Theorie des Glücks. Schwindelerregender Flug eines Sandwichs mit Butter

Ich mache die Leser von Habr weiterhin mit den Kapiteln aus seinem Buch "Theory of Happiness" mit dem Untertitel "Mathematical Foundations of the Laws of Meanness" bekannt. Dieses populärwissenschaftliche Buch ist noch nicht veröffentlicht und erzählt sehr informell, wie Mathematik es Ihnen ermöglicht, die Welt und das Leben der Menschen mit einem neuen Grad an Bewusstsein zu betrachten. Es ist für diejenigen, die sich für Wissenschaft interessieren und für diejenigen, die sich für das Leben interessieren. Und da unser Leben komplex und im Großen und Ganzen unvorhersehbar ist, liegt der Schwerpunkt des Buches hauptsächlich auf der Wahrscheinlichkeitstheorie und der mathematischen Statistik. Hier werden Theoreme nicht bewiesen und die Grundlagen der Wissenschaft nicht gegeben, dies ist keineswegs ein Lehrbuch, sondern das, was man Freizeitwissenschaft nennt. Aber genau dieser fast spielerische Ansatz ermöglicht es uns, Intuition zu entwickeln, Vorlesungen für Studenten mit anschaulichen Beispielen aufzuhellen und schließlich Nicht-Mathematikern und unseren Kindern zu erklären, dass wir in unserer trockenen Wissenschaft so interessante Dinge gefunden haben.



In diesem Kapitel untersuchen wir das Gesetz eines Sandwichs und organisieren eine ganze Studie unter Verwendung der Monte-Carlo-Methode und der Dimensionsanalyse. Und schließlich entlarven Sie den populären Mythos, dass Öl die Ursache für dieses Gemeinheitsgesetz ist.

Das Thema fallende Sandwiches verfolgt weder die breite Öffentlichkeit noch die Forscher. Seit Jahrzehnten werden Experimente durchgeführt, Filme gedreht, Artikel geschrieben, ein fallendes Sandwich mit Legenden und falschen Schlussfolgerungen bewachsen. Nur wenige wertlose Aufgaben haben so viel Aufmerksamkeit erregt, und wenn Sie der Meinung sind, dass dies alles verwöhnt, denken Sie daran, dass selbst Auszeichnungen für ihre Lösung jedoch nicht ernst gemeint sind. 1995 erhielt Robert Matthews den Shnobel-Preis für seine im European Journal of Physics veröffentlichte Arbeit „Falling Sandwich, Murphys Gesetz und fundamentale Konstanten“. Trotz des Comic-Themas und der entsprechenden Reaktion der wissenschaftlichen Gemeinschaft ist dies ein völlig interessanter Artikel, in dem eine gründliche Analyse des Gleitprozesses durchgeführt und eine weitreichende Schlussfolgerung gezogen wird: Unabhängig davon, auf welchen anthropomorphen Kreaturen, die in der Atmosphäre leben, erscheinen, sind sie zum Gesetz eines Sandwichs verurteilt. Nach einem solchen Triumph nutzloser Forschung könnte man das Thema schließen, aber warum sollte man die Gelegenheit verpassen, interessante und objektiv nützliche Methoden als Beispiel für ein interessantes Problem zu betrachten?

Ida wirft Sandwiches in Monte Carlo!

Wir werfen selten Sandwiches wie eine Münze, zumindest wenn wir älter als zwei Jahre sind. Meistens wiederholen wir unwillkürlich dasselbe Experiment: Ein Sandwich, das ursprünglich mit der Butter nach oben gelegt wurde, rutscht uns aus den Händen oder rutscht vom Tisch. Während des Ausrutschens dreht es sich, fliegt in der Luft und lässt sich schließlich auf den Tisch oder auf den Boden fallen. Das Anfangsstadium des Sturzes wird durch eine Reihe von Parametern beeinflusst: Reibung gegen die Finger oder die Oberfläche des Tisches, die Anfangsposition des Sandwichs und seine Anfangsgeschwindigkeit, die Höhe des Sturzes und schließlich die Größe des Sandwichs. Wir haben ein dynamisches System mit mehreren Eingabeparametern und einem Ausgang - der Position des Sandwichs auf dem Boden. Innerhalb des Systems wirken wie bei einer Münze mechanische Gesetze, die durch Differentialgleichungen beschrieben und deterministisch sind . Dies bedeutet, dass es keinen Unfall gibt - das Ergebnis hängt nur von den Eingabedaten ab, und mit der genauen Wiederholung der Parameter sollten wir identische Ergebnisse erhalten. Dies gilt für das Sandwich-Modell, das in Form eines Differentialgleichungssystems dargestellt wird. Aber was ist mit echten Sandwiches, rau und einzigartig, die von echten Menschen in Restaurants, auf der Straße oder auf der Couch fallen gelassen werden? Die Variabilität der realen Welt kann beschrieben werden, indem zufällige Parameter auf die Eingabe des deterministischen Systems angewendet werden.

Selbst die Algebra der Zufallsvariablen, die nur Addition und Multiplikation umfasst, ist keine leichte Aufgabe, aber wir haben Differentialgleichungen! Wir klettern nicht in diese faszinierende Wildnis, sondern verwenden die in vielen Bereichen gut entwickelte Technik - die Monte-Carlo-Methode . Es besteht darin, Statistiken zu akkumulieren und die Eigenschaften eines bestimmten komplexen Systems als Ergebnis wiederholter Tests mit verschiedenen zufälligen Parametern zu bestimmen. Ich betone noch einmal: Das untersuchte System ist nicht stochastisch und nicht chaotisch und reagiert vorhersehbar auf zufällige Eingabedaten. Bei der Monte-Carlo-Methode wird Zufälligkeit nur benötigt, um so viele Optionen wie möglich effizient zu sortieren und alle realistischen „Winkel“ zu untersuchen, um eine Vorstellung vom Verhalten des Systems zu erhalten.

Tatsächlich haben wir diese Methode bereits angewendet, um Radfahrer auf einem Hügel zu beobachten, und werden sie weiterhin anwenden, indem wir einen Termin im Büro vereinbaren und Geld in einer geschlossenen Gesellschaft teilen. Die Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen Wahrscheinlichkeit und Volumen- oder Flächenmaß, über die wir bereits gesprochen haben, ermöglicht es uns, die Monte-Carlo-Methode für die numerische Integration zu verwenden. Ein Merkmal des bevorstehenden Sandwich-Experiments ist, dass wir uns nicht für die Wahrscheinlichkeitsverteilung (genau oder empirisch) interessieren, sondern für die Abhängigkeit der Wahrscheinlichkeit von den Parametern des Problems. Wir werden nach der Antwort auf die Frage suchen: Unter welchen Umständen ist das Sandwichgesetz erfüllt? Wir werden verschiedene spezifische Parameter für die Eingabe unseres dynamischen Systems bereitstellen und Statistiken über Ölabfälle und Ölabfälle sammeln. Das Ergebnis einer Reihe von Experimenten wird also eine Zahl sein - die Wahrscheinlichkeit, dass ein Öl herunterfällt.

Ich bin überzeugt, dass es falsch ist, echte Sandwiches absichtlich auf den Boden fallen zu lassen, daher werden wir mathematische Modelle verwenden. Um das Problem eines Sandwich-Sturzes zu lösen, habe ich einen der verfügbaren Simulatoren für die physische Welt ausgewählt, mit denen Online-Spiele erstellt werden. Er durfte einen virtuellen Tisch und Boden sowie zwei Sandwiches erstellen. Einer erschien am Rand des Tisches, und der zweite - "aus seinen Fingern gerutscht", dh von einer Punktstütze gerutscht. Es ist meine Macht, die Ausgangsposition und den Winkel des Sandwichs, die horizontale Geschwindigkeit (der Fall, dass das Sandwich vom Tisch geschlagen wird), die Reibungskoeffizienten, die Größe des Sandwichs und die Höhe des Sturzes einzustellen. Die Experimente sehen ungefähr so ​​aus:

Experimente mit dem Fall virtueller Sandwiches in einem Simulator der physischen Welt.

In dem Moment, in dem das Sandwich den Boden berührt, ist der Winkel des Sandwichs festgelegt, oder vielmehr der Winkel des Vektors senkrecht dazu. Das Vorzeichen des Sinus dieses Winkels zeigt an, von welcher Seite sich das Öl gedreht hat: Ein erfolgreicher Fall entspricht einem positiven Wert und eine Abwärtsposition entspricht einem negativen Wert. Das Ergebnis wird in die Tabelle eingetragen und das neue virtuelle Sandwich kann fallen. Die Aufgabe, die wir uns stellen, ist folgende: Die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, mit der ein Sandwich aus einer bestimmten Höhe herunterfällt.

Die Monte-Carlo-Methode geht davon aus, dass Zufallsvariablen als Parameter verwendet werden. Und hier lohnt es sich, ein paar Worte darüber zu sagen, was eine Zufallsvariable ist . Kehren wir zu Mathematikern und mathematischen Strukturen zurück. Welche Struktur kann verwendet werden, um die Ergebnisse des Fallens einer Zahl auf einen Würfel oder den Wasserstand in einem Fluss zu simulieren, da das Wasser ständig aufgeregt ist? Wie kann man mit der Anzahl der Autos arbeiten, die in einer Stunde die Kreuzung passieren? Welche Struktur kann den Zustand eines Elektrons beschreiben? Dies sind zum einen bestimmte Zahlen aus einem genau definierten Wertesatz: für einen Knochen beispielsweise aus einem Satz $$$\ {1,2,3,4,5,6 \}$ und dieser Wert ist leicht durch Durchführen eines Experiments zu erhalten. Ein zweites Experiment wird jedoch zu einem anderen Ergebnis führen. Dies ist eindeutig nicht nur eine Zahl: Heute ist es eine, morgen ist es eine andere. Es kann sich sogar eine philosophische Frage stellen: Ist es sinnvoll, über einen genauen Wert des "Wasserstandes im Fluss" oder über die Anzahl der Autos zu sprechen, da diese Werte nicht "gefangen" und aufgezeichnet werden können? Könnte es in irgendeiner Weise eine genaue Kenntnis einer Zufallsvariablen geben?

Wenn über solche Zufallsvariablen gesprochen wird, sind sie oft nur auf den Durchschnittswert beschränkt, aber dies ist eine gute Möglichkeit, verwirrt oder sogar absichtlich verwirrt zu werden. Zwei Zahlen: Mittelwert und Standardabweichung sind bereits besser, aber dies sind eindeutig nicht alle Informationen über das für uns interessante Objekt. Vielleicht sind das keine Zahlen, sondern Mengen? Angenommen, Sie können versuchen, den Wasserstand im Fluss als ein Intervall möglicher Werte zu beschreiben, wobei die Aufregung berücksichtigt wird, und beispielsweise bei Autos sagen, dass in einer Stunde 1 bis 100 Autos vorbeifahren usw. Es ist jedoch leicht zu erkennen, dass die Menge der möglichen Werte auch nicht ausreicht. Wenn beispielsweise die Anzahl der Autos auf der Straße wiederholt gemessen wird, treten einige Zahlen häufiger auf, andere warten wir überhaupt nicht. Im letzten Kapitel haben wir ein Wahrscheinlichkeitsmaß als Funktion eines Wahrscheinlichkeitsraums eingeführt. Für eine zufällige Größe sind die Elementarereignisse dieses Raums die Elemente seines Definitionsbereichs, und das Maß bestimmt die Wahrscheinlichkeitsverteilung für diese Größe. Und jetzt sind dies erschöpfende und genaue Informationen. Eine Funktion kann analytisch oder als Annäherung durch eine andere Funktion in Form einer Tabelle, eines Histogramms oder in Form eines Diagramms dargestellt werden. Alle diese Darstellungen sind Modelle desselben Objekts - eine Zufallsvariable, und das Wichtigste ist hier weniger die spezifische Art der Darstellung als vielmehr die mathematischen Eigenschaften dieser Funktion. Bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind die Eigenschaften unterschiedlich: Anzahl der Parameter, Anzahl der Modi, Entropie, unendliche Teilbarkeit, Additivität, Stabilität, Integrierbarkeit usw. Bei der Modellierung einer unbekannten Zufallsvariablen aus dem Experiment wählen Statistiker aus einem riesigen Arsenal bekannter Verteilungen mit genau definierten Eigenschaften weniger die „ähnlichste“ Funktion als vielmehr eine Funktion, deren Eigenschaften mit der beobachteten Zufallsvariablen am vollständigsten übereinstimmen. Dies ist die Essenz statistischer Analysen und Techniken zum Testen statistischer Hypothesen , die jedem Schüler bekannt sind, der Statistiken berührt hat.

Wir haben jetzt gewissermaßen das Gegenteil. Wir müssen die Parameter des Sandwichs mit Zufallsvariablen einstellen, die keine statistischen Daten haben, sondern sich an den notwendigen Eigenschaften dieser Größen orientieren. Dies ist ein wichtiger und interessanter Teil der Monte-Carlo-Methode, von der sowohl die Lösung als auch ihre Richtigkeit abhängen.

1. Die Abmessungen des Sandwichs. Was können sie sein? Angemessen große Häppchen haben einen Zentimeter $$$3$ breit, und ein guter Schüler "Bast" kann Zentimeter sein $$$15$ . Meistens haben Sandwiches Größen von $$$6$ vorher $$$10$ In diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit, auf ein Sandwich mit einer Breite von Millimetern oder Metern zu stoßen, im praktischen Sinne Null. Ich kann nichts mehr über Sandwiches sagen und ich werde die Größe der Sandwiches akzeptieren, die gleichmäßig im angegebenen Bereich verteilt sind. Die Auswahl ist unvollkommen, aber wir finden normale Sandwiches häufiger als winzige oder riesige. Aber später werden wir sehen, dass diese Schwachstelle anmutig umgangen werden kann.

2. Ausgangsposition. Hier werden wir ohne weiteres eine gleichmäßige Verteilung festlegen, um das Sandwich über die Tischkante zu bewegen, wenn es nur herunterfällt.

3. Der Reibungskoeffizient. Dies ist eine dimensionslose Größe, die nur vom Material abhängt. Tische und Tischdecken sind unterschiedlich, Finger drücken ein Sandwich mit unterschiedlichen Stärken. Koeffizientenbereich von $$$0.01$ vorher $$$0.5$ Während extreme Werte unwahrscheinlich sind, können Sie im Durchschnitt etwas erwarten $$$0,3$ . Jede glockenförmige asymmetrische Verteilung eines nicht negativen Werts, beispielsweise eine Gammaverteilung oder eine logarithmische Normalverteilung, hilft uns.

4. Anfangsgeschwindigkeit. Wir starten Sandwiches selten mit hoher Geschwindigkeit und werfen sie meistens gar nicht, aber es passiert trotzdem. Alles, was über die Größe der Geschwindigkeit bekannt ist, ist, dass sie positiv ist, und es kann angenommen werden, dass wir uns beim Wischen im Durchschnitt als durchschnittliche Hände bewegen, dh mit einer Geschwindigkeit von ungefähr $$$0.5$ m / s Wenn nur dies über eine Größe bekannt ist, ist es sinnvoll, sie durch eine Exponentialverteilung zu beschreiben (warum, wir werden später darüber sprechen, wenn wir etwas über die Entropie von Verteilungen erfahren). Sein Modus ist Null, daher ist der Anteil der Sandwiches, die ohne große Anfangsgeschwindigkeit gefallen sind, recht anständig. Im "Schwanz" befinden sich Sandwiches, die versehentlich in den Flug gebracht werden, wenn Krümel vom Tisch gewischt werden.

5. Wir werden die Höhe des Tisches festlegen, hundert Sandwiches davon fallen lassen, die Anzahl der gefallenen Öle herunterzählen und in den Tisch legen oder die Wahrscheinlichkeit der Höhe in der Grafik widerspiegeln.

Hier sind die Wahrscheinlichkeiten, wie wir ein Sandwich mit Butter fallen lassen:

Die Wahrscheinlichkeit, dass Ölsandwiches je nach Fallhöhe unterschiedliche Sandwiches mit unterschiedlichen Bedingungen landen. Für jede Höhe $$$100$ Tests.

Eine gewisse Tendenz ist sichtbar, aber es hat sich eine sehr große Verbreitung herausgestellt. Bei der Mittelwertbildung stellt sich heraus, dass die Wahrscheinlichkeit der Fallhöhe nahezu unabhängig ist und die Hälfte kaum überschreitet. Kannst du einem solchen Experiment vertrauen? Widerlegt er das Gesetz eines Sandwichs? Vielleicht haben wir nicht genug Sandwiches geworfen - es gab so viele verrauschte Daten! Lassen Sie uns die Anzahl der Würfe erhöhen und sehen, was passiert:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Öl auf verschiedenen Sandwiches landet, wurde für eine größere Anzahl von Tests berechnet (500 für jede Höhe).

Es gibt weniger Emissionen, aber es ist noch deutlicher zu erkennen, dass das Gesetz des Sandwichs sehr, sehr schwach ist. Aber haben wir unsere Experimente richtig durchgeführt? Die Monte-Carlo-Methode sieht verlockend einfach aus: Erkennen Sie, welche schrecklichen Daten Sie ersetzen, und sehen Sie, was passiert. Mathematik ist eine ehrliche Sache: Welche Art von Frage ist sie bereit, welche Art von Antwort zu geben . Ob diese Antwort sinnvoll ist, hängt jedoch von der Frage ab.

Bevor Sie mit den Experimenten beginnen, die nicht so spielzeugartig wie unsere sind, sondern real und teuer, mit einem umlaufenden Satelliten, einem Teilchenbeschleuniger oder tausend echten Sandwiches mit Öl, müssen Vorbereitungsarbeiten durchgeführt werden. Eine der mächtigsten und schönsten Möglichkeiten, um zu verstehen, wie man ein Experiment richtig durchführt, besteht darin, die Dimensionen des Problems zu analysieren .

Wir haben ein Sandwich durch verallgemeinerte Koordinaten, Impulse und Kräfte modelliert - physikalische Größen, die wiederum durch Gleichungen der analytischen Mechanik verbunden sind. In der Physik "passen" die quantitativen Größen, mit denen wir uns befassen, die wir messen und in den Gleichungen einsetzen, nicht in gewöhnliche Zahlen - sie haben eine zusätzliche Struktur, die als Dimension bezeichnet wird . Nicht alle korrekten mathematischen Ausdrücke sind sinnvoll, wenn dimensionale Größen daran beteiligt sind. Nehmen wir an, es macht keinen Sinn, Geschwindigkeit und Masse hinzuzufügen. Es ist unmöglich, Kraft und Distanz zu vergleichen. Wir können jedoch das Produkt aus Geschwindigkeit und Masse betrachten, nachdem wir eine neue dimensionale Größe erhalten haben - den Impuls oder Impuls; Es ist möglich, die Geschwindigkeit zu quadrieren und durch die Entfernung zu dividieren, wodurch ein Wert mit der Dimension der Beschleunigung erhalten wird.

Dimensionsanalyse und Ähnlichkeitstheorie wurden vor langer Zeit seit Lord Rayleighs Geburt geboren. Sie werden in der Mechanik, Elektrodynamik, Astrophysik und Kosmologie eingesetzt und ermöglichen es, komplexe Aufgaben mit erschreckender Eleganz anzugehen. Die Forschung auf diesem Gebiet ist jedoch noch nicht abgeschlossen, und eine genaue Definition der Struktur, die durch quantitative (dimensionale) Größen gebildet wird, wurde erst 2016 vom spanischen Mathematiker Alvaro Raposo gegeben.

Die Einschränkungen, die durch Dimensionen für physikalische Formeln auferlegt werden, werden von Schülern und Schülern häufig als zusätzliches Durcheinander wahrgenommen, das überwacht werden muss. Andererseits sind logisch konsistente Einschränkungen äußerst nützlich! Sie filtern falsche Ausdrücke heraus und ermöglichen es Ihnen, die Struktur der Lösung eines physikalischen Problems vor seiner detaillierten Lösung vorherzusagen. Sie sind ein leistungsstarkes Werkzeug für die Planung und Analyse experimenteller Daten.

Aber das ist interessant. Wir haben den Fall des Sandwichs im Programm unter Verwendung nicht dimensionaler, sondern gewöhnlicher Zahlen berechnet. Wie kann man eine physikalische Größe aus einer Dimension „löschen“ und in eine Zahl verwandeln? Zu diesem Zweck sind wir mit den bekannten Maßeinheiten für physikalische Größen vertraut: all diese Meter, Pfund, Minuten und Newton. Maßeinheiten nehmen den dimensionalen Teil der Größe ein und hinterlassen einen Faktor - eine reelle Zahl, mit der ein Computer bereits umgehen kann. Zum Beispiel ist die Geschwindigkeit in der ausgewählten Richtung $$$60$ km / h kann durch die Zahl dargestellt werden $$$60$ . Aber es gibt eine Subtilität: Die numerische Darstellung hängt von der Wahl der Maßeinheiten ab. Wenn Sie andere Einheiten auswählen (z. B. Meter und Sekunden) , wird dieselbe Geschwindigkeit durch eine andere Zahl dargestellt: $$$16.7$ . Die Zahlen sind unterschiedlich, aber die Menge ist eins und es hängt nicht von unserer Wahl der Einheiten ab.

Es stellt sich die Frage: Gibt es in irgendeiner Weise ein „bestes“ Einheitensystem? Es stellt sich heraus, dass es bei der Lösung des Problems erforderlich ist, die im Problem enthaltenen Maßgrößen als Maßeinheiten zu verwenden.

In diesem Kapitel fliegen Sandwiches, in den vorherigen fliegenden Münzen geben wir ein weiteres fliegendes Beispiel. Wie sollen die Flugeigenschaften verschiedener Vögel verglichen werden? Es ist klar, dass die Geschwindigkeiten, die Vögel entwickeln, unterschiedlich sind: für eine Taube - $$90 km / h, schnell -$90$$$140 km / h, für Kräne, Spatzen oder Stockenten -$140$$$50 km / h für Kolibris -$50$$$80 km / h Alle diese Vögel unterscheiden sich jedoch erheblich in Größe und Flugweise. Wenn die Länge eines Papageis in Papageien gemessen wird und die Zeit in Perioden gemessen wird, in denen mit den Flügeln geschlagen wird, können Sie, wie es heißt, eineeigene Geschwindigkeit erreichen. Sie können die Geschwindigkeiten, die diese Vögel entwickeln können, in Eigenwerte teilen und eine dimensionslose Geschwindigkeit erhalten, die zeigt, wie lange sich der Vogel in einem Flügelschlag bewegen kann. Hier ist das Ergebnis dieses Vergleichs:$80$

der Vogel	, /		, 1/	, /
	140	18	5	0,9	43
	90	30	5	1,5	17
	80	8	200	16	1.4
	50	1 m	2,5	2,5	5
	50	40	9	3.6	3.8
	46	12	13	1,6	8

Es ist zu sehen, dass der Swift zu Recht als der beste Flieger gilt, aber der Kolibri verbraucht ineffizient Energie. Dieser Vogel hat jedoch nicht die Aufgabe, lange wie eine Taube zu fliegen. Die gleichen absoluten Geschwindigkeiten von Kran, Spatz und Ente unterscheiden sich erheblich, wenn sie in dimensionslose Mengen umgerechnet werden. Diese Art der Berechnung wird verwendet, um ein wirklich großes Flugzeug zu simulieren und ein kleines Modell in einem Windkanal zu testen. Wenn alle dimensionslosen Parameter dieser beiden Systeme nahe beieinander liegen, können sie als physikalisch ähnlich angesehen werden, und die Modellierung ist sinnvoll. Wir haben diesen Ansatz bereits verwendet und reflektieren relative Einheiten anstelle von absoluten in Lorenz-Diagrammen. Dies ermöglichte es uns, verschiedene Phänomene und Verteilungen untereinander zu vergleichen.

Es ist klar, welches Einheitensystem für die Analyse des Fluges eines Sandwichs am besten geeignet ist. Natürlich muss die Länge in Sandwiches gemessen werden. Für eine Zeiteinheit können wir den Wert nehmen$$$\sqrt{l/g}$ wo $$l ist die Länge des Sandwichs und$l$$$g ist die Erdbeschleunigung. Und die Höhe des Tisches sollte nicht in Metern gemessen werden, sondern in eigenen Einheiten. Nachdem wir das Ergebnis erhalten haben, können wir es sofort sowohl auf Canapes als auch auf einen soliden „Bastschuh“ verallgemeinern. Wir wiederholen also die Berechnungen, aber in der Grafik geben wir die Höhe der Tabelle in relativen Einheiten wieder. Wenn wir alles richtig gemacht haben, sollten wir für zwei unterschiedlich große Sandwiches sehr ähnliche Grafiken erhalten. Schauen wir uns das an:$g$

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ölsandwich bei unterschiedlichen Inzidenzhöhen auf einem bestimmten festen Wert landet, berechnet in relativen Einheiten. Blaue Punkte entsprechen einem Sandwich mit einer Größe von 5 cm, rote Punkte entsprechen 10 cm.

In der Anfangseinstellung haben wir verschiedene Größen sortiert und eine Ergebniswolke erhalten, bei der die für uns interessante Abhängigkeit verborgen war. Mit zunehmender Anzahl von Tests haben wir diese Cloud gemittelt und eine uninteressante Antwort erhalten. Um klarer zu zeigen, woraus der methodische Fehler bestand, stellen Sie sich vor, wir möchten die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass ein Sandwich Butter herunterfällt, indem wir die Anfangsbedingungen und Abmessungen des Sandwichs und die Höhe zufällig sortieren. Dies entspricht der Mittelung aller Ergebnisse, die wir auf einmal erhalten haben. Als Ergebnis erhalten wir einen selbstbewussten Mittelweg - eine Wahrscheinlichkeit, die sehr nahe kommt$$1 / 2 , wie in der Münzwurf! Dies ist ein sehr logisches und erwartetes Ergebnis, aber völlig uninteressant. Durch die Mittelung vieler Daten für verschiedene Größen sind wir dieser Schlussfolgerung bereits nahe. Wenn der Zweck der Modellierung jedoch darin besteht, Muster zu identifizieren, ist es sinnvoll, die Anzahl der Parameter zu minimieren. Die gelöschten Daten sprechen jetzt eindeutig für das Gesetz der Gemeinheit und beschränken es jedoch auf einen bestimmten Höhenbereich: von$1/2$

$$$2$ vorher $$$6$ die Größe des Sandwichs (von der Höhe des Ellbogens über dem Tisch bis zur Höhe der Arme einer stehenden Person). Außerhalb dieses Bereichs hat das Sandwich eine höhere Wahrscheinlichkeit, die rechte Seite zu drehen, bevor es fällt.

Aber was ist, wenn Sie weiter schauen und Sandwiches aus dem Fenster werfen? Es ist klar, dass es beim Fallen aus großer Höhe keine Rolle spielt, auf welche Seite es fällt, in was sich das Sandwich verwandeln wird, und der Luftwiderstand den Fall stabilisiert, aber theoretisch, was erwarten wir zu sehen? Wahrscheinlich sollten mit zunehmender Flugzeit einige Schwankungen der Wahrscheinlichkeit beobachtet werden. Mal sehen:
Die Wahrscheinlichkeit einer Ölsandwichlandung beim Fallen aus großer Höhe.

Wir haben mit der Frequenz geraten, aber es ist merkwürdig, dass die Amplitude abnimmt und die Wahrscheinlichkeitsschwankungen konvergieren $$$0.5$ . Worüber kann es reden? Ist dies der gleiche Effekt wie bei einer Münze, wenn mit zunehmender Flugdauer die Folgen von Abweichungen der Ausgangsbedingungen an Bedeutung gewinnen? Es stellt sich heraus, dass in diesem Fall die Art des Ausgleichs von Wahrscheinlichkeiten unterschiedlich ist.

Eine etwas mehr dimensionale Analyse

Egal wie frivol das Thema unseres Buches sein mag, wir sprechen die Sprache der Mathematik und er strebt nach genauen Lösungen. Die Monte-Carlo-Methode ermöglichte es uns, eine Vorstellung von der Lösung zu bekommen, aber das nennt man Brute Force. Dies ist nicht so interessant wie zumindest einige, aber eine analytische Lösung. Eine Analyse der Dimensionen wird es uns ermöglichen, eine theoretische Form der Abhängigkeit zu erhalten, die durch die Monte-Carlo-Methode erhalten wird. Dafür brauchen wir keine Differentialgleichungen zu lösen, außerdem gehen alle unsere Überlegungen nicht über die Grenzen vollständig primitiver und offensichtlicher Beziehungen hinaus. Dies ist der Reiz der Dimensionsanalyse, die jedoch manchmal wie ein Trick aussieht. Beginnen wir also damit, uns der Einfachheit halber darauf zu beschränken, nur ein langes Sandwich auszurutschen $$$l$ von der Höhe Tabelle $$$H$ mit horizontaler Geschwindigkeit Null.

1. Der Drehwinkel des fallenden Sandwichs hängt von der Zeit und der Winkelgeschwindigkeit ab:

$$

$$\ varphi = t \ omega.$$

2. Die Winkelgeschwindigkeit ist gleich dem Produkt aus Gleitzeit und Winkelbeschleunigung:

$$

$$\ omega = t_0 \ varepsilon.$$

3. Die Gleitzeit kann in Form der Schwerkraftbeschleunigung und eines Teils der Länge des Sandwichs ausgedrückt werden, das mit dem Tisch in folgendem Verhältnis in Kontakt gekommen ist:

$$

$$t_0 \ propto \ sqrt {\ frac {l_0} {g}}.$$

Hier $$$l_0$ - die Länge des auf dem Tisch liegenden Sandwichs. Hier verwenden wir die durch das Vorzeichen angegebene Proportionalitätsbeziehung $$$\ propto$ . Ausdruck $$$y \ propto x$ kann ersetzt werden durch $$$y = C x$ wo $$$C$ - eine unbekannte Konstante. Ich liebe diese Einstellung wirklich. Die Proportionalität „beinhaltet“ alles Komplizierte, was sich in eine Konstante verwandelt: sowohl die Tatsache, dass sich das Schwerkraftmoment während der Rotation ändert, als auch das Rotationszentrum beim Gleiten. All dies müssen Sie natürlich für eine genaue Berechnung wissen, aber das Ergebnis ist nur ein dimensionsloser Koeffizient, und in unserer Analyse spielt er keine Rolle. Mit einem Symbol haben wir uns vor langwieriger Integration bewahrt.

4. Die Winkelbeschleunigung ergibt sich aus der Beschleunigung der Schwerkraft und hängt von der Schulter ab, auf die die Schwerkraft angewendet wird:

$$

$$\ varepsilon \ propto \ frac {g} {l-l_0}.$$

Und wieder das Schild $$$\ propto$ erlaubte uns, das Trägheitsmoment der Platte für die in ihrer Ebene liegende Achse sowie die sich ändernde Schwerkraftprojektion nicht zu berechnen (dies sind zwei weitere Integrale).

5. Schließlich hängt die Fallzeit von der Höhe des Tisches und der Erdbeschleunigung ab:

$$

$$t \ propto \ sqrt {\ frac {H} {g}}.$$

6. Wenn wir alle diese Ausdrücke in die erste Formel einsetzen, erhalten wir ein einfaches Ergebnis:

$$

$$\ varphi \ propto \ sqrt {\ frac {l_0 H} {l (l-l_0)}},$$

was sich ergibt, wenn Sie alle Längen in den Sandwiches messen

$$

$$\ varphi \ propto \ sqrt {\ frac {x h} {1-x}}.$$

Hier $$$l_0 = x l$ und $$$H = h l$ . Nun, alles konvergiert - der Winkel ist dimensionslos und hängt von dimensionslosen Koeffizienten ab. Dieser Winkel hängt nicht von der Zeitskala ab, es bleibt reine Geometrie. Der Nenner ist nicht gefährlich, wenn $$$x> 0,5$ Das Sandwich wird überhaupt nicht fallen (wir gehen von einer horizontalen Geschwindigkeit von Null aus) $$$0 <x <0,5$ .

Welche Seite das Sandwich fallen wird, wird durch das Vorzeichen des Sinus des Winkels bestimmt $$$\ varphi$ d.h. Funktion $$$\ mathrm {sign} (\ sin \ varphi)$ . Diese Funktion kehrt zurück $$$-1$ für den Fall von "Öl auf" und $$$1$ für "Öl runter". Wir können diese Funktion verwenden, um die Wahrscheinlichkeit eines fallenden deterministischen Sandwichs auszudrücken, wenn wir es auf einen Bereich von bringen $$$0$ vorher $$$1$ ::

$$

$$P _ {\ downarrow} (x, h) = \ frac12 \ left [1+ \ mathrm {sign} (\ sin \ varphi) \ right] = \ frac12 \ left \ {1+ \ mathrm {sign} \ left [ \ sin \ left (C \ sqrt {\ frac {xh} {1-x}} \ right) \ right] \ right \},$$

Dabei zeigt der Pfeil symbolisch die Position des Öls an. Koeffizient $$$C$ das in der Wahrscheinlichkeitsformel erscheint drückt alles aus, was mit Hilfe des Proportionalzeichens verborgen bleibt. Es war in der Tat ein sehr kniffliger Schritt, der uns vor langwieriger Integration (und sogar vor drei) bewahrt hat. Aber wie können wir jetzt herausfinden, wozu dieser Koeffizient gleich ist? Aus dem Experiment reicht außerdem ein einziges Experiment mit der Messung des Winkels zum Zeitpunkt des Sturzes aus, um eine Schätzung dieses Wertes zu erhalten! Mit dem Simulator habe ich das leicht gefunden $$$C = 2,3$ .

Die nächste Aufgabe besteht darin, die Anfangspositionen mathematisch auszudrücken $$$x$ kann anders sein. Wir sind an der Wahrscheinlichkeit interessiert, dass ein Sandwich Butter herunterfällt, wenn $$$x$ wird gleich sein $$$0,2$ oder $$$0,4$ oder eine beliebige Anzahl von $$$0$ vorher $$$0.5$ . Wir haben die Vereinigung „oder“ verwendet, und jeder dieser Fälle wird von uns als unabhängig betrachtet und schließt alle anderen in einem bestimmten Experiment aus. Denken Sie daran, dass die Wahrscheinlichkeit ein Maß für den Wahrscheinlichkeitsraum ist. Wenn ja, ist die Wahrscheinlichkeit additiv. Dies ermöglicht es uns, einfach die Wahrscheinlichkeiten hinzuzufügen $$$P _ {\ downarrow} (x, h)$ für alle Werte $$$x$ Multiplizieren von zuvor mit der Wahrscheinlichkeit, in einen bestimmten Wertebereich zu fallen. Wir brechen das Segment ab $$$0$ vorher $$$0.5$ auf $$$n$ Teile und berechnen die Wahrscheinlichkeitsschätzung in Form einer Summe:

$$

$$P _ {\ downarrow} (h) \ sim \ frac {2} {n} \ sum \ limit_ {i = 0} ^ n P _ {\ downarrow} \ left (\ frac {i} {2n}, h \ right ),$$

Hier ist der Multiplikator $$$2 / n$ drückt die Wahrscheinlichkeit für eine Zufallsvariable aus $$$x$ in ein Stück Breite bekommen $$$1 / n$ . So sieht das Ergebnis für eine erhebliche Anzahl von Partitionen aus ( $$$n = 100$ ) und eine Reihe numerischer Experimente mit einer Horizontalgeschwindigkeit von Null:

Theoretische und experimentelle Bewertung der Wahrscheinlichkeit, dass ein Öl ein Sandwich landet, wenn es aus großer Höhe fällt. Die anfängliche Horizontalgeschwindigkeit in den Experimenten ist Null.

Die Lösung, die wir zuvor vorgestellt haben, enthält mehr zufällige Parameter, sodass sie sich als geglätteter und näher beieinander herausstellte $$$0.5$ . Grundsätzlich kann die Dimensionsanalyse jedoch für einen allgemeineren Fall durchgeführt werden.

Bitte beachten Sie, dass die Wahrscheinlichkeit $$$P _ {\ downarrow}$ Annäherung mit zunehmender $$$h$ zu Werten nahe $$$0.5$ . Und das liegt überhaupt nicht an der Unsicherheit und dem Einfluss der Anfangsfehler. Die Berechnungen zeigten, dass dies das Ergebnis der Addition der vielen durch die Werte gebildeten Harmonischen ist $$$x$ beim Summieren $$$P _ {\ downarrow} (x, h)$ . Wenn wir das unglückliche Sandwich vergessen und den Zeitplan fortsetzen $$$P _ {\ downarrow}$ Dann sehen wir, dass die Wahrscheinlichkeitsschätzung weiterhin so nahe schwanken wird $$$0.5$ nach und nach nach diesem Wert streben.

Ist es möglich, ohne direkte Berechnungen herauszufinden, ob die Wahrscheinlichkeit weiterhin konvergiert? $$$0.5$ oder wird es jemals wieder wachsen? Und in diesem Phänomen gibt es auch einen Platz für nicht triviale und tiefe Mathematik. Tatsache ist, dass jeder Wert $$$x$ eine bestimmte Frequenz von Schwingungen entspricht, und die gesamte Menge bildet das sogenannte Spektrum der Gesamtfunktion. Wenn das Spektrum diskret ist, dh aus getrennten Frequenzen besteht, ist die Gesamtfunktion (sie wird als Fourier-Transformation bezeichnet) periodisch. Zu einem kontinuierlichen Spektrum in Form einer Konstante auf einem Segment von $$$0$ vorher $$$0.5$ eine aperiodische Funktion, die abnehmenden Schwingungen entspricht, wird entsprechen. Aber wir haben uns einen neuen Zweig der Mathematik angesehen - die Funktionsanalyse .

Der große Enrico Fermi, der Großvater der Monte-Carlo-Methode (der Mathematiker Stanislav Ulam gilt als der Vater), brachte seinen Schülern bei, einfache Bewertungen vorzunehmen, ein Stück Papier oder Finger herauszufinden, die wir erwarten, bevor wir mit der genauen Lösung des Problems fortfahren. Es ist wunderbar, dass, wenn sich die Einschätzung als richtig herausstellt, klar wird, dass das Wesentliche des Problems erfasst wird. Wenn nicht, ist dies das nützlichere Ergebnis - das heißt, die Aufgabe hat sich als interessanter herausgestellt, als es scheint!

In unserem Fall ist eine einfache Schätzung ausreichend, das Sandwich-Problem ist keine gründlichere Lösung wert. Die Monte-Carlo-Methode zeigte uns nur Hinweise auf die Lösung, und die Dimensionsanalyse zeigte nur einen Teil ihrer allgemeinen Struktur, aber zusammen konnten sie uns zeigen, wie die gewünschte Wahrscheinlichkeit funktioniert. Durch die Gelehrsamkeit kann der Mathematiker vorgefertigte Strukturen in den Bauplänen der Lösung erkennen und weitreichende Annahmen und Schlussfolgerungen ziehen.

Robert Matthews verwendete in seiner wegweisenden Studie auch eine Dimensionsanalyse, um zu zeigen, dass das Sandwichgesetz von grundlegender Bedeutung ist. Seine Schlussfolgerung basiert auf der Tatsache, dass die maximale Größe eines Organismus, der sich auf die Hinterbeine gesetzt hat, um mit den Vorderbeinen ein Sandwich mit Öl zu nehmen, durch die Festigkeitseigenschaften des biologischen Gewebes und die Schwerkraft bestimmt wird. Die charakteristische Größe des Sandwichs sollte wiederum der Größe der Kreatur entsprechen - und Zwerge auf einem schweren Planeten und Dylds auf einem Planeten mit geringer Schwerkraft wählen Sandwiches für sich. Hier kommen wir zu dem, was man in der Wissenschaft Spekulation nennt. Dies ist kein Weiterverkauf von Waren zu exorbitanten Preisen, sondern zweifelhafte Annahmen, die die Grundlage einer logischen Konstruktion bilden. Insbesondere nehmen wir an, dass die Kreaturen Hände haben, deren Proportionen unseren ähnlich sind, und dies ist mehr als umstritten.

Über Öl und Wind

In der Merphologie ist das falsche Zitieren des Gesetzes von X.L. Menka Gruppe:

Komplexe Probleme haben immer einfache, leicht verständliche und falsche Lösungen.

Man kann oft hören, dass das Gesetz des Sandwichs für Öl verantwortlich ist, das dichter als Brot ist und daher „überwiegt“. Und obwohl dies nicht für das Thema unseres Buches gilt, möchte ich diese Frage analysieren, um ihr ein Ende zu setzen. Damit sich später jemand darauf beziehen kann, dass „Wissenschaftler bewiesen haben, dass das Vorhandensein von Öl keinen Einfluss darauf hat, auf welcher Seite das Sandwich schlägt!“

Als Kind waren wir amüsiert, als wir eine Taubenfliege oder eine Schwanzfeder in ein Stück Plastilin mit einem Durchmesser von ein oder zwei Zentimetern hoch oben warfen. Es flog bis zu vier Meter hoch, danach sank es in Autorotation wunderschön und reibungslos ab, wie ein Hubschrauber mit gedämpftem Motor. Dann sind wir aufgewachsen und unser Spaß wurde weniger harmlos. Wir haben eine Mutter bekommen und zwei Schrauben von gegenüberliegenden Seiten hineingeschraubt, um die Füllung von zerquetschten Streichholzköpfen zusammenzudrücken. Es blieb übrig, ein Klebeband oder nur ein Stück Seil an einen der Bolzen zu binden, es richtig zu lösen und fünfzehn Meter lang in den Himmel zu rennen. Im Herbst stabilisierte ein leichtes Klebeband die vertikale Position des Projektils und sorgte für einen hochwertigen Aufprall auf den Asphalt und eine kleine Explosion, wobei die Mutter manchmal in Stücke gerissen wurde. (Seien Sie vorsichtig, wenn Sie diese Kindheitserfahrung mit Ihren Kindern teilen möchten!)

In beiden Experimenten sehen wir, dass ein leichter Stift oder Klebeband schnell über dem schweren Teil des Apparats erschien und den Fall stabilisierte. Dies führt anscheinend zu einer intuitiven Meinung, dass sich auch schwere Butter und leichtes Brot so verhalten sollten. Stellen Sie sich einen Ballon vor: Ein dichterer Korb befindet sich immer unter einem weniger dichten Ballon. Darüber hinaus deutet die Erfahrung darauf hin, dass wenn Sie die geometrische Mitte eines Objekts mit einer asymmetrisch verteilten Masse mit zwei Fingern erfassen, es so fällt, dass sich der schwere Teil unten befindet.

Beide Phänomene funktionieren jedoch bei einem fallenden Sandwich nicht.

Beginnen wir mit dem zweiten Prozess - mit "Wiegen". Es war kein Zufall, dass ich gelangweilt spezifizierte: "... wenn Sie den geometrischen Mittelpunkt eines Objekts annehmen ...", bedeutet dies, dass die Tangentialpunkte auf einer bestimmten geraden Linie liegen, die die Rotationsachse bildet, die durch den Schwerpunkt des Objekts verläuft. In diesem Fall ist eine stabile Position tatsächlich eine Position, in der der Schwerpunkt unterhalb der Achse liegt. Wenn jedoch die von den Fingern gebildete Rotationsachse durch den Schwerpunkt verläuft, befindet sich das System im gleichgültigen Gleichgewicht - es ist ihm egal, wie es ausgerichtet ist.

Was bringt eine Feder mit einem kleinen Gewicht, eine Bombe aus einer Nuss oder einen Ballon mit Luftballons in einem Korb dazu, dass Sie „richtig“ navigieren? Luft. Er "hält" unsere Objekte so, dass die Achse über dem Schwerpunkt verläuft. Genauer gesagt, ein entgegenkommender Luftstrom, der eine Kraft erzeugt, die über den Bereich des Körpers verteilt ist. Und der bedingte Angriffspunkt dieser Kraft liegt nahe dem geometrischen Zentrum des Quadrats der Figur. Um es klarer zu machen, zeichnen wir die Kräfte, die auf den bedingten Ballon wirken, wie auf ein Objekt mit ungleichmäßiger Dichte:

Die Kräfte, die den Ballon in eine stabile Position bringen.

Was ist mit einem Sandwich?

Erstens, wenn wir die Luft „ausschalten“, fällt sie einfach. Im freien Fall dreht sich der Körper genau um den Schwerpunkt, so dass er keinen Grund hat, sich auf besondere Weise zu drehen. In der Schule heißt es: "In einem fallenden Aufzug wird Schwerelosigkeit beobachtet." Die Butter im Sandwich ist genauso schwerelos.

Dichtes Öl kann den Schlupfprozess beeinflussen. Es hebt den Schwerpunkt effektiv über die exakte Berührung und ändert den Ausdruck für die Winkelbeschleunigung $$$l$ auf $$$\ sqrt {l ^ 2 + d ^ 2} = l \ sqrt {1+ \ delta ^ 2}$ wo $$$\ delta = d / l$ - die relative Dicke des Sandwichs. Für kleine Werte $$$\ delta$ Dieser Ausdruck kann berechnet werden als $$$l (1+ \ delta ^ 2/2)$ . Wir erhalten, wie sie sagen, einen Effekt zweiter Ordnung. Für ein Sandwich mit einem Verhältnis von Breite zu Dicke als $$$5$ zu $$$1$ , relative Änderungen überschreiten nicht $$$2 \%$ . Und dies ist die maximale Obergrenze des Effekts, weil wir den Schwerpunkt auf die Dicke des Sandwichs angehoben haben, was einem unendlich dichten Öl entspricht!

Jetzt schalten wir die Luft wieder ein und lassen die Öldichte unendlich höher als die Brotdichte. Wir haben eine dünne dichte Platte mit einem schwerelosen, aber luftbeständigen Fallschirm. Während die Ebene des Sandwichs horizontal oder so ist, wirkt das Moment der Luftwiderstandskräfte proportional zur Luftströmung auf sie - den Bereich, mit dem der Luftstrom interagiert: $$$M _ {-} \ propto l ^ 2$ . In aufrechter Position nimmt die Luftströmung ab und dementsprechend ist der Moment anders: $$$M_ {|} \ propto l d$ . Das Verhältnis dieser Punkte: $$$M_ {|} / M _ {-} \ propto \ delta.$ Ich habe hier ein Proportionalzeichen geschrieben, da die Widerstandskoeffizienten für eine Platte, die sich quer und entlang der Strömung befindet, unterschiedlich sind und mir unbekannt sind. Sie werden jedoch nicht benötigt - es ist bereits klar, dass die Wirkung von Luft in vertikaler Position (dh sie macht die Ölposition ungleich) schwächer ist als in horizontaler Position. Und jetzt erinnern wir uns, dass sich das Sandwich dreht, was bedeutet, dass es die Strömung entweder durch das Ende oder durch die Ebene ersetzt. Wir können ein Maß für die Wirkung von Widerstandskräften einführen. Wenn sich die Drehgeschwindigkeit in einer Periode nicht wesentlich ändert (und dies ist bei Luft der Fall), ist es sinnvoll, die Änderung des Drehimpulses proportional zur Dauer der Kraft als Maß zu nehmen. Die Wirkdauer ist wiederum proportional zu dem Winkel, den das Sandwich während dieser Zeitspanne „überstreicht“. Als Ergebnis Maßnahmen von Handlungsmomenten $$$M_ {|}$ und $$$M _ {-}$ wird proportional sein $$$M_ {|} \ varphi_ {|}$ und $$$M _ {-} \ varphi _ {-}$ In der Zeichnung sind die Winkel dargestellt, die das Ende und die Ebene überstreichen. Wir könnten die Arbeit der Widerstandskräfte als Maß verwenden und das gleiche Verhältnis erhalten. Das Winkelverhältnis ist einfach zu berechnen:

$$

$$\ frac {\ varphi_ {|}} {\ varphi _ {-}} = \ frac {\ varphi_ {|}} {\ frac {\ pi} {2} - \ varphi_ {|}}.$$

Bei klein $$$d / l$ , $$$\ varphi_ {|} \ sim \ delta$ (Wir verwenden die Eigenschaft der Tangente eines kleinen Winkels $$$10 \%$ Genauigkeit bei Winkeln weniger $$$30 ^ \ circ$ ), und deshalb haben wir:

$$

$$\ frac {M_ {|} \ varphi_ {|}} {M _ {-} \ varphi _ {-}} \ sim \ delta \ frac {\ delta} {\ frac {\ pi} {2} - \ delta} \ propto \ delta ^ 2.$$

Wiederum stellt sich heraus, dass der Effekt der Asymmetrie für ein flaches Sandwich durch den Effekt zweiter Ordnung begrenzt ist. Typischerweise ist die Dichte der Butter nur doppelt so groß wie die des Brotes, und die Verschiebung des Massenschwerpunkts überschreitet nicht ein Drittel der Dicke des Sandwichs, wobei eine vernünftige Schicht Butter die Dicke des Brotes nicht überschreitet. Diese Beobachtung wird die Wirkung von Öl auf reduzieren $$$0,2 \%$ .

Wenn es dem Leser so vorkam, als würden wir jetzt auf die Spatzen der Waffe schießen, dann stimme ich ihm vollkommen zu. Aber erstens möchte ich nicht mehr über das "überwiegende" Öl hören, zweitens möchte ich nicht unbegründet sein und drittens möchte ich zeigen, wie der Physiker die Mengen schätzt, die den Prozess darstellen, aber keine vollständigen Daten haben. Natürlich kann die Butter zum Zeitpunkt der Landung am Boden haften bleiben und verhindern, dass das Sandwich hochspringt und wieder umkippt, aber ich werde die Mechanik des Aufpralls, der elastischen Verformung und des Springens eines Stücks Brot sicherlich nicht zerlegen. Für dieses Problem wurden viele Analysen durchgeführt. Und die zweite Shnobelevskaya für sie wird nicht mehr gegeben.

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Das Ziel unseres Weges war nicht so wichtig: die Widerlegung oder Rechtfertigung des Gesetzes des Sandwichs, wie der Weg selbst. Er zeigte, wie die Kombination verschiedener mathematischer Methoden es Ihnen ermöglicht, das Problem aus verschiedenen Blickwinkeln zu betrachten und ziemlich genaues Wissen zu liefern, auch ohne eine detaillierte Lösung des Problems. Die Konsistenz verschiedener mathematischer Disziplinen, Ansätze und Sichtweisen ist die Stärke und Schönheit der Mathematik. Es ist angebracht, sich an die wunderbaren Worte von Marina Tsvetaeva zu erinnern: "Ich möchte keinen Standpunkt haben, ich möchte Sehkraft haben . " Das Studium verschiedener Bereiche der Mathematik kann dem Forscher eine echte „volumetrische“ mehrdimensionale Vision geben, die es Ihnen ermöglicht, in den scheinbar geschlossenen und verborgenen Raum des Wissens zu schauen.