Probleme des modernen Schreibens mathematischer Texte

In einem kürzlich erschienenen Artikel stellte Genosse KvanTTT die Frage :

Können Sie erklären, was Ihnen an modernen Formeln (mathematischen Aussagen und) nicht gefällt und wie es verbessert werden kann?

Ich habe versucht, in einem Kommentar zu antworten, aber die Größe des Textfelds erlaubte mir nicht, die Berechnungen abzuschließen. Dieser Artikel ist eine zu detaillierte Antwort.

Ich muss sagen, das Material ist holivarny. Teilweise zu emotional. Sehr kontrovers. Zu persönlich - oft basierend auf persönlicher Erfahrung, nicht reich, wenn auch vielfältig. Der Beitrag bezieht sich auf Schul- und Universitätslehrbücher: „Fachliteratur“ hat ihre eigenen Besonderheiten, ein eigenes Publikum . In der gegenwärtigen Realität gibt es keine Lösung für das Problem. Gleichzeitig wurden einige meiner Beobachtungen lange vor mir von Behörden wie Knut und Hamming geäußert. Etwas weniger beliebte Leute haben sogar die Anweisung " Wie man Mathe liest " heruntergespült.

Meiner Meinung nach besteht die Hauptbeschwerde nicht darin, Formeln zu schreiben, sondern Material zu präsentieren . Darüber hinaus zur Präsentation von Material auf fast allen Bildungsebenen, angefangen von der Schule bis hin zur fortgeschrittenen Wissenschaft. Der Beginn der gegenwärtigen Situation wurde von Euklid gelegt, der das Fehlen der königlichen Straße in der Mathematik erklärte. Die königliche Straße wurde bisher nicht asphaltiert. Euklid hat es getan, und wir können es.

Das erste Problem ist, dass die Bedeutung nicht gezeigt wird . Ein weiteres Geschenk von Euklid: "Geben Sie dem Fragesteller einen Cent, wenn er nach Vorteilen sucht, nicht nach Mathematik." Die Autoren beginnen, Definitionen einzuführen, Theoreme zu beweisen und andere Berechnungen anzustellen, ohne zu erklären, warum dies überhaupt erforderlich ist. Beispiel: ein Lehrbuch zur mathematischen Analyse von Fichtenholtz . Lesen Sie das erste Kapitel: „Aus dem Schulkurs wissen Sie etwas über rationale Zahlen, aber die Bedürfnisse der Mathematik zwingen uns, reelle Zahlen einzuführen ...“ und es begann. Was sind die Bedürfnisse, welche Art von Mathematik, warum sind rational nicht glücklich - ja, der Hund kennt ihn. "Offensichtlich."

Oder ein anderes Beispiel aus demselben Tutorial. "Die konstante Zahl a wird als Optionslimit bezeichnet $$ wenn für jedes positive $$ egal wie klein es ist, es gibt eine Zahl N, so dass alle Werte $$ für die die Zahl n> N die Gleichheit erfüllt $$ . ”

Die meisten Schüler verstehen die obige Definition nicht, aber nach sechs Monaten gewöhnen sie sich daran. Noch mehr Studierende wissen auch gegen Ende ihres Studiums nicht, warum sie das Konzept der Sequenzgrenze brauchten. Ähnlich für Funktionen, Integrale, Reihen ... Fichtenholtz beschreibt einige mathematische Objekte, gibt manchmal bestimmte Beispiele - und das ist alles. Nun ja, jetzt verstehe ich, dass die Grenzen zum Beispiel für die korrekte Beschreibung der oberen / unteren Summen bei der Einführung von Integralen benötigt werden, aber vor den Integralen noch zwei Semester!

Oder eine Determinante, die als schrägsymmetrische multilineare Funktion definiert ist. Leute, meinst du das ernst? Die einzig angemessene Antwort eines Studienanfängers auf eine solche Definition von „na und“? Was ist der Vorteil dieser Definition? Ich behaupte nicht, es gibt einen Vorteil, aber kann sich jeder Neuling dessen bewusst sein?

Falsche Lösung des Problems : Hintergrund. Es erscheint auf allen Arten von Konferenzen. "Das Problem wurde von Jacob gestellt, der von seinem Schüler Abel und dem Schüler des Schülers Kain und einhundertfünfhundert Inkarnationen von Vishnu untersucht wurde." Was ist das Wesentliche des Problems, warum es vom ursprünglichen Autor gelöst wurde, warum es so wichtig ist, Professor Stunden darauf zu töten - wird weggelassen.

Das nächste Problem - die Autoren werfen keine wirklichen Probleme auf

Im Prinzip ist es dem vorherigen ähnlich. Denken Sie an den Verlauf der Wahrscheinlichkeitstheorie. Welche Aufgaben herrschen dort vor? "Es gibt 25 schwarze und 10 weiße Kugeln im Korb ..." Casino Beispiele, Karte, D & D, wirtschaftlich - nein, nicht gehört. Wir werden die politisch korrektesten Beispiele verwenden, obwohl die Wahrscheinlichkeitstheorie aus der Würfelforschung hervorgegangen ist.

Über Live-Beispiele schrieb kürzlich Free_Mic_RS


Mathematik beginnt mit einer Aufgabe. Und tote, einseitige Aufgaben hinterlassen den Eindruck, dass die Theorie nur mit ihnen funktioniert. Die Absicht der Autoren ist gut: ein Beispiel zu geben und dann zum General überzugehen. Auszug aus dem Beispiel. Einige „lebende“ Beispiele würden den Übergang zur Abstraktion jedoch viel nützlicher machen. Zumindest glaube ich fest daran, dass der umgekehrte Prozess (der Übergang vom Abstrakten zum Besonderen) viel einfacher wäre.

Problem: übermäßige Kürze und Inkonsistenz

Erinnerst du dich an die Schule? Was ist mit der Diskriminanzformel? Und wie wird es bewiesen / abgeleitet? Ein Weg: rein algebraisch . Wir nehmen die Gleichung $$ , “Multiplizieren Sie jedes Teil mit $$ und hinzufügen $$ "( Warum genau diese Werte? ), Noch ein paar Transformationen - und fertig. Nach der Diskriminierung erhalten die Schüler eine Diskriminanz für gerade b. Und dann die Vieta-Formeln. Und auch volle Quadrate. Und ein paar Beispiele. Und weit davon entfernt, immer zu erklären, warum all diese Methoden benötigt werden.

Stellen Sie sich nun die Situation vor, dem Schüler wird gesagt: „Heute werden wir lernen, wie man Gleichungen mit löst $$ . Irgendwelche. " Und eine Reihe von Beispielen beginnt mit Komplikationen.

$$

Viele Beispiele, die organisch zur Lösung der Gleichung durch volle Quadrate führen. Dann können Sie die Diskriminante (als einfachen Algorithmus zum Lösen von Gleichungen, wenn die Schüler es satt haben, die vollständigen Quadrate hervorzuheben) und Viet mit einer gleichmäßigen Diskriminante als "Know-how" eingeben.

Ein ähnlicher Ansatz wird in Lehrbüchern verwendet. Leider nicht in allen. Und nicht überall ist eine klare Abfolge sichtbar. Gerüchten zufolge haben einige Autoren Entwurfsblätter in Straßenbahnen verloren und die verlorenen Teile durch Ausdrücke wie „Es ist einfach, das zu zeigen ...“ ersetzt. Infolgedessen mussten die Schüler nicht ruhig von Beispiel zu Beispiel springen, sondern über den Abgrund springen. Wie viele Menschen haben 10 + 6 Jahre Schulzeit / Universität gebrochen und brechen immer noch?

Persönliches Beispiel (im Originalbeitrag angefordert). Im ersten Jahr von Matan habe ich gelitten. Er löste die Beispiele leise und lernte die Theorie überhaupt nicht. Ich bat einen Klassenkameraden um Hilfe bei der Berechnung der Länge der Kurve durch das Integral. Er nahm eine Flasche Bier, zeichnete eine zufällige Kurve, richtete sie mit unendlich kleinen Segmenten auf, wählte ein solches Segment aus, baute es bis zum Dreieck dl, dx, dy auf und fragte: „Erinnerst du dich an den Satz von Pythagoras?“ Dann war alles einfach.



Ich fragte ihn: Warum wird das nicht paarweise / in Lehrbüchern gezeigt? Er zeigte ein paar Gegenbeispiele, erklärte, warum Formalismus in Matan notwendig ist - und ich war festgefahren. Ich habe gerade den Satz gelesen, die Hauptsache hervorgehoben, triviale Beispiele geschrieben / gelöst, mich dann mit Formalismus befasst - und wirklich verstanden, was los war.

Ich weiß nicht, ob es möglich ist, den allgemeinen Übersichtsansatz massiv anzuwenden => Gegenbeispiele => Formalismus . Ich weiß nicht, wie viel und welche Theorie / Praxis ein Student vor dem „Durchbruch“ gewinnen muss. Ich kann mir kaum vorstellen, wie man pädagogische Experimente zu diesem Thema durchführt und wie viel Arbeit ich in die Forschung investieren muss. Aber die Erinnerung an diese Erklärung lebt seit 10 Jahren. Und nach all den Jahren versuche ich, dem Publikum zuerst ein großes Bild zu geben, dann die Probleme zu zeigen und dann in die Details einzutauchen.

Sie werden sagen, meine persönlichen Gefühle könnten falsch sein. Darüber hinaus habe ich nur ähnliche Ideen von Hamming :

... Ich konnte untersuchen, welche Methoden wirksam waren und welche nicht. Bei der Teilnahme an Besprechungen habe ich bereits untersucht, warum einige Werke in Erinnerung bleiben und die meisten nicht. Eine technische Person möchte eine sehr begrenzte technische Vorlesung halten. In der Regel wünscht sich das Publikum einen breiten Vortrag allgemeiner Art und einen viel allgemeineren Überblick und Einführungen, als der Redner geben möchte. Infolgedessen sind viele Vorträge unwirksam. Der Dozent ruft das Thema an und taucht plötzlich in die Details ein. Nur wenige Menschen können den Überblick behalten. Sie müssen ein großes Bild zeichnen, um zu erklären, warum dies wichtig ist, und dann langsam eine Skizze darüber entfalten, was getan wurde. Dann werden mehr Leute sagen: "Ja, Joe hat es getan" oder "Mary hat getan, was ich wirklich sehe, worum es geht." Ja, Mary hat einen wirklich guten Vortrag gehalten, ich verstehe, was sie getan hat. " In der Regel halten die Leute einen sehr begrenzten, sicheren Vortrag; es ist normalerweise unwirksam. Darüber hinaus sind viele Vorträge mit Informationen gefüllt ...

Massenideen

Ich muss sagen, meine Erfahrung im Unterrichten ist äußerst begrenzt. Sie haben vielleicht bemerkt, dass ich mich auf den Lehrplan und Matanaliz beschränkt habe. Leider waren dies Bereiche, in denen ich die Gelegenheit hatte, Theorie mit Praxis in Kontakt zu bringen. Ich verstehe die Essenz der Determinante in der Algebra immer noch nicht, erkenne die projektive Geometrie nicht und erst vor sechs Monaten begann ich, in die Matrizen einzudringen (direkt nach dem Üben, nicht wahr). Ein gutes Beispiel für das Sprichwort "Theorie ohne Praxis ist tot".

Wie mir gesagt wurde, wurde in der NMU immer ein neues Konzept mit einem Dutzend Fragen eingeführt. Was ist wenn ja? Und wenn diese Klausel nicht erfüllt ist? Was wird benötigt, um unser Konzept zu einer Halbgruppe zu ergänzen? Die Zuhörer durften mit dem Thema spielen. Gewöhne dich daran. Ich denke, dass es sich lohnt, über die Erfahrungen der NMU sorgfältig nachzudenken.

In den höheren Zweigen der Mathematik wird der Ansatz „zuerst ein Beispiel, dann eine Abstraktion“ sicherlich nicht funktionieren. Beispiele auf einem Blatt Papier helfen also nicht, RSA zu realisieren. Die wachsende Zeit des Programms mit zunehmender Schlüssellänge hilft jedoch, die rein praktischen Aspekte zu spüren.

Es besteht die Befürchtung, dass Schulbücher für „Ideal / Gewächshaus“ bei der Arbeit mit dem „Turm“ zu einem Schock führen. Es scheint so, als ob "ein Hardcore-Arbeiter schon in jungen Jahren ausgebildet werden muss".

Es ist ziemlich schwierig, Kurse zu entwickeln, in der Hoffnung, dass die Schüler bereits etwas wissen. Je größer die erforderliche Basis ist, desto wahrscheinlicher ist es, dass etwas von der Basis vom Schüler missverstanden wird.

Sie sagen, dass der Höhepunkt der Form der Mathematiker 30 Jahre alt ist. Nach 30 können Sie sie bereits laden, um Lehrbücher zu schreiben, und einem Partner einen spezialisierten Methodologen geben.

Aktuelle Technologie ermöglicht es Ihnen, Texte mit Git zu schreiben. Ein Artikel über das Kompilieren von TeXa als PDF im CI-Prozess ist kürzlich auf einen Hub gerutscht Ich bin sicher, dass ein Autorenteam mit guten Werkzeugen viel bessere Lehrbücher schreiben kann.

Neben Professoren, Lehrern, Schülern und Schülern gibt es in der Mathematik Zustände. Und Vorschriften. Und die Anforderungen. Und Zertifizierung. All dies wirkt sich auf die Lehrbücher, Autoren, Lehrer und die Qualität des Materials aus.

Wie man den Materialfluss in mathematischen Texten verbessert

In der gegenwärtigen (russischen) Realität - nichts. Es gibt Enthusiasten, es gibt Profis, keine Motivation.

Mathematikprofessoren haben genug von ihren Aufgaben, um Lehrbücher zu schreiben. Manchmal gibt es nicht genug rein humanitäre Fähigkeiten, Bücher werden nicht an Universitäten unterrichtet. Plus, berufliche Verformung: Das „Offensichtliche“ für einen Professor kann für Studenten überwältigend sein. Mathematiklehrer sind beschäftigt. Und Papiere. Und Nachhilfe. Ich werde nichts über den Staat sagen. Fast sind seine Vertreter nicht begegnet, daher gibt es nichts zu sagen. Es sei denn, ich erwähne die Politik, Lehrbücher alle drei Jahre zu ersetzen. Nach der Schule wollte ich meine Lehrbücher in die Bibliothek bringen. Sie sagten mir: "Sie sind alt, du kannst sie nicht behalten." Die Motivation, gute Lehrbücher zu schreiben, fügt diesen Ansatz nicht hinzu.

Mit anderen Worten, ich persönlich erwarte keine positiven Fortschritte vom Bildungssystem. Ich hoffe natürlich, aber ich warte nicht. Was hilft, sind Einblicke in die IT und andere technische Aspekte. Auf einer der mathematischen Konferenzen erhielt ich von einem der Teilnehmer ein Buch über Computergrafik. Der Autor arbeitete in einem Büro und entwickelte einen grafischen Kern eines Zeichensystems, und das Material war ziemlich gut. Mathematik war nicht „rein“, angewendet, aber die Tatsache, dass gutes Lehrmaterial vorhanden war, war sicherlich erfreulich.

Ein anderer Ansatz: Lehrer aus Unternehmen, die an Universitäten arbeiten. Mathematische Texte von diesen Jungs sind nicht zu erwarten, die Besonderheiten sind nicht die gleichen. Es sei denn, Spieleentwickler schreiben ein Handbuch zur Theorie oder die Grafiken schreiben über die Algebra / Geometrie, die für die Entwicklung derselben CAD-Systeme erforderlich ist (falls es solche Projekte gibt - Aufruf) .

Schließlich gibt es verschiedene nichtstaatliche Bildungsplattformen wie die gleiche Coursera. Diese Jungs können alles, weil sie für Geld arbeiten, gegeneinander antreten und schnell Feedback erhalten. Sie haben jedoch ihren eigenen Nachteil: Das Format für die Übermittlung von Daten ist unterschiedlich. Sie schreiben keine Texte direkt.

Und was wird alles in Zukunft kommen?

Am interessantesten. Vielleicht bleibt alles so wie es ist. Vielleicht gibt es eine Abweichung von mathematischen Texten. Oder vielleicht lassen sich die Autoren von der Idee inspirieren, „der Produkttext sollte für den Kunden des Lesers bequem sein“, und die Pioniere können die Tradition brechen. Dann werden wir in 30-50-100 Jahren Lehrbücher haben, die für die meisten Leser verständlich sind.

Upd1. Ich habe ein Foto mit der Berechnung der Länge des Kurvenabschnitts eingefügt.

Upd2. In den Kommentaren wird oft erwähnt, dass der Text den Problemen des Unterrichts und nicht der professionellen Mathematik gewidmet ist. Der Grund ist einfach: Die meisten „professionellen“ Arbeiten, die ich in Bezug auf die Präsentation von Material gesehen habe, unterscheiden sich nicht von Lehrbüchern. Gleichzeitig ist die Schul- / Universitätsliteratur der Mehrheit in der Habr und die "professionelle" in Prozent bekannt.