Ist Mathematik logisch oder warum sind axiomatische Theorien paradox?

Heute werden wir über die Grundlagen sprechen. Die theoretischen Grundlagen setzen die Grenzen des Möglichen und zeigen Wege auf, um Ziele zu erreichen, und daher wird die Tiefe des Verständnisses in solchen Angelegenheiten niemals überflüssig sein.

Wir werden nicht in der Lage sein, alle Grundlagen abzudecken, daher werden wir unseren Bildungsstrahl vorerst auf unterhaltsame Aufgaben richten, die als Paradoxe bezeichnet werden. Während wir uns mit dem Thema befassen, werden wir uns schrittweise mit einem Ansatz befassen, der als Logik bezeichnet wird, und dann auf den Zusammenhang zwischen Logik und Mathematik achten. Danach können unsere Leser nicht nur die Gründe für die Nützlichkeit der Logik bei der Ableitung axiomatischer Theorien leicht verstehen, sondern auch, warum überhaupt axiomatische Theorien erforderlich sind. und sie werden auch verstehen, wie es nicht notwendig ist, sich der Konstruktion konsistenter Theorien zu nähern.

Beginnen wir mit einer Liste unterhaltsamer Rätsel. Diese Probleme werden als Paradoxe bezeichnet, denn unabhängig davon, wie wir die im Problem gestellte Frage beantworten, wird der Autor des Paradoxons immer leicht beweisen, dass wir falsch liegen. Das heißt, mit anderen Worten, die Probleme implizieren keine Lösung, sondern zeigen auf unterhaltsame Weise die Nicht-Trivialität des logischen Denkens.

Barber Paradox

In einem bestimmten Dorf erklärte ein Friseur, dass er sich in seinem Dorf alle rasierte, die sich nicht rasierten. Die Frage ist, wer den Friseur rasiert?

Wenn Sie geantwortet haben, dass der Rasierer den Rasierer selbst rasiert, werden Ihnen paradoxe Unterstützer schnell erklären, dass der Rasierer gemäß den Bedingungen der Aufgabe diejenigen rasiert, die sich nicht selbst rasieren, was bedeutet, dass er sich nicht rasieren kann, sonst würde sich herausstellen, dass er sich rasiert und sich dadurch rasiert einer, der sich rasiert.

Wenn Sie geantwortet haben, dass sich jemand anderes rasiert, werden sich die Befürworter von Paradoxien erneut an die Bedingungen der Aufgabe erinnern - sie geben an, dass eine Person, die sich nicht rasiert, den Friseur rasieren muss, weil er sagte - er rasiert jeden, der sich nicht rasiert ich selbst. Wenn jemand anderes es rasiert, rasiert er sich nicht selbst und sollte unter bestimmten Bedingungen ein Rasierer sein.

Während Sie nicht tief in die logischen Widersprüche dieser Aufgabe eintauchen sollten, führt sie Sie nur in die Welt der Paradoxien ein, und es werden einige weitere widersprüchliche Aufgaben folgen. Wenn Sie jedoch eine unerwartete Lösung finden - beeilen Sie sich nicht, werden Sie sehen, wie Befürworter des Paradoxons unerwartete Lösungen umgehen.

Paradoxe von Mengen

Ähnlich wie beim Friseurparadoxon wurde vor mehr als hundert Jahren ein Paradoxon entdeckt, das die Grundlagen der Mathematik ernsthaft beeinflusste, und zwar mit so viel Ernsthaftigkeit, dass diese Periode als Krise der Grundlagen der Mathematik bezeichnet wurde. Die Wahrheit ist, dass es sich nicht lohnt, sich zu viele Sorgen um die Mathematik zu machen, da diese Krise nicht die erste war und die inhaltlichen Abschnitte der Mathematik nur schwach beeinflusste. Die Krise hat jedoch deutlich die Schwäche unseres Wissens in diesem Bereich gezeigt, das immer als streng und fast umfassend angesehen wurde.

Zunächst zeigen wir anhand eines vereinfachten Beispiels die Grundlage eines der Paradoxe. Stellen Sie sich die Menge (oder eine Liste, ein Array) aller positiven ganzen Zahlen vor und stellen Sie sich dann die Zahl vor, die der Anzahl der Zahlen in unserer Menge entspricht. Präsentiert? Wenn ja, was passiert mit dem Satz, nachdem ihm eine Zahl hinzugefügt wurde, die der Anzahl seiner Elemente mit der hinzugefügten Einheit entspricht? Wenn bereits alle Elemente vorhanden sind, denken Sie daran, dass sie in aufsteigender Reihenfolge sortiert werden können. Dann wird deutlich, dass das größte Element der Anzahl der Elemente in unserer Menge entspricht. Wenn wir jedoch der Menge eine hinzufügen, erhalten wir ein Element, das nicht in der Menge enthalten ist. Sie können sich eine solche Liste anscheinend nicht vorstellen, da jedes Mal eine Frage zu einem neuen Element auftaucht. Andererseits können wir den Ausdruck „die Menge aller positiven ganzen Zahlen“ formulieren. Was können wir also wirklich und was nicht?

Während Sie über die Antwort auf die vorherige Frage nachdenken, werden wir Sie Folgendes fragen. Und wenn Sie sich die Menge aller Mengen vorstellen, aber so, dass sich keine Menge als Element einschließen würde? Ist das möglich Beispielsweise enthält sich die Menge der Zahlen {1, 2, 3} nicht als Element. Vielleicht können sich auch alle anderen Sets vorstellen?

Wenn Sie sagen, dass dies möglich ist, werden Anhänger von Paradoxien die Frage stellen: Umfasst sich das präsentierte Set selbst?

Wenn Sie "Ja" sagen, werden Befürworter von Paradoxien antworten, dass die Menge je nach Problembedingung keine solchen Mengen enthalten sollte, die sich selbst einschließen. Da Sie jedoch "Ja" gesagt haben, haben Sie die präsentierte Menge in sich selbst aufgenommen und damit ihre Aufnahme verboten, weil es ist zu einer Menge geworden, die sich selbst einschließt, was dem Zustand des Problems widerspricht.

Wenn Sie "Nein" sagen, werden Unterstützer von Paradoxien antworten, dass gemäß den Bedingungen des Problems die präsentierte Menge alle Mengen enthalten sollte, die sich selbst nicht einschließen, und daher sollte die präsentierte Menge selbst (die nicht an sich ist) auch in unserer Menge sein.

Genau wie Sie es jetzt vielleicht sind, waren Mathematiker auf der ganzen Welt leicht von dem offensichtlichen Mangel an gesundem Menschenverstand im vorgeschlagenen Paradoxon betroffen. In der Tat ist nicht nur der gesunde Menschenverstand irgendwo weggelaufen, sondern kurz zuvor gelang es den Mathematikern, die Verwendung der Mengenlehre (und wir sprechen nur über ihren Vertreter - die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst einschließen) vorzuschlagen, um die gesamte Mathematik auf ihrer Grundlage aufzubauen. Infolgedessen kam es zu einer Krise - wie sich herausstellte, gab es im Kern der Mathematik keinen gesunden Menschenverstand. Wie gefällt dir diese Mathematik? Winnie the Pooh hat es gut zu diesem Thema gemacht - es ist gut, aber aus irgendeinem Grund ist es lahm.

Das ist aber noch nicht alles. Der Vollständigkeit halber stellen wir einige Paradoxe eines etwas anderen Plans vor.

Das Paradox der Selbstanwendbarkeit

Es gibt Wörter, deren Bedeutung auf diese Wörter angewendet werden kann. Zum Beispiel besteht das Wort "drei Silben" aus drei Silben und seine Bedeutung sagt auch über drei Silben aus, daher kann ein solches Wort als selbst anwendbar bezeichnet werden. In ähnlicher Weise ist das Wort "Russisch" auf Russisch geschrieben und drückt die Bedeutung der Zugehörigkeit zum Russischen aus, das heißt, es ist wieder selbst anwendbar. Aber das Wort "Flieder" wird normalerweise überhaupt nicht in Fliederfarbe geschrieben und wächst nicht auf Flieder, was bedeutet, dass es nicht anwendbar ist. Aber es gibt immer noch ein Wort (und wir haben es gerade gesehen) "nicht zutreffend". Gilt ein solches Wort für sich selbst?

Wenn der Kampf mit dem gesunden Menschenverstand in Ihnen erfolgreich beendet wurde und Sie sagten, dass das Wort selbst anwendbar ist, werden die Befürworter von Paradoxien sagen - wie kann es selbst anwendbar sein, wenn es darin geschrieben ist - nicht selbst anwendbar?

Wenn Sie sagen, dass das Wort nicht anwendbar ist, werden Befürworter von Paradoxien antworten, dass die Bedeutung des Wortes mit der Definition übereinstimmt, die Sie ihm gegeben haben (nicht zutreffend), was bedeutet, dass Sie selbst die Methode der Selbstanwendbarkeit gezeigt haben, was bedeutet, dass Sie wieder falsch liegen!

Aber die Freude der Anhänger von Paradoxien wird unvollständig sein, wenn wir kein weiteres Problem zeigen.

Das Paradox der falschen Äußerung

Die Aufgabe ist sehr einfach - Sie müssen die Frage mit „Ja“ oder „Nein“ beantworten - ist die nächste Aussage falsch - „diese Aussage ist falsch“.

Wenn Sie mit „Nein“ antworten, werden Anhänger von Paradoxien sagen, dass die Aussage sagt - es ist falsch, also sagen Sie, dass etwas nicht stimmt.

Wenn Sie ja sagen, werden die Befürworter von Paradoxien sagen, dass, da Sie sagen, dass die Aussage falsch ist (mit „Ja“ antworten) und die Aussage selbst sagt, dass sie falsch ist, wo ist dann die Lüge? Also hast du wieder falsch geantwortet! Weitere Befürworter von Paradoxien freuen sich erneut.

Eine kleine Entmystifizierung

Wir werden uns nicht entmutigen lassen, wenn wir den Spaß der Anhänger von Paradoxien im Lager beobachten, aber wir werden versuchen, das Böse zu enthüllen, das sozusagen unser Gehirn in allen genannten Paradoxien intensiv gepudert hat. Was für uns - eine Reihe von Mathematikern sind sich immer noch nicht sicher, ob die Grundlagen ihrer Wissenschaft konsistent sind!

Zuerst über den Friseur. Schauen wir uns die Zusammensetzung der Teilnehmer des Paradoxons genauer an. Wir werden ein paar Entitäten bemerken, dies sind der Friseur und einige „alles“, die der Friseur rasiert. Wir werden auch eine bestimmte Beziehung sehen, in der der Friseur mit denen kommt, die er rasiert. Nennen wir diese Beziehung einfach - "Rasur". In der Sprache der Mathematik könnten wir schreiben - x rasiert sich y, dh ein bestimmtes X steht in einer Beziehung zu einem bestimmten Spieler, und die Beziehung heißt - rasieren. Weiter im Paradoxon sehen wir den Auswahlalgorithmus als Teil der "alle" Entität. Die Essenz des Algorithmus besteht darin, nach der Bedingung zu suchen, dass sie sich nicht selbst rasiert. Wir sehen auch die Verpflichtung eines Rasierers, alle diejenigen zu rasieren, die Teil des erwähnten „Alles“ sind.

Nachdem wir nun den „gegebenen“ Teil für unser Problem geschrieben haben, fahren wir mit dem „Lösungsteil“ fort.

Angenommen, eine bestimmte Kommission wählt Leute aus dem Dorf aus, und alle, die antworten: „Ich rasiere mich nicht“, sind in den Bedingungen des Problems enthalten (die Menge ist „alle“). Nach Abschluss der Arbeit der Kommission haben wir eine Gruppe von Personen, die unser Friseur entsprechend verarbeiten muss. Außerdem kann man sich leicht vorstellen, dass der Friseur zum Zeitpunkt der Umfrage sagte, er rasiere sich selbst und sei daher nicht in die Gruppe der zu verarbeitenden Personen aufgenommen worden. Als Ergebnis erhalten wir ein völlig glückseliges Bild - jeder, der sich nicht rasiert, wird von unserem Friseur ruhig rasiert. Aber werden sie nicht? Zumindest sehen wir keine Hindernisse für den gesunden Menschenverstand und können uns daher leicht alle rasierten Gesichter vorstellen, die für die Erkrankung geeignet sind, und einen sehr zufriedenen Friseur. Aber Anhänger von Paradoxien in dieser Situation werden arbeitslos sein, weil sich herausstellt, dass es überhaupt kein Paradoxon gibt!

Aber eigentlich gibt es ein Paradoxon. In der Tat ist es nicht umsonst, dass Mathematiker der ganzen Welt über die Krise besorgt sind!

Um die Ursache des Paradoxons zu identifizieren, müssen seine Unterstützer in die Gleichung einbezogen werden. Sie werden sagen, dass der Friseur behauptet hat, er rasiere diejenigen, die sich nicht selbst rasieren, und deshalb habe er nicht das Recht, sich selbst zu rasieren, weil er dann denjenigen rasieren werde, der sich rasiert und dadurch den Zustand der Aufgabe verletzt. In Bezug auf die Logik können wir dann sagen, dass die Aussage „Friseur rasiert Friseur“ gemäß den Bedingungen des Problems falsch ist. Infolgedessen sollte der Friseur jedoch in die Gruppe der Personen aufgenommen werden, die sich mit einem Friseur rasieren müssen. Und es ist der Friseur, der sie alle rasieren sollte, denn sonst werden die Anhänger von Paradoxien sofort auftauchen und uns an die Bedingungen des Problems erinnern.

Zur besseren Übersichtlichkeit verkürzen wir die Beschreibung der Situation. Bezeichnen wir den Rasierer mit dem Buchstaben B, die Einstellung „Rasieren“ lässt ihn unverändert, er ist bereits kurz. Viele "alles" können auch nicht reduziert werden. Dann bekommen wir in einer kurzen Aufzeichnung:

1) falsch (B rasiert B) bedeutet, dass B zu "allen" gehört
2) X rasiert B und X = B.

Eine solche Aufzeichnung bedeutet, dass (die erste Zeile) aus der Tatsache, dass der Rasierer den Rasierer nicht rasiert, folgt, dass der Rasierer zu der Menge von „allem“ gehört. Die zweite Zeile sagt uns, dass ein bestimmtes X den Friseur rasieren sollte und dieses X der Friseur selbst sein sollte.

Jetzt führen wir die minimalen Transformationen mit der zweiten Zeile durch - wir ersetzen das X darin durch B, weil sie durch die Bedingung gleich sind, und wir bezeichnen auch die Wahrheit der resultierenden Aussage. Wir bekommen:

wahr (B rasiert B)

Aber aus Zeile (1) haben wir:

falsch (B rasiert B)

Und diese beiden Bedingungen (auf Wunsch von Befürwortern von Paradoxien) müssen gleichzeitig erfüllt sein.

Was ist hier böse? Wie wir sahen, regierten vor der Intervention von Anhängern von Paradoxien Frieden und Ordnung im Dorf, alle richtigen Personen wurden rasiert und der Friseur war erfreut. Aber nach dem Eingreifen von Anhängern von Paradoxien erhielten wir gleichzeitig eine Forderung nach der Wahrheit und Falschheit der Aussage, dass der Friseur den Friseur rasiert. Anders gesprochen erhielten wir widersprüchliche Forderungen. Und wenn die Anforderungen widersprüchlich sind, ist es natürlich unmöglich, das Problem mit solchen Anforderungen zu lösen. Egal wie wir uns drehen, egal wie wir neue und neue Wege erfinden, um das Paradoxon zu vermeiden, zum Beispiel, dass der Friseur sich nicht rasiert und einen Bart trägt oder dass sich die Frau nicht rasieren muss, die Befürworter von Paradoxien werden objektiv argumentieren - dies ist unter den Bedingungen des Problems nein, dann sollte alles genau so sein wie wir gesagt haben. Aber wenn wir den strengen Aussagen von Befürwortern von Paradoxien folgen, erhalten wir eine unlösbare Aufgabe.

Nachdem wir auf die Inkonsistenz der Bedingungen hingewiesen haben, können wir versuchen, eine Reihe von Faktoren hervorzuheben, die zu einer Situation geführt haben, in der im Wesentlichen dumme Anforderungen (und wie sollte man die Anforderung nennen, sich gleichzeitig zu rasieren und nicht gleichzeitig zu rasieren?) Von sehr, sehr vielen Menschen ernst genommen wurden.

Zunächst ist auf die implizite Natur widersprüchlicher Ansprüche hinzuweisen. Eine ähnliche Aufgabe, jedoch mit einem offensichtlichen Widerspruch in den Bedingungen, wäre sofort abgelehnt worden, und niemand hätte irgendwelche Paradoxien gekannt, aber es war die verborgene Natur der Inkonsistenz der Beschränkungen, die zu zahlreichen Versuchen führte, die hoffnungslose Aufgabe zu lösen. Zum Beispiel würde die Aufgabe, eine Zahl zu finden, die gleichzeitig größer als Null und kleiner als Null ist, kaum zur Entstehung des Paradoxon-Konzepts führen, da bei einem solchen Problem die widersprüchliche Bedeutung der Anforderungen für alle offensichtlich ist. Beim Problem der Friseurrasur führte die Nicht-Offensichtlichkeit der Inkonsistenz der Beschränkungen jedoch zu erheblichen Konsequenzen. Daher sollte man in jedem Paradoxon zunächst nach impliziten Widersprüchen in den Beschränkungen suchen, die der Lösung des Problems auferlegt werden.

Zweitens gibt es bei solchen Problemen neben der Nicht-Offensichtlichkeit tatsächlich widersprüchliche Einschränkungen (die auf den ersten Blick nicht sichtbar sind). Hervorzuheben ist hier - es sind die Einschränkungen der Lösung und nicht etwas anderes. Das heißt, nicht der Themenbereich, zu dem das Problem gehört, ist irgendwie widersprüchlich und nicht die Sprache, in der die Aufgabe angegeben ist, sondern die Widersprüche werden außerhalb dieser Konzepte und genau in Form von Einschränkungen einer möglichen Lösung gelegt. Daher sollten Sie die Einschränkungen der Lösung immer sorgfältig untersuchen und versuchen, mögliche Widersprüche darin zu identifizieren.

Drittens umfassen widersprüchliche Aufgaben notwendigerweise einen realitätsverzerrenden Formalismus. Die strikte Einhaltung nur geäußerter Bedingungen, ausgenommen das Finden von Lösungen außerhalb des widersprüchlichen Bereichs, ist ein offensichtliches Zeichen, das bei anderen Aufgaben, die auf den ersten Blick nicht paradox aussehen, sorgfältig gesucht werden sollte.

Im übrigen sehen wir im Problem des Friseurs Besonderheiten, die ihm eigen sind und die in anderen Paradoxien möglicherweise nicht wiederholt werden. Trotzdem wird es nützlich sein, auf sie hinzuweisen.

Erstens ist die Aufgabe des Friseurs durch die zwingende Forderung gekennzeichnet, „alle zu rasieren“, ohne Ausnahmen von der Regel „wer sich nicht rasiert“ zuzulassen. Wenn die Aufgabe dem „Rasieren aller“ keine so strenge Beschränkung auferlegte, könnte der Friseur leicht von der für die Aufgabe gefährlichen Liste ausgeschlossen werden. Wenn die Aufgabe nicht nur auf diejenigen beschränkt wäre, die sich nicht rasieren, würde uns der Friseur wieder nur einen kleinen Schreck kosten, anstatt eine Krise der Grundlagen der Mathematik zu verursachen. Daher lohnt es sich bei anderen Aufgaben, bei denen eine strikte Forderung aus der Kategorie „all diese und nur solche Elemente“ gestellt wird, auf die Suche nach internen Widersprüchen in einer solchen Formulierung zu achten.

Zweitens ist der Friseur in der Aufgabe eine besondere Einheit, die sich von allen anderen in ihrer Teilnahme an der Rasur aller unterscheidet, die aufgrund ihrer Kondition rasiert werden sollen. Ohne einen Friseur würde ein System von Einheiten auseinanderfallen und keine einzige und bedeutungsvolle Aufgabe darstellen. Trotz eines solchen Sonderstatus im System der Entitäten und Beschränkungen bestehen Befürworter von Paradoxien trotz der zusätzlichen Beschränkungen, die dem Friseur auferlegt werden, auf einer einzigen Haltung gegenüber allen Teilnehmern des Prozesses. Es war jedoch genau der besondere Status des Rasierers, der zu einem Widerspruch in den Anforderungen führte, denn zusätzlich zu der Einstellung „wie jeder“, bei der der Rasierer rasiert werden muss, muss sich der Rasierer auch nicht rasieren, und andere Rasierer sind im Zustand der Aufgabe ausgeschlossen. Daher sollte bei anderen Aufgaben die systembildende Funktion der Elemente identifiziert werden, und falls vorhanden, die Korrelation der Anforderungen „an alle“ und der Anforderungen für dieses Element sorgfältig prüfen. Ansonsten ist es leicht, einen weiteren Widerspruch in den Anforderungen zu bekommen.

Probleme in anderen Paradoxien

Im Moment werden wir das Paradoxon von Mengen überspringen, da wir es später im Zusammenhang mit den Problemen der Mengenlehre brauchen werden.

Und jetzt wollen wir sehen, wo das Böse im Paradox der Selbstanwendbarkeit liegt. Neben dem zuvor erwähnten Merkmal in Form eines impliziten Widerspruchs in den Bedingungen hier können wir auch die Interpretationsfreiheit der Bedeutung der Selbstanwendbarkeit hinzufügen. Das heißt, die Bedeutung der Selbstanwendbarkeitsbeziehung kann ziemlich weit interpretiert werden, und daher kann ein Widerspruch leicht in diese großen Lücken schlüpfen. Daher wäre in diesem Fall der Schweregrad der Definitionen nicht überflüssig. Es ist aber auch unmöglich, die Schwere auf das Absolute zu erhöhen, da sonst, wie wir am Beispiel des Friseurs gesehen haben, die Widersprüche das Ergebnis der Schwere selbst sind.

Genau wie im Paradox der Rasur, im Paradox der Selbstanwendbarkeit, haben wir ein spezielles Element des Systems, das sich von den anderen dadurch abhebt, dass sich der Algorithmus des Systems ändert, wenn es betrachtet wird. Für alle anderen Wörter reicht es aus, zu verstehen, wie der Definitionsbereich der Bedeutung des Wortes mit dem Wort selbst korreliert (dh die Anzahl der Silben berechnen oder auf die Sprache achten, in der das Wort geschrieben ist), aber für das Wort "nicht zutreffend" haben wir einen nicht ganz offensichtlichen Definitionsbereich. möglicherweise zusammenfallend mit dem System selbst, in dem die Selbstanwendbarkeit bewertet wird. Das heißt, für das Wort „nicht zutreffend“ erklärt uns die Aufgabe selbst ein mögliches Gefühl der Anwendbarkeit, aber diese Erklärung ist implizit und nicht streng.

Außerdem können Sie spezifische Einschränkungen herausfinden, die sich genau für das Wort "nicht zutreffend" widersprechen. , , , «» , . , . , , , «» . , , . «»?

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Wie wir sehen, gibt es, wenn a Elemente enthält, keine einzige Variante der Substitution von y, für die es unmöglich ist, ein solches x und / oder P (x) anzugeben, so dass das Axiom immer wahr ist.

Welche Schlussfolgerung kann aus einem solchen Ergebnis gezogen werden? Nach persönlicher Meinung des Autors dieses Textes könnte die Schlussfolgerung wie folgt lauten: Bei der Übersetzung einer fundierten Idee über die Anwendung eines Filters auf die trockene Sprache von Formeln wurde ein Fehler in Form eines Verlusts der Verbindung mit der Realität gemacht, oder anders ausgedrückt, nicht alle Eigenschaften des ursprünglichen Systems wurden identifiziert und in geeigneter Weise formalisiert . Um die Ergebnisse zu akzeptieren oder abzulehnen, wählen Sie natürlich den Leser, der jetzt genau weiß, wie man solche Probleme unabhängig versteht.