Thermoakustische Grundlagen

Abb. 1. Thermoakustischer Kühlschrank THEAC-25 mit Wanderwelle (links) und thermoakustischer Kühlschrank mit stehender Welle Triton C-10c (rechts)

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1) Thermoakustischer Motor, Kühlschrank und Wärmepumpe

1.1) Motor
In einem thermoakustischen Motor wird Wärmeenergie in akustische Energie umgewandelt. Ein solcher Prozess wird als direkter thermoakustischer Effekt bezeichnet.



Abb. 2. Verstärkung der Schallwellenleistung im Motorwärmetauscher

Am Eingang des Wärmetauschers kommt eine Welle von Win mit geringer Leistung an und wird verstärkt, wobei sie durch den Motorwärmetauscher auf den Wert von Wout gelangt. Um die Welle zu verstärken, muss Wärmeenergie verbraucht werden. Der Wärmeenergie-Pin wird mit der Heiztemperatur Tnag zugeführt. Nicht die gesamte Wärmeenergie kann in akustische Energie umgewandelt werden, da der maximale Umwandlungswirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine durch den Wirkungsgrad des Carnot-Zyklus begrenzt ist. Daher ist es notwendig, einen Teil der Wärmeleistung Pout in die Umgebung abzulassen. Die Temperatur, bei der Wärme abgeführt wird, beträgt - To. Bitte beachten Sie, dass im Motor die Richtung des Temperaturanstiegs im Wärmetauscher und die Richtung, in der die Schallleistung wächst, gleich sind.

1.2) Kühlschrank

Im Kühlschrank wird der umgekehrte thermoakustische Effekt realisiert. Das heißt, im Vergleich zum Motor passiert das Gegenteil. Eine starke Schallwelle Win kommt am Eingang der Wärmetauschervorrichtung des Kühlschranks an, die im Wärmetauscher auf den Wert von Wout abschwächt. Der Verlust der Wellenleistung soll einen Temperaturunterschied zwischen den Wärmetauschern erzeugen.



Abb. 3. Erstellen einer Temperaturdifferenz während der Wellendämpfung

Einer der Wärmetauscher beginnt sich zu erwärmen und der andere beginnt sich abzukühlen. Das heißt, eine Schallwelle entzieht einem Wärmetauscher Wärme und überträgt sie auf einen anderen. In diesem Fall muss der Wärmeleistungs-Pout vom Heizwärmetauscher in die Umgebung abgegeben werden, und der Wärmeleistungs-Pin, der die nützliche Wärmeleistung des Kühlschranks darstellt, tritt in den Kaltwärmetauscher ein. Der Kühlschrank kühlt ein Objekt auf die Temperatur Tohl.

1.3) Wärmepumpe

Eine Wärmepumpe ist in der Tat die gleiche wie ein Kühlschrank, mit dem einzigen Unterschied, dass die der Umgebung entnommene Wärmeabgabe im Kühlschrank als nützlich angesehen wird und die in der Wärmepumpe an die Umgebung übertragene Leistung (für verschiedene Anforderungen).



Abb. 4. Auch die Erzeugung einer Temperaturdifferenz während der Wellendämpfung, nur Heizleistung, nicht Kühlleistung, wird als Nutzleistung angesehen

Bitte beachten Sie, dass sowohl im Kühlschrank als auch in der Wärmepumpe die Richtung, in der die Temperatur im Wärmetauscher abnimmt, der Richtung entgegengesetzt ist, in der die Schallwellenleistung abnimmt, was darauf hinweist, dass der inverse thermoakustische Effekt realisiert wird. Die in den Eingang eintretende Schallwelle kann mit dem Motor oder mit einem leistungsstarken Lautsprecher oder Kolben erzeugt werden, der an einen linearen Elektromotor angeschlossen ist.

2) Geräte mit stehender Welle und Geräte mit Wanderwelle

Je nach Wellentyp im Resonator werden thermoakustische Geräte in zwei Typen unterteilt: Geräte mit Wanderwelle und Geräte mit stehender Welle.
Mal sehen, was die Unterschiede zwischen einer fahrenden und einer stehenden Schallwelle sind.

2.1) Laufende Welle



GIF 1. Diagramm von Druck, Gasgeschwindigkeit und Bild seiner Verschiebung in einer Wanderwelle

Eine Wanderwelle läuft auf GIF 1 rechts über den Resonator. In einer Wanderwelle sind Druck- und Gasgeschwindigkeitsschwankungen in Phase. In diesem Fall wird Energie in Richtung der Wellenbewegung übertragen. Die rosa Ovale in GIF 1 zeigen Diagramme der Druckabhängigkeit von der Koordinate der Elementargasanteile an verschiedenen Punkten im Resonator. Die von der Welle rechts übertragene Schallleistung entspricht numerisch der Fläche des rosa Ovals, dh der Fläche des PX-Diagramms. Wie Sie sehen können, sind die Ovale an verschiedenen Punkten gleich, was darauf hinweist, dass sich die Wellenleistung nicht ändert, wenn Sie sich entlang des Resonators bewegen. Das heißt, die Dämpfung der Welle bei Bewegung entlang des Resonators wird hier nicht berücksichtigt.

Eine Wanderwelle kann sich in einem Resonator ausbreiten, der eine Schleifenröhre ist. In diesem Fall ist die Wellenlänge, die der Resonanzfrequenz eines solchen Resonators entspricht, gleich der Länge des Rohrs selbst.



GIF 2. Ein Wanderwellengerät

2.2) Stehende Welle

Eine stehende Welle ist die Summe zweier Wanderwellen, die sich in entgegengesetzte Richtungen ausbreiten. Eine solche Welle kann während der Reflexion von jedem Objekt auftreten und zur Schallquelle zurückkehren.



GIF 3. Diagramm von Druck, Gasgeschwindigkeit und Bild seiner Verschiebung in einer stehenden Welle

GIF 3 zeigt eine stehende Welle in einem Halbwellenresonator, dh in einem Resonator mit einer Länge, die der halben Wellenlänge entspricht. Man kann sich vorstellen, dass der Resonator unten bei GIF 3 ein Rohr ist, das auf beiden Seiten mit Stopfen verstopft ist. In diesem Fall schüttelt beispielsweise jemand das Rohr und das Gas im Inneren hängt zwischen den beiden Enden des Rohrs. Da die Rohrenden verstopft sind, kann die Gasgeschwindigkeit auf der Oberfläche der Stopfen nur Null sein (wie aus dem Geschwindigkeitsdiagramm ersichtlich). Das heißt, Geschwindigkeitsknoten erscheinen an den Enden des Rohrs. Gleichzeitig ist ersichtlich, dass die größten Druckschwankungen (Anti-Knoten oder Druck-Antinoden) an den Stopfen beobachtet werden und sich die Druckeinheit (der Punkt, an dem keine Vibrationen auftreten) in der Mitte des Rohrs befindet.

In einer stehenden Welle beträgt die Phasendifferenz zwischen Druckschwankungen und Geschwindigkeitsschwankungen 90 Grad. In diesem Fall sind die PX-Diagramme an allen Punkten des Resonators Linien, dh Figuren ohne Fläche. Dementsprechend findet weder rechts noch links eine Energieübertragung in einer stehenden Welle statt. Aber die Welle selbst hat natürlich Energie.

Eine stehende Welle in einem Halbwellenresonator kann erzeugt werden, indem ein Lautsprecher oder Kolben an einem seiner Enden platziert wird, wodurch Schwingungen mit der Resonanzfrequenz des Resonators erzeugt werden. Durch Platzieren eines zusätzlichen Wärmetauschers im Resonator können Sie einen thermoakustischen Kühlschrank erstellen.



GIF 4. Eine stehende Welle in einem Halbwellenresonator. Links vom Resonator befindet sich der sogenannte Stack - ein Analogon des Regenerators in einem Wanderwellenmotor

Aufgrund der Streuung der akustischen Energie im Resonator und im Wärmetauscher steht die resultierende Welle nicht rein. Eine konstante Erregung durch den Kolben ist erforderlich. Auf GIF 4 ist zu sehen, dass, da der Kolben schwingt, das Gas am Kolben mit ihm schwingt. Es findet eine Übertragung von akustischer Energie vom Kolben zum Resonator statt, die den Energieverlust im Resonator kompensiert. Obwohl die resultierende Welle einer stehenden Welle sehr nahe kommt, ist sie eine Summe aus stehender und wandernder Welle, wenn sie genauer untersucht wird.

In echten thermoakustischen Geräten gibt es auch niemals eine rein wandernde oder rein stehende Welle. Eine Welle ist immer etwas Zwischenproduktes, aber wenn die Welle im Gerät einer stehenden Welle sehr ähnlich ist, wird das Gerät als Gerät mit stehender Welle bezeichnet, und wenn die Welle einer Wanderwelle ähnlich ist, wird sie als Gerät mit einer Wanderwelle bezeichnet.

3) Hauptabmessungen

3.1) Gehäuselänge
Die Länge der thermoakustischen Vorrichtung Gehäuse - Resonator wird durch die Wellenlänge bestimmt. Es ist noch besser, das Gegenteil zu sagen, dass die Länge des Resonatorgehäuses die Wellenlänge im Resonator bestimmt.

Bei Geräten mit stehender Welle entspricht die Körperlänge normalerweise der halben Wellenlänge. Beispielsweise beträgt bei einer typischen Frequenz von 300 Hz für einen typischen Gerätetyp die Länge des Gehäuses beim Arbeiten in Luft etwa 0,56 Meter und beim Arbeiten mit Helium 1,65 Meter.



Abb. 5. Die Hauptabmessungen des Geräts mit einer stehenden Welle

Bei Wanderwellengeräten ist die Wellenlänge ungefähr gleich der Länge des Körpers. Die typische Schwingungsfrequenz in solchen Geräten beträgt 100 Hz, während die Länge des Gehäuses bei Arbeiten an Luft 3,4 Meter und bei Arbeiten an Helium 10 Meter beträgt.



Abb. 6. Die Hauptabmessungen des Wanderwellengeräts

3.2) Gehäusedurchmesser
Der Durchmesser des Gehäuses wird anhand der erforderlichen Leistung des Geräts bestimmt. Die Leistung nimmt mit zunehmendem Durchmesser der Vorrichtung proportional zur Querschnittsfläche des Gehäuses zu, da die Leistung des Wärmetauschers proportional zur Querschnittsfläche zunimmt.

Der Resonator ist ein herkömmliches Rohr, vorzugsweise mit glatten Wänden.



GIF 5. Wechselwirkung eines oszillierenden Gases mit der Hohlraumwand

Wenn wir die Ausbreitung einer Schallwelle in einem Resonator mit einem ausreichend großen Durchmesser (von etwa einem Zentimeter oder mehr) betrachten, stellt sich heraus, dass das Gas in der Welle nicht durch sein gesamtes Volumen mit der Resonatorwand interagiert, sondern nur in einer kleinen Grenzschicht in der Nähe der Resonatorwand. An Gifka 5 ist gezeigt, dass sich während Gasschwingungen in der Nähe der Hohlraumwand eine ungewöhnliche Verformung der Gasgeschwindigkeit aufgrund von Reibung gegen die Wand bildet. An der Wandoberfläche ist die Gasgeschwindigkeit Null, was bei den meisten hydrodynamischen Problemen normalerweise als Randbedingung akzeptiert wird.

Viskositätstiefe
Die vertikale Achse im Diagramm ist in den sogenannten viskosen Penetrationswerten δν markiert.

Die Tiefe des viskosen Eindringens ist eine Schätzung der Größe der Schicht, die aktiv mit der Körperwand interagiert. Beispielsweise beträgt für eine Schallwelle, die sich in Luft unter normalen Bedingungen mit einer Frequenz von 70 Hz ausbreitet, die Tiefe des viskosen Eindringens 0,27 mm. Auf GIF 5 ist zu sehen, dass die Wechselwirkung von Wand und Gas bei Werten beobachtet wird, die größer als die Tiefe des viskosen Eindringens sind, der Bereich der ausreichend aktiven Wechselwirkung der Welle mit der Wand jedoch nur einen Wert von etwa 1 mm aufweist. In der Mitte des Resonators werden gewöhnliche akustische Schwingungen beobachtet, genau so, als ob überhaupt kein Resonator vorhanden wäre. Dementsprechend tritt die Streuung der akustischen Energie aufgrund von Reibung gegen die Wände nur in einer engen Grenzschicht nahe der Wand auf.

Thermische Eindringtiefe
In der Schallwelle komprimiert und expandiert das Gas, während die Gastemperatur durch abwechselndes adiabatisches Heizen und Kühlen schwankt. Dies geschieht in einer Welle, die sich im freien Raum ausbreitet. Wenn sich die Welle in dem Hohlraum bewegt, interagiert die Welle mit der Hohlraumwand und die Wandtemperatur beginnt, die Gastemperaturschwankungen in der Schallwelle zu beeinflussen.

Ebenso wie bei der viskosen Wechselwirkung mit der Wand gibt es auch eine Größe für die thermische Wechselwirkung, die die Größe der Gasschicht charakterisiert, die aktiv thermisch mit der Wand wechselwirkt. Diese Größe wird als - thermische Eindringtiefe δκ bezeichnet. Schwankungen der Gastemperatur in der Nähe der Wand werden auf die gleiche Weise wie die Gasgeschwindigkeit im vorherigen Beispiel verformt. Wenn Sie also nur sagen, dass bei GIF 5 Schwankungen nicht in der Gasgeschwindigkeit, sondern in der Temperatur auftreten und dass die vertikale Achse jetzt nicht in den Tiefen des viskosen Eindringens, sondern in den thermischen Tiefen markiert ist, gilt GIF 5 auch für Temperaturschwankungen. Numerisch ist die Tiefe des thermischen Eindringens immer größer als die Tiefe des Viskosen. Beispielsweise beträgt für dieselbe Luft unter normalen Bedingungen und mit einer Schwingungsfrequenz von 70 Hz die thermische Eindringtiefe ungefähr 0,32 mm, was nur das 1,185-fache der Viskositätstiefe im vorherigen Beispiel ist.

Welche Schlussfolgerungen können daraus gezogen werden?

Nun, erstens interagiert die Welle bei einem ausreichend großen Durchmesser des Resonators fast nicht viskos oder thermisch mit dem Resonator. Der Resonator legt nur die Richtung der Welle und den Wellentyp fest. Daraus folgt, dass zur Übertragung und Entnahme von Wärmeenergie aus dem Gas die Größe der Kanäle (Poren, Öffnungen, Schlitze) im Wärmetauscher irgendwo im Bereich der thermischen Durchdringung liegen muss, aber in keinem Fall viel größer als dieser Wert ist.

Da die Tiefen des viskosen und thermischen Eindringens für alle Gase und Frequenzen nahezu gleich sind, sind thermoakustische Vorrichtungen dazu verdammt, Verluste zu haben, die mit der Reibung des Gases auf der Oberfläche des Wärmetauschers verbunden sind.

3.3) Kanalabmessungen in einem Wärmetauscher
Bei Wanderwellengeräten muss der hydraulische Radius der Poren im Wärmetauscher kleiner sein als die thermische Eindringtiefe Rh <δk, um einen maximalen Wärmekontakt zwischen dem Gas und der Oberfläche des Wärmetauschers zu gewährleisten, um einen maximalen Wirkungsgrad zu erzielen. Diese Bedingung ergibt sich aus den Gleichungen der Thermoakustik. Für den Regenerator ist dieser Zustand besonders wichtig. Normalerweise liegt der optimale Wert des hydraulischen Radius der Poren des Regenerators zwischen 3,5 und 6 Mal unter der Tiefe des thermischen Eindringens. Die Größe der Poren in den Wärmetauschern beeinflusst die Vorrichtung viel weniger als die Größe der Poren im Regenerator, daher ist es üblicherweise bevorzugt, die Größe der Poren (Kanäle) in den Wärmetauschern relativ zu den Poren im Regenerator zu erhöhen, um die Herstellung zu vereinfachen.

Die thermoakustischen Gleichungen sagen uns andererseits, dass bei Geräten mit stehender Welle der Wert des hydraulischen Radius der Poren des Stapels (analog zum Regenerator bei Geräten mit Wanderwelle) ungefähr gleich der Tiefe des thermischen Eindringens in das Gas sein sollte. Das heißt, bei einem Gerät mit stehender Welle sollte die Porengröße im Stapel etwa 3,5- bis 6-mal größer sein als bei einem Gerät mit einer Wanderwelle, ceteris paribus. Die Größe der Poren in den Wärmetauschern von Vorrichtungen mit stehender Welle beeinflusst die Effizienz der Vorrichtung nicht so sehr wie die Größe der Poren im Stapel sowie in Vorrichtungen mit einer Wanderwelle.

3.4) Länge der Wärmetauscher und des Regenerators
In einer Schallwelle führt jeder Elementarteil des Gases harmonische Schwingungen relativ zu seiner Gleichgewichtsposition mit der Amplitude X1 aus (siehe Fig. 5 und Fig. 6). Der Wert der optimalen Länge des Regenerators oder Stapels ist normalerweise größer als die Gasverdrängung 2 | X1 | (größer als die doppelte Amplitude der Abweichung des elementaren Gasanteils von der Gleichgewichtsposition). Wenn der typische Wert für den Versatz 1 cm beträgt, kann der Regenerator oder Stapel je nach Betriebstemperatur eine Länge von 1 cm bis 5 cm haben. Die Länge der Wärmetauscher liegt in der gleichen Reihenfolge wie beim Regenerator.

4) Thermodynamischer Zyklus bei Geräten mit stehender Welle und bei Geräten mit Fahrweg

4.1) Motor und Standwellenkühlschrank
Der im Stapel einer Vorrichtung mit einer stehenden Welle implementierte thermodynamische Zyklus ist dem Brighton-Zyklus am nächsten, der in einem Gasturbinentriebwerk implementiert ist.

Motor



GIF 6. Thermodynamischer Zyklus in einem stehenden Wellenmotor

GIF 6 zeigt die Schwingungen des elementaren Gasvolumens zwischen den Stapelplatten. Durch Komprimieren und Expandieren ändert Gas seine Temperatur (Grafik in der unteren linken Ecke). Der Graph der Temperatur gegen die Koordinate ist eine Zahl ähnlich einem Oval (grüne Linie). Die weiße Linie in der Grafik zeigt die Oberflächentemperatur des Stapels an. Sie können sehen, dass es entlang der Länge des Stapels einen Temperaturgradienten gibt. Das heißt, die Temperatur nimmt linear ab, wenn Sie sich vom linken zum rechten Ende des Stapels bewegen.

Wenn die weiße Linie der Stapeltemperatur eine Steigung im Diagramm aufweist, die größer ist als die Steigung des Ovalgastemperaturdiagramms, funktioniert das Gerät wie ein Motor.

Das PV-Diagramm ist in der Mitte rechts dargestellt - die Abhängigkeit des Drucks vom Volumen in einem elementaren Teil des Gases. Die ovale Fläche im Diagramm entspricht numerisch der Arbeit an Gas bei einem Motor und der Arbeit an Gas bei einem Kühlschrank (Wärmepumpe).

Da beim Arbeiten mit einer stehenden Welle die optimale Größe der Stapelkanäle ungefähr gleich der thermischen Eindringtiefe ist, ist der Wärmekontakt des Gases und der festen Oberfläche nicht ideal und die Temperatur des Gases und des Stapels an einem bestimmten Punkt im Stapel kann voneinander abweichen. Wenn der Wärmekontakt zwischen dem Gas und dem Stapel ideal wäre, würden die Diagramme der Temperatur des Gases und des Stapels zusammenfallen, da das Gas sofort die Temperatur der Oberfläche des Stapels annehmen würde, an welchem ​​Punkt auch immer es erscheint.

Kritischer Temperaturgradient im Stapel



Gif 7. Kritischer Temperaturgradient im Stapel

Nehmen Sie nun den Motor und beginnen Sie, den Temperaturunterschied auf dem Stapel zu verringern, während Sie die Amplitude der Schallwelle auf irgendeine Weise beibehalten, beispielsweise mithilfe eines Lautsprechers. Gleichzeitig ist es zu früh oder zu spät, und es tritt ein Zustand auf, in dem die Temperatur im elementaren Teil des Gases in der Welle zu schwanken beginnt, so dass seine Temperatur mit der Temperatur der Oberfläche des Stapels zusammenfällt, wo immer sich dieser Teil des Gases befindet (GIF 7. Grüne und weiße Linien im Temperaturdiagramm) Spiel).

In diesem Fall werden keine Arbeiten am Stapel ausgeführt (das PV-Diagramm ist eine Linie - eine Figur ohne Fläche).

Der Temperaturgradient in dem Stapel, bei dem der oben beschriebene Fall realisiert wird, wird als kritischer Temperaturgradient für diese bestimmte Welle bezeichnet. Ein Gerät mit einem kritischen Temperaturgradienten ist für den praktischen Gebrauch absolut unbrauchbar. Es nimmt genau eine Position zwischen Motor und Kühlschrank ein. Trotzdem ist es zweckmäßig, Geräte in Bezug darauf zu vergleichen, um herauszufinden, ob es sich um einen Motor oder einen Kühlschrank handelt.

Kühlschrank



GIF 8. Thermodynamischer Kreislauf im Kühlschrank mit stehender Welle

Wenn die Neigung bei der Stapeltemperatur geringer ist als bei der Gastemperatur oval, funktioniert das Gerät wie ein Kühlschrank.

Bitte beachten Sie, dass die Drehung des grünen Punkts in den Diagrammen des Motors und des Kühlschranks in entgegengesetzte Richtungen verläuft. Dies bedeutet, dass in einem Fall an Gas gearbeitet wird und in dem anderen Gas.

Was muss getan werden, um den Kühlschrank in einen Motor zu verwandeln? Sie müssen entweder den Temperaturgradienten im Stapel erhöhen, während Sie die Amplitude der Schallwelle beibehalten, oder die Amplitude der Welle verringern, während Sie den Temperaturgradienten beibehalten.

4.2) Der Motor und der Wanderwellenkühlschrank Der
im Regenerator des Wanderwellengeräts implementierte thermodynamische Zyklus ist dem Stirlingzyklus am nächsten, der im gleichnamigen Motor implementiert ist.

Bei Vorrichtungen mit einer Wanderwelle wird aufgrund der kleinen optimalen Porengröße der Fall eines idealen Wärmekontakts zwischen dem Gas und der Oberfläche des Regenerators realisiert.



Gifka 9. Thermodynamischer Zyklus in einem Wanderwellenmotor

Hier stimmt die Gastemperatur (grüne Linie im Temperaturdiagramm) an allen Punkten mit der Temperatur des Regenerators überein (weiße Linie im Temperaturdiagramm). Das PV-Diagramm in der unteren rechten Ecke zeigt an, dass an Gas gearbeitet wird.

Es versteht sich, dass zwar die Temperaturgraphen des Gases und des Regenerators gleich sind, dies jedoch keine Vorrichtung mit einem kritischen Temperaturgradienten im zuvor beschriebenen Sinne ist. Bei Geräten mit stehender Welle musste der erforderliche Temperaturgradient für eine bestimmte Welle so gewählt werden, dass er mit Temperaturschwankungen in der Schallwelle zusammenfiel. Bei Wanderwellengeräten ist immer ein guter Wärmekontakt zwischen dem Regenerator und dem Gas gewährleistet, da die Poren im Regenerator sehr klein sind. Daher besteht in Wanderwellengeräten immer ein kritischer Temperaturgradient, und dieser Begriff verliert hier jegliche Bedeutung. Wie wird dann an Gas gearbeitet? Bei einem kritischen Temperaturgradienten gab es im Fall eines Geräts mit stehender Welle keine Arbeit. Die Sache istdass bei einem kritischen Temperaturgradienten die Arbeit an Gas nicht genau in einer stehenden Welle ausgeführt wird, sondern in einer Wanderwelle eine unterschiedliche Phasendifferenz zwischen Druck- und Gasgeschwindigkeitsschwankungen und die Arbeit in diesem Fall im Gegenteil maximal ist.

Bei einem Kühlschrank mit Wanderwelle sehen die Grafiken genauso aus wie bei GIF 9, außer dass sich der grüne Punkt im PV-Diagramm in die entgegengesetzte Richtung dreht, was darauf hinweist, dass das Gas arbeitet und nicht mit Gas arbeitet .

Abschließend möchte ich allen, die mehr über Thermoakustik erfahren möchten, das Buch von G. Swift empfehlen, der durch seine Arbeit im Los Alamos National Laboratory einen großen Beitrag zur Thermoakustik geleistet hat:

Swift GW Thermoakustische Motoren und Kühlschränke: ein kurzer Kurs. Los Alamos: Los Alamos National Laboratory, 1999. 179 p. URL: Download-Link

Ich füge auch Animationen von thermoakustischen Prozessen hinzu, die von G. Swifts Team erstellt wurden:
Download-Link. Um Animationen anzuzeigen, müssen Sie das Archiv entpacken und in den Ordner mit den Programmdateien auf Ihrer Festplatte legen (andernfalls funktionieren sie aus irgendeinem Grund nicht). Alle Animationen für Windows befinden sich im EXE-Ordner.

In diesem Artikel habe ich nur einen kleinen Teil des Buches nacherzählt, ohne Mathematik zu verwenden. Im Original ist alles viel interessanter.