Einführung

Dieser Artikel betrachtet die Möglichkeit, ein beliebiges Polynom eines beliebigen ganzzahligen Grades n in Form endlicher Differenzen darzustellen. Der Ansatz in diesem Artikel unterscheidet sich von den bestehenden darin, dass alle Formeln für ein beliebiges Polynom mit beliebigen Koeffizienten abgeleitet werden und dass ein beliebiges Intervall anstelle eines Einheitsintervalls als Intervall zwischen Punkten verwendet wird. Die erhaltenen Formeln sind universell und können ohne Modifikation sowohl zur Berechnung der "zukünftigen" als auch der "vergangenen" Werte des Polynoms verwendet werden. Das heißt, zum Beispiel ist es für jede Kurve, die durch eine quadratische Gleichung mit beliebigen Koeffizienten ausgedrückt wird, möglich, alle Werte mit nur 3 zuvor bekannten y-Werten zu berechnen, die über ein beliebiges gleiches Intervall φ genommen werden. Infolgedessen wird die Aussage eingeführt, dass durch (n + 1) gleich beabstandete Punkte eine und nur eine Kurve gezeichnet werden kann, ausgedrückt durch ein Polynom vom Grad n.

Haftungsausschluss

Ich bin kein Mathematiker, ich bin nur ein Programmierer mit 20 Jahren Erfahrung. Ich habe unabhängige Untersuchungen durchgeführt, aber nicht die gleichen Schlussfolgerungen gefunden, die ich in diesem Artikel gezogen habe. Ich wäre dankbar für Kommentare und „Tipps“ zu bestehenden Entwicklungen, deren Schlussfolgerungen meinen ähnlich (oder nahe) sind.

allgemeine Informationen

Zunächst gebe ich eine allgemeine Formel zur Berechnung der Funktion S (t) an, die durch ein Polynom vom Grad n gegeben und ausgedrückt als (n + 1) vorherige Werte ist, die über ein gleiches Intervall φ genommen wurden:

$$

$$S (t) = \ sum_ {k = 1} ^ {n + 1} (- 1) ^ {k-1} C_ {n + 1} ^ kS (t-k \ varphi)$$

Das heißt, für ein Polynom vom Grad n = 1 (normale Linie) sieht diese Formel folgendermaßen aus:

$$

$$S (t) = 2S (t- \ varphi) -S (t-2 \ varphi)$$

Für ein Polynom vom Grad n = 2 hat diese Formel die Form:

$$

$$S (t) = 3S (t- \ varphi) -3S (t-2 \ varphi) + S (t-3 \ varphi)$$

Usw. Ein detaillierter mathematischer Beweis wird in diesem Dokument gegeben . Ich habe auch einen Bestätigungscode vorbereitet, der in Form von JavaScript-Code ausgeführt wird. Sie können es unter diesem Link erhalten . Im selben Artikel werde ich einige praktische Schlussfolgerungen und Optionen für die Verwendung der erhaltenen Gleichungen zeigen.

Konstruktion von Polynomen 2. Grades

Für ein allgemeines Verständnis wird ein "Polynom vom Grad 2" unter Verwendung der folgenden Formel ausgedrückt:

$$

$$S (t) = Q_2 t ^ 2 + Q_1 t + Q_0$$

Wie sich herausstellte, können Sie jedoch alle Werte dieses Polynoms berechnen (tatsächlich können Sie die Werte des Polynoms nur an Knoten mit einem beliebigen Schritt φ berechnen), indem Sie die Gleichung "in endlichen Differenzen" verwenden:

$$

$$S (t) = 3S (t- \ varphi) -3S (t-2 \ varphi) + S (t-3 \ varphi)$$

Das heißt, basierend auf drei beliebigen Werten der Funktion S (t), die über ein gleiches beliebiges Intervall φ genommen wurden, können alle Polynomwerte erhalten werden. Wir zeigen dies an realen Daten. Das reelle Polynom sei durch folgende Funktion ausgedrückt:

$$

$$R (t) = 1t ^ 2 + 2t + 3$$

Nun berechnen wir die Werte der Funktion R (t) an den Punkten t = 111, t = 115 und t = 119. Das heißt, der Schritt φ ist in diesem Fall 4. Die erhaltenen Werte sind R (111) = 12546, R (115) = 13458 und R (119) = 14402. Nun berechnen wir die folgenden zwei Werte des Polynoms unter Verwendung der Gleichung mit endlichen Differenzen:

$$

$$R (123) = 3R (119) -3R (115) + R (111) = 15378$$

$$

$$R (127) = 3R (123) -3R (119) + R (115) = 16386$$

Es ist leicht zu berechnen, dass die mit der Formel berechneten Werte in endlichen Differenzen vollständig mit den Werten übereinstimmen, die mit der „Standard“ -Formel für ein Polynom zweiten Grades berechnet wurden.

Außerdem können Sie mit der Formel in endlichen Differenzen die Werte "zurück" berechnen, ohne die Formel selbst zu ändern. Um beispielsweise R (107) und R (103) zu berechnen, erhalten wir Folgendes:

$$

$$R (107) = 3R (111) -3R (115) + R (119) = 11666$$

$$

$$R (103) = 3R (107) -3R (111) + R (115) = 10818$$

Wiederum ist es leicht zu berechnen, dass die Werte, die unter Verwendung der Formeln endlicher Differenzen erhalten werden, vollständig mit den Werten übereinstimmen, die unter Verwendung der "Standard" -Formel für ein Polynom zweiten Grades berechnet wurden.

Für alle nachfolgenden Grade sind die Ergebnisse ähnlich. Ich habe Polynome bis zum 99. Grad getestet: Die Ergebnisse, die mit den „Standard“ -Formeln erhalten wurden, stimmen vollständig mit den Ergebnissen überein, die mit endlichen Differenzen erhalten wurden.

Ergänzung

Ich möchte auch darauf hinweisen, dass es zum Konstruieren eines Polynoms vom Grad n nicht erforderlich ist, genau (n + 1) Punkte mit gleichem Abstand zu haben - Sie können beliebig mehr (bezeichnen Sie es als (m + 1)). In diesem Fall müssen Sie jedoch die Formel für ein Polynom vom Grad m verwenden. Dies kann anhand des folgenden Beispiels veranschaulicht werden:

$$

$$Q_2x ^ 2 + Q_1x + Q_0 = 0x ^ 4 + 0x ^ 3 + Q_2x ^ 2 + Q_1x + Q_0$$

Das heißt, für ein Polynom zweiten Grades können Sie Formeln aus einem Polynom vierten und dritten Grades verwenden - das Ergebnis ist weiterhin korrekt.

Schlussfolgerungen

Formeln in endlichen Differenzen ermöglichen es, jedes Polynom einer Funktion eines beliebigen ganzzahligen Grades zu berechnen (und als Formel auszudrücken). Für die Gleichung in endlichen Differenzen spielt es keine Rolle, welche Koeffizienten für welche Grade des Polynoms verwendet wurden. Für die Gleichung in endlichen Differenzen spielt es keine Rolle, in welchem ​​Intervall die Anfangspunkte genommen wurden - das Intervall kann beliebig klein oder beliebig groß sein. Berechnungen mit endlichen Differenzen weisen möglicherweise eine höhere Genauigkeit auf als Berechnungen mit „Standardformeln“ (aufgrund des Fehlens von Potenzfunktionen). Die Funktion für das Polynom in endlichen Differenzen wird ohne Potenzfunktionen ausgedrückt und kann folglich für gegebene Variablen nur einen Wert haben. Und deshalb kann durch (n + 1) gleich beabstandete Punkte eine und nur eine Kurve gezeichnet werden, die durch ein Polynom vom Grad n ausgedrückt wird.