Mein Ingenieur Freund hat mich kürzlich überrascht. Er sagte, er sei sich nicht sicher, ob die Nummer 1 eine Primzahl ist oder nicht. Ich war überrascht, weil keiner der Mathematiker die Einheit für einfach hält.
Die Verwirrung beginnt mit der Definition einer Primzahl:
Es ist eine positive ganze Zahl, die nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist . Die Zahl 1 wird durch 1 geteilt und sie wird durch sich selbst geteilt. Aber
sich und
1 zu teilen, ist hier nicht zwei verschiedene Faktoren. Also ist es eine Primzahl oder nicht? Wenn ich die Definition einer Primzahl schreibe, versuche ich, diese Mehrdeutigkeit zu beseitigen: Ich spreche direkt von der Notwendigkeit genau zweier verschiedener Bedingungen, die durch 1 und für sich dividiert werden, oder dass eine Primzahl eine ganze Zahl größer als 1 sein muss. Aber warum sollten solche Maßnahmen ergriffen werden? 1 ausschließen?
Meine mathematische Ausbildung hat mich gelehrt, dass ein guter Grund, warum 1 nicht als einfach angesehen wird, der Grundsatz der Arithmetik ist. Sie behauptet, dass jede Zahl auf genau eine Weise als Produkt von Primzahlen geschrieben werden kann. Wenn ich einfach wäre, würden wir diese Einzigartigkeit verlieren. Wir könnten 2 als 1 × 2 oder 1 × 1 × 2 oder 1
594827 × 2
schreiben . Ausnahme 1 von Primzahlen beseitigt dies.
Zunächst wollte ich den Grundsatz der Arithmetik in einem Artikel erläutern und beenden. Tatsächlich ist es jedoch nicht so schwierig, die Aussage des Satzes zu ändern, um das Problem mit der Einheit zu lösen. Am Ende weckte die Frage meines Freundes meine Neugier: Wie haben sich Mathematiker auf diese Definition einer Primzahl festgelegt? Eine schnelle Suche auf Wikipedia ergab, dass das Gerät früher als Primzahl galt, jetzt aber nicht mehr.
Ein Artikel von Chris Caldwell und Yong Sung enthüllt jedoch eine etwas komplexere Geschichte. Dies kann von Anfang an in ihrem Artikel verstanden werden: „Erstens ist es eine Frage der Bestimmung, ob eine Zahl (insbesondere eine Einheit) einfach ist, dh eine Frage der Wahl, des Kontexts und der Tradition, und keine Frage des Beweises. Definitionen treten jedoch nicht zufällig auf. Die Wahl hängt mit unserer Verwendung der Mathematik und insbesondere in diesem Fall mit unserer Notation zusammen. “
Caldwell und Xiong beginnen mit klassischen griechischen Mathematikern. Sie zählten 1 nicht als Zahl, wie 2, 3, 4 und so weiter. 1 wurde als Zahl angesehen, und die Zahl bestand aus mehreren Ziffern. Aus diesem Grund könnte 1 nicht einfach sein - es ist nicht einmal eine Zahl.
Al-Kindi , ein arabischer Mathematiker des 9. Jahrhunderts, schrieb, dass dies keine Zahl ist und daher nicht gerade oder ungerade. Seit vielen Jahrhunderten hat sich die Vorstellung durchgesetzt, dass eine Einheit der Baustein für die Zusammenstellung aller Zahlen ist, nicht jedoch der Zahl selbst.
1585 wies der flämische Mathematiker Simon Stevin darauf hin, dass es im Dezimalsystem keinen Unterschied zwischen 1 und anderen Zahlen gibt. In jeder Hinsicht verhält sich 1 wie jede andere Größe. Obwohl nicht sofort, aber diese Beobachtung führte letztendlich dazu, dass Mathematiker 1 als jede andere Zahl akzeptierten.
Bis zum Ende des 19. Jahrhunderts betrachteten einige prominente Mathematiker einen als einfach und andere nicht. Soweit ich das beurteilen kann, war dies kein Grund für Meinungsverschiedenheiten. Bei den beliebtesten mathematischen Fragen war der Unterschied nicht kritisch. Caldwell und Xiong zitieren G. H. Hardy als den letzten großen Mathematiker, der 1 für einfach hält (er gab es ausdrücklich als Primzahl in den ersten sechs Ausgaben des Kurses für reine Mathematik an, der zwischen 1908 und 1933 veröffentlicht wurde, und änderte 1938 die Definition und 2 am wenigsten einfach genannt).
Der Artikel erwähnt die Änderungen in der Mathematik, versteht sie jedoch nicht im Detail, weshalb 1 von der Liste der Primzahlen ausgeschlossen wurde. Eine der wichtigsten Änderungen war insbesondere die Entwicklung von Mengen außerhalb der Menge von Ganzzahlen, die sich als Ganzzahlen verhalten.
Im einfachsten Beispiel können wir fragen, ob die Zahl -2 eine Primzahl ist. Die Frage mag sinnlos erscheinen, aber sie veranlasst uns, die einzigartige Rolle der Einheit unter ganzen Zahlen in Worten auszudrücken. Der ungewöhnlichste Aspekt von 1 ist, dass seine Umkehrung auch eine ganze Zahl ist (die Umkehrung von
x ist die Zahl, die, wenn sie mit
x multipliziert wird
, 1 ergibt. Für 2 ist die Umkehrung von 1/2 in der Menge der rationalen oder reellen Zahlen enthalten, ist es aber nicht ganze Zahl: 1/2 × 2 = 1). Die Zahl 1 stellte sich als eigene inverse Zahl heraus. Keine andere positive Ganzzahl hat einen inversen Wert in der Menge der Ganzzahlen. Eine Zahl mit einem inversen Wert wird als
invertierbares Element bezeichnet . Die Zahl −1 ist auch ein reversibles Element in der Menge der ganzen Zahlen: Auch hier ist es ein invertierbares Element für sich. Wir betrachten reversible Elemente nicht als einfach oder zusammengesetzt, da Sie sie ohne große Änderungen mit einigen anderen reversiblen Elementen multiplizieren können. Dann können wir annehmen, dass sich die Zahl -2 nicht so stark von 2 unterscheidet; in Bezug auf die Multiplikation. Wenn 2 Primzahl ist, muss −2 gleich sein.
Ich habe im vorherigen Absatz die Definition einer
einfachen sorgfältig vermieden, da diese Definition leider nicht für diese großen Mengen geeignet ist! Das heißt, es ist ein wenig unlogisch, und ich würde einen anderen wählen. Für positive ganze Zahlen hat jede Primzahl
p zwei Eigenschaften:
Es kann nicht als Produkt zweier Ganzzahlen geschrieben werden, von denen keine ein reversibles Element ist.
Wenn das Produkt
m × n durch
p teilbar ist, muss
m oder
n durch
p teilbar sein (zum Beispiel
m = 10,
n = 6 und
p = 3.)
Die erste dieser Eigenschaften ist, wie wir Primzahlen charakterisieren könnten, aber leider wird hier ein
irreduzibles Element erhalten. Die zweite Eigenschaft ist ein
einfaches Element . Bei natürlichen Zahlen erfüllen natürlich dieselben Zahlen beide Eigenschaften. Dies gilt jedoch nicht für alle interessanten Zahlen.
Betrachten Sie als Beispiel eine Menge von Zahlen der Form
a + b√ - 5 oder
a + ib√5 , wobei
a und
b ganze Zahlen sind und
i die Quadratwurzel von −1 ist. Wenn Sie die Zahlen 1 + √ - 5 und 1 - √ - 5 multiplizieren, erhalten Sie 6. Natürlich erhalten Sie auch 6, wenn Sie 2 und 3 multiplizieren, die sich ebenfalls in diesem Satz von Zahlen mit
b = 0 befinden . Jede der Zahlen 2, 3, 1 + √ - 5 und 1 - √ - 5 kann nicht als Produkt von Zahlen dargestellt werden, die keine umkehrbaren Elemente sind (wenn Sie mein Wort nicht dafür nehmen, ist es nicht allzu schwer zu überprüfen). Aber das Produkt (1 + √ - 5) (1 - √ - 5) ist durch 2 teilbar, und 2 ist weder durch 1 + √ - 5 noch durch 1 - √ - 5 teilbar (Sie können erneut überprüfen, ob Sie mir nicht glauben ) Somit ist 2 ein irreduzibles Element, aber nicht einfach. In diesem Satz von Zahlen kann 6 auf zwei verschiedene Arten in irreduzible Elemente zerlegt werden.
Die obige Zahl, die Mathematiker Z [√-5] nennen können, enthält zwei reversible Elemente: 1 und −1. Es gibt jedoch ähnliche Zahlenmengen mit einer unendlichen Anzahl reversibler Elemente. Da solche Mengen zu Untersuchungsobjekten wurden, ist es sinnvoll, klar zwischen den Definitionen reversibler, irreduzibler und einfacher Elemente zu unterscheiden. Insbesondere wenn es Mengen von Zahlen mit einer unendlichen Anzahl reversibler Elemente gibt, wird es zunehmend schwieriger zu verstehen, was wir unter der eindeutigen Faktorisierung von Zahlen verstehen, es sei denn, es wird klargestellt, dass invertierbare Elemente nicht einfach sein können. Obwohl ich kein Historiker der Mathematik bin und mich nicht mit der Zahlentheorie befasse und mehr darüber lesen möchte, wie dieser Prozess ablief, denke ich, dass dies einer der Gründe ist, warum Caldwell und Xiong den Grund für den Ausschluss von 1 von Primzahlen betrachten.
Wie so oft wurde meine anfängliche saubere und prägnante Antwort auf die Frage, warum alles so angeordnet ist, wie es ist, letztendlich nur ein Teil des Problems. Vielen Dank an meinen Freund, der mir eine Frage gestellt und mir geholfen hat, mehr über die komplexe Geschichte der Einfachheit zu erfahren.