathematische Reise, um die mysteriösesten mathematischen Abstraktionen zu verstehen. Warum können manche Zahlen nicht gezählt werden? Warum ist unendlich + 1 nicht dasselbe wie 1+ unendlich? Wir werden das Paradox des Grand Hotels kennenlernen, 7 Milliarden Menschen mit einem Schachbrett ernähren und sogar unendlich viele Kekse aus einem kleinen (letzten) Stück Teig bekommen. All dies wird es uns ermöglichen, solch eine seltsame und mysteriöse abstrakte Mathematik zu verstehen und zu lieben. Das unglaubliche Buch über das riesige und unendliche Universum ist faszinierend und faszinierend und zeigt, wie ein kleines mathematisches Symbol eine große Idee enthält.
Auszug. Unendlich klein
Eines der wenigen Dinge, die ich jetzt vor mir sehen kann, hat nichts mit mathematischer Analyse zu tun - das ist mein Schreibtisch. Die Tabelle existierte lange vor dem Erscheinen der mathematischen Analyse. Diese spezielle Tabelle wurde jedoch in der Ikea-Fabrik hergestellt, die die mathematische Analyse bei ihrer Herstellung absolut genau verwendet. Ich möchte sagen, dass das Studium der Unendlichkeit buchstäblich und im übertragenen Sinne abstrakt und außerhalb unserer Welt erscheint („im übertragenen Sinne“, wie einer meiner Freunde gerne scherzt), aber letztendlich führt es uns auch zur mathematischen Analyse, die ist ein wesentlicher Bestandteil unseres Lebens.
Ausgangspunkt für all dies ist die Reflexion über Objekte, die "unendlich nahe beieinander" liegen. Wenn wir auf dem Computer einen Kreis zeichnen oder den Buchstaben O eingeben, sehen sie glatt und gleichmäßig aus. Wenn wir uns die Bilder genauer ansehen, werden sie pixelig. Dies ist der Buchstabe O in größerem Maßstab auf meinem Computerbildschirm.
Wir sehen eine endliche Anzahl winziger Quadrate, die sich als Kreis verkleiden. Mein Computer schmiedete sorgfältig einen Kreis und fügte ein paar graue Punkte hinzu. Ein Computer kann nichts anderes tun, da er nur einzelne Punkte in einer endlichen Menge und einer festen Größe wahrnehmen und verarbeiten kann.
Was ist mit unserem Gehirn? Die Bedeutung der mathematischen Analyse ist, dass unser Gehirn im Prinzip mehr kann: Wir können unendlich viele Objekte wahrnehmen und verarbeiten, auch wenn sie unendlich klein sind. Dies ist das Thema, das wir jetzt untersuchen werden.
Ich habe einmal an einer Grundschule in Cambridge in der Park Street mit Mathe geholfen. Ich musste zwei sechsjährigen Kindern die Symmetrie erklären. Zuerst bat ich sie, Symmetrielinien auf mehrere Dreiecke zu zeichnen, dann auf ein Quadrat, dann auf ein Fünfeck, dann auf ein Sechseck. Das Lustigste war, als eines der Kinder sagte: „Ich weiß, dass ein Oktaeder acht Seiten hat, weil das Wort„ Oktaeder “wie ein OKTOP aussieht.“ Am Ende gab ich ihnen einen Kreis. Einer der Jungs hat eine solche Linie auf einen Kreis gezogen:
Außerdem wurde es noch lustiger. Das erste Kind rief aus: "Es gibt Hunderte von ihnen!", Und das zweite sagte: "Es gibt eine Million!". Danach bemerkte das erste: "Sie können diese Linien Ihr ganzes Leben lang ziehen und nie fertig werden!". Dann gab es eine Pause, nach der das zweite Kind hob Bleistift, mit ihnen über den ganzen Kreis gemalt und sagte: „Schau! Ich bin fertig! "
Ich war verwirrt, musste aber zugeben, dass beide Recht hatten. Sie können Ihr ganzes Leben damit verbringen, Symmetrielinien auf einem Kreis zu zeichnen und niemals zu beenden, da es unendlich viele davon gibt. In der Tat sind sie unzählige endlose. Wir können dies überprüfen. Stellen Sie sich vor, wir haben bestimmt, wo die Symmetrielinie verläuft, und den Winkel festgelegt, den sie mit der Horizontalen bildet.
Wir können jeden Winkel von 0 bis 180 ° oder im Bogenmaß von 0 bis π einnehmen. Wenn der Winkel größer ist, wiederholt die Linie eine der bereits gezeichneten:
Nehmen Sie eine reelle Zahl von 0 bis 180, und es muss keine ganzzahlige oder rationale Zahl sein. Wir wissen bereits, dass es unzählige reelle Zahlen von 0 bis 180 gibt.
Wir werden unzählige Symmetrielinien auf dem Kreis haben, aber wenn Sie über den gesamten Kreis malen, werden Sie tatsächlich alle übermalen. Vielleicht haben Sie jetzt gedacht, es wäre wie ein Betrug, weil sich die realen Symmetrielinien in der Mitte des Kreises unendlich oft schneiden sollten, und in unserer Mitte gibt es unendlich viele Bleistiftschichten. Wenn wir jedoch nicht auf die Mitte achten, sondern einfach versuchen, die Punkte entlang der Kreiskante zu markieren, die von den Symmetrielinien berührt werden, reicht es aus, einen Bleistift entlang der Kreiskante zu zeichnen. Werden wir auf diese Weise unendlich viele Punkte ziehen? Wird es unendlich viele Punkte in dieser Linie geben?
Wenn ja, wie weit sind sie voneinander entfernt? Und wenn es eine endliche Anzahl von ihnen gibt, wie viele dann?
Division durch Unendlichkeit
Wenn wir die Linie in immer mehr Segmente unterteilen, werden die Segmente immer kleiner. Können wir also die Linie in unendlich viele Segmente unterteilen? Ich möchte sagen, ob wir etwas unendlich klein machen können, indem wir es in unendlich teilen.
Stellen Sie sich eine Lotterie vor, bei der alle reellen Zahlen herausfallen können. Die Lotterietrommel hat eine unendliche Anzahl von Bällen, aber jede von ihnen zeigt eine bestimmte endliche Anzahl an. In diesem Fall ist die Gewinnwahrscheinlichkeit ziemlich seltsam. Normalerweise fallen bei einer Lotterie in Großbritannien 6 von 59 Bällen aus. Es gibt ungefähr 45 Millionen Kombinationen, und alle diese Kombinationen sind gleich wahrscheinlich. Ihre Gewinnchance beträgt 1: 45 Millionen. Dies ist eine sehr kleine Zahl (ungefähr 0,00000002), aber nicht 0; Obwohl es mir so nahe zu kommen scheint, dass es tatsächlich als 0 betrachtet werden kann. Wenn Sie es erneut mit der Gesamtzahl der möglichen Kombinationen (45 Millionen) multiplizieren, erhalten Sie 1, was absolut richtig ist, da es die Gewinnwahrscheinlichkeit ist, wenn Sie kaufen alle Lottoscheine.
Die unendliche Lotterie hat eine unendliche Anzahl von Kombinationen, sodass Ihre Gewinnchance "1 bis unendlich" beträgt. Wie kann man es mit einem Bruch ausdrücken? Die Antwort kann nicht größer als 0 sein, denn wenn sie größer als 0 wäre, erhalten wir durch erneutes Multiplizieren mit der Gesamtzahl der möglichen Ergebnisse (unendlich) eine Zahl größer als 1. Bedeutet dies, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit 0 ist? Aber jemand kann wirklich jedes Mal gewinnen. Sie können zu Recht feststellen, dass eine solche Lotterie in der Praxis unmöglich ist, aber Ihr Argument hebt dieses Paradoxon nicht auf. Alles ist genau das gleiche wie beim Hilbert Hotel: Die Tatsache, dass ein solches Hotel nicht existieren kann, hebt das Paradoxon nicht auf.
Wir kehrten wieder zu einem unserer ersten Versuche zurück, die Unendlichkeit zu finden, und argumentierten dies
Wir wissen, dass eine solche Gleichung zu einem Widerspruch führt, wenn wir versuchen, beide Seiten mit 0 zu multiplizieren. Aber jetzt wollen wir sagen, dass die Division durch unendlich 0 oder ergibt
Jetzt wissen wir bereits mehr über die Unendlichkeit und sehen sofort, dass etwas mit dieser Gleichung nicht stimmt. Das Problem hierbei ist, dass die Art und Weise, wie wir versucht haben, die Unendlichkeit zu finden, nämlich die Verwendung einer unendlichen Menge von Objekten, keine Teilung durch die Unendlichkeit impliziert. Die richtige mathematische Antwort sollte in diesem Fall lauten: „Dann lass es uns versuchen! Wenn wir das noch nicht getan haben, heißt das nicht, dass es unmöglich ist. “
Versuchen wir, genau das Gleiche zu tun wie bei der Subtraktion. Kommen wir zurück zu der Idee, dass alles um uns herum eine Vielzahl von Objekten ist. Es ist, als würde man auf Zählstäbe zählen: Man kann einen Zählstab nicht halbieren (sehr zum Entsetzen vieler Kinder). Wenn wir viele natürliche Zahlen nehmen, können wir sie nicht teilweise reduzieren.
Denken Sie daran, als wir versuchten, die Subtraktion durch Unendlichkeit auszudrücken, erinnerten wir uns an die Argumentation der Kinder: 6 - 3 bedeutet "wie viel sollte ich von 3 zurückzählen, um auf 6 zurückzukehren". Mit anderen Worten, wir haben diese Gleichung gelöst: 3 + x = 6.
Nehmen wir nun 6: 3. Wir können 6: 3 auf zwei verschiedene Arten betrachten.
- Wie oft passt 3 in 6? Mit anderen Worten, wie oft muss ich mir 3 hinzufügen, um 6 zu erhalten? Dies entspricht der Lösung dieser Gleichung: 3 × x = 6.
- Welche Zahl passt genau dreimal auf 6? Mit anderen Worten, welche Zahl kann ich mir dreimal hinzufügen, um 6 zu erhalten? Dies entspricht der Lösung dieser Gleichung: x × 3 = 6.
In beiden Fällen lautet die Antwort 2, da diese Formulierungen keine Rolle spielen, wenn es sich um endliche Zahlen handelt. Aber wir wissen bereits, dass es mit Unendlichkeit nicht so einfach ist. Zum Beispiel ist das unendliche Hinzufügen von 3 nicht dasselbe wie das dreimalige Hinzufügen von
unendlich . Das heißt, 3 × ω ≠ ω × 3.
Stellen wir uns die Frage: "Wie oft muss ich mir 3 addieren, um ω zu erhalten?" Antwort: ω. Stellen Sie sich vor, Sie wären wieder zu einer Person geworden, die Abreißkarten in einer Warteschlange verteilt. Die Leute kommen in Gruppen von 3 Personen. Wie viele Gruppen von 3 Personen sollten kommen, um Ihr endloses Ticketpaket zu beenden? Antwort: ω. Sie werden einfach endlos 3 Tickets für jede Gruppe ausstellen.
Wenn wir andererseits schauen: "Welche Zahl kann ich mir dreimal addieren, um ω zu erhalten?", Dann gibt es in diesem Fall keine mögliche Antwort. Wenn Sie 3 endliche Zahlen addieren, ist die Antwort immer endlich. Wenn Sie 3 unendliche Zahlen addieren, ist jede von ihnen mindestens gleich ω (weil ω die kleinste Unendlichkeit ist), und zusammen sind sie noch größer, es ist wie „unendlich und noch ein Tag“. Wir können dies noch einmal am Beispiel von Abreißkarten betrachten. Wenn ein unendlich voller Bus ankommt, geben Sie sein endloses Bündel von Abreißkarten (zumindest) für seine Passagiere aus. Wenn danach ein weiterer unendlich voller Bus kommt, müssen Sie eine Packung mit Tickets einer anderen Farbe mitnehmen.
Beide Fragen waren Versuche, „die Unendlichkeit in drei zu teilen“, aber sie gaben uns unterschiedliche Antworten. Dies beweist, dass Division genau wie Multiplikation nicht die beste Lösung ist, wenn es um Unendlichkeit geht, selbst wenn es sich nur um Division durch eine kleine endliche Zahl handelt. Wenn wir stattdessen versuchen, etwas in die Unendlichkeit zu teilen, wird alles noch schlimmer. Angenommen, wir möchten Folgendes tun:
. Dann haben wir zwei Möglichkeiten. Erstens: Wie oft müssen wir ω zu uns selbst addieren, um 1 zu erhalten? Dies ist offensichtlich unmöglich, da ω zu viel ist. Die zweite Option: Welche Zahl können wir uns ω addieren, wie oft wir 1 erhalten? Und wieder wird es absolut unmöglich sein.
Trotz alledem scheint es wirklich so, dass 1 geteilt durch unendlich gleich 0 sein sollte. Kann diese Aussage eine vernünftige Antwort auf die oben gestellten Fragen sein? Wenn wir uns 0 Mal ω addieren, erhalten wir nichts, daher macht diese Aktion keinen Sinn. Es wird wie bei 0 unendlich vollen Bussen sein, für die Sie überhaupt keine Abreißkarten benötigen. Was die zweite Frage betrifft: „Können wir uns ω-mal 0 addieren, um 1 zu erhalten?“, Dann wird alles so sein wie bei 0 Personen, die unendlich oft in einer Schlange stehen. Sie benötigen wieder keine Abreißkarten für sie.
Hier könnten wir aufgeben und sagen: „Okay, also
"Das ist nicht Null." Oder versuchen Sie, sich wie Mathematiker zu verhalten und zu sagen: "All dies scheint wirklich vernünftig, vielleicht können wir ihm eine andere mathematische Bedeutung geben, wenn unsere Argumentation nicht auf unendlichen Mengen basiert?" Eine der Aufgaben der Mathematik ist es, das, was intuitiv als wahr erscheint, zu nehmen und ihm eine genaue logische Erklärung zu geben. Wir dürfen nicht so leicht aufgeben!
Die Kehrseite der Unendlichkeit
Vielleicht stellen Sie sich jetzt die Frage, warum wir uns nicht einfach etwas unendlich Kleines einfallen lassen können, das nicht gleich 0 ist, denn bevor ich sagte, dass wir abstrakte Dinge erschaffen können, indem wir nur darüber nachdenken. Mathematiker haben bereits versucht, diese Methode anzuwenden, obwohl sie sinnlos erscheint (wie die Idee der Unendlichkeit, die auch sinnlos erscheint, bis Sie anfangen, sie intensiv genug zu studieren). Es ist wie die Kehrseite der Unendlichkeit. Unendlichkeit ist größer als jede Zahl, und ein Infinitesimalwert ist kleiner als jede Zahl. Wenn Sie sich selbst Unendlichkeit hinzufügen, erhalten Sie Unendlichkeit, und wenn Sie sich selbst einen infinitesimalen Wert hinzufügen, erhalten Sie erneut einen infinitesimalen Wert. Und wenn Sie unendlich mit einem infinitesimalen Betrag multiplizieren, erhalten Sie 1, wie im Beispiel über die Wahrscheinlichkeit eines Lottogewinns.
Ein solcher Ansatz wirft die gleichen Probleme auf wie unsere bisherige „erfundene“ Unendlichkeit. Hier ist es notwendig, mit besonderer Genauigkeit oder eher technischem Geschick zu handeln, wie wir es zuvor getan haben, als wir eine klare Definition des Konzepts der „Unendlichkeit“ formulieren wollten, aber da Probleme zu oft auftreten, wird es eleganter sein, zu versuchen, sie zu umgehen. Wenn Sie während eines Spaziergangs auf Ihrem Weg eine große schmutzige Pfütze erwischt haben, treten Sie entweder darauf und hoffen, dass die Schuhe nicht nass werden, oder versuchen, sie zu umgehen. (Natürlich lieben es einige Leute, insbesondere Kinder, direkt in die Mitte der Pfütze zu treten. In der Mathematik passiert dies auch.)
Hier erfahren Sie, wie Sie das Problem der Teilung durch die Unendlichkeit sorgfältig umgehen können. Stellen Sie sich vor, Sie müssen einen Schokoladenkuchen in mehrere Personen aufteilen. Wenn Sie es in zwei Teile teilen, bekommt jeder viel. Wenn Sie durch drei teilen, bekommt jeder immer noch viel, aber weniger als im ersten Fall. Wenn dies vier Personen sind, erhalten sie noch weniger. Je mehr Leute, desto weniger Kuchen bekommt jeder von ihnen. Wenn die Anzahl der Menschen wirklich groß wird, ist es dumm zu versuchen, einen unglücklichen Kuchen für alle zu teilen. Haben Sie jemals versucht, einen Kuchen in hundert Personen aufzuteilen? (Hochzeitstorten bestehen normalerweise aus mehreren Ebenen, die im Wesentlichen separate Kuchen sind.) Was ist mit tausend Menschen? Und eine Million? Irgendwann, wenn es zu viele Menschen geben wird, bekommt jeder ein so kleines Stück, dass es praktisch eine unbedeutende Menge ist, das heißt fast nichts.
Wenn wir eine Million Menschen und nur einen Kuchen haben, wird technisch jeder sein eigenes Stück bekommen - wahrscheinlich sind dies Milliarden von Milliarden von Kuchenmolekülen. Aber äußerlich wird die Menge an Kuchen fast gleich 0 sein, und mit zunehmender Anzahl von Menschen wird sie immer mehr zu 0 tendieren. Deshalb haben wir der Idee, dass Division durch Unendlichkeit 0 ergibt, eine mathematische Bedeutung gegeben. Tatsächlich teilen wir niemals durch Unendlichkeit (daher) dass es keinen gesunden Menschenverstand gibt). Kehren wir zu dem Beispiel zurück, das wir in Kapitel 11 erwähnt haben, wenn etwas zur Unendlichkeit neigt. Wir haben versucht, durch das zu teilen, was gegen unendlich tendiert, und festgestellt, dass die Antwort auch gegen 0 tendiert. Vielleicht bringen einige Weisheiten jetzt ein Mikroskop mit und sagen, dass sie immer noch etwas Kuchen auf einem Teller sehen. Aber wir können es immer ein bisschen mehr teilen, und der Kuchen wird nicht wieder sichtbar sein. Dies bedeutet nicht, dass 1, geteilt durch unendlich, 0 ist, aber diese Argumente gaben unseren intuitiven Vermutungen eine mathematische Erklärung, und dies war der Beginn der gesamten modernen mathematischen Analyse.
Zenos Paradoxe
Die mathematische Analyse hat ihre Wurzeln in der Antike. Die Frage, wie etwas aus einer unendlichen Anzahl von infinitesimalen Teilen bestehen kann, wurde vom griechischen Philosophen Zenon vor mehr als 2,5 Tausend Jahren gestellt. Genau wie Hilbert Tausende von Jahren später studierte Zeno Paradoxe, die beweisen, dass eine unendliche Anzahl von Objekten sehr sorgfältig behandelt werden muss.
Eines der Paradoxe von Zeno ähnelt dem Denken eines Kindes über einen Schokoladenkuchen: Wenn ich die Hälfte von dem esse, was noch übrig ist, dann die Hälfte von dem, was noch übrig ist, und so weiter, dann esse ich nur die Hälfte von dem, was noch übrig ist und tut Wird der Kuchen endlos?
Zeno formuliert dieses Paradoxon wie folgt: Wenn Sie von Punkt A nach Punkt B gelangen möchten, müssen Sie zuerst die halbe Strecke überwinden. Dann müssen Sie die Hälfte der verbleibenden Strecke zurücklegen. Danach müssen Sie die Hälfte der neuen verbleibenden Strecke zurücklegen und so weiter. Sie gehen ständig nur die Hälfte der verbleibenden Strecke.
Nach jeder Etappe gibt es immer die halbe Strecke, und Sie können immer nur die Hälfte der verbleibenden Strecke zurücklegen. Bedeutet das, dass Sie nie an den Ort kommen werden?
Mathematiker entwickeln sehr gerne neue Konzepte aus alten, die bereits untersucht wurden. Kehren wir auch zu der bereits verstrichenen Unendlichkeit natürlicher Zahlen zurück. Wir sagten, wir müssen die halbe Strecke überwinden, dann ein Viertel, dann ein Achtel, ein Sechzehntel und so weiter "endlos". Wie wir bereits wissen, gehen natürliche Zahlen endlos weiter. Angenommen, wir müssen eine Meile laufen. Dann können wir die folgenden Stufen des Pfades unterscheiden:
Wir haben eine unendliche Anzahl von n, was bedeutet, dass wir eine unendliche Anzahl von Stufen auf dem Weg haben werden. Wir können die Länge jeder Stufe nicht angeben, aber wir können sie in einer allgemeinen Form schreiben: Dazu haben wir eine Formel mit der Variablen n angewendet. Aber wenn wir nicht die Länge jeder Stufe aufzeichnen können, können wir jede von ihnen beenden? Die Antwort sollte lauten: Ja, denn den Weg zu beenden ist für jeden von uns ganz normal. Normalerweise beenden wir unsere Wege, auch die kürzesten, und tun es jeden Tag. (Ich verlasse mein Haus nicht jeden Tag, aber manchmal schaffe ich es mehrmals in einer Stunde, zum Kühlschrank zu gehen.)
In einem ähnlichen Paradoxon, das auch von Zeno formuliert wurde, sprechen wir über Achilles und die Schildkröte, die von Punkt A nach Punkt B rasen. Die Schildkröte darf sich zuerst bewegen, beispielsweise an Punkt A1, aber sie bewegt sich sehr langsam, weil es sich um eine Schildkröte handelt! Und Achilles muss zuerst zum Ort des Schildkrötenstarts rennen. Während dieser Zeit geht die Schildkröte etwas weiter, zum Beispiel bis Punkt A2. Jetzt muss Achilles an diesen Punkt gelangen; Während er dies tut, geht die Schildkröte zum Beispiel etwas weiter, um auf Punkt A3 zu zeigen. Jetzt sollte Achilles bereits A3 erreichen, und während dieser Zeit kriecht die Schildkröte zu Punkt A4. Jedes Mal, wenn Achilles den Ort erreicht, an dem sich die Schildkröte befand, als wir zuletzt den Status des Rennens überprüft haben, geht die Schildkröte etwas weiter. Bedeutet dies, dass die Schildkröte das Rennen gewinnt?
Beide Paradoxe basieren auf völlig logischen Beweisen, die zu einer absurden Schlussfolgerung führen. Normalerweise sind wir durchaus in der Lage, unser Ziel zu erreichen. Und es ist offensichtlich, dass Usain Bolt das Rennen gewinnen wird, wenn er ein Rennen mit einer Schildkröte führt. Die Bedeutung dieser Paradoxien besteht nicht darin, Fehler in unserer Realität zu erkennen, sondern Fehler in der Logik unserer Argumente zu erkennen.
Dieses Paradoxon unterscheidet sich vom Hilbert-Hotelparadoxon, das, obwohl es gefüllt sein mag, immer noch in der Lage ist, Neuankömmlinge aufzunehmen. Darin klingt die Schlussfolgerung absurd, weil unsere intuitiven Vorstellungen über endlose Hotels nicht ganz richtig sind.
Paradoxe wie das Hilbert Hotel-Paradoxon werden wahre Paradoxe genannt. Starke Argumente in ihnen führen zu einer Schlussfolgerung, die widersprüchlich erscheint, aber tatsächlich nicht. Paradoxe wie das Zeno-Paradoxon werden falsche Paradoxe genannt, bei denen aus Argumenten, die wahr zu sein scheinen, aber in der Realität nicht so sind, eine widersprüchliche Schlussfolgerung gezogen wird.
, , , : , — . , , , , . , , , . , , . . , .
, , . , , , . , , - , . , , , , .
, , . , 4 . , 15 . ?
- , 7,5 .
- , 3,75 .
- , 1,875 .
- , 0,9375 .
- ...
, . , ? : ; , .
, , , , , , , . , : , , . , . , , , . , «» , . ( , .)
. ? ? , , - XIX . .
»Weitere Informationen zum Buch finden Sie auf
der Website des Herausgebers»
Inhalt»
Auszug25% —