Diese Spiele kombinieren Quantenverschränkung, Unendlichkeit und die Unmöglichkeit, die Gewinnwahrscheinlichkeit zu berechnen. Aber wenn es Forschern gelingt, sie herauszufinden, werden sie uns die tiefen Geheimnisse der Mathematik enthüllen.
In den 1950er Jahren verwendeten vier Mathematikbegeisterte der US-Armee primitive elektronische Taschenrechner
, um die optimale Blackjack-Strategie
zu berechnen . Ihre Ergebnisse wurden später im Journal der American Statistical Association veröffentlicht und beschrieben die besten Entscheidungen, die ein Spieler in jeder Situation im Spiel treffen kann.
Eine solche Strategie, die Glücksspielbegeisterte später als "Regeln" [das Buch] bezeichnen, garantiert jedoch nicht den Sieg eines Spielers. Blackjack sowie Solitaire, Dame oder viele andere Spiele haben eine bestimmte „Obergrenze“ für den Prozentsatz der Spiele, die ein Spieler gewinnen kann, selbst wenn er jedes Mal perfekt spielt.
Es gibt jedoch besonders seltsame Spiele, bei denen es grundsätzlich unmöglich ist, die maximale Gewinnwahrscheinlichkeit zu berechnen. Stattdessen versuchen Mathematiker und Informatiker festzustellen, ob es möglich ist, zumindest eine grobe Schätzung des Prozentsatzes der Gewinne für solche Spiele abzugeben. Und die Existenz dieser Möglichkeit hängt von der Vereinbarkeit zweier sehr unterschiedlicher physikalischer Ansätze ab.
Solche "nichtlokalen" Spiele wurden erstmals 1960 von dem Physiker
John Stuart Bell erfunden, der versuchte, ein so seltsames Quantenphänomen wie
die Quantenverschränkung zu verstehen. Obwohl Verwirrung eine komplizierte Sache ist, sind nichtlokale Spiele von Natur aus einfach. Es gibt zwei Spieler, denen jeweils eine einfache Frage gestellt wird. Sie gewinnen, wenn ihre Antworten auf eine bestimmte Weise miteinander verbunden sind. Leider können sie nicht miteinander kommunizieren, daher müssen sie die Antwort des anderen erraten. Bell hat bewiesen, dass Spieler, die Paare von verschränkten Quantenteilchen verwenden können, die Korrelation von Antworten verbessern und Spiele häufiger als erwartet gewinnen können.
In den letzten Jahren haben Forscher Bell's Arbeit entwickelt, über die wir bereits im Artikel "
Einfache Quantenspiele enthüllen die primäre Komplexität des Universums " geschrieben haben. Die Arbeit von William Slofstra aus dem Jahr 2016 und Andrea Coladangelo und Yaleks Stark aus dem Jahr 2018 hat gezeigt, dass in einigen nicht-lokalen Spielen das Muster beobachtet wird - je mehr Paare von verschränkten Partikeln die Spieler haben, desto besser spielen sie. Und diese Beziehung wird auf unendlich gehalten, das heißt, für das bestmögliche Spiel benötigen die Spieler eine unendliche Anzahl von Partikelpaaren (oder Partikel mit einer unendlichen Anzahl unabhängiger Eigenschaften).
Eine der Konsequenzen dieser Ergebnisse ist, dass es unmöglich ist, die Wahrscheinlichkeit eines maximalen Gewinnprozentsatzes für einige nicht lokale Spiele zu berechnen. Computer arbeiten nicht mit unendlichen Mengen. Wenn eine ideale Strategie eine unendliche Anzahl verwickelter Partikel erfordert, kann der Computer nicht berechnen, wie oft sich die Strategie rechtfertigt.
"Es gibt keinen solchen verallgemeinerten Algorithmus, mit dem Sie eine Beschreibung des Spiels eingeben und eine Antwort in Form der Wahrscheinlichkeit eines maximalen Prozentsatzes an Gewinnen erhalten können", sagte
Henry Yuyen , Spezialist für theoretische Informatik an der Universität von Toronto.
Aber wenn wir die genaue Wahrscheinlichkeit des maximalen Prozentsatzes der Gewinne nicht kennen, können wir sie dann nicht mit mindestens einem Fehler berechnen?
Mathematiker arbeiten aktiv an diesem Thema. Seltsamerweise hängt ihr Erfolg von der Vereinbarkeit zweier sehr unterschiedlicher physikalischer Ansätze ab.
Denken Sie daran, dass Spieler in einem nicht lokalen Spiel die Antworten nicht koordinieren können. Es gibt zwei Möglichkeiten, dies zu erreichen. Die erste besteht darin, sie physisch voneinander zu isolieren, indem sie in verschiedenen Räumen oder an verschiedenen Enden des Universums platziert werden. Die räumliche Isolation gewährleistet keine Kommunikation. Die Forscher analysieren diese Situation anhand des
Tensorproduktmodells .
Es gibt jedoch einen anderen Weg, um zu verhindern, dass Spieler sich verschwören. Anstatt sie zu trennen, kann eine andere Anforderung gestellt werden: Die Reihenfolge, in der zwei Spieler verschränkte Partikel messen und eine Antwort geben, kann ihre Antworten nicht beeinflussen. "Wenn die Reihenfolge, in der sie Messungen durchführen, keine Rolle spielt, können sie offensichtlich nicht miteinander kommunizieren", sagte Yuyen.
Wenn die Reihenfolge der Aktionen in der Mathematik die Antwort nicht beeinflusst, heißt es, dass die Operation kommutativ ist: a × b = b × a. Diese Herangehensweise an nicht-lokale Spiele - basierend auf der Unabhängigkeit der Sequenz und nicht auf der räumlichen Trennung - wird als "Pendleroperator" -Modell bezeichnet.
Das Produkt der Tensoren und des Pendleroperators wird in der Physik verwendet, insbesondere bei der Untersuchung der Wechselwirkungen subatomarer Teilchen in der Quantenfeldtheorie. Diese Modelle sind zwei verschiedene Ansätze, um über die kausale Unabhängigkeit physikalischer Phänomene nachzudenken. Und obwohl das Modell des Tensorprodukts intuitiver ist - wir stellen uns Kausalität normalerweise als räumliche Trennung vor -, bietet das Modell des Pendleroperators eine logischere mathematische Plattform. Dies liegt daran, dass „räumliche Unabhängigkeit“ eine vage Idee ist und die Pendelbeziehung klar beschrieben werden kann.
"Für Menschen, die Quantenfeldtheorie studieren, ist das Konzept der räumlichen Trennung von Objekten unnatürlich", sagte Yuyen. "Auf der mathematischen Ebene ist es nicht immer möglich, zwei unabhängige Dinge an zwei verschiedenen Orten des Universums zu platzieren."
Und hier ist, wie sich alles auf nicht-lokale Spiele bezieht.
Informatiker können das Tensorproduktmodell verwenden, um die minimale Wahrscheinlichkeit des maximalen Prozentsatzes der Gewinne zu berechnen. Der von ihnen verwendete Algorithmus stellt sicher, dass diese Wahrscheinlichkeit über einem bestimmten Schwellenwert liegt. In ähnlicher Weise können Forscher das Kommutierungsoperatormodell verwenden, um die Wahrscheinlichkeit von oben zu begrenzen. Dieser Algorithmus stellt sicher, dass die Wahrscheinlichkeit einen bestimmten Schwellenwert nicht überschreitet.
Mit solchen Werkzeugen wollen Forscher diese Einschränkungen so eng wie zwei Kolben zusammenführen. Sie wissen, dass es unmöglich ist, diese Grenzen in Kontakt zu bringen und den einzigen und genauen Wert der Wahrscheinlichkeit des maximalen Gewinnprozentsatzes anzugeben - in einer kürzlich von Slofstra, Coladangelo und Stark durchgeführten Arbeit wurde bewiesen, dass es unmöglich ist, die genaue Wahrscheinlichkeit zu berechnen -, aber je näher sie sie zusammenbringen, desto genauer können sie diese Wahrscheinlichkeit bestimmen.
Je länger diese Algorithmen arbeiten, desto näher kommen sich die beiden Kolben, was eine immer genauere Annäherung an den unaussprechlichen Durchschnitt ergibt, den sie niemals erreichen werden. Es ist jedoch unklar, ob diese offensichtliche Annäherung für immer beobachtet wird. „Diese Algorithmen sind völlig mysteriös. Dies ist keine schrittweise und reibungslose Verbesserung der Werte. Wir verstehen einfach nicht, wie schnell sie näher kommen “, sagte Yuyen.
Die Kolbenstrategie basiert auf der Äquivalenz der beiden Modelle. Sie schlägt vor, dass die oberen und unteren Grenzen den Durchschnitt drücken. Wenn diese beiden Modelle wirklich gleichwertig sind, werden die beiden Kolben in einem beliebig kleinen Abstand wirklich zusammenkommen. Und umgekehrt, wenn Sie beweisen, dass die beiden Kolben in beliebig geringem Abstand zusammenkommen, beweist dies die Gleichwertigkeit der Modelle.
Es ist jedoch möglich, dass diese beiden Modelle nicht unterschiedliche Arten der Bezeichnung derselben Sache sind. Es ist möglich, dass sie nicht vergleichbar sind und dass sich am Ende herausstellt, dass die Obergrenze unter die Untergrenze fällt. Dann verlieren Informatiker ihre beste Wahrscheinlichkeitsnäherungsstrategie. Leider weiß niemand genau.
In den letzten Jahren wurden die meisten Fortschritte durch zwei Belege ausgedrückt, die nur die Komplexität dieser gesamten Aufgabe belegen.
Im Jahr 2018 haben
Thomas Vidik und
Anand Natarajan bewiesen, dass die Schätzung der Wahrscheinlichkeiten des maximalen Gewinnprozentsatzes in einem nicht lokalen Spiel mindestens so schwierig ist wie die Lösung wahnsinnig komplexer Aufgaben wie des Problems der reisenden Verkäufer. Im selben Jahr haben Yuyen, Vidik, Joseph Fitsimons und
Zhengfeng Ji bewiesen, dass bei der Annäherung der Kolben die für ihre weitere Annäherung erforderlichen Rechenressourcen exponentiell zunehmen.
Eine weitere Wendung in der Geschichte - die Frage der Äquivalenz von Modellen ist eine direkte Analogie zu dem wichtigen und komplexen offenen Problem der Mathematik, das als Connes-Hypothese der Einbettbarkeit bezeichnet wird. Diese Situation versetzt Mathematiker und Informatiker in die Lage, drei Fliegen mit einer Klappe zu schlagen. Nachdem sie die Äquivalenz der Tensorproduktmodelle und des Pendleroperators bewiesen haben, erhalten sie sofort einen Algorithmus zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten des maximalen Prozentsatzes der Gewinne und zur Bestimmung der Wahrheit der Conn-Hypothese. Eine solche Leistung verdient Anerkennung in allen damit verbundenen Bereichen.
Es wäre angebracht zu sagen, dass all diese Fragen tief miteinander verflochten sind.