Ich hoffe, es gibt Sportfans unter den Lesern. Wenn Sie Badminton oder Tischtennis spielen, haben Sie sich wahrscheinlich gefragt: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, das Spiel mit einer bekannten Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, einen Punkt zu gewinnen? Angenommen, Sie verlieren gegen Ihren Gegner mit einer Punktzahl von etwa 11: 7. Es scheint, dass nur 4 Punkte Unterschied, aber gleichzeitig nicht schafft, das Spiel zu gewinnen. Nicht glücklich? Ich schlage vor, dieses Problem zu lösen und eine Antwort auf diese Frage zu erhalten.
Ich habe einen indirekten Bezug zur Finanzmathematik und weiß, dass eine solche Aufgabe für die Finanzmathematik besonders unkompliziert erscheint. Die möglichen Lösungsmethoden sind den Berechnungsmethoden für den Optionspreis sehr ähnlich. Es gibt jedoch Nuancen in dieser Aufgabe, die für die Finanzen etwas untypisch sind. Schauen wir uns die Lösungsoptionen an.
Zunächst vertraute ich meinem 15-jährigen Sohn, der ein wenig in Python programmiert, die numerische Methode an, um dieses Problem zu lösen (unter Verwendung des Schlüsselworts "a little"). Ich schlug vor, dass er die Binärbaummethode (im finanziellen Risiko wird Analytik normalerweise als Binomialmethode oder Gitter bezeichnet) und Monte Carlo ausprobiert. Son beschäftigte sich überraschend schnell mit Monte Carlo und schrieb einen ziemlich kompakten Code. Wenn jemand es nicht weiß, besteht Monte Carlos Idee darin, eine große Anzahl zufälliger Würfe auszuführen, indem er ein Problem simuliert und eine Antwort findet. Angenommen, Sie sind der erste Spieler. In diesem Fall haben wir die Wahrscheinlichkeit, den Punkt (7 / (11 + 7)) ~ = 0,39 zu gewinnen. Wir starten das Spiel, indem wir eine Zufallszahl X im Bereich [0., 1.] generieren. Wenn X <0,39 ist, gewinnen Sie den Punkt. Wir bringen das Spiel zum Ende und notieren, wer gewonnen hat. Um eine akzeptable Genauigkeit zu erreichen, führen wir dieses Verfahren viele Male durch. Im Finanzbereich wird normalerweise der Bereich von 100.000 bis 1 Million verwendet, wodurch die Genauigkeit von 8 signifikanten Stellen sichergestellt wird. Mein Sohn zählte bis 10K, es wurde sofort und eindeutig eine ausreichende Genauigkeit bereitgestellt. Was wir jedoch nicht verfolgten, weil wir der Einfachheit halber beschlossen, die Ziegenschlacht zu ignorieren. Das heißt, die Punktzahl 11:10 wurde als Sieg gewertet. Eine halbe Seite Code reicht leicht aus, um ein solches Problem zu lösen. Probieren Sie es aus und Sie werden es mögen.
Ich war mit der Einfachheit der Lösung mit Hilfe von Monte Carlo nicht zufrieden und beschloss, meinen Sohn mit der Binärbaummethode zu laden. Er bestritt lange und beklagte sich über die Schwierigkeit. Er musste leicht mit dem Material helfen.
Der Binärbaum ist wie folgt aufgebaut. Wir beginnen mit dem Ergebnis 0-0. Wenn der erste Spieler den ersten Punkt gewinnt, gehen Sie nach rechts oben und oben, wenn der zweite gewinnt, gehen Sie nach unten und rechts. Eine Bewegung nach rechts ist eine Bewegung nach Punkten vom Beginn des Spiels bis zum Ende. Für ein Spiel sind unten bis zu 3 vollständige Bäume angegeben. Die Eckpunkte der Zwischenergebnisse werden blau, gelb hervorgehoben - der erste Spieler gewinnt das Match und grün - der zweite Spieler gewinnt.
Wir beginnen mit der Punktzahl 0: 0, deren Wahrscheinlichkeit 100% beträgt. Jeder Übergang nach rechts hat seine eigene Wahrscheinlichkeit. Bezeichnen Sie die Wahrscheinlichkeit, einen Punkt durch den ersten Spieler - p1 und den zweiten - p2 zu gewinnen. Natürlich ist die Summe p1 + p2 = 1. Wir gehen von Anfang bis Ende entlang des Baumes und berechnen die Wahrscheinlichkeit, in diese Zelle zu gelangen. Für die oberen und unteren Zellen ist der Übergang nur von einer Zelle der vorherigen Ebene möglich. Beispielsweise ist eine Punktzahl von 3: 0 erst nach 2: 0 möglich. Der Eintritt in die verbleibenden Zellen erfolgt von zwei benachbarten Zellen auf der linken Seite. Zum Beispiel ist eine Punktzahl von 1: 1 nach 1: 0 möglich, wenn der zweite Spieler anschließend den Punkt gewinnt, oder nach 0: 1, wenn der erste Spieler gewinnt.
Peaks werden blau hervorgehoben, Treffer, die von einem der vorherigen Eckpunkte stammen, gelb - von zwei. Die hervorgehobenen Zellen zeigen das Ende des Spiels an, dh den Sieg eines der Spieler. Bei der Berechnung wird auch nur ein vorheriger Scheitelpunkt verwendet, da der andere das Ende der Partei ist, nach der der Übergang nicht mehr ausgeführt wird.
Das Problem des Sohnes bestand darin, einen solchen Baum mit Sprachwerkzeugen darzustellen. Ein Graph bot sich an, aber in Python ist es irgendwie schwierig, oder er weiß es nicht. Ich selbst bin mit dieser Sprache fast nicht vertraut. Ich musste diese Struktur in ein Array verschieben und sie wie folgt leicht verzerren.
Weiterhin bleibt es in einem doppelten Zyklus von links nach rechts und von oben nach unten, wobei die Zellwahrscheinlichkeiten gezählt und die Randbedingungen berücksichtigt werden. Sie werden in if / if / else eingegossen. Nun, es bleibt, die Wahrscheinlichkeiten des Gewinns von Zellen für einen der Spieler zusammenzufassen (es ist möglich, dass der zweite prüft, ob seine Summe 1 ist).
Und schließlich die dritte Methode. Jedes Endergebnis des Spiels (zum Beispiel 11: 7) impliziert eine bestimmte Anzahl von Optionen. Statistiken besagen, dass dies die Anzahl der Kombinationen von 7 bis 17 ist. Der Wert ist 17! / ((17-7)! 7!). 17 ist die Gesamtzahl der für dieses Konto erzielten Punkte minus eins, da der letzte Punkt immer für den Gewinner gewinnt, dh 7 verlorene Punkte können nicht an dieser Stelle sein. Mögliche Optionen für das Gewinnen von Konten sind: (Ziegenkampf ignorieren) - 11: 0, 11: 1, ..., 11: 10.
Das heißt, Sie können alle Ergebnisse einer Gewinnpunktzahl für einen Spieler sortieren, indem Sie die Anzahl der Optionen in jeder von ihnen addieren, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit dieses Ergebnisses. Die Tabelle enthält die Berechnungsergebnisse für die Wahrscheinlichkeit, einen Punkt 39% zu gewinnen. power1 ist der Grad, in dem die Wahrscheinlichkeit, einen Punkt zu gewinnen, vom Gewinner erhöht wird, power2 vom Verlierer.
Alle oben genannten Methoden arbeiten zuverlässig und liefern die gleichen Ergebnisse.
Abschließend werde ich eine Grafik der Wahrscheinlichkeit geben, ein Match im Tischtennis (bis zu 11) und Badminton (bis zu 21) zu gewinnen, abhängig von der durchschnittlichen Wahrscheinlichkeit, einen Punkt zu gewinnen.
Die blaue Linie steht für Tischtennis, die orange Linie für Badminton. Wie Sie der Grafik entnehmen können, müssen Sie mindestens 30% der Punkte gewinnen, um mindestens einige Chancen (~ 3%) zu haben, um das Tischtennisspiel zu gewinnen. Bereits bei 25% liegen die Chancen unter 1%.
Im Badminton sind die Anforderungen noch höher. Dort werden mehr als 35% benötigt, um auf einen Spielgewinn mit einer Wahrscheinlichkeit von etwa 3% zu hoffen.
Natürlich sinkt die Wahrscheinlichkeit, ein Match (aus mehreren Spielen) zu gewinnen, noch mehr, wenn Sie für jeden Punkt weniger als 50% erzielen.
Wertvolle Ratschläge bieten sich an - um Spiele zu gewinnen, müssen Sie daran arbeiten, jeden Punkt zu gewinnen.