Eine erschwingliche Erklärung der Riemannschen Hypothese

Der Erinnerung an John Forbes Nash Jr. gewidmet.

Erinnerst du dich, was "Primzahlen" sind? Diese Zahlen sind nur durch sich selbst und 1 teilbar. Und jetzt werde ich eine Frage stellen, die bereits 3000 Jahre alt ist:

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, p . Was ist p gleich? 31. Was wird das nächste p sein ? 37. Und das nächste p ? 41. Und der nächste? 43. Ja, aber ... woher wissen wir, was die nächste Bedeutung sein wird?

Überlegen Sie sich ein Urteil oder eine Formel, die (zumindest in Sünde) vorhersagt, wie die nächste Primzahl (in einer bestimmten Reihe von Zahlen) aussehen wird, und Ihr Name wird für immer mit einer der größten Errungenschaften des menschlichen Gehirns in Verbindung gebracht. Sie werden Newton, Einstein und Gödel ebenbürtig sein. Verstehe das Verhalten von Primzahlen und dann kannst du dich dein ganzes Leben lang auf deinen Lorbeeren ausruhen.

Einführung

Die Eigenschaften von Primzahlen wurden von vielen großen Menschen in der Geschichte der Mathematik untersucht. Vom ersten Beweis der Unendlichkeit euklidischer Primzahlen bis zur Euler-Produktformel, die Primzahlen mit der Zeta-Funktion in Beziehung setzt. Von der Formulierung des Hauptsatzes von Gauß und Legendre bis zu seinem von Hadamard und Valle-Poussin erfundenen Beweis. Bernhard Riemann gilt jedoch immer noch als der Mathematiker, der die größte Entdeckung in der Theorie der Primzahlen gemacht hat. In seinem 1859 veröffentlichten Artikel, der nur aus acht Seiten besteht, wurden neue, bisher unbekannte Entdeckungen über die Verteilung von Primzahlen gemacht. Dieser Artikel gilt immer noch als einer der wichtigsten in der Zahlentheorie.

Nach der Veröffentlichung blieb Riemanns Artikel das Hauptwerk in der Theorie der Primzahlen und wurde 1896 zum Hauptgrund für den Beweis des Satzes über die Verteilung der Primzahlen . Seitdem wurden mehrere neue Beweise gefunden, darunter elementare Beweise von Selberg und Erdös. Die Riemannsche Hypothese über die Wurzeln der Zeta-Funktion bleibt jedoch ein Rätsel.

Wie viele Primzahlen gibt es?

Beginnen wir mit einem einfachen. Wir alle wissen, dass eine Zahl entweder eine Primzahl oder eine Verbindung ist . Alle Verbindungsnummern sind einfach und können in ihre Produkte zerlegt werden (axb). In diesem Sinne sind Primzahlen die „Bausteine“ oder „Grundelemente“ von Zahlen. 300 v. Chr. Beweiste Euklid, dass ihre Zahl unendlich ist. Sein eleganter Beweis lautet wie folgt:

Euklidischer Satz

Angenommen, die Menge der Primzahlen ist nicht unendlich. Erstellen Sie eine Liste aller Primzahlen. Dann sei P das Produkt aller Primzahlen in der Liste (wir multiplizieren alle Primzahlen aus der Liste). Addiere zu Ergebnis 1: Q = P +1. Wie alle Zahlen muss diese natürliche Zahl Q entweder einfach oder zusammengesetzt sein:

• Wenn Q Primzahl ist, haben wir eine Primzahl gefunden, die nicht in unserer „Liste aller Primzahlen“ enthalten ist.
• Wenn Q nicht einfach ist, ist es zusammengesetzt, d.h. besteht aus Primzahlen, von denen eine, p, ein Teiler von Q ist (weil alle zusammengesetzten Zahlen Produkte von Primzahlen sind). Jede Primzahl p, aus der P besteht, ist offensichtlich ein Teiler von P. Wenn p ein Teiler sowohl für P als auch für Q ist, muss es ein Teiler für ihre Differenz sein, dh für die Einheit. Keine Primzahl ist ein Teiler von 1, daher kann die Zahl p nicht in der Liste enthalten sein - ein weiterer Widerspruch zu der Tatsache, dass die Liste alle Primzahlen enthält. Es wird immer eine andere Primzahl p geben, die nicht auf der Liste steht und ein Teiler von Q ist. Daher gibt es unendlich viele Primzahlen.

Warum sind Primzahlen so schwer zu verstehen?

Die Tatsache, dass jeder Neuling das oben genannte Problem versteht, spricht eloquent über seine Komplexität. Selbst die arithmetischen Eigenschaften von Primzahlen werden von uns trotz aktiver Studien kaum verstanden. Die wissenschaftliche Gemeinschaft ist so zuversichtlich, dass wir das Verhalten von Primzahlen nicht verstehen können, dass die Berücksichtigung großer Zahlen (Definition von zwei Primzahlen, deren Produkt eine Zahl ist) eine der grundlegenden Grundlagen der Verschlüsselungstheorie bleibt. Sie können es wie folgt betrachten:

Wir verstehen zusammengesetzte Zahlen gut. Dies sind alles Zahlen, die keine Primzahlen sind. Sie bestehen aus Primzahlen, aber wir können leicht eine Formel schreiben, die zusammengesetzte Zahlen vorhersagt und / oder erzeugt. Ein solches "zusammengesetztes Zahlenfilter" wird als Sieb bezeichnet . Das bekannteste Beispiel ist das sogenannte "Eratosthenes-Sieb", das um 200 v. Chr. Erfunden wurde. Seine Aufgabe ist es, einfach Werte zu markieren, die ein Vielfaches jeder Primzahl bis zu einer bestimmten Grenze sind. Angenommen, wir nehmen die Primzahl 2 und markieren 4,6,8,10 und so weiter. Nehmen Sie dann 3 und markieren Sie 6,9,12,15 und so weiter. Infolgedessen werden wir nur Primzahlen haben. Obwohl es sehr leicht zu verstehen ist, ist das Sieb von Eratosthenes, wie Sie sich vorstellen können, nicht besonders effektiv.

Eine der Funktionen, die unsere Arbeit erheblich vereinfacht, ist 6n ± 1. Diese einfache Funktion gibt alle Primzahlen mit Ausnahme von 2 und 3 zurück und entfernt alle Zahlen, die ein Vielfaches von 3 sind, sowie alle geraden Zahlen. Ersetzen Sie n = 1,2,3,4,5,6,7 und erhalten Sie die folgenden Ergebnisse: 5,7,11,13,17,19,23,25,29,31,35,37,41,43. Die einzigen von der Funktion erzeugten Nicht-Primzahlen sind 25 und 35, die 5 x 5 und 5 x 7 faktorisiert werden können. Die nächsten Nicht-Primzahlen sind, wie Sie sich vorstellen können, 49 = 7 x 7, 55 = 5 x 11, usw. Alles ist einfach, oder?

Um dies visuell darzustellen, habe ich das sogenannte „Treppenhaus aus zusammengesetzten Zahlen“ verwendet - eine bequeme Methode, um zu zeigen, wie die von der Funktion generierten zusammengesetzten Zahlen angeordnet und kombiniert werden. In den ersten drei Spalten des Bildes unten sehen wir, wie die Primzahlen 5, 7 und 11 jede Treppe aus zusammengesetzten Zahlen bis zum Wert 91 wunderschön hinaufsteigen. Das Chaos in der vierten Spalte, das zeigt, wie das Sieb alles außer Primzahlen entfernt hat, ist ausgezeichnet ein Beispiel dafür, warum Primzahlen so schwer zu verstehen sind.

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Grundlegende Ressourcen

Wie hängt das alles mit dem Konzept zusammen, von dem Sie hören konnten - mit der "Riemann-Hypothese"? Um es einfach auszudrücken: Um mehr über Primzahlen zu verstehen, hörten die Mathematiker im 19. Jahrhundert auf, den Ort der Primzahlen mit absoluter Genauigkeit vorherzusagen, und begannen stattdessen, das Phänomen der Primzahlen als Ganzes zu betrachten. Riemann wurde der Meister dieses analytischen Ansatzes, und im Rahmen dieses Ansatzes wurde seine berühmte Hypothese aufgestellt. Bevor ich jedoch damit beginne, es zu erklären, müssen einige grundlegende Ressourcen kennengelernt werden.

Harmonische Zeilen

Harmonische Reihen sind endlose Zahlenreihen, die Nikolai Orem erstmals im 14. Jahrhundert erforschte. Sein Name ist mit dem Konzept der musikalischen Harmonischen verbunden - Obertöne, die höher sind als die Frequenz des Grundtons. Die Zeilen sind wie folgt:


Die ersten Mitglieder einer unendlichen harmonischen Reihe

Orem hat bewiesen, dass diese Summe divergent ist (dh ohne endliche Grenze; ​​sie nähert sich keiner bestimmten Zahl und tendiert nicht zu dieser, sondern ist ins Unendliche gerichtet).

Zeta-Funktionen

Harmonische Reihen sind ein Sonderfall einer allgemeineren Art von Funktion, die als Zeta-Funktion ζ (s) bezeichnet wird. Die reelle Zetafunktion ist für zwei reelle Zahlen r und n definiert :


Zeta-Funktion

Wenn wir n = 1 einsetzen, erhalten wir eine divergierende harmonische Reihe. Für alle Werte von n> 1 konvergiert die Reihe jedoch, dh die Summe mit zunehmendem r tendiert zu einer bestimmten Zahl und geht nicht ins Unendliche.

Eulers Formel

Die erste Verbindung zwischen Zetafunktionen und Primzahlen wurde von Euler hergestellt, als er zeigte, dass für zwei natürliche (ganze Zahl und größer als Null) Zahlen n und p , wobei p Primzahl ist, Folgendes zutrifft:


Eulers Produkt für zwei Zahlen n und p, wobei beide größer als Null sind und p eine Primzahl ist.

Dieser Ausdruck erschien erstmals 1737 in einem Artikel mit dem Titel Variae Observations circa series infinitas . Aus dem Ausdruck folgt, dass die Summe der Zetafunktion gleich dem Produkt der zur Einheit inversen Größen ist, abzüglich der Umkehrung der Primzahlen des Grades s . Diese erstaunliche Verbindung legte den Grundstein für die moderne Theorie der Primzahlen, in der die Zeta-Funktion ζ (s) seitdem als Methode zur Untersuchung von Primzahlen verwendet wird.

Der Beweis der Formel ist einer meiner Lieblingsbeweise, deshalb werde ich ihn präsentieren, obwohl dies für unsere Zwecke nicht notwendig ist (aber es ist genauso wunderbar!):

Nachweis der Euler-Produktformel

Euler beginnt mit einer gemeinsamen Zeta-Funktion


Zeta-Funktion

Erstens multipliziert er beide Teile mit dem zweiten Term:


Zeta-Funktion multipliziert mit 1/2 ^s

Dann subtrahiert er den resultierenden Ausdruck von der Zeta-Funktion:


Zeta-Funktion minus 1/2 ^s mal der Zeta-Funktion

Er wiederholt diesen Vorgang und multipliziert beide Seiten weiter mit der dritten Amtszeit


Zeta-Funktion minus 1/2 ^s mal die Zeta-Funktion mal 1/3 ^s

Und subtrahiert dann den resultierenden Ausdruck von der Zeta-Funktion


Zeta-Funktion minus 1/2 ^s mal Zeta-Funktion minus 1/3 ^s mal Zeta-Funktion

Wenn Sie diesen Vorgang auf unbestimmte Zeit wiederholen, haben wir am Ende den Ausdruck:


1 minus alle Werte invers zu Primzahlen mal der Zeta-Funktion

Wenn Ihnen dieser Prozess bekannt ist, liegt es daran, dass Euler im Wesentlichen ein Sieb erstellt hat, das dem Sieb von Eratosthenes sehr ähnlich ist. Es filtert Nicht-Primzahlen aus der Zeta-Funktion heraus.

Dann teilen wir den Ausdruck in alle seine Begriffe, die zu Primzahlen invers sind, und erhalten:


Funktionelle Beziehung der Zeta-Funktion zu Primzahlen für die ersten Primzahlen 2,3,5,7 und 11

Um den Ausdruck zu vereinfachen, haben wir Folgendes gezeigt:


Die Formel für Eulers Arbeit ist eine Gleichheit, die die Beziehung zwischen Primzahlen und der Zeta-Funktion zeigt

War das nicht schön? Wir setzen s = 1 ein und finden eine unendliche harmonische Reihe, die wiederholt die Unendlichkeit von Primzahlen beweist.

Mobius-Funktion

August Ferdinand Mobius hat die Arbeit von Euler neu geschrieben und eine neue Menge geschaffen. Zusätzlich zu den zu Primzahlen inversen Größen enthält die Mobius-Funktion auch jede natürliche Zahl, die das Produkt einer geraden und einer ungeraden Anzahl von Primfaktoren ist. Aus seiner Reihe ausgeschlossene Zahlen sind Zahlen, die durch eine quadratische Primzahl teilbar sind. Seine als μ (n) bezeichnete Summe hat die folgende Form:


Die Mobius-Funktion ist eine modifizierte Version des Euler-Produkts, die für alle natürlichen Zahlen angegeben wird

Die Summe enthält die inversen Werte:

1. Zu jeder Primzahl;
2. Zu jeder natürlichen Zahl, die das Produkt einer ungeraden Anzahl verschiedener Primzahlen ist, mit einem Minuszeichen; und
3. Zu jeder natürlichen Zahl, die das Produkt einer geraden Anzahl verschiedener Primzahlen ist, mit einem Pluszeichen versehen;

Die ersten Mitglieder sind unten aufgeführt:


Reihe / Summe der Einheiten geteilt durch die Zeta-Funktion ζ (s)

Die Summe enthält nicht die reziproken Werte, die durch das Quadrat einer der Primzahlen geteilt werden, z. B. 4.8.9 usw.

Die Mobius-Funktion μ (n) kann nur drei mögliche Werte annehmen: das Präfix (1 oder -1) oder das Entfernen (0) von Mitgliedern aus der Summe:


Drei mögliche Werte der Mobius-Funktion μ (n)

Obwohl dieser knifflige Betrag zuerst von Mobius formell bestimmt wurde, ist es bemerkenswert, dass Gauß 30 Jahre vor ihm in Randnotizen über diesen Betrag schrieb:

„Die Summe aller primitiven Wurzeln (Primzahl p) oder ≡ 0 (wenn p-1 durch ein Quadrat teilbar ist) oder ≡ ± 1 (mod p) (wenn p-1 das Produkt ungleicher Primzahlen ist); Wenn ihre Zahl gerade ist, ist das Vorzeichen positiv, aber wenn die Zahl ungerade ist, ist das Vorzeichen negativ. “

Primzahlverteilungsfunktion

Kehren wir zu den Primzahlen zurück. Um zu verstehen, wie Primzahlen verteilt werden, wenn die Zahlenlinie nach oben verschoben wird, ohne genau zu wissen, wo sie sich befinden, ist es hilfreich zu berechnen, wie viele von ihnen bis zu einer bestimmten Zahl auftreten.

Genau diese Aufgabe erfüllt die von Gauß vorgeschlagene Verteilungsfunktion der Primzahlen π (x): Sie gibt uns die Anzahl der Primzahlen, die kleiner oder gleich einer gegebenen reellen Zahl sind. Da wir die Formeln zum Finden von Primzahlen nicht kennen, ist uns die Formel für die Verteilung von Primzahlen nur als Graph oder als Sprungfunktion bekannt , die um 1 zunimmt, wenn x eine Primzahl ist. Die folgende Grafik zeigt die Funktion bis zu x = 200.


Die Verteilungsfunktion der Primzahlen π (x) bis x = 200.

Satz zur Verteilung der Primzahlen

Der von Gauß (und unabhängig Legendre) formulierte Satz über die Verteilung von Primzahlen besagt:


Satz zur Verteilung der Primzahlen

In der gewöhnlichen Sprache kann dies wie folgt angegeben werden: "Wenn sich x ins Unendliche bewegt, nähert sich die Verteilungsfunktion der Primzahlen π (x) der Funktion x / ln (x)." Mit anderen Worten, wenn Sie weit genug klettern und der Primverteilungsgraph auf ein sehr hohes x ansteigt und dann x durch den natürlichen Logarithmus x dividiert , tendiert das Verhältnis dieser beiden Funktionen zu 1. Unterhalb des Diagramms werden zwei Funktionen für x = 1000 angezeigt:


Die Verteilungsfunktion der Primzahlen π (x) und eine ungefähre Schätzung durch den Verteilungssatz von Primzahlen bis zu x = 1000

Unter dem Gesichtspunkt der Wahrscheinlichkeiten besagt der Primzahlverteilungssatz, dass, wenn wir zufällig eine positive ganze Zahl x wählen, die Wahrscheinlichkeit P (x), dass diese Zahl eine Primzahl ist, ungefähr gleich 1 / ln (x) ist. Dies bedeutet, dass die durchschnittliche Lücke zwischen aufeinanderfolgenden Primzahlen zwischen den ersten x ganzen Zahlen ungefähr ln (x) beträgt.

Integraler Logarithmus

Die Funktion Li (x) ist für alle positiven reellen Zahlen mit Ausnahme von x = 1 definiert. Sie wird durch das Integral von 2 bis x definiert :


Die integrale Darstellung der integralen Logarithmusfunktion

Nachdem wir diese Funktion neben der Primverteilungsfunktion und der Formel aus dem Primverteilungssatz aufgetragen haben, sehen wir, dass Li (x) tatsächlich eine bessere Annäherung als x / ln (x) ist:


Der integrale Logarithmus von Li (x) , die Verteilungsfunktion der Primzahlen π (x) und x / ln (x) im selben Graphen

Um herauszufinden, wie viel besser diese Näherung ist, können wir eine Tabelle mit großen Werten von x, der Anzahl der Primzahlen bis x und dem Fehler zwischen den alten (Satz über die Verteilung der Primzahlen) und den neuen (integraler Logarithmus) Funktionen erstellen:


Die Anzahl der Primzahlen bis zu einer gegebenen Potenz von zehn und die entsprechenden Fehler für zwei Näherungen

Wie Sie leicht sehen können, ist der integrale Logarithmus in der Annäherung viel besser als die Funktion aus dem Satz über die Verteilung von Primzahlen. Er hat einen Fehler von nur 314.890 Primzahlen für x = 10 zur Potenz von 14 gemacht. Trotzdem konvergieren beide Funktionen zu Verteilungsfunktionen der Primzahlen π (x). Li (x) konvergiert viel schneller, aber wenn x gegen unendlich tendiert, nähert sich das Verhältnis zwischen der Verteilungsfunktion von Primzahlen und den Funktionen Li (x) und x / ln (x) 1. Wir zeigen dies deutlich:


Die Konvergenz der Verhältnisse zweier Näherungswerte und der Verteilungsfunktion von Primzahlen zu 1 bei x = 10.000

Gammafunktion

Die Gammafunktion Γ (z) ist zu einem wichtigen Untersuchungsobjekt geworden, seit Daniel Bernoulli und Christian Goldbach in den 1720er Jahren das Problem der Verallgemeinerung der Fakultätsfunktion auf nicht ganzzahlige Argumente untersuchten. Dies ist eine Verallgemeinerung der Fakultätsfunktion n ! (1 x 2 x 3 x 4 x 5 x .... N ) um 1 nach unten verschoben:


Die für z

Ihr Zeitplan ist sehr neugierig:


Graph der Gammafunktion Γ (z) im Intervall -6 ≤ z ≤ 6

Die Gammafunktion Γ (z) ist für alle komplexen Werte von z größer als Null definiert. Wie Sie wahrscheinlich wissen, sind komplexe Zahlen eine Klasse von Zahlen mit dem Imaginärteil , geschrieben als Re ( z ) + Im ( z ), wobei Re ( z ) der Realteil (gewöhnliche reelle Zahl) und Im ( z ) der Imaginärteil ist bezeichnet mit dem Buchstaben i . Die komplexe Zahl wird normalerweise in der Form z = σ + it geschrieben , wobei Sigma σ der Realteil und imaginär ist. Komplexe Zahlen sind insofern nützlich, als sie es Mathematikern und Ingenieuren ermöglichen, mit Problemen zu arbeiten, die für gewöhnliche reelle Zahlen unzugänglich sind. In komplexer Form erweitern komplexe Zahlen die traditionelle eindimensionale Zahlenlinie in eine zweidimensionale Zahlenebene, die als komplexe Ebene bezeichnet wird und in der der Realteil der komplexen Zahl entlang der x-Achse und der Imaginärteil entlang der y-Achse angeordnet ist.

Damit die Gammafunktion Γ (z) verwendet werden kann, wird sie normalerweise in der Form umgeschrieben


Funktionsbeziehung der Gammafunktion Γ (z)

Mit dieser Gleichheit können wir Werte für z unter Null erhalten. Es gibt jedoch keine Werte für negative Ganzzahlen, da diese nicht definiert sind (formal handelt es sich um Degenerationen oder einfache Pole).

Zeta und Gamma

Die Beziehung zwischen der Zetafunktion und der Gammafunktion ist durch das folgende Integral gegeben:

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Riemann-Zeta-Funktion

Nachdem wir uns mit allen notwendigen grundlegenden Ressourcen vertraut gemacht haben, können wir endlich beginnen, den Zusammenhang zwischen den Primzahlen und der Riemannschen Hypothese herzustellen.

Der deutsche Mathematiker Bernhard Riemann wurde 1826 in Brezlenets geboren. Als Student von Gauß veröffentlichte Riemann eine Arbeit auf dem Gebiet der mathematischen Analyse und Geometrie. Es wird angenommen, dass er den größten Beitrag auf dem Gebiet der Differentialgeometrie geleistet hat, wo er den Grundstein für die Sprache der Geometrie legte, die später von Einstein in der allgemeinen Relativitätstheorie verwendet wurde.


Seine einzige Arbeit in der Zahlentheorie, eine Arbeit von 1859 von Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer anderen Grösse, gilt als der wichtigste Artikel auf diesem Gebiet der Mathematik. Auf nur vier Seiten skizzierte er:

• Definition der Riemannschen Zetafunktion ζ (s) - Zetafunktion mit komplexen Werten;
• Die analytische Fortsetzung der Zeta-Funktion auf alle komplexen Zahlen s ≠ 1;
• Die Definition der Riemannschen xi-Funktion ξ (s) - die gesamte Funktion, die der Riemannschen Zeta-Funktion durch die Gammafunktion zugeordnet ist;
• Zwei Beweise für die Funktionsgleichung der Riemannschen Zetafunktion;
• Bestimmung der Verteilungsfunktion von Riemann-Primzahlen J (x) unter Verwendung der Verteilungsfunktion von Primzahlen und der Mobius-Funktion;
• Die explizite Formel für die Anzahl der Primzahlen ist kleiner als eine gegebene Zahl unter Verwendung der Verteilungsfunktion der Riemannschen Primzahlen, die unter Verwendung der nicht trivialen Nullen der Riemannschen Zetafunktion definiert wurde.

Dies ist ein unglaubliches Beispiel für Einfallsreichtum und kreatives Denken, wie man es seitdem wahrscheinlich nicht mehr gesehen hat. Absolut tolle Arbeit.

Riemann-Zeta-Funktion

Wir haben die enge Beziehung zwischen Primzahlen und der Zeta-Funktion gesehen, die Euler in seiner Arbeit gezeigt hat. Mit Ausnahme dieses Zusammenhangs war jedoch wenig über ihre Beziehung bekannt, und die Erfindung komplexer Zahlen war erforderlich, um sie zu zeigen.

Riemann war der erste, der die Zetafunktion ζ (s) für die komplexe Variable s betrachtete , wobei s = σ + i t ist.


Die Riemannsche Zeta-Funktion für n, wobei s = σ + ist, ist eine komplexe Zahl, in der σ und t reelle Zahlen sind.

Diese unendliche Reihe, die als Riemannsche Zeta-Funktion ζ (s) bezeichnet wird, ist für alle komplexen Zahlen analytisch (dh hat definierbare Werte), wobei der Realteil größer als 1 ist (Re (s)> 1). In diesem Definitionsbereich konvergiert es absolut .

Um eine Funktion in Bereichen außerhalb des üblichen Konvergenzbereichs zu analysieren (wenn der Realteil der komplexen Variablen s größer als 1 ist), muss die Funktion neu definiert werden. Riemann hat dies erfolgreich bewältigt, indem er eine analytische Fortsetzung einer absolut konvergenten Funktion auf der Halbebene Re (s)> 0 durchgeführt hat.


- , {x} = x — |x|

- Re(s) > 0, s = 1, / . , ( ), s = 1. , L- .

. - ζ(s) komplexe Ebene mit der Gammafunktion Γ (z). Um den Beitrag nicht zu komplizieren, werde ich diese Berechnungen nicht geben, aber ich empfehle Ihnen dringend, sie sich selbst anzusehen, um die erstaunliche Intuition und das Können von Riemann sicherzustellen.

Seine Methode verwendet die integrale Darstellung des Farbumfangs Γ (z) für komplexe Variablen und die Jacobi-Theta-Funktion ϑ (x), die so umgeschrieben werden kann, dass eine Zeta-Funktion erscheint. Wenn wir uns für Zeta entscheiden, erhalten wir:


Die funktionale Zeta-Gleichung für die gesamte komplexe Ebene mit Ausnahme von zwei Entartungen bei s = 0 und s = 1.

In dieser Form stellen wir fest, dass der Term ψ (s) schneller abnimmt als jede Potenz von x, und daher konvergiert das Integral gegen alle Werte von s.

Als Riemann noch weiter ging, bemerkte er, dass der erste Term in Klammern (-1 / s (1 - s)) eine Invariante ist (sich nicht ändert), wenn s durch 1 - s ersetzt wird. Dank dessen erweiterte Riemann die Nützlichkeit der Gleichung weiter, indem er zwei Pole bei s = 0 und s = 1 eliminierte und die Riemann-xi-Funktion ξ (s) ohne Entartung definierte:


Xi-Riemann-Funktion ξ (s)

Nullen der Riemannschen Zeta-Funktion

Die Wurzeln / Nullen der Zeta-Funktion können, wenn ζ (s) = 0 ist, in zwei Typen unterteilt werden, die als "triviale" und "nichttriviale" Nullen der Riemann-Zeta-Funktion bezeichnet werden.

Die Existenz von Nullen mit dem Realteil Re (s) <0

Triviale Nullen sind Nullen, die leicht zu finden und zu erklären sind. Sie machen sich am deutlichsten in der folgenden Funktionsform der Zeta-Funktion bemerkbar:


Eine Variation der Riemannschen funktionellen Zeta-Gleichung.

Dieses Produkt wird gleich Null, wenn der Sinus Null wird. Dies tritt bei kπ-Werten auf. Das heißt, mit einer negativen geraden ganzen Zahl s = -2n wird die Zetafunktion Null. Für positive gerade ganze Zahlen s = 2n werden die Nullen jedoch durch die Pole der Gammafunktion Γ (z) aufgehoben. Es ist leichter in seiner ursprünglichen Funktionsform zu sehen; Wenn wir s = 2n einsetzen, wird der erste Teil des Terms undefiniert.


Die Riemannsche Zeta-Funktion hat also Nullen in jeder negativen geraden ganzen Zahl s = -2n. Dies sind triviale Nullen, die im Funktionsdiagramm zu sehen sind:


Der Graph der Riemannschen Zetafunktion ζ (s) mit Nullen bei s = -2, -4, -6 und so weiter

Die Existenz von Nullen mit dem Realteil Re (s)> 1

Aus der Euler-Zeta-Formulierung können wir sofort erkennen, dass das Zeta ζ (s) in einem Bereich mit dem Realteil s größer als 1 nicht Null sein kann, da ein konvergentes unendliches Produkt nur dann Null sein kann, wenn einer seiner Faktoren gleich Null ist. Der Beweis der Unendlichkeit der Primzahlen negiert dies.


Eulers Formel

Die Existenz von Nullen mit dem Realteil 0 ≤ Re (s) ≤ 1

Wir fanden die trivialen Nullen des Zetas in der negativen Halbebene, wenn Re (s) <0 ist, und zeigten, dass es in der Region Re (s)> 1 keine Nullen geben kann.

Der Bereich zwischen diesen beiden Bereichen, der als kritischer Streifen bezeichnet wird, stand in den letzten Hunderten von Jahren im Mittelpunkt der analytischen Zahlentheorie.


- ζ(s) -5 < Re < 2, 0 < Im < 60

ζ(s) , — . , s -2 -4. 0 1 ζ(s). - . , , s .


- ζ(s) -5 < Re < 2, 0 < Im < 120

-

Wir haben die Riemannsche xi-Funktion ξ (s) (die Form einer Funktionsgleichung, in der jede Entartung beseitigt ist, dh für alle Werte von s definiert ist) wie folgt definiert:


Riemann-Xi-Funktion ohne Entartung.

Diese Funktion erfüllt die Beziehung


-

, Re( s ) = 1/2, ξ(1) = ξ(0), ξ(2) = ξ(-1), . ( s 1- s ) , - 0 ≤ Re( s ) ≤ 1. , - - . , R(s) = 1/2 - ζ( s ) (Im( s ) = 0) - ξ( s ).

, , - ζ( s ) ( - ) Re(s) 1/2. , .

- ζ(s) Re(s) = 1/2.

Dies ist eine moderne Formulierung einer unbewiesenen Annahme, die Riemann in seinem berühmten Artikel gemacht hat. Es besagt, dass alle Punkte, an denen Zeta Null ist (ζ (s) = 0), auf dem kritischen Streifen 0 ≤ Re (s) ≤ 1 den Realteil Re (s) = 1/2 haben. Wenn dies wahr ist, haben alle nicht trivialen Nullen des Zetas die Form ζ (1/2 + i t).

Eine äquivalente Formulierung (von Riemann selbst angegeben) ist, dass alle Wurzeln der Riemann-xi-Funktion ξ (s) real sind.

In der folgenden Grafik ist die Linie Re (s) = 1/2 die horizontale Achse. Der Realteil Re ( s ) des Zetas ζ ( s ) ist durch die rote Linie dargestellt, und der Imaginärteil Im ( s ) ist durch die blaue Linie dargestellt. Nicht triviale Nullen sind die Schnittpunkte zwischen den roten und blauen Graphen auf der horizontalen Linie.


Die ersten nichttrivialen Nullen der Riemannschen Zeta-Funktion auf der Linie Re (s) = 1/2.

Wenn sich die Riemannsche Hypothese als wahr herausstellt, treten alle nicht trivialen Nullen der Funktion auf dieser Linie als Schnittpunkt zweier Graphen auf.

Gründe, an eine Hypothese zu glauben

Es gibt viele Gründe, die Wahrheit der Riemann-Hypothese bezüglich Nullen der Zeta-Funktion zu glauben. Der wahrscheinlich überzeugendste Grund für Mathematiker sind die Konsequenzen, die dies für die Verteilung von Primzahlen haben wird. Ein numerischer Test einer Hypothese bei sehr hohen Werten legt nahe, dass dies wahr ist. Tatsächlich ist die numerische Bestätigung der Hypothese so stark, dass sie in anderen Bereichen, beispielsweise in der Physik oder Chemie, als experimentell bewiesen angesehen werden könnte. In der Geschichte der Mathematik gab es jedoch mehrere Hypothesen, die auf sehr hohe Werte getestet wurden und sich dennoch als falsch herausstellten. Derbyshire (2004) erzählt die Geschichte der Skews-Zahl - eine extrem große Zahl, die eine Obergrenze anzeigt und damit die Falschheit einer der Gauß-Hypothesen beweist, dass der integrale Logarithmus von Li ( x ) , . , , — , , 34. , , . , « » .

-

Basierend auf der Wahrheit der Riemann-Hypothese begann Riemann selbst, ihre Konsequenzen zu untersuchen. In seinem Artikel schrieb er: "... es besteht eine hohe Wahrscheinlichkeit, dass alle Wurzeln materiell sind. Natürlich ist hier ein strenger Beweis erforderlich; nach mehreren erfolglosen Versuchen werde ich die Suche verschieben, da sie für den nächsten Zweck meiner Forschung optional zu sein scheint . " Sein nächstes Ziel war es, Nullen der Zeta-Funktion mit Primzahlen in Beziehung zu setzen.

Erinnern Sie sich an die Verteilungsfunktion der Primzahlen π ( x ), die die Anzahl der Primzahlen bis zu einer reellen Zahl x zählt . Riemann verwendete π ( x ), um die Eigenfunktion der Verteilung der Primzahlen zu bestimmen, nämlich die Verteilungsfunktion der Riemann-Primzahlen J ( x ). Es ist wie folgt definiert:


Verteilungsfunktion von Riemann-Primzahlen

Das erste, was Sie an dieser Funktion bemerken können, ist, dass sie nicht unendlich ist. Für einige Terme ist die Verteilungsfunktion Null, da es keine Primzahlen für x <2 gibt. Das heißt, am Beispiel von J (100) erhalten wir, dass die Funktion aus sieben Mitgliedern besteht, da der achte Term die achte Wurzel enthält 100, was ungefähr 1,778279 entspricht. Das heißt, dieses Element der Verteilung der Primzahlen wird gleich Null und die Summe wird gleich J (100) = 28,5333 ...

Wie die Verteilungsfunktion von Primzahlen ist die Riemann-Funktion J ( x ) eine Sprungfunktion, deren Wert wie folgt zunimmt:


Mögliche Werte der Verteilungsfunktion von Riemann-Primzahlen

Um den Wert von J ( x ) mit der Anzahl der Primzahlen bis x einschließlich in Beziehung zu setzen, kehren wir mit einem Prozess namens Mobius-Inversion (ich werde ihn hier nicht zeigen) zur Verteilungsfunktion der Primzahlen π ( x ) zurück. Der resultierende Ausdruck sieht so aus


Die Verteilungsfunktion der Primzahlen π (x) und ihre Beziehung zur Verteilungsfunktion der Riemann-Primzahlen und der Mobius-Funktion μ (n)

Denken Sie daran, dass die möglichen Werte der Mobius-Funktion von der Form sind


Drei mögliche Werte der Mobius-Funktion μ (n)

Dies bedeutet, dass wir jetzt jede Verteilungsfunktion von Primzahlen als Verteilungsfunktion von Riemann-Primzahlen schreiben können, die uns geben wird


Die Verteilungsfunktion von Primzahlen, geschrieben als Verteilungsfunktion von Riemann-Primzahlen für die ersten sieben Werte von n

Dieser neue Ausdruck ist immer noch die endgültige Summe, da J ( x ) für x <2 gleich Null ist, da es keine Primzahlen unter 2 gibt.

Wenn wir nun noch einmal das Beispiel mit J (100) betrachten, erhalten wir die Summe


Primzahlverteilungsfunktion für x = 100

Wie wir wissen, ist die Anzahl der Primzahlen unter 100.

Transformieren der Euler-Produktformel

Dann verwendete Riemann das Euler-Produkt als Ausgangspunkt und erhielt eine Methode zur analytischen Abschätzung von Primzahlen in einer nicht berechenbaren Sprache der Matanalyse. Beginnend mit Euler:


Eulers Produkt für die ersten fünf Primzahlen

Zuerst nahm er den Logarithmus auf beiden Seiten und schrieb dann die Nenner in Klammern um, um die Beziehung abzuleiten


Logarithmus einer umgeschriebenen Formel für ein Euler-Produkt

Dann erweiterte er unter Verwendung der bekannten Taylor-Maclaurin-Reihe jeden logarithmischen Term auf der rechten Seite und erzeugte eine unendliche Summe von unendlichen Summen, eine für jeden Term in einer Reihe von Primzahlen.


Taylor-Erweiterung für die ersten vier Terme des Logarithmus des Euler-Produkts

Betrachten Sie eines dieser Mitglieder zum Beispiel:


Der zweite Term ist die Maclaurin-Zersetzung für 1/3 ^ s

Dieses Element repräsentiert wie jedes andere Mitglied der Berechnung einen Teil der Fläche unter der Funktion J ( x ). In Form eines Integrals:


Die Integralform des zweiten Terms der Maclaurin-Erweiterung für 1/3 ^ s

Mit anderen Worten, Riemann hat mit dem Euler-Produkt gezeigt, dass es möglich ist, eine diskrete schrittweise Verteilungsfunktion von Primzahlen in Form einer kontinuierlichen Summe von Integralen darzustellen. In der folgenden Grafik ist das Beispiel des Begriffs, den wir genommen haben, als Teil der Fläche unter der Grafik der Verteilungsfunktion der Riemann-Primzahlen dargestellt.


Die Verteilungsfunktion von Riemann-Primzahlen J (x) bis x = 50, wobei zwei Integrale unterschieden werden

Jeder Ausdruck in einer endlichen Summe, der eine Reihe von Größen bildet, die zu Primzahlen aus dem Euler-Produkt invers sind, kann als Integrale ausgedrückt werden, die eine unendliche Summe von Integralen bilden, die der Fläche unter der Verteilungsfunktion von Riemann-Primzahlen entsprechen. Für eine Primzahl 3 hat dieses unendliche Produkt von Integralen die Form:


Ein unendliches Produkt der Integrale, die die Fläche unter der Verteilungsfunktion von Primzahlen bilden, die durch eine ganze Zahl 3 dargestellt werden

Wenn wir alle diese unendlichen Summen zu einem Integral zusammenfassen, kann das Integral unter der Verteilungsfunktion der Riemannschen Primzahlen J ( x ) in einfacher Form geschrieben werden:


Der Logarithmus von Zeta, ausgedrückt als unendliche Reihe von Integralen

Oder besser bekannt


Das moderne Äquivalent des Euler-Produkts, das die Zeta-Funktion mit der Verteilungsfunktion von Riemann-Primzahlen verbindet

Dank dessen gelang es Riemann, in der Sprache der Matanalyse seine Zeta-Funktion ζ ( s ) mit der Verteilungsfunktion der Riemann-Primzahlen J ( x ) in einer Gleichheit zu verbinden, die der Formel des Euler-Produkts entspricht.

Fehler

Nachdem Riemann diese analytische Form des Euler-Produkts erhalten hatte, begann er, seinen eigenen Satz über die Verteilung von Primzahlen zu formulieren. Er präsentierte es in der folgenden expliziten Form:


"Der Satz der Riemann-Primerverteilung", der die Anzahl der Primzahlen vorhersagt, die kleiner als eine gegebene Größe x sind

Dies ist eine explizite Riemann-Formel. Es wurde eine Verbesserung des Satzes über die Verteilung von Primzahlen, eine genauere Schätzung der Anzahl von Primzahlen bis zur Anzahl x . Die Formel besteht aus vier Mitgliedern:

1. Der erste oder „Hauptterm“ ist der integrale Logarithmus von Li ( x ), der eine verbesserte Approximation der Verteilungsfunktion von Primzahlen π ( x ) aus dem Primverteilungssatz darstellt. Dies ist der größte Term, und wie wir gesehen haben, erhöht er die Anzahl der Primzahlen auf einen bestimmten Wert von x .
2. Der zweite oder "periodische" Term ist die Summe des integralen Logarithmus von x zur Potenz ρ , summiert über ρ , die nichttriviale Nullen der Riemannschen Zeta-Funktion sind. Dieses Mitglied steuert die Überbewertung des Kernelements.
3. Das dritte Mitglied ist die Konstante -log (2) = -0.6993147 ...
4. Der vierte und letzte Term ist das Integral, das für x <2 gleich Null ist, da es keine Primzahlen unter 2 gibt. Sein Maximalwert ist 2, wenn sein Integral ungefähr 0,1400101 ist.

Der Einfluss der letzten beiden Terme auf den Wert der Funktion mit zunehmendem x wird extrem gering. Der Hauptbeitrag für große Zahlen wird durch die integrale Logarithmusfunktion und die periodische Summe geleistet. Sehen Sie ihre Auswirkungen auf das Diagramm:


Die Sprungfunktion der Verteilung der Primzahlen π (x) , approximiert durch die explizite Formel für die Verteilungsfunktion der Riemann-Primzahlen J (x) unter Verwendung der ersten 35 nichttrivialen Nullen der ρ-Riemann-Zeta-Funktion.

In der obigen Grafik habe ich die Primverteilungsfunktion π ( x ) unter Verwendung der expliziten Formel der Riemannschen Primverteilungsfunktion J ( x ) angenähert und die ersten 35 nichttrivialen Nullen der Riemannschen Zetafunktion ζ (s) summiert. Wir sehen, dass der periodische Term die Funktion „in Resonanz“ bringt und sich der Form der Verteilungsfunktion der Primzahlen π ( x ) nähert.

Unten ist das gleiche Diagramm mit mehr nicht trivialen Nullen.


Die Sprungfunktion der Verteilung der Primzahlen π (x), angenähert durch die explizite Formel für die Verteilung der Riemann-Primzahlen J (x) unter Verwendung der ersten 100 nichttrivialen Nullen der ρ-Riemann-Zeta-Funktion.

Mit der expliziten Riemann-Funktion können wir die Anzahl der Primzahlen bis zu einer bestimmten Anzahl x sehr genau approximieren. Tatsächlich hat Niels Koch 1901 bewiesen, dass die Verwendung nicht trivialer Nullen der Riemannschen Zeta-Funktion zur Korrektur des Fehlers der integralen Logarithmusfunktion der „besten“ Grenze für den Fehler im Primzahlverteilungssatz entspricht.

"... Diese Nullen wirken wie Telegraphenmasten, und die Besonderheit der Riemannschen Zeta-Funktion bestimmt genau, wie der Draht (sein Graph) zwischen ihnen hängen soll ...", - Dan Rockmore

Nachwort

Nach dem Tod von Riemann im Jahr 1866, erst im Alter von 39 Jahren, ist sein Pionierartikel weiterhin ein Leitfaden auf dem Gebiet der analytischen Zahlentheorie und der Theorie der Primzahlen. Bis heute ist die Riemannsche Hypothese nicht trivialer Nullen der Riemannschen Zetafunktion trotz aktiver Forschung vieler großer Mathematiker ungelöst. Jedes Jahr werden verschiedene neue Ergebnisse und Vermutungen im Zusammenhang mit dieser Hypothese veröffentlicht, in der Hoffnung, dass die Beweise eines Tages real werden.