Warum Gödels Unvollständigkeitssatz schwer zu beweisen ist: Die Sache liegt in den Formulierungen und nicht nur im Wesentlichen

Grob gesagt besagt Gödels Unvollständigkeitssatz, dass es wahre mathematische Aussagen gibt, die nicht bewiesen werden können. Als ich in der 11. Klasse war, haben wir drei zusammen mit dem Geometrielehrer Herrn Olsen und meiner Freundin Uma Roy fünf Wochen lang Gödels Originalbeweis gelesen. Warum so lange? Zum Teil, weil wir noch Schulkinder waren. Zum Teil, weil der 24-jährige Gödel nicht der talentierteste Schriftsteller war. Aber hauptsächlich, weil die Beweise eigentlich ziemlich schwierig sind.

Dies mag überraschend erscheinen, da alle Beweise tatsächlich in einen Absatz passen. Gödel beginnt mit der Konstruktion einer mathematischen Aussage, die im Wesentlichen einem Satz entspricht.

Diese Aussage kann nicht bewiesen werden.

Gödel überlegt dann, was passieren wird, wenn diese Aussage falsch ist. Das heißt, wenn diese Aussage bewiesen werden kann. Aber jede Aussage, die bewiesen werden kann, muss wahr sein - das ist ein Widerspruch. Daraus schließt Gödel, dass die Aussage wahr sein muss. Da die Aussage jedoch wahr ist, folgt daraus, dass die Aussage nicht bewiesen werden kann. Bitte beachten Sie, dass diese endgültige Aussage kein Widerspruch ist. Im Gegenteil, dies ist der Beweis für Gödels Theorem.

Warum sind die tatsächlichen Beweise so kompliziert? Der Trick ist, dass das, was wie eine gültige mathematische Aussage auf Englisch klingt, oft nicht so ist (insbesondere wenn sich ein Satz auf sich selbst bezieht). Betrachten Sie zum Beispiel den folgenden Satz:

Dieser Satz ist falsch.

Ein Satz ist bedeutungslos: Er kann nicht falsch sein (weil er ihn wahr machen würde) und er kann nicht wahr sein (weil er ihn falsch machen würde). Und es kann natürlich nicht in Form einer formalen mathematischen Aussage geschrieben werden.

Hier ist ein weiteres Beispiel (bekannt als das Berry-Paradoxon):

Definieren Sie {x} als kleinste positive Ganzzahl, die nicht in weniger als 100 Wörtern beschrieben werden kann.

Dies kann wie eine gültige mathematische Definition aussehen. Aber andererseits macht es keinen Sinn. Und was für die Vernunft der Mathematik wichtig ist, kann keine ähnliche Aussage formal, dh mathematisch, geschrieben werden.

Auch Aussagen in der Sprache der Mathematik können bedeutungslos sein:

$$

$$S = \ {A \ mid A \ not \ in A \}$$

(also $$$S$Ist eine Menge Sätze $$$A$die keine Elemente von sich selbst sind).

Dies ist wieder eine bedeutungslose Definition (bekannt als Russells Paradoxon). Insbesondere, sobald wir identifiziert haben $$$S$wir können fragen ob $$$S$dich selbst? Wenn ja, dann $$$S$kann kein Mitglied sein $$$S$- ein Widerspruch; und wenn nicht, dann $$$S$wird Mitglied $$$S$- wieder ein Widerspruch.

Die Bedeutung dieser drei Beispiele ist, dass Sie, wenn Sie Sätze über mathematische Aussagen beweisen möchten, sehr vorsichtig sein sollten, dass Sie tatsächlich mit mathematischen Aussagen arbeiten. In der Tat ist Gödels Originalartikel von 46 Definitionen am Anfang bis zu überraschend soliden Beweisen am Ende nichts weiter als eine massive Übung der Vorsicht.