Mathematik versöhnt Newton mit der Quantenwelt

Als Professor für Mathematik hatte er keine Angst mehr und verliebte sich in die algebraische Geometrie.

Im sechsten Dutzend ist es zu spät, um ein echter Spezialist für algebraische Geometrie zu werden, aber ich habe es endlich geschafft, mich in sie zu verlieben. Wie der Name schon sagt, verwendet dieser Zweig der Mathematik Algebra, um Geometrie zu studieren. Um 1637 legte Rene Descartes den Grundstein für dieses Wissensgebiet, nahm eine Ebene, zeichnete mental ein Gitter darauf und bestimmte die Koordinaten für x und y . Sie können eine Gleichung der Form x ² + y ² = 1 schreiben und eine Kurve erhalten, die aus Punkten besteht, deren Koordinaten diese Gleichung erfüllen. In diesem Beispiel erhalten wir einen Kreis.

Für diese Zeit war es eine revolutionäre Idee, weil sie es uns ermöglicht, Fragen der Geometrie systematisch in Fragen über Gleichungen umzuwandeln, die mit ausreichenden Kenntnissen der Algebra gelöst werden können. Einige Mathematiker waren ihr ganzes Leben lang auf diesem großartigen Gebiet tätig. Bis vor kurzem hat es mir nicht gefallen, aber ich konnte es mit meinem Interesse an der Quantenphysik verbinden.

In meiner Kindheit mochte ich Physik mehr als Mathematik. Mein Onkel Albert Baez, Vater des berühmten Folksängers Joan Baez, arbeitete für die UNESCO und half Entwicklungsländern beim Physik-Training. Meine Eltern lebten in Washington. Als mein Onkel in die Stadt kam, öffnete er seine Aktentasche, holte Magnete oder Hologramme heraus und erklärte mir mit ihrer Hilfe die Physik. Es war großartig. Als ich acht Jahre alt war, überreichte er mir ein Physiklehrbuch, das er für das College schrieb. Obwohl ich ihn nicht verstehen konnte, wurde mir sofort klar, dass ich das wollte . Ich beschloss, Physiker zu werden, und meine Eltern waren besorgt, weil ich wusste, dass Physik Mathematik braucht, und ich war nicht sehr stark darin. Die Unterteilung in der Kolumne schien mir unerträglich langweilig, und ich weigerte mich, die Hausaufgaben in Mathematik mit ihrer sich endlos wiederholenden Routine zu machen. Aber später, als ich merkte, dass ich mit den Gleichungen spielen konnte, um mehr über das Universum zu erfahren, faszinierte mich das. Mysteriöse Symbole waren wie Zaubersprüche, und in gewisser Weise war es das auch. Wissenschaft ist Magie, die tatsächlich funktioniert.

Im College wählte ich Mathematik als Hauptfach und interessierte mich für die Frage des theoretischen Physikers Eugene Wigner nach der „unerklärlichen Wirksamkeit“ der Mathematik: Warum unterliegt unser Universum so leicht mathematischen Gesetzen? Er formulierte es so: "Das Wunder der Angemessenheit der Sprache der Mathematik für die Formulierung der Gesetze der Physik ist ein erstaunliches Geschenk, das wir nicht verstehen und nicht verdienen." Als junger Optimist hatte ich das Gefühl, dass diese Gesetze uns Hinweise zur Lösung eines tieferen Rätsels geben würden: Warum das Universum im Allgemeinen von mathematischen Gesetzen regiert wird. Ich habe bereits verstanden, dass die Mathematik zu umfangreich ist, um sie in ihrer Gesamtheit zu studieren, und deshalb habe ich mich in der Magistratur entschlossen, mich auf das zu konzentrieren, was mir wichtig war. Und eine davon, die mir nicht wichtig erschien, war die algebraische Geometrie.

Wie kann sich ein Mathematiker nicht in algebraische Geometrie verlieben? Der Grund ist folgender: In seiner klassischen Form untersucht dieses Feld nur Polynomgleichungen - Gleichungen, die nicht nur Kurven, sondern auch Figuren höherer Dimension beschreiben, die als „Mannigfaltigkeiten“ bezeichnet werden. Das heißt, x ² + y ² = 1 - dies ist normal, wie x ⁴³ - 2 xy ² = y ⁷ . Eine Gleichung mit Sinus, Cosinus oder anderen Funktionen liegt jedoch außerhalb dieses Bereichs, es sei denn, wir finden eine Möglichkeit, sie in eine Polynomgleichung umzuwandeln. Für einen Doktoranden schien dies eine schreckliche Einschränkung zu sein. Schließlich verwendet die Physik viele Funktionen, die keine Polynome sind.


Hierfür gibt es ein Polynom: Allein mit Polynomen können viele interessante Kurven beschrieben werden. Lassen Sie uns zum Beispiel einen Kreis innerhalb eines anderen dreimal größeren Kreises rollen. Wir erhalten eine Kurve mit drei scharfen Ecken, die als "Deltamuskel" bezeichnet wird. Es ist nicht offensichtlich, was durch seine Polynomgleichung beschrieben werden kann, aber es ist. Der große Mathematiker Leonard Euler erfand es 1745.

Warum beschränkt sich die algebraische Geometrie auf Polynome? Mathematiker studieren alle Arten von Funktionen, aber obwohl sie sehr wichtig sind, lenkt ihre Komplexität auf einer bestimmten Ebene nur von den grundlegenden Geheimnissen der Verbindung zwischen Geometrie und Algebra ab. Durch die Begrenzung der Breite seiner Suche kann die algebraische Geometrie diese Rätsel genauer untersuchen. Sie beschäftigt sich seit Jahrhunderten damit, und jetzt ist die Fähigkeit mit Polynomen wirklich erstaunlich: Die algebraische Geometrie ist zu einem mächtigen Werkzeug in der Zahlentheorie, Kryptographie und vielen anderen Bereichen geworden. Aber für ihre wahren Bewunderer liegt der Wert dieses Gebiets in sich.

Einmal traf ich einen Harvard-Doktoranden und fragte ihn, was er studiere. In einem pompösen Ton sagte er ein Wort: "Hartshorn." Er dachte an Robin Hartshorns Lehrbuch Algebraic Geometry , das 1977 veröffentlicht wurde. Es wird angenommen, dass es eine Einführung in das Thema werden sollte, aber es ist tatsächlich sehr komplex. Um eine Beschreibung aus Wikipedia zu zitieren: „Das erste Kapitel mit dem Titel„ Manifolds “befasst sich mit der klassischen algebraischen Geometrie von Sorten über algebraisch geschlossenen Feldern. In diesem Kapitel werden viele klassische Ergebnisse der kommutativen Algebra verwendet, einschließlich des Hilbert-Nullsatzes, und häufig werden Verweise auf die Bücher von Atiyah-MacDonald, Matsumura und Zarissky-Samuel gefunden. “

Wenn Sie nichts verstanden haben ... dann habe ich das im Sinn. Um auch das erste Kapitel von Hartshorn zu verstehen, benötigen Sie ziemlich viel Hintergrundwissen. Hartshorn zu lesen ist wie zu versuchen, die Genies vieler Jahrhunderte einzuholen, die sich bemüht haben, so schnell wie möglich zu rennen.


Berühmte kubische: Dies ist Cayleys kubische Knotenfläche. Es ist berühmt für die Tatsache, dass es die Mannigfaltigkeit mit der größten Anzahl von Knoten (solch scharfen Stücken) ist, die durch die kubische Gleichung beschrieben werden kann. Die Gleichung hat die Form ( xy + yz + zx ) (1 - x - y - z ) xyz = 0 und heißt "kubisch", weil wir gleichzeitig nicht mehr als drei Variablen multiplizieren.

Eines dieser Genies war der wissenschaftliche Direktor von Hartshorn - Alexander Grotendik. Von etwa 1960 bis 1970 machte Grothendieck eine revolutionäre Revolution in der algebraischen Geometrie und machte sie zu einem Teil einer epischen Reise mit dem Ziel, Weyls Hypothesen zu beweisen, die Sorten mit Lösungen für Probleme aus der Zahlentheorie verbinden. Grothendieck schlug vor, Weils Hypothesen zu bestätigen, indem die Verbindung zwischen Geometrie und Algebra gestärkt und vertieft wird. Er hatte eine klare Vorstellung davon, wie das passieren sollte. Um die Richtigkeit dieser Idee zu gewährleisten, war jedoch enorme Arbeit erforderlich. Um dies zu erreichen, organisierte er ein Seminar. Grothendieck hielt fast täglich Präsentationen und nutzte die Hilfe der besten Mathematiker in Paris.


Lassen Sie uns einen mathematischen Hintergrund haben: Alexander Grotendik bei seinem Seminar.

Sie arbeiteten ein Jahrzehnt lang ohne Unterbrechung und schrieben Tausende von Seiten neuer Mathematik mit atemberaubenden Konzepten. Am Ende hat Grothendieck mit diesen Ideen alle Weyl-Hypothesen erfolgreich bewiesen, mit Ausnahme der letzten, der komplexesten. Zu Grothendiecks Überraschung wurde es von seinem Schüler entschieden.

Während seiner produktivsten Jahre, obwohl er die französische Schule der algebraischen Geometrie dominierte, hielten viele Mathematiker Grothendiecks Ideen für "zu abstrakt". Das klingt etwas seltsam, wenn man bedenkt, wie abstrakt die gesamte Mathematik ist. Es steht jedoch außer Zweifel, dass Zeit und Mühe erforderlich sind, um seine Ideen wahrzunehmen. Als Doktorand habe ich versucht, mich von ihnen zu distanzieren, weil ich aktiv mit dem Studium der Physik zu kämpfen hatte: Genies arbeiteten auch jahrhundertelang mit voller Geschwindigkeit darin, und um an die Grenze zu gelangen, dauert es lange, bis ich aufholte. Später, als ich meine Karriere begann, führte mich mein Studium zur Arbeit von Grothendieck.

Wenn ich einen anderen Weg wählen würde, könnte ich mich seiner Arbeit durch das Studium der Stringtheorie nähern. Physiker, die die Stringtheorie studieren, postulieren, dass es zusätzlich zu den sichtbaren Dimensionen von Raum und Zeit (drei Dimensionen für Raum und eine für Zeit) zusätzliche Dimensionen von Raum gibt, die so verdreht sind, dass sie nicht gesehen werden können. In einigen ihrer Theorien bilden diese zusätzlichen Dimensionen Vielfalt. Daher können Forscher der Stringtheorie leicht auf komplexe Fragen aus der algebraischen Geometrie stoßen. Und das wiederum bringt sie dazu, sich dem Grothendieck zu stellen.


Ich bin völlig verwirrt: Ein Stück einer Sorte namens "Quintic Threefold", mit dem zusätzliche verschlungene Raumdimensionen in der Stringtheorie beschrieben werden können.

Und in der Tat. Das Beste ist, dass die Stringtheorie nicht durch eine erfolgreiche Vorhersage experimenteller Ergebnisse beworben wird - sie kann sich absolut nicht rühmen -, sondern durch die Fähigkeit, Probleme im Rahmen der reinen Mathematik, einschließlich der algebraischen Geometrie, zu lösen. Zum Beispiel kann die Stringtheorie die Anzahl der Kurven verschiedener Typen, die in bestimmten Varianten gezeichnet werden können, erstaunlich gut berechnen. Daher kann man heute Stringtheoretiker sehen, die mit algebraischen Geometern kommunizieren, und jede Seite kann die andere mit ihren Entdeckungen überraschen.

Die Quelle meines persönlichen Interesses an der Arbeit von Grothendieck war jedoch anders. Ich hatte schon immer ernsthafte Zweifel an der Stringtheorie, und das Zählen von Kurven in Sorten ist das Letzte, was ich tun möchte: Es ist wie Klettern - es ist sehr aufregend zu sehen, aber zu beängstigend, um es selbst zu tun. Es stellte sich heraus, dass die Ideen von Grothendieck so verallgemeinert und stark sind, dass sie sich über die Grenzen der algebraischen Geometrie hinaus auf viele andere Bereiche erstrecken. Insbesondere war ich beeindruckt von seinem 600-seitigen unveröffentlichten Manuskript Pursuing Stacks aus dem Jahr 1983. Darin stellt er fest, dass die Topologie (wenn sie im weiteren Sinne erklärt werden soll, eine Theorie darüber ist, welche Formen ein Raum annehmen kann, wenn wir uns nicht um seine Biegung oder Dehnung sorgen, sondern nur die Arten von Löchern interessieren) vollständig auf Algebra reduziert werden kann!

Auf den ersten Blick scheint diese Idee der algebraischen Geometrie ähnlich zu sein, bei der wir Algebra verwenden, um geometrische Figuren zu beschreiben (z. B. Kurven oder Mannigfaltigkeiten höherer Dimension). Es stellt sich jedoch heraus, dass die „algebraische Topologie“ einen völlig anderen Geschmack hat, da wir uns in der Topologie nicht auf Zahlen beschränken müssen, die durch Polynomgleichungen beschrieben werden. Anstatt mit schönem Schmuck zu arbeiten, haben wir es mit flexiblen, weichen Gerinnseln zu tun. Deshalb brauchen wir eine andere Algebra.


Wenn Sie eine Erklärung brauchen: Mathematiker scherzen manchmal, dass Topologen den Unterschied zwischen einem Donut und einer Tasse Kaffee nicht sehen.

Die algebraische Topologie ist ein wunderschönes Gebiet, das lange vor Grothendieck existierte, aber er war einer der ersten, der ernsthaft eine Methode zur Reduzierung der gesamten Topologie auf Algebra vorschlug. Dank meiner Arbeit in der Physik schien mir sein Vorschlag äußerst erfreulich. Und hier ist der Grund: In diesem Moment übernahm ich die schwierige Aufgabe, die beiden besten Theorien der Physik zu kombinieren: die Quantenphysik, die alle Kräfte außer der Schwerkraft beschreibt, und die allgemeine Relativitätstheorie, die die Schwerkraft beschreibt. Bis wir dies tun, scheint unser Verständnis der Grundgesetze der Physik zum Scheitern verurteilt zu sein. Aber das zu realisieren ist verdammt schwierig. Der Grund dafür ist, dass die Quantenphysik auf Algebra basiert und die Topologie in der allgemeinen Relativitätstheorie aktiv verwendet wird. Dies sagt uns jedoch die Richtung des Angriffs: Wenn wir herausfinden können, wie die Topologie auf Algebra reduziert werden kann, kann dies uns helfen, die Theorie der Quantengravitation zu formulieren.

Meine Physikkollegen würden in diesem Moment heulen und sich beschweren, dass ich alles zu stark vereinfache: In der Quantenphysik wird nicht nur Algebra verwendet, sondern die allgemeine Relativitätstheorie ist nicht nur Topologie. Dennoch waren es genau die möglichen physikalischen Vorteile der Reduzierung der Topologie auf Algebra, die mich an Grothendiecks Arbeit erfreuten.

Daher habe ich seit den 1990er Jahren versucht, die von Grothendieck erfundenen mächtigen abstrakten Konzepte herauszufinden, und bis heute teilweise Erfolg erzielt. Einige Mathematiker betrachten diese Konzepte als einen komplexen Teil der algebraischen Geometrie. Aber jetzt scheinen sie mir ein einfacher Teil zu sein. Für mich wurden nicht alle diese abstrakten Konzepte, sondern ihre langweiligen Details zu einem schwierigen Teil. Erstens ist dies alles Material in den Texten, die Hartshorn als zwingende Voraussetzungen betrachtet: "die Bücher von Atiyah-MacDonald, Matsumura und Zarissky-Samuel", und dies sind riesige Mengen an Algebra. Aber es gibt noch viel mehr.

Obwohl ich jetzt einige Dinge habe, die zum Lesen von Hartshorn notwendig sind, war mir das Studium dieser Materialien bis vor kurzem zu beängstigend. Ein Physikstudent fragte einmal einen berühmten Spezialisten, wie viel Mathematik ein Physiker wissen sollte. Der Spezialist antwortete: "Mehr als er weiß." In der Tat kann das Studium der Mathematik niemals als abgeschlossen angesehen werden, daher habe ich mich auf Aspekte konzentriert, die am wichtigsten und / oder interessantesten erschienen. Bis zum letzten Jahr stand die algebraische Geometrie nie ganz oben auf dieser Liste.

Was hat sich geändert? Ich erkannte, dass algebraische Geometrie mit der Beziehung zwischen klassischer und Quantenphysik verbunden ist . Die klassische Physik ist die Newtonsche Physik, bei der wir davon ausgehen, dass wir auch theoretisch alles mit vollständiger Genauigkeit messen können. Die Quantenphysik ist die Physik von Schrödinger und Heisenberg. Sie unterliegt dem Prinzip der Unsicherheit: Wenn wir einige Aspekte eines physikalischen Systems mit vollständiger Genauigkeit messen, müssen andere unsicher bleiben.

Beispielsweise hat jedes rotierende Objekt einen "Drehimpuls". In der klassischen Mechanik visualisieren wir es mit einem Pfeil, der entlang der Rotationsachse gerichtet ist, und die Länge dieses Pfeils ist proportional zur Rotationsgeschwindigkeit des Objekts. Und in der klassischen Mechanik gehen wir davon aus, dass wir diesen Pfeil genau messen können. In der Quantenmechanik - eine genauere Beschreibung der Realität - erweist sich dies als falsch. Wenn wir beispielsweise wissen, wie weit der Pfeil in x- Richtung zeigt, können wir dies nicht herausfinden. wie weit sie in die y- Richtung zeigt. Diese Unsicherheit ist zu gering, um für einen Basketball bemerkt zu werden, aber für ein Elektron ist sie sehr bedeutsam: Bis die Physiker dies zu berücksichtigen begannen, hatten sie nur ein grobes Verständnis der Elektronen.

Physiker versuchen oft, die Probleme der klassischen Physik zu „quantifizieren“. Das heißt, sie beginnen mit der klassischen Beschreibung eines physikalischen Systems und versuchen, eine Quantenbeschreibung abzuleiten. Um diese Arbeit durchzuführen, gibt es kein allgemeines und vollständig systematisches Verfahren. Und das sollte Sie nicht überraschen: Diese beiden Ansichten über die Welt sind sehr unterschiedlich. Es gibt jedoch nützliche Rezepte für die Durchführung der Quantisierung. Die systematischsten von ihnen sind auf eine sehr begrenzte Anzahl von körperlichen Problemen anwendbar.

Zum Beispiel können wir in der klassischen Physik manchmal ein System als einen Punkt in der Mannigfaltigkeit beschreiben . Sie sollten nicht erwarten, dass dies im allgemeinen Fall möglich ist, aber in vielen wichtigen Fällen geschieht dies. Stellen Sie sich zum Beispiel ein rotierendes Objekt vor: Wenn wir die Länge des Pfeils auf seinen Drehimpuls festlegen, kann der Pfeil immer noch in eine beliebige Richtung zeigen, dh sein Ende sollte auf einer Kugel liegen. So können wir ein rotierendes Objekt mit einem Punkt auf einer Kugel beschreiben. Und diese Kugel ist eigentlich eine Sorte, die „ Riemann-Kugel “, benannt nach einem der größten algebraischen Geometer des Bernhard Riemann aus dem 19. Jahrhundert.


Vielfalt: Die Endrass-Oberfläche achter Ordnung ist ein schönes, hochsymmetrisches Beispiel für „Mannigfaltigkeit“: eine Figur, die durch Polynomgleichungen beschrieben wird. Die algebraische Geometrie begann mit der Untersuchung solcher Figuren.

Wenn die Aufgabe der klassischen Physik durch Vielfalt beschrieben wird, geschieht Magie. Der Quantisierungsprozess wird völlig systematisch und überraschend einfach. Es gibt sogar eine Art umgekehrten Prozess, der als "Klassifikation" bezeichnet werden kann - Sie können eine Quantenbeschreibung wieder in eine klassische Beschreibung umwandeln. Die klassischen und Quantenansätze der Physik werden eng miteinander verbunden. Wir können Ideen aus jedem Ansatz übernehmen und beobachten, was sie uns über andere Dinge sagen können. Beispielsweise beschreibt jeder Punkt in der Mannigfaltigkeit nicht nur den Zustand des klassischen Systems - in unserem Beispiel ist dies die spezifische Richtung des Drehimpulses -, sondern auch den Zustand des entsprechenden Quantensystems, obwohl letzteres durch das Heisenberg- Unsicherheitsprinzip gesteuert wird . Ein Quantenzustand ist die "beste Quantennäherung" an den klassischen Zustand. Darüber hinaus können in dieser Situation viele grundlegende Sätze aus der algebraischen Geometrie als Fakten über die Quantisierung betrachtet werden. Da ich mich schon lange mit Quantisierung beschäftige, freue ich mich sehr darüber.

Richard Feynman hat einmal gesagt, dass er es aus einem besonderen Blickwinkel betrachten muss, um ein komplexes physikalisches Problem zu lösen:

"[...] Ich muss denken, dass ich einen kürzesten Weg habe, um das aktuelle Problem zu lösen. Das heißt, es ist, als hätte ich ein Talent, das andere nicht nutzen, oder einen besonderen Look, den sie dummerweise nicht für eine hervorragende Sicht der Dinge hielten. , - , . , , , . : , , ".

Vielleicht ist es genau das, was mir bis vor kurzem an algebraischer Geometrie gefehlt hat. Natürlich ist algebraische Geometrie nicht nur ein zu lösendes Problem, sondern ein Wissenskomplex - aber es ist eine so große, beängstigende Menge, dass ich es nicht wagte, sie zu berühren, bis ich diesen kürzesten Weg gefunden hatte. Jetzt kann ich Hartshorn lesen, einige der Ergebnisse in Fakten über Physik umsetzen und all dies verstehen. Das ist ein ausgezeichnetes Gefühl.

Über den Autor : John Baez ist Professor für Mathematik an der University of California in Riverside und Gastforscher am Singapore Centre for Quantum Technologies. Er betreibt einen Azimuth- Blog über Mathematik, Naturwissenschaften und Umweltfragen. Folgen Sie ihm auf Twitter: @johncarlosbaez .