Geheimnisse des Geistes und der Mathematik

Im alten Ägypten verwendeten Mathematiker keine Beweise. Alle ihre Aussagen wurden nur empirisch begründet. Trotzdem standen die Pyramiden und die Flugzeuge flogen . Und wahrscheinlich würde niemand strenge Beweise verlangen, wenn es nicht den Wunsch gäbe, etwas zu widerlegen. Zusammen mit den Griechen fand die Mathematik ein neues Leben, in dem Probleme wie das Quadrieren eines Kreises, die Irrationalität einer Zweierwurzel und das Problem der Dreiteilung eines Winkels auftraten. Von diesem Moment an waren Axiome, Gesetze der Logik und Theoreme erforderlich. Die moderne Mathematik interessiert sich aber auch dafür, was bewiesen werden kann und was nicht. Gödels Unvollständigkeitssatz, die Formalisierung der Logik und die Beweistheorie wurden gefördert . Ich schlage eine Theorie und ein Axiom vor, die helfen, einige der verbleibenden Fragen zu beantworten und die Grenzen unseres Bewusstseins zu skizzieren. Dies sind insbesondere Fragen der Vollständigkeit, des Gleichheitsproblems und der Axiomatisierung unserer Vorstellungskraft.



Theorie der Objekte
Die mathematische Logik untersucht die Zusammenhänge zwischen Aussagen, jedoch nicht deren interne Struktur. Aber versuchen wir, die Aussagen selbst zu formalisieren. Angenommen, wir haben einige Objekte. Wir werden nicht verlangen, dass sie Sets oder irgendetwas anderes sind. Nun sei ein drittes Objekt für jedes geordnete Objektpaar angegeben - ihre „Verbindung“. Wir werden es so schreiben:

$$

$$a * b = ab = c; *: (a, b) \ mapsto c$$

Die resultierende Struktur kann als Magma (eine Menge mit einer binären Operation) definiert werden, jedoch nicht auf einer Menge, sondern völlig willkürlich. Und jetzt definieren wir die Aussage als algebraische Gleichheit (oder Ungleichung) in einem gegebenen Magma.
Jetzt werde ich erklären, wie genau diese Definition die interne Struktur von Äußerungen widerspiegelt. Lassen Sie uns zum Beispiel die folgende Aussage geben:
Der Marker kann die Tafel blau streichen.
Wir schreiben dies als Gleichheit:
$$$M * D = SD$ - Anbringen eines Markers ( $$$M$ ) an der Tafel ( $$$D$ ) bekommen wir eine blaue Tafel ( $$$Cd$ )
Nun ein komplexeres Beispiel:
Ein Mann rennt im Regen auf der Straße.

$$

$$\ begin {Fälle} Man * Run = Do; \\ Mann * Regen = Befindet sich \ "unter"; \\ Straße * Mann = Haben Sie \ auf \ sich. \ end {Fälle}$$

Hier ist anzumerken, dass "To Do", "To Have on Yourself" ebenfalls Objekte sind. Ein solches System definiert genau unsere Aussage. Natürlich mag ein solches Design wild und unangenehm aussehen, aber nur die Möglichkeit einer solchen Präsentation ist uns wichtig. Ferner wird es wesentlichere Beispiele geben.

Wie Sie wahrscheinlich bereits bemerkt haben, benötigen wir von Objekten nichts, außer für einige Verbindungen mit anderen. Und das ist richtig. Beispielsweise werden alle Definitionen aus dem Wörterbuch als Links zu anderen Wörtern angegeben. Ein Punkt und eine gerade Linie sind undefinierbare Konzepte, aber alle ihre Verbindungen sind definiert. Dies führt uns zu einem wichtigen Gedanken.
Jedes axiomatische System wird durch Beziehungen von Objekten definiert. Wenn es beispielsweise Paare solcher Objekte gibt, die sich relativ zueinander genauso verhalten wie eine gerade Linie mit einem Punkt, sind sie es. Das trivialste Beispiel ist eine Familie von Mengen, bei denen die Elemente Punkte sind. Der Schnittpunkt zweier beliebiger Mengen ist entweder ein einzelnes Element oder eine leere Menge. Lassen Sie drei beliebige Elemente die gesamte Menge eindeutig definieren und so weiter. Das heißt, wenn ich die Objekte nur umbenenne, ändert sich nichts.
Axiomatik ist Magma.

Wir bitten nicht, Magma am Set zu geben, da es nicht alle Sets gibt:

$$

$$\ # 2 ^ {X}> \ # X$$

Wir sagen, dass Axiomatik widersprüchlich ist, wenn sie keine Objekte hat, und konsistent ist, wenn mindestens ein Objekt existiert.
Der Einfachheit halber werden die Definitionen, die wir erhalten haben, als Theorie der Objekte oder als klassische Theorie der Objekte bezeichnet .

Vorstellungskraft
Da die Theorie der Objekte auch eine Axiomatik ist, kann sie in ihrer eigenen Sprache der Objekte beschrieben werden. Das heißt, wir möchten alle Arten von Objekten in allen Arten von Axiomaten beschreiben. Nicht streng genommen brauchen wir eine mathematische Beschreibung der menschlichen Vorstellungskraft. Ich schlage hierfür das folgende Axiom vor:

$$

$$\ forall (x) _i, (y) _i, (x ') _j, (y') _j, z \ \ existiert x \ \ forall i \ in I, j \ in J \ begin {Fällen} xx_i = y_i \\ x'_jx = y'_j \\ xx = z \ end {Fälle}$$

Es kann beschrieben werden als "es gibt alles, was Sie sich vorstellen können." Beachten Sie, dass wir nicht die Existenz mindestens eines Objekts benötigen. Dies geschieht so, dass die axiomatische Konsistenz der Existenz mindestens eines Objekts entspricht. Nun beweisen wir mehrere Sätze:
Satz 1. Die Theorie der Objekte ist entweder eine leere Menge oder keine Menge.

Satz 2. Es gibt ein Objekt, für das es nicht sicher ist, ob es eine Menge ist oder nicht.

Eine Konsequenz des zweiten Satzes ist die Kontinuumshypothese. Es kann wie folgt umformuliert werden: Ist eine Menge ein Objekt, dessen Kraft größer ist als die Kraft einer zählbaren Menge, aber kleiner als das Kontinuum?
Wir nennen Axiomatik klein, wenn es viele ihrer Objekte gibt, und groß, wenn nicht.
Satz 3. Jede große Axiomatik ist unvollständig.

Dies führt uns zu den Grenzen des menschlichen Bewusstseins. Es wird immer Aussagen geben, die wir weder beweisen noch widerlegen können. Und dies ist, wie sich herausstellt, eine Folge des Cantor-Paradoxons. Ein Sonderfall hierfür ist der Satz von Godel. Daraus folgt die Unvollständigkeit der Objekttheorie. Wir können nicht sicher sagen, was ein Objekt ist und was nicht. Zum Beispiel ist ein Schild, der nicht gebrochen werden kann, ein Objekt oder nicht? Und das Schwert, das alles zerbricht? Sie können jedoch nicht zusammen existieren. Und nachdem Sie eine solche Wahl getroffen haben, müssen Sie sie immer wieder treffen.
Nennen Sie zwei Objekte $$$x$ und $$$y$ gleich wenn:
$$$\ forall z \ xz = yz \ wedge zx = zy$
Und für viele gleich $$$X$ wenn:
$$$\ forall z \ in X \ xz = yz \ wedge zx = zy$
Es seien zwei Objekte gegeben. Zwei Objekte teilen $$$x$ und $$$y$ nenne ein solches Objekt $$$z$ das:

$$

$$zx \ neq zy \ vee xz \ neq yz$$

Da zwei beliebige Objekte eine Menge bilden, besteht eine Aufteilung für zwei beliebige Objekte. Deshalb:
Satz 4. Gleiche Objekte existieren nicht.
Es ist nicht leicht zu sagen, dass es in der Mathematik keine Gleichheit gibt, sondern nur Isomorphismen.
Stellen Sie sich zum Beispiel vor, es gibt zwei Zwillinge, die genau gleich aussehen. Für viele Menschen, die von der Straße genommen wurden, ist dies dieselbe Person, nur eine Kopie davon. Aber für die Mutter sind das zwei verschiedene Leute. Daher sind sie in Bezug auf Menschen gleich, in Bezug auf Mutter jedoch nicht. Wir können nur sagen, dass Zwillinge für Menschen isomorph sind, aber nicht gleich. In Verbindung mit Satz 4 kann ein sehr paradoxes Ergebnis erhalten werden. Lassen Sie uns einen Gegenstand geben $$$A$ . Und das möchten wir zumindest $$$A = A$ . Aber geben wir das Objekt $$$A$ der Einfachheit halber auch der Name $$$A ’$ , nur eine Bezeichnung. Dann muss es sein $$$A = A ’$ . Aber jetzt kann ich mir diese Objekte als zwei verschiedene vorstellen und ihre Aufteilung finden. Das heißt paradoxerweise, aber A ist nicht gleich sich selbst. Das heißt, es gibt keine einzige wahre Aussage über ein Objekt in der Theorie der Objekte.
In der Tat ist der springende Punkt, dass wir nicht eindeutig sagen können, welches Objekt wir im Sinn haben. Wir können ein Objekt nur für eine bestimmte Menge setzen, aber es gibt unendlich viele solcher Objekte. Darüber hinaus gibt es mehr als eine beliebige Anzahl von ihnen. Wenn wir von Objekt A sprechen, meinen wir daher, dass es uns egal ist, welches der Objekte mit den Eigenschaften, die wir benötigen, wir im Auge haben. Aber für jedes Objekt können wir eine solche Eigenschaft entwickeln, die sie unterscheidet. Zum Beispiel: Name, Beschreibungslänge, Formular, Ort usw. Dies bedeutet jedoch im Allgemeinen nicht, dass wir kein beliebiges Objekt oder dessen Faktorisierung auswählen können.

Angewandte Bedeutung
Wir werden Axiomatik als aufzählbar bezeichnen, wenn die Menge ihrer Aussagen (Gleichheiten und Ungleichungen) aufzählbar ist . Wie aus der Definition hervorgeht, gibt es für eine aufgezählte Axiomatik einen Algorithmus, der Theoreme automatisch beweisen und neue formulieren kann. Darüber hinaus ist ein solcher Algorithmus basierend auf unserer Definition von Anweisungen identisch mit einem Algorithmus, der mit einer algebraischen Struktur arbeitet. Eine solche Interpretation erfüllt möglicherweise einen lang gehegten Traum, Mathematiker vor der Erfindung von Beweisen zu bewahren.

Außerirdisches Denken

Kategorietheorie hat eine Kategorie $$$\ mathfrak {SET}$ . Die Objekte dieser Kategorie sind Mengen. Dies bedeutet, dass Kategorietheorie mit $$$\ mathfrak {SET}$ kann nicht in der Sprache der klassischen Theorie der Objekte formuliert werden, da sie mit einer Sammlung von Objekten arbeitet, die größer als viele sind ( $$$\ mathfrak {SET}$ - eine große Kategorie). Um dies zu beheben, reicht es jedoch aus, die Theorie der Ultra-Sets zu entwickeln. Lassen Sie eine Ultra-Menge entweder aus Elementen oder Mengen bestehen. Dann gibt es ein Ultra-Set, das alle Sets enthält. Wenn wir nun das Konzept der Menge im Axiom der Imagination durch das Konzept der Ultra-Menge ersetzen, erhalten wir das gewünschte Ergebnis. In der erhaltenen Theorie der Objekte werden wir bereits in der Lage sein, das Konzept einer Menge eindeutig zu bestimmen. Ein solcher Prozess kann mehr als einmal und in beide Richtungen durchgeführt werden, da ein Ultra-Set, das alle Ultra-Sets enthält, nicht existiert. Dies führt zur Entstehung alternativer Theorien von Objekten. Dies ist jedoch nicht das Ende der Sache.
Ein Bereich der Kategorietheorie ist die Topos-Theorie. Sie beschreibt alle derartigen Räume, in denen es das Konzept eines Elements gibt und in denen "liegen". Ein besonderer Fall ist die klassische Mengenlehre. Bekanntlich definiert jede Mengenlehre eine Logik eindeutig. Daher beschreiben Topos auch alle Arten von Logik. Wenn wir nun noch einmal unsere Axiome der Vorstellungskraft betrachten, werden wir darin eine Spur unserer „einheimischen“ Topos bemerken. Das Konzept des "Lügens in": " $$$\ forall i \ in I, j \ in J$ ", und binäre Logik liegt im Konzept der Gleichheit. Immerhin oder $$$A = B$ oder $$$A \ neq B$ .
Theoretisch können wir die Theorie der Objekte in andere Topos umformulieren und so eine ungewöhnliche Welt mit eigenen Gesetzen für uns erhalten. Eine der Tatsachen aus der Topos-Theorie ist die Unabhängigkeit der Kontinuumshypothese. Das heißt, dass dieses Problem in anderen Gefahren besteht. Anscheinend wird dort fast alles ähnlich aussehen. Es ist jedoch möglich, dass sich signifikante Unterschiede ergeben, die uns zu neuen Ideen führen.

Fazit
Die Ergebnisse unserer Forschung sind: Formalisierung der internen Struktur logischer Aussagen, Axiom der Imagination, Objekttheorie und vier Theoreme. Letztere behaupten das Fehlen globaler Gleichheiten in der Mathematik, die Unvollständigkeit der großen Axiomatik und die Ableitung einiger zuvor bekannter Ergebnisse und deren Verallgemeinerung auf einfache Weise (Kontinuumshypothese und Godels Theorem). Die Beschreibung der Struktur logischer Aussagen hat auch Bedeutung angewendet, was es bequemer macht, die Bedeutung von Sätzen zu verstehen und sie in Systeme algebraischer Gleichheiten zu zerlegen. Die weitere Entwicklung beinhaltet die Suche nach einer Logik (Topos), in der große Axiomaten vollständig sind. Dies bietet die Möglichkeit einer einheitlichen Axiomatisierung der gesamten Mathematik (Theorie von allem).

Weiterführende Literatur
Kategorietheorie für Programmierer.
Automatischer Beweis von Theoremen. Präsentation
Topos-Theorie