Komplexe Zahlenoperationen

Hallo% Benutzername%!
Ich habe ziemlich viele Bewertungen über den ersten Teil erhalten und versucht, sie alle zu berücksichtigen.
Im ersten Teil schrieb ich über die Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division komplexer Zahlen.
Wenn Sie das nicht wissen, beeilen Sie sich und lesen Sie den ersten Teil :-)
Der Artikel ist gerahmt, es gibt hier nur sehr wenige Geschichten, meistens Formeln.
Viel Spaß beim Lesen!

Kommen wir also zu interessanteren und etwas komplexeren Operationen.
Ich werde über die Exponentialform der komplexen Zahl sprechen,
Potenzierung, Quadratwurzel, Modul und auch über den Sinus und
Kosinus eines komplexen Arguments.
Ich denke, es lohnt sich, mit einem komplexen Zahlenmodul zu beginnen.
Die komplexe Zahl kann auf der Koordinatenachse dargestellt werden.
Reelle Zahlen befinden sich entlang x und imaginäre Zahlen entlang y.
Dies nennt man die komplexe Ebene. Zum Beispiel eine beliebige komplexe Zahl

$$

$$z = 6 + 8i$$

kann offensichtlich als Radiusvektor dargestellt werden:

Die Formel zur Berechnung des Moduls sieht folgendermaßen aus:

$$

$$r = | z | = \ sqrt (x ^ 2 + y ^ 2)$$

Es stellt sich heraus, dass der Modul der komplexen Zahl z gleich 10 ist.
Im letzten Teil habe ich über zwei Formen des Schreibens komplexer Zahlen gesprochen:
algebraisch und geometrisch. Es gibt auch eine indikative Form der Einreise:

$$

$$z = r \: e ^ {i \ phi}$$

Hier ist r der Modul einer komplexen Zahl,
und φ ist arctg (y / x), wenn x> 0 ist
Wenn x <0, y> 0, dann

$$

$$φ = Arctan (y / x) + \ pi$$

Wenn x <0, y <0, dann

$$

$$φ = Arctan (y / x) - \ pi$$

Es gibt eine wunderbare Moiré-Formel, mit der Sie eine komplexe Zahl einbauen können
ein ganzer Grad. Es wurde 1707 vom französischen Mathematiker Abrach de Moire entdeckt.
Es sieht so aus:

$$

$$z ^ n = r ^ n {(cos (\ phi) + i * sin (\ phi))} ^ n$$

Infolgedessen können wir die Zahl z auf die Potenz a erhöhen:

$$

$$z.x = | z | ^ a * cos (a * arctg (y / x))$$

$$

$$z.y = | z | ^ a * sin (a * arctg (y / x))$$

Wenn Ihre komplexe Zahl in Exponentialform geschrieben ist, dann
Sie können die Formel verwenden:

$$

$$z ^ k = r ^ ke ^ {ik \ phi}$$

Wenn wir nun wissen, wie der Modul der komplexen Zahl und die Moire-Formel gefunden werden, können wir finden
n Wurzel der komplexen Zahl:

$$

$$\ sqrt [n] {z} = \ sqrt [n] {r} \; cos {\ frac {\ phi + 2 \ pi k} {n}} + i * sin {\ frac {\ phi + 2 \ pi k} {n}}$$

Hier sind k Zahlen von 0 bis n-1
Daraus können wir schließen, dass es genau n verschiedene Wurzeln des n-ten gibt
Grad einer komplexen Zahl.
Gehen wir weiter zu Sinus und Cosinus.
Die berühmte Euler-Formel hilft uns bei der Berechnung:

$$

$$e ^ {ix} = cos ({x}) + i * sin ({x})$$

Übrigens gibt es immer noch Eulers Identität, die eine Besonderheit ist
der Fall der Euler-Formel für x = π:

$$

$$e ^ {iπ} + 1 = 0$$

Wir erhalten die Formeln zur Berechnung von Sinus und Cosinus:

$$

$$sin \: z = \ frac {e ^ {ix} -e ^ {- ix}} {{2i}}$$

$$

$$cos \: z = \ frac {e ^ {ix} + e ^ {- ix}} {{2}}$$

Am Ende des Artikels kann man nur die praktische Anwendung von integriert erwähnen
Zahlen, so dass es keine Frage gibt

haben diese komplexen Zahlen aufgegeben?
Antwort: In einigen Bereichen der Wissenschaft gibt es keinen Weg ohne sie.
In der Physik gibt es in der Quantenmechanik eine Wellenfunktion, die an sich komplex ist.
In der Elektrotechnik haben sich komplexe Zahlen als praktischer Ersatz für die Diffusoren erwiesen, die unvermeidlich bei der Lösung von Problemen mit linearen Wechselstromkreisen auftreten.
Der Satz von Zhukovsky (Wing Lift) verwendet ebenfalls komplexe Zahlen.
Und auch in Biologie, Medizin, Wirtschaft und vielem mehr wo.
Ich hoffe, dass Sie jetzt mit komplexen Zahlen umgehen können und Sie können
setzen Sie sie in die Praxis um.
Wenn etwas in dem Artikel nicht klar ist - schreibe in die Kommentare, ich werde antworten.