Entfernen wir die Quaternionen aus allen 3D-Engines

Grafikprogrammierer verwenden Quaternionen , um dreidimensionale Kurven aufzuzeichnen. Quaternionen sind jedoch schwer zu verstehen, da sie oberflächlich untersucht werden . Wir nehmen nur seltsame Multiplikationstabellen und andere kryptische Definitionen zum Glauben und verwenden sie als „Black Boxes“, die Vektoren nach Bedarf drehen. Warum $$$\ mathbf {i} ^ 2 = \ mathbf {j} ^ 2 = \ mathbf {k} ^ 2 = -1$ und $$$\ mathbf {i} \ mathbf {j} = \ mathbf {k}$ ? Warum nehmen wir einen Vektor und verwandeln ihn in einen "imaginären" Vektor, um ihn beispielsweise zu transformieren? $$$\ mathbf {q} (x \ mathbf {i} + y \ mathbf {j} + z \ mathbf {k}) \ mathbf {q} ^ {*}$ ? Aber wen interessiert es, wenn alles funktioniert?

Es gibt eine Möglichkeit, Rotationen zu beschreiben, die als Rotor bezeichnet werden und sich auf das Feld komplexer Zahlen (in 2D) und Quaternionen (in 3D) beziehen und sogar auf eine beliebige Anzahl von Dimensionen verallgemeinern.

Wir können Rotoren fast vollständig von Grund auf neu erstellen, anstatt Quaternionen aus dem Nichts zu definieren und zu erklären, wie sie rückwirkend funktionieren. Es dauert länger, aber es scheint mir wert zu sein, weil sie viel einfacher zu verstehen sind!

Darüber hinaus ist es für die Visualisierung und das Verständnis dreidimensionaler Rotoren nicht erforderlich, die vierte räumliche Dimension zu verwenden.

Es wäre großartig, wenn sie anfangen würden, die Verwendung und das Studium von Quaternionen zu ersetzen und sie durch Rotoren zu ersetzen. Das Ersetzen ist sehr einfach, aber der Code bleibt fast gleich . Alles, was mit Quaternionen gemacht werden kann, zum Beispiel das Interpolieren und Entfernen von Achsschlössern (Gimbal Lock), kann mit Rotoren gemacht werden. Aber wir beginnen viel mehr zu verstehen.

(Im Originalartikel sind alle Grafiken interaktiv und auf den Artikel folgt ein Video. Durch Klicken auf die Wiedergabetasten können Sie den entsprechenden Abschnitt des Videos starten. Sie können auch auf die Übergangstaste unter dem Video klicken, um zum entsprechenden Abschnitt des Artikels zu gelangen. Sie können das Fenster erweitern, damit mehr Platz für das Video vorhanden ist oder stellen Sie eine konstante Größe ein.)

1. Flugzeuge drehen

1.1. Drehungen werden in zweidimensionalen Ebenen durchgeführt.

Im dreidimensionalen Raum nehmen wir normalerweise Windungen wahr, die um die Achsen auftreten, wie ein Rad, das sich um eine Achse dreht. Stattdessen wäre es korrekter, die Ebene darzustellen, auf der das Rad liegt. Diese Ebene ist senkrecht zur Achse.


Diese alte Frau dreht ein Rad im Flugzeug $$$\ mathbf {xz}$ senkrecht zur Achse $$$\ mathbf {y}$ .

Dies geschieht, weil wir den Vektor in zwei Teile geteilt haben, von denen einer in der Ebene liegt ( $$$\ mathbf {v} _ \ parallel$ ) und der andere ist draußen ( $$$\ mathbf {v} _ \ perp$ ), dann dreht die Drehung den inneren Teil und der äußere bleibt unverändert.


Drehung in der Ebene $$$yx$ [ Im Originalartikel können diese Animation und die Kamera bewegt werden ]

Im zweidimensionalen Raum gibt es nur eine Ebene, in der eine Drehung möglich ist ( es gibt keinen äußeren Teil ). Die Annahme, dass Rotationen um die dritte Achse (senkrecht zur 2D-Ebene) auftreten, ist daher streng genommen falsch, da wir zur Vervollständigung der Rotationen keine weitere Dimension hinzufügen sollten.

Wenn wir dem zweidimensionalen „flachen Landbesitzer“ (der in der 2D-Ebene lebt und nie aus dem zweidimensionalen Raum herauskommt) von der senkrechten Rotationsachse erzählen, würde er fragen: „In welche Richtung zeigt diese Achse? Ich kann sie mir nicht vorstellen! "

1.2. Die genaue Drehrichtung

Wenn wir über eine Drehung um eine Achse nachdenken, ist die Drehrichtung nicht definiert und muss daher durch eine Regel (die sogenannte „rechte Regel“) bestimmt werden.

Wenn wir jedoch annehmen, dass die Windungen innerhalb der Ebenen auftreten, wird die Richtung klar: Drehung in der Ebene $$$\ mathbf {xy}$ bedeutet eine Drehung, die einen (Einheits-) Vektor bewegt $$$\ mathbf {x}$ zum (Einheits-) Vektor $$$\ mathbf {y}$ innerhalb der Ebene bilden sie zusammen. Drehung in der Ebene $$$\ mathbf {yx}$ Ist eine Drehung in die entgegengesetzte Richtung: Es bewegt den Vektor $$$\ mathbf {y}$ zum Vektor $$$\ mathbf {x}$ .

2. Bivektoren

2.1. Externe Arbeit

Berechnung der Rotationsachse beim Drehen eines Vektors $$$\ mathbf {a}$ zu einem anderen Vektor $$$\ mathbf {b}$ Wir nehmen das Vektorprodukt zweier Vektoren, um einen Vektor senkrecht zu beiden zu erhalten. Aber warum müssen wir die Ebene „verlassen“, wenn die Drehung im Wesentlichen eine zweidimensionale Operation ist?

Stattdessen nehmen wir ein sogenanntes externes Produkt (auch als zweidimensionales Vektorprodukt bekannt), zwei Vektoren, und erzeugen ein neues Element, das als „Bivektor“ (oder 2-Vektor) bezeichnet wird. $$$\ mathbf {B}$ Darstellen der Ebene, die zwei Vektoren zusammen bilden. Wenn ein Vektorprodukt einen normalen Vektor zur Ebene erstellt, erstellt das externe Produkt die Ebene selbst . Die Berechnung der Normalen zur Ebene ist irrelevant.

$$

$$\ mathbf {B} = \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$$

$$$\ mathbf {B}$ kann als ein aus Vektoren aufgebautes Parallelogramm dargestellt werden $$$\ mathbf {a}$ und $$$\ mathbf {b}$ in der Ebene, die sie zusammen bilden.

Die Idee eines Bivektors mag zunächst seltsam erscheinen, aber bald werden wir sehen, dass sie fast so grundlegend sind wie die Vektoren selbst . Wenn der Vektor mit einer geraden Linie verglichen werden kann, ist der Bivektor wie eine Ebene ... Die Eigenschaften eines externen Produkts erfassen die wichtigen Eigenschaften von Ebenen.

2.2. Die Basis für Bivektoren

Bivektoren haben wie Vektoren Komponenten. Sie werden jedoch auf der Grundlage von Ebenen und nicht von geraden Linien wie Vektoren bestimmt.

Drei orthogonale Grundebenen sind $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$ , $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}$ und $$$\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z}$ wie wir aus der Abbildung sehen.

Aber zuerst schauen wir uns einen einfacheren zweidimensionalen Fall an ...

2.3. Zweidimensionale Bivektoren

In 2D gibt es nämlich nur eine Ebene $$$\ mathbf {xy}$ . Das heißt, ein zweidimensionaler Bivektor hat nur eine Komponente. Für einen aus Vektoren zusammengesetzten Bivektor $$$\ mathbf {a}$ und $$$\ mathbf {b}$ ist die Nummer $$$B_ {xy}$ gleich der Fläche (mit einem Vorzeichen) des durch zwei Vektoren gebildeten Parallelogramms.

$$

$$\ mathbf {B} = \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} = B_ {xy} (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y})$$

Im Originalartikel mit einem 2D-Bivektor können Sie mit dem interaktiven Diagramm experimentieren, indem Sie die (einzelnen) Vektoren ändern, aus denen er besteht:


Sie können sehen, dass sich der Parallelogrammbereich ändert, wenn sich der Winkel zwischen den Vektoren ändert (entsprechend dem Sinus des Winkels).

Wenn die Vektoren gleich oder parallel sind, bilden sie keine reguläre Ebene und das Ergebnis ist Null. Diese einfache Eigenschaft definiert, was ein Bivektor ist:

$$

$$\ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {a} = 0$$

Wenn Sie sich die Summe zweier Vektoren ansehen, sehen Sie, dass die Eigenschaft wie folgt lautet:

$$

$$\ begin {eqnarray} (\ mathbf {a} + \ mathbf {b}) \ wedge (\ mathbf {a} + \ mathbf {b}) & = & 0 \\ \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf { a} + \ mathbf {b} \ wedge \ mathbf {a} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} + \ mathbf {b} \ wedge \ mathbf {b} & = & 0 \\ \ mathbf { b} \ wedge \ mathbf {a} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} & = & 0 \ end {eqnarray}$$

Deshalb:

$$

$$\ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} = - \ mathbf {b} \ wedge \ mathbf {a}$$

Genau wie die Drehrichtung ist die Reihenfolge der Argumente in der externen Arbeit wichtig. Durch Neuanordnen der Argumente wird das Vorzeichen des Ergebnisses geändert (dies wird als "Antisymmetrie" bezeichnet).

In der Tabelle wird das Zeichen durch eine Farbe angezeigt, die von blau nach grün wechselt. Das Vorzeichen ändert sich beim Abbiegen $$$\ mathbf {a}$ in $$$\ mathbf {b}$ bewegt sich von im Uhrzeigersinn nach gegen den Uhrzeigersinn (d. h. wenn es der Richtung entspricht (von $$$\ mathbf {x}$ zu $$$\ mathbf {y}$ ) oder Richtung (von $$$\ mathbf {y}$ zu $$$\ mathbf {x}$ )).

Sie können sehen, dass die Eigenschaften des externen Produkts so angeordnet sind, dass sie die Eigenschaften von Ebenen und Kurven vermitteln.

2.4. Zweidimensionale Bivektoren von Nicht-Einheitsvektoren

Offensichtlich müssen Vektoren keine Einheitslänge haben, und diese Einschränkung wurde in diesem Diagramm entfernt:


Die Fläche des Parallelogramms mit einem Vorzeichen ist proportional zur Länge beider Vektoren: $$$B_ {xy} = sin (\ alpha) \ | a \ | \ | b \ |$ wo $$$\ alpha$ Ist der Winkel zwischen $$$\ mathbf {a}$ und $$$\ mathbf {b}$ . Das heißt, wenn beispielsweise die Länge eines Vektors verdoppelt wird, verdoppelt sich die Fläche.

Wir können den wahren Wert erhalten, indem wir die Vektoren als Komponenten einsetzen:

$$

$$\ begin {eqnarray} \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} & = & (a_x \ mathbf {x} + a_y \ mathbf {y}) \ wedge (b_x \ mathbf {x} + b_y \ mathbf { y}) \\ & = & a_x b_x (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {x}) + a_x b_y (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) + a_y b_x (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {x}) + a_y b_y (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {y}) \\ & = & a_x b_y (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) + a_y b_x ( \ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {x}) \\ & = & a_x b_y (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) - a_y b_x (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} ) \\ & = & (a_x b_y - a_y b_x) (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) \ end {eqnarray}$$

$$

$$B_ {xy} = a_x b_y - b_x a_y$$

2.5. 3D Bivektoren

Gleich wie Vektorkoordinaten $$$\ mathbf {v}$ können als Projektionen des Vektors auf drei orthogonalen Basisachsen betrachtet werden ( $$$\ mathbf {x}$ , $$$\ mathbf {y}$ , $$$\ mathbf {z}$ ), die Koordinaten des Bivektors $$$\ mathbf {B}$ kann als Projektionen betrachtet werden , die kleiner als eine Ebene auf drei orthogonalen Basisebenen sind.

Die Projektionen des Vektors sind die Längen dieses Vektors entlang jedes Basisvektors, und die Projektionen des Bivektors sind die Bereiche der Ebene auf jeder Basisebene.

Für den Vektor:

$$

$$\ mathbf {v} = \ bbox [5px, Rand unten: 2px durchgehend rot] {v_x} \ mathbf {x} + \ bbox [5px, Rand unten: 2px durchgehend grün] {v_y} \ mathbf {y} + \ bbox [5px, Rand unten: 2px durchgehend blau] {v_z} \ mathbf {z}$$

Für Bivector:

$$

$$\ mathbf {B} = \ bbox [5px, Rand unten: 2px feste Koralle] {B_ {xy}} (\ mathbf {x} \ Keil \ mathbf {y}) + \ bbox [5px, Rand unten: 2px massives Gold] {B_ {xz}} (\ mathbf {x} \ Wedge \ mathbf {z}) + \ bbox [5px, Rand unten: 2px festes DarkViolet] {B_ {yz}} (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z})$$

Wo $$$B_ {xy}$ , $$$B_ {xz}$ , $$$B_ {yz}$ Sind nur Zahlen wie $$$v_x$ , $$$v_y$ , $$$v_z$ (Sie werden durch die Farben unterstrichen, die den Farben in der Tabelle entsprechen.)

Die Komponenten eines 3D-Bivektors sind nur drei 2D-Projektionen eines Bivektors auf eine grundlegende 2D-Ebene.

Mit der gleichen Methode wie zuvor stellen wir fest, dass die wahren Werte der Komponenten der XY-Komponente aus dem zweidimensionalen Fall sehr ähnlich sind, jedoch auf alle drei Ebenen angewendet werden:

$$

$$B_ {xy} = a_x b_y - b_x a_y$$

$$

$$B_ {xz} = a_x b_z - b_x a_z$$

$$

$$B_ {yz} = a_y b_z - b_y a_z$$

Sie können mit einem 3D-Bivektor in einem interaktiven Diagramm im Originalartikel experimentieren:



Wenn wir den Bivektor durch seine Norm teilen, reduzieren wir die beiden Längen der Vektoren und den (absoluten) Wert des Sinus des Winkels, dh wir haben den Bivektor $$$\ hat {\ mathbf {B}}$ , die so konstruiert werden, als ob die beiden Vektoren anfangs senkrecht wären und eine Längeneinheit hätten. Dies ist eine sehr saubere Darstellung einer Ebene, die beide Vektoren enthält. Also:

$$

$$\ mathbf {B} = | \ mathbf {a} \ | \ | | mathbf {b} \ | \ mid sin (\ alpha) \ mid \ hat {\ mathbf {B}}$$

Erinnert Sie etwas an eine externe Arbeit? In 3D ist die Definition einer externen Arbeit der Definition einer Vektorarbeit sehr ähnlich. Tatsächlich hat ein Vektor in 3D, der aus einem Vektorprodukt (zum Beispiel einem normalen Vektor) erhalten wird, drei Komponenten, die den Komponenten des Bivektors entsprechen (die Zahlen sind gleich, aber die Basis ist unterschiedlich).

$$$$ display $$ \ begin {eqnarray} \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b} & = & & (a_x b_y - b_x a_y) (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}) \\ & & + & (a_x b_z - b_x a_z) (\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}) \\ & & + & (a_y b_z - b_y a_z) (\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z} ) \\ \\ \ mathbf {a} \ times \ mathbf {b} & = & & (a_x b_y - b_x a_y) \ \ mathbf {z} \\ & & - & (a_x b_z - b_x a_z) \ \ mathbf {y} \\ & & + & (a_y b_z - b_y a_z) \ \ mathbf {x} \ end {eqnarray} $$ display $$

Die Definition eines Bivektors hat eine geometrische Bedeutung und erscheint nicht aus dem Nichts. Ich erinnere mich, dass ich beim Studium von Vektorprodukten dachte: „Was zum Teufel gibt ein Vektor zurück, dessen Länge gleich der Fläche des Parallelogramms ist, das von diesen beiden Vektoren gebildet wird? Es scheint so zufällig. Und warum können wir den Parallelogrammbereich in die Länge des Vektors umwandeln? “

2.6. Semantik von Vektoren und Bivektoren

In 3D hat der Bivektor drei Koordinaten, eine pro Ebene: ( $$$\ mathbf {xy}$ , $$$\ mathbf {xz}$ und $$$\ mathbf {yz}$ ) Vektoren haben auch drei Koordinaten, eine pro Achse ( $$$\ mathbf {x}$ , $$$\ mathbf {y}$ und $$$\ mathbf {z}$ ) Jede Ebene ist senkrecht zu einer Achse. Dieser Zufall tritt nur in drei Dimensionen auf (*) und deshalb verwechseln wir ständig Bivektoren mit Vektoren .


Bei der Programmierung haben beide das gleiche Speicherlayout, aber unterschiedliche Operationen. Die Verwendung eines 3D-Vektors anstelle eines 3D-Bivektors ähnelt einer „Typkonvertierung“ eines Bivektors.

Hier ein Beispiel: Sie können sehen, dass die normalen Vektoren mithilfe der Matrix "Reverse Transfer" anders transformiert werden als gewöhnliche Vektoren $$$(\ mathbf {M} ^ {T}) ^ {- 1}$ anstelle der Matrix selbst. Dies liegt daran, dass es sich tatsächlich nicht um Vektoren handelt, sondern um Bivektoren, die durch "Typumwandlung" in Vektoren umgewandelt werden. In der Physik gibt es einen Hack namens "Axialvektor", der eingeführt wurde, um die vom Vektorprodukt erhaltenen Vektoren von gewöhnlichen Vektoren zu unterscheiden. Ein Bivektor ist ein wahrer „Typ“ eines Objekts und muss entsprechend wahrgenommen und verarbeitet werden.

3. Das geometrische Produkt

3.1. Multiplikation von Vektoren aufeinander

Geometrisches Produkt $$$\ mathbf {a b}$ (ohne Symbol bezeichnet) ist eine weitere Operation, die mit Vektoren ausgeführt werden kann. Das geometrische Produkt ist so definiert, dass die Vektoren inverse Größen sind (z. $$$\ mathbf {a} \ mathbf {a} ^ {- 1} = 1$ , wobei 1 nur die Zahl 1 ist!) und bequeme Eigenschaften haben, zum Beispiel Assoziativität ( $$$\ mathbf {a} (\ mathbf {b} \ mathbf {c}) = (\ mathbf {a} \ mathbf {b}) \ mathbf {c}$ ) Dies dient dazu, Vektoren so multiplizieren zu können, dass (wie bei Matrizen) die Multiplikation geometrischen Operationen entspricht.


Um ein Produkt zu definieren, stellen wir zunächst fest, dass es möglich ist, ein Produkt (oder eine Funktion, die zwei Argumente akzeptiert) in die Summe des Teils zu unterteilen, der sich nicht ändert, wenn wir die Argumente und den Teil, der sich ändert, wie folgt austauschen:

$$

$$\ begin {eqnarray} \ mathbf {a} \ mathbf {b} & = & \ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf {b} \ mathbf {a} - \ mathbf {b} \ mathbf {a}) \\ & = & \ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf { b} \ mathbf {a}) + \ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} - \ mathbf {b} \ mathbf {a}) \ end {eqnarray}$$

Der erste Term hängt nicht mehr von der Reihenfolge der Argumente ab $$$\ mathbf {a}$ und $$$\ mathbf {b}$ (es wird als "symmetrischer" Teil bezeichnet), und der zweite Term ändert das Vorzeichen, wenn die Stellen der Argumente geändert werden (er wird als "antisymmetrischer" Teil bezeichnet).

Das Skalarprodukt zweier Vektoren (auch als inneres Produkt bezeichnet) ist symmetrisch und ein Maß für die Entfernung ( $$$\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} = \ | \ mathbf {a} \ | ^ 2$ ) Aus geometrischer Sicht erscheint es daher sinnvoll, den symmetrischen Teil gleichzusetzen:

$$

$$\ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} + \ mathbf {b} \ mathbf {a}) = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}$$

In ähnlicher Weise ist das äußere Produkt zweier Vektoren antisymmetrisch, so dass es nützlich wäre, es mit dem antisymmetrischen Teil gleichzusetzen:

$$

$$\ frac {1} {2} (\ mathbf {a} \ mathbf {b} - \ mathbf {b} \ mathbf {a}) = \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$$

Zusätzlich enthält das Skalarprodukt den Kosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren ( $$$\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ | \ mathbf {a} \ | \ | \ mathbf {b} \ | cos (\ alpha)$ ), während das externe Produkt den Sinus des Winkels enthält. Zusammen beschreiben sie den Winkel zwischen den Vektoren sowie die Ebene, die sie bilden, vollständig.


Das heißt, das geometrische Produkt ist gleich:

$$

$$\ mathbf {a} \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$$

Dies ist seltsam, weil das Multiplizieren von zwei Vektoren die Summe von zwei verschiedenen Dingen ergibt: einem Skalar und einem Bivektor. Dies ähnelt jedoch der Art und Weise, wie eine komplexe Zahl die Summe eines Skalars und einer "imaginären" Zahl ist, sodass Sie sich bereits daran gewöhnen können. Hier entspricht der Bivektorteil dem "Imaginärteil" der komplexen Zahl. Nur ist dies kein "imaginärer" Wert, sondern nur ein Bivektor, den wir wirklich grafisch darstellen können!

Wenn wir zwei Vektoren multiplizieren, berechnen wir ihre nützlichen Eigenschaften ("die Länge ihrer Projektionen aufeinander" / "Kosinus des Winkels" () $$$\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b}$ ) und "die Ebene, die sie zusammen bilden" / "der Sinus des Winkels" ( $$$\ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$ )), die wir mit einem Pluszeichen verbinden. Ein geometrisches Produkt gibt auch Operationen von „Eigenschaftsgruppen“ an, die auf sie angewendet werden können, und diese Operationen haben geometrische Interpretationen (zum Beispiel: Drehung und Reflexion von Vektoren). Das werden wir bald sehen.

Sie können das geometrische Produkt in Sinus und Cosinus ausdrücken: $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b} = \ | \ mathbf {a} \ | \ | \ mathbf {b} \ | (cos (\ alpha) + sin (\ alpha) \ mathbf {B})$ wo $$$\ mathbf {B}$ Ist ein Bivektor beider Vektoren in der Ebene, der aus zwei senkrechten Einheitsvektoren besteht.

3.2. Multiplikationstabelle

Die Multiplikationstabelle ermöglicht es uns, das Produkt spezifischer zu machen: Mal sehen, was passiert, wenn wir die Produkte von Basisvektoren erhalten ( $$$\ mathbf {x}$ , $$$\ mathbf {y}$ , $$$\ mathbf {z}$ )

Für jeden Basisvektor, zum Beispiel eine Achse $$$\ mathbf {x}$ wird das Ergebnis gleich sein $$$1$ ::

$$

$$\ mathbf {x} \ mathbf {x} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {x} + \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {x} = 1$$

Für jedes Paar von Basisvektoren, zum Beispiel Achsen $$$\ mathbf {x}$ und $$$\ mathbf {y}$ Das Ergebnis ist ein Bivektor, den sie zusammen bilden:

$$

$$\ mathbf {x} \ mathbf {y} = \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y} + \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} = \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$$

(d. h. wir können benennen $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$ nur $$$\ mathbf {x} \ mathbf {y}$ , da dies ein und dasselbe ist!)

Dies gibt uns die folgende Tabelle:

$$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$		$$$\ mathbf {b}$
		$$$\ mathbf {x}$	$$$\ mathbf {y}$	$$$\ mathbf {z}$
$$$\ mathbf {a}$	$$$\ mathbf {x}$	$$$1$	$$$\ mathbf {x} \ mathbf {y}$	$$$\ mathbf {x} \ mathbf {z}$
	$$$\ mathbf {y}$	$$$- \ mathbf {x} \ mathbf {y}$	$$$1$	$$$\ mathbf {y} \ mathbf {z}$
	$$$\ mathbf {z}$	$$$- \ mathbf {x} \ mathbf {z}$	$$$- \ mathbf {y} \ mathbf {z}$	$$$1$

Tatsächlich ist diese Tabelle trivial, verglichen beispielsweise mit der Tabelle der Quaternionen.

3.3. Reflexionsformel (traditioneller Look)

Reflexion über einen Vektor [im Originalartikel kann jeder Vektor verschoben werden]

Wenn wir einen Einheitsvektor haben $$$\ mathbf {a}$ und Vektor $$$\ mathbf {v}$ wir können nachdenken $$$\ mathbf {v}$ durch eine Ebene senkrecht $$$\ mathbf {a}$ .

Dies geschieht auf die übliche Weise: Wir teilen $$$\ mathbf {v}$ auf dem Teil senkrecht zur Ebene: $$$\ mathbf {v} _ \ perp = (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a}$ und der Teil parallel zur Ebene: $$$\ mathbf {v} _ \ parallel = \ mathbf {v} - \ mathbf {v} _ \ perp = \ mathbf {v} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a}$ .

Um den Vektor zu reflektieren, drehen wir dann den senkrechten Teil um und lassen den parallelen Teil unverändert:

$$

$$\ begin {eqnarray} R _ {\ mathbf {a}} (\ mathbf {v}) & = & \ mathbf {v} _ \ parallel - \ mathbf {v} _ \ perp \\ & = & (\ mathbf { v} - (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a}) - ((\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a}) \\ & = & \ mathbf {v} - 2 (\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}) \ mathbf {a} \ end {eqnarray}$$

3.4. Reflexionsformel (Ansicht für geometrisches Produkt)

In dieser Phase können wir das Skalarprodukt ersetzen $$$\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {a}$ auf seiner Version in Form eines geometrischen Produkts $$$\ frac {1} {2} (\ mathbf {v} \ mathbf {a} + \ mathbf {a} \ mathbf {v})$ und erhalten Sie Folgendes:

$$

$$\ begin {eqnarray} R _ {\ mathbf {a}} (\ mathbf {v}) & = & \ mathbf {v} - 2 (\ frac {1} {2} (\ mathbf {v} \ mathbf {a } + \ mathbf {a} \ mathbf {v})) \ mathbf {a} \\ & = & \ mathbf {v} - \ mathbf {v} \ mathbf {a} ^ 2 - \ mathbf {a} \ mathbf {v} \ mathbf {a} \\ & = & - \ mathbf {a} \ mathbf {v} \ mathbf {a} \ end {eqnarray}$$

( $$$\ mathbf {a} ^ 2 = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {a} = 1$ , als $$$\ mathbf {a}$ ist ein Einheitsvektor)

Dies gibt uns genau das Gleiche, aber in einem anderen Eintrag. Die Verwendung eines Datensatzes in Form eines einfachen Produkts anstelle einer Formel zum Codieren einer so grundlegenden Operation wie Reflexion ist sehr nützlich!

3.5. Zwei Reflexionen sind eine Wendung: die Situation in 2D

Es stellt sich heraus, dass, wenn wir uns bewerben $$$\ mathbf {v}$ zwei aufeinanderfolgende Reflexionen (zuerst mit einem Vektor $$$\ mathbf {a}$ und dann mit dem Vektor $$$\ mathbf {b}$ ), dann erhalten wir eine Drehung im doppelten Winkel zwischen den Vektoren $$$\ mathbf {a}$ und $$$\ mathbf {b}$ .

Wir können jede nachfolgende Reflexionsstufe in der folgenden Grafik zeigen:


Sie können auch Vektoren im Originalartikel ändern. $$$\ mathbf {a}$ , $$$\ mathbf {b}$ und $$$\ mathbf {v}$ Die anfängliche Konfiguration der Vektoren im Diagramm (klicken Sie auf die Schaltfläche „Vektorpositionen zurücksetzen“) zeigt jedoch besonders deutlich, warum die Drehung dadurch in einem doppelten Winkel erfolgt. Eine andere gute Konfiguration ist die Einstellung als $$$\ mathbf {a}$ und $$$\ mathbf {b}$ Achsen $$$\ mathbf {x}$ und $$$\ mathbf {y}$ .

3.6. Zwei Reflexionen sind eine Wendung: die Situation in 3D

Im Fall von 3D-Vektor $$$\ mathbf {v}$ kann in zwei Teile unterteilt werden, von denen einer auf der angegebenen Ebene liegt $$$\ mathbf {a}$ und $$$\ mathbf {b}$ und der andere liegt außerhalb der Ebene (senkrecht dazu). Wie in der folgenden Grafik gezeigt, bleibt der äußere Teil des Vektors gleich, wenn er von jeder der Ebenen reflektiert wird. Was das Innere betrifft, sind wir wieder in 2D und es dreht sich nur um den doppelten Winkel!

3.7. Rotoren

Aus Sicht des geometrischen Produkts entsprechen zwei Reflexionen einfach dem Folgenden:

$$

$$R _ {\ mathbf {b}} (R _ {\ mathbf {a}} (\ mathbf {v})) = - \ mathbf {b} (- \ mathbf {a} \ mathbf {v} \ mathbf {a} ) \ mathbf {b} = \ mathbf {b} \ mathbf {a} \: \ mathbf {v} \: \ mathbf {a} \ mathbf {b}$$

Wir rufen an $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b} = \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} + \ mathbf {a} \ wedge \ mathbf {b}$ Rotor weil multipliziert mit $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$ Auf beiden Seiten des Vektors führen wir eine Rotation durch ( $$$\ mathbf {b} \ mathbf {a}$ Ist das gleiche wie $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$ , nur im umgekehrten Teilbivektor).

Rotoranwendung $$$\ mathbf {a} \ mathbf {b}$ zu beiden Seiten des Vektors dreht sich dieser Vektor in der Ebene der Vektoren $$$\ mathbf {a}$ und $$$\ mathbf {b}$ doppelter Winkel zwischen $$$\ mathbf {a}$ und $$$\ mathbf {b}$ .

Und das ist alles!

Vergleich von 3D-Rotoren und Quaternionen

Sie können sehen, dass 3D-Rotoren Quaternionen sehr ähnlich sehen:

$$

$$a + B_ {xy} \ \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} + B_ {xz} \ \ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z} + B_ {yz} \ \ mathbf {y} \ Keil \ mathbf {z}$$

$$

$$a + b \ \ mathbf {i} + c \ \ mathbf {j} + d \ \ mathbf {k}$$

In der Tat ist der Code / Mathe ziemlich gleich! Der Hauptunterschied ist das $$$\ mathbf {i}$ , $$$\ mathbf {j}$ und $$$\ mathbf {k}$ ersetzt durch $$$\ mathbf {y} \ wedge \ mathbf {z}$ , $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {z}$ und $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y}$ aber sie funktionieren im Grunde gleich. Codevergleich finden Sie hier . Ich habe nicht alles implementiert, zum Beispiel log / exp für die Interpolation, aber sie sind recht einfach zu erstellen.


Wie wir jedoch gesehen haben, sind 3D-Rotoren ein dreidimensionales Konzept, für dessen Visualisierung keine „vierdimensionalen Doppelwindungen“ oder „stereografische Projektion“ erforderlich sind. Der Versuch, in 4D laufende Quaternionen zu visualisieren, um 3D-Rotationen zu erklären, ist ein bisschen wie der Versuch, die Planetenbewegung aus geozentrischer Sicht zu verstehen. Das heißt, Dieser Ansatz ist zu kompliziert, weil wir ihn aus der falschen Perspektive betrachten.

Wie wir gesehen haben, hilft uns die Modellierung von Rotationen, die in Ebenen statt um Vektoren auftreten, sehr. Zum Beispiel geben die Quadrate der Basisbivektoren an $$$-1$ , genau wie die grundlegenden Quaternionen ( $$$\ mathbf {i} ^ 2 = \ mathbf {j} ^ 2 = \ mathbf {k} ^ 2 = -1$ ):

$$

$$(\ mathbf {x} \ mathbf {y}) ^ 2 = (\ mathbf {x} \ mathbf {y}) (\ mathbf {x} \ mathbf {y}) = - (\ mathbf {y} \ mathbf {x}) (\ mathbf {x} \ mathbf {y}) = - \ mathbf {y} (\ mathbf {x} \ mathbf {x}) \ mathbf {y} = - \ mathbf {y} \ mathbf { y} = -1$$

Das Multiplizieren von zwei Bivektoren miteinander ergibt einen dritten Bivektor, aber tatsächlich ist es trivial, und wir müssen uns nicht daran erinnern $$$\ mathbf {i} \ mathbf {j} = \ mathbf {k}$ ::

$$

$$(\ mathbf {x} \ mathbf {y}) (\ mathbf {y} \ mathbf {z}) = \ mathbf {x} (\ mathbf {y} \ mathbf {y}) \ mathbf {z} = \ mathbf {x} \ mathbf {z}$$

(Beachten Sie, dass wir verwendet haben $$$\ mathbf {x} \ wedge \ mathbf {y} = \ mathbf {x} \ mathbf {y}$ )

Diese Eigenschaften sind das Ergebnis eines geometrischen Produkts und entstehen nicht aus dem Nichts!

Zusätzliche Lektüre

(Übrigens gibt es in der geometrischen Algebra nicht nur Rotoren, sondern auch andere coole Dinge!)

• Lineare und geometrische Algebra von Macdonald [ Link zu Amazon ]
  
  Eine ausgezeichnete Quelle, sehr klar und verständlich, da impliziert wurde, dass sie das Lehrbuch der linearen Algebra für Schüler ersetzen würde.
• Geometrische Algebra für die Informatik von Dorst et al. [ Link zu Amazon ]
  
  Eine großartige Quelle, da Sie mit der Programmierung manchmal das Thema besser verstehen können.

  Hinweis: In diesem Buch machen die Autoren deutlich, dass die geometrische Algebra langsamer ist als Quaternionen (und dergleichen ...). Tatsächlich sollte es ungefähr den gleichen Code haben (d. H. Sie sollten keinen Code für die geometrische Algebra schreiben und eine verallgemeinerte Struktur erstellen, die alle möglichen Arten von k-Vektoren enthalten kann. Schreiben Sie bei Bedarf einfach eine Struktur für jeden Typ von k-Vektoren Das heißt, um die Quaternionen zu ersetzen, können Sie eine Bivector-Struktur und eine Rotor-Struktur (Skalar + Bivector) schreiben.