Der schönste Satz der Mathematik: Eulers Identität

Nachdem ich einen Vortrag von Professor Robin Wilson über die Euler-Identität gesehen hatte, konnte ich endlich verstehen, warum die Euler-Identität die schönste Gleichung ist. Um meine Bewunderung für dieses Thema zu teilen und mein eigenes Wissen zu stärken, werde ich die während des Vortrags gemachten Notizen skizzieren. Und hier können Sie sein wundervolles Buch kaufen.

Was könnte mysteriöser sein als die Interaktion von imaginären Zahlen mit reellen Zahlen, die zu nichts führt? Eine solche Frage wurde 2004 von einem Leser der Zeitschrift Physics World gestellt, um die Schönheit der Euler-Gleichung hervorzuheben: „e in Grad i mal pi ist minus eins .


Abbildung 1.0 : Euler-Identität - e in Grad i mal pi plus eins ist Null.

Zuvor, 1988, stellte der Mathematiker David Wells, der Artikel für die amerikanische mathematische Zeitschrift The Mathematical Intelligencer schrieb, eine Liste von 24 mathematischen Theoremen zusammen und führte eine Umfrage durch, in der die Leser seines Artikels gebeten wurden, den schönsten Satz zu wählen. Und nachdem Eulers Gleichung mit großem Abstand gewonnen hatte, erhielt sie den Titel "die schönste Gleichung in der Mathematik".


Abbildung 2.0 : Das Cover des Magazins Mathematical Intelligencer


Abbildung 3.0 : Umfrage von David Wells aus einer Zeitschrift

Leonhard Euler gilt als der produktivste Mathematiker der Geschichte. Andere herausragende Mathematiker ließen sich von seiner Arbeit inspirieren. Richard Feynman, einer der besten Physiker der Welt, bezeichnete die Euler-Gleichung in seinen berühmten Vorlesungen über Physik als "die bemerkenswerteste Formel in der Mathematik". Ein anderer großartiger Mathematiker, Michael Atiyah, nannte diese Formel "... das mathematische Gegenstück zu Hamlets Ausdruck" sein oder nicht sein "- sehr kurz, sehr prägnant und gleichzeitig sehr tief . "

Es gibt viele interessante Fakten über die Euler-Gleichung. Zum Beispiel wurde es in einigen Episoden von Die Simpsons gefunden.


Abbildung 4.0 : In dieser Szene ist die Euler-Gleichung im zweiten Buch ganz rechts zu sehen.


Abbildung 5.0 : In dieser Szene wird die Euler-Gleichung auf ein T-Shirt eines Nebenzeichens geschrieben.

Auch die Euler-Gleichung ist zu einem zentralen Punkt im Strafverfahren geworden . Im Jahr 2003 malte der Doktorand am California Institute of Technology, Billy Cottrell, die Euler-Gleichung auf die Sportwagen anderer Leute. Während des Prozesses sagte er: " Ich kenne Eulers Theorem seit meinem fünften Lebensjahr , und jeder muss es wissen ."


Abbildung 6.0 : Eine 1983 in Deutschland herausgegebene Briefmarke zum 200. Todestag von Euler.


Abbildung 7.0 : Eine Briefmarke, die 1957 von der Schweiz zu Ehren von Eulers 250. Geburtstag herausgegeben wurde.

Warum ist die Euler-Gleichung so wichtig?

Sie haben das Recht, sich zu fragen: Warum hat Billy Cottrell gedacht, dass jeder etwas über die Euler-Gleichung wissen sollte? Und war er sich dessen so sicher, dass er anfing, es auf die Maschinen anderer Leute zu schreiben? Die Antwort ist einfach: Euler verwendete die drei Grundkonstanten der Mathematik und wandte die mathematischen Operationen der Multiplikation und Exponentiation an, um eine schöne Formel zu schreiben, die zu Null oder Minus Eins führte.

• Die Konstante e bezieht sich auf Potenzfunktionen.
• Die Konstante i ist nicht real, sondern eine imaginäre Zahl, die der Quadratwurzel von minus eins entspricht.
• Die berühmte Konstante π (pi) ist mit Kreisen verbunden.

Eulers Identität erschien erstmals 1748 in seinem Buch Introductio in analysin infinitorum . Später sahen andere Leute, dass diese Formel mit den trigonometrischen Funktionen von Sinus und Cosinus verbunden ist, und diese Verbindung ist erstaunlich, da die Potenzfunktion gegen unendlich tendiert und die trigonometrischen Funktionen von -1 bis -1 reichen.

e hoch i mal ϕ (phi) = cos ϕ + i * sin ϕ

Abbildung 8.0 : Exponentialfunktion y = e ^x .


Abbildung 8.1 : Euler-Identitätsdiagramm


Abbildung 8.2 : Von der LC-Schaltung emittierte Frequenzen.

Die oben gezeigten Gleichungen und Graphen mögen abstrakt erscheinen, sind jedoch wichtig für die Quantenphysik und Bildverarbeitungsberechnungen und hängen gleichzeitig von Eulers Identität ab.

1: Nummer für das Konto

Die Zahl 1 (Einheit) ist die Grundlage unseres Kalkülsystems. Mit ihr fangen wir an zu zählen. Aber was denken wir? Zum Zählen verwenden wir die Zahlen 0–9 und ein Ziffernsystem, das den Wert der Ziffer bestimmt.

Zum Beispiel bedeutet die Zahl 323 3 Hundert, 2 Zehner und 3 Einheiten. Hier spielt die Nummer 3 zwei verschiedene Rollen, die von ihrem Standort abhängen.

323 = (3 · 100) + (2 · 10) + (3 · 1)

Es gibt ein anderes Kalkülsystem namens Binär. In diesem System wird Basis 2 anstelle von 10 verwendet. Sie wird häufig in Computern und in der Programmierung verwendet. Zum Beispiel in einem binären System:

1001 = (2 ³ ) + (0 ² ) + (0 ¹ ) + (2 ⁰ ) = [9 in einem System mit Basis 10]

Wer hat das Kalkülsystem erstellt? Wie haben die ersten Menschen Gegenstände oder Tiere gezählt?

Wie sind unsere Kalkülsysteme entstanden? Was dachten die ersten Zivilisationen? Wir wissen mit Sicherheit, dass sie unser Bit-System nicht verwendet haben. Zum Beispiel verwendeten die alten Ägypter vor 4000 Jahren ein Zahlensystem mit verschiedenen Symbolen. Sie kombinierten die Zeichen jedoch, um ein neues Zeichen für Zahlen zu erstellen.


Abbildung 11 : Die hier gezeigten Hieroglyphen bilden die Nummer 4622; Dies ist eine der Zahlen, die im Tempel in Karnak (Ägypten) an die Wand gemeißelt sind.


Abbildung 12 : Hieroglyphen sind Bilder, die Wörter und in diesem Fall Zahlen darstellen.

Zur gleichen Zeit, aber an einem anderen Ort, entdeckte eine andere Gesellschaft eine Zählmethode, in der jedoch auch Symbole verwendet wurden. Außerdem war die Basis ihres Kalküls 60, nicht 10. Wir verwenden ihre Zählmethode, um die Zeit zu bestimmen; daher 60 Minuten in einer Minute und 60 Minuten in einer Stunde.


Abbildung 13 : Babylonische Zahlen aus einem Hexadezimalzahlensystem (mit Basis 60).

Tausend Jahre später erfanden die alten Römer römische Zahlen. Sie benutzten Buchstaben, um Zahlen anzuzeigen. Die römische Notation wird nicht als Bit-System betrachtet, da für viele Werte unseres Zahlensystems unterschiedliche Buchstaben verwendet wurden. Aus diesem Grund verwendeten sie einen Abakus zum Zählen.


Abbildung 14 : Römischer Abakus im hexadezimalen Zahlensystem (mit Basis 16)


Abbildung 15 : Umrechnungstabelle von Arabisch nach Römisch

Auch die alten Griechen verwendeten das Ziffernsystem nicht. Griechische Mathematiker bezeichneten Zahlen mit Buchstaben. Sie hatten spezielle Buchstaben für Zahlen von 100 bis 900. Viele Leute hielten griechische Zahlen damals für verwirrend.


Abbildung 15 : Altgriechische Buchstabentabelle.

Zur gleichen Zeit begannen chinesische Mathematiker, kleine Bambusstöcke für Berechnungen zu verwenden. Diese chinesische Zählmethode wird als erstes Dezimalstellensystem bezeichnet.


Abbildung 16 : Chinesische Zählweise mit Sticknummern. Wird mindestens ab 400 v. Chr. Verwendet. Das quadratische Zählbrett wurde bis etwa 1500 verwendet, als es durch einen Abakus ersetzt wurde.

Das einzigartigste Kontosystem wurde jedoch von den Maya-Indianern verwendet. Ihr Zahlensystem hatte eine Basis von 20. Um Zahlen von 1 bis 19 anzuzeigen, verwendeten sie Punkte und Linien. Was war der Unterschied zwischen ihrem Zahlensystem? Für jede Zahl verwendeten sie Kopfbilder und ein separates Nullsymbol 0.


Abbildung 17: Das Maya-Zahlensystem mit Basis 20, in dem Zahlen durch Köpfe angegeben sind


Abbildung 18 : Eine andere Möglichkeit, Maya-Zahlen zu schreiben.

0: Zahl, um nichts anzuzeigen

Einige Zivilisationen verwendeten Leerzeichen, um beispielsweise die Zahl 101 von 11 zu unterscheiden. Nach einiger Zeit erschien eine spezielle Zahl - Null. Zum Beispiel fanden Archäologen in einer Höhle in der indischen Stadt Gwalior an der Wand die Nummer 270, in der es Null gab. Die allererste aufgezeichnete Verwendung von Null ist in der Bodleian-Bibliothek zu sehen.


Abbildung 19 : Der Kreis an der Wand des Tempels in Gwalior bedeutet Null. Er ist ungefähr 1.500 Jahre alt.


Abbildung 20 : Schwarze Punkte im Bakhshali-Manuskript zeigen Nullen an. Dies ist das älteste schriftliche Beispiel für die Verwendung von Zahlen. Es ist ungefähr 1800 Jahre alt.

Vor ungefähr 1400 Jahren wurden die Regeln für das Rechnen mit Null geschrieben. Wenn Sie beispielsweise eine negative Zahl und eine Null hinzufügen, wird dieselbe negative Zahl erzeugt. Das Teilen durch Null ist nicht zulässig, da wir durch Teilen durch Null eine Zahl erhalten, die jeder von uns benötigten Zahl entsprechen kann, was verboten werden sollte.

Bald darauf veröffentlichten viele Menschen Bücher über Arithmetik, die die Verwendung der indo-arabischen Notation von Zahlen verbreiteten. Nachfolgend finden Sie die Entwicklung der indo-arabischen Zahlen. Die meisten Länder verwenden das indo-arabische Zahlensystem, aber die arabischen Länder verwenden immer noch arabische Zahlen.


Abbildung 21 : Dieses Diagramm zeigt die Entwicklung von Zahlen, die von Brahmi-Zahlen ausgehen und mit den Zahlen enden, die wir heute verwenden.


Abbildung 22 : Eine klassische Gravur "Arithmetik" aus Gregor Reishs Margarita Philosophica , die einen Wettbewerb zwischen Boethius, der nach der Entdeckung indo-arabischer Zahlen und schriftlicher Berechnungen lächelt, und den stirnrunzelnden Pythagoras zeigt, die immer noch versuchen, eine Nummerntafel zu verwenden.

Pi (π): die berühmteste irrationale Zahl

Pi ist die beliebteste irrationale Zahl, die uns bekannt ist. Pi kann auf zwei Arten gefunden werden: durch Berechnung des Verhältnisses des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser oder des Verhältnisses der Fläche eines Kreises zum Quadrat seines Radius. Euklid hat bewiesen, dass diese Beziehungen für alle Kreise konstant sind, auch für Mond, Penny, Reifen usw.

π = Kreis / Durchmesser ODER π = Kreisfläche / Radius²

Abbildung 22 : Animierte Beziehung zwischen Kreis und Durchmesser in Bezug auf pi.

Da irrationale Zahlen wie pi unendlich sind und keine Wiederholung haben, werden wir das Schreiben von pi niemals beenden. Es geht für immer weiter. Es gibt Leute, die sich an viele Dezimalstellen pi erinnern (der aktuelle Datensatz besteht aus 70.000 Stellen! Quelle: Guinness-Buch der Rekorde ).


Abbildung 23 : Umfragedaten von 941 Befragten, um den Prozentsatz der Personen zu bestimmen, die sich nach dem Dezimalpunkt an pi-Zeichen erinnern können.


Abbildung 24 : An der Wand der U-Bahn-Station Karlsplatz in Wien sind Hunderte von Pi-Entladungen aufgezeichnet.

Derzeit konnten Computer insgesamt 2,7 Billionen Pi-Bits berechnen. Es mag viel erscheinen, aber tatsächlich ist dieser Weg endlos.

Wie ich oben sagte, fand die Nummer pi Euklid. Aber was haben die Leute vor Euklid gemacht, als sie den Bereich eines Kreises finden mussten? Historiker haben eine babylonische Tontafel entdeckt, in der das Verhältnis des Umfangs des Sechsecks zum Durchmesser des um ihn herum beschriebenen Kreises aufgezeichnet wurde. Nach Berechnungen ergab sich eine resultierende Zahl von 3,125. Es ist sehr nah an pi.


Abbildung 24 : Babylonische Tontafel mit dem Verhältnis des Umfangs des Sechsecks zur Länge des umschriebenen Kreises.


Abbildung 25 : Numberwarrior

Die alten Ägypter kamen auch der Bedeutung von pi nahe. Historiker haben ein Dokument entdeckt, das zeigt, wie die alten Ägypter die Zahl pi gefunden haben. Als Historiker das Dokument übersetzten, fanden sie die folgende Aufgabe:

Um beispielsweise die Fläche eines Feldes mit einem Durchmesser von 9 Hüten (1 Hut = 52,35 Meter) zu ermitteln, müssen Sie die folgende Berechnung durchführen:

Subtrahieren Sie 1/9 des Durchmessers, nämlich 1. Der Rest ist 8. Multiplizieren Sie ihn mit 8, was 64 ergibt. Daher beträgt die Fläche 64 setjat (Flächeneinheit).

Mit anderen Worten, der Durchmesser beträgt 2r und 1/9 des Radius beträgt (1/9 • 2r). Wenn wir dies dann vom Anfangsdurchmesser subtrahieren, erhalten wir 2r - (1/9 • 2r) = 8/9 (2r). Dann beträgt die Fläche des Kreises 256/81 r². Das heißt, pi ist fast 3,16. Sie entdeckten diesen Pi-Wert vor etwa 4.000 Jahren.

Abbildung 26 : Achmes 'mathematischer Papyrus .

Griechische Mathematiker fanden jedoch einen besseren Weg, um pi zu berechnen. Zum Beispiel zog Archimedes es vor, mit Perimetern zu arbeiten. Er begann Kreise zu zeichnen, die Polygone unterschiedlicher Größe beschreiben. Als er das Sechseck zeichnete, zeichnete er einen Kreis mit einem Durchmesser von 1. Dann sah er, dass jede Seite des Sechsecks 1/2 und der Umfang des Sechsecks 1/2 x 6 = 3 ist. Dann erhöhte er die Anzahl der Seiten des Polygons, bis es wie ein Kreis aussah . Er arbeitete mit einem 96-seitigen Polygon und wandte dieselbe Methode an. Nach dem Dezimalpunkt erhielt er 2 Dezimalstellen pi: 3 und 10/71 = 3.14084. Viele Jahre später verwendete der chinesische Mathematiker Liu Hu ein 3072-seitiges Polygon und erhielt die Nummer 3.14159 (5 gültige Dezimalstellen von pi nach dem Dezimalpunkt). Danach hat ein anderer chinesischer Mathematiker, Zu Chunzhi, einen noch beeindruckenderen Job gemacht. Er arbeitete mit einem 24000-seitigen Polygon und erhielt 3.1415926 - sieben gültige Dezimalstellen pi nach dem Dezimalpunkt.

Tausend Jahre später arbeitete der deutsche Mathematiker Ludolf Zeilen mit 2 ^62- seitigen Polygonen und erhielt 35 Dezimalstellen pi. Diese Nummer, Lyudolfov genannt, wurde auf seinen Grabstein gemeißelt.




1706 verwendete der Engländer John Machin, der lange Zeit Professor für Astronomie gewesen war, die Additionsformel, um zu beweisen, dass pi gleich ist


Macin machte sich keine Sorgen darüber, woher diese Formel stammte, begann sie ständig zu verwenden und schrieb dann die unten gezeigte Serie auf. Dies war zu dieser Zeit der größte Schritt in der Anzahl der Stellen pi.


Abbildung 29 : Machin-Formel für pi

Die erste Erwähnung von pi erfolgte jedoch 1706. Der Mathematiklehrer William Jones schrieb ein Buch und schlug zunächst pi zum Messen von Kreisen vor. Also erschien pi zuerst in Büchern!




Abbildung 30 : Juliablogger

Im Jahr 1873 verwendete William Shanks die John Machin-Formel und erhielt 707 Dezimalstellen pi. Diese Nummern sind im Raum des Pariser Palastes der Entdeckungen geschrieben. Spätere Mathematiker stellten jedoch fest, dass nur 527 Ziffern wahr waren.


Abbildung 31 : Pi-Raum

Auf der anderen Seite entdeckte Buffon einen interessanteren Weg, um pi zu finden. Sein Experiment basierte auf zufällig streuenden Nadeln, um pi zu bewerten. Er zeichnete mehrere parallele Linien in einem Abstand D auf das Brett und nahm Nadeln der Länge L. Dann begann er zufällig, Nadeln auf das Brett zu werfen und schrieb den Anteil der Nadeln auf, die die Linie überquerten.


Abbildung 32.0 : Wissenschaftsfreitag

Danach warf ein anderer Mathematiker namens Lazzarini 3408 Mal auf die Nadel und erhielt sechs Dezimalstellen pi mit einem Verhältnis von 355/113. Wenn jedoch eine Nadel die Linie nicht überquerte, würde er nur 2 Stellen pi erhalten.


Abbildung 32.1 : 1000 Nadeln werfen, um den ungefähren pi abzuschätzen

e: Geschichte des exponentiellen Wachstums

e ist eine andere berühmte irrationale Zahl. Der Bruchteil e ist ebenso unendlich wie pi. Wir verwenden die Zahl e, um das (exponentielle) Leistungswachstum zu berechnen. Mit anderen Worten, wir verwenden e, wenn wir ein sehr schnelles Wachstum oder eine sehr schnelle Abnahme sehen.

Leonard Euler, einer der größten und vielleicht besten Mathematiker, entdeckte 1736 die Nummer e und erwähnte diese spezielle Nummer erstmals in seinem Buch Mechanica .



Abbildung 33 : Quelle

Um das exponentielle Wachstum zu verstehen, können wir die Geschichte eines Schacherfinders verwenden. Als er dieses Spiel erfand, zeigte er es dem Herrscher des Nordens. Der König mochte das Spiel und versprach, dem Autor eine Belohnung zu geben. Dann bat der Erfinder um etwas sehr Einfaches: 2 ⁰ Körner pro erste Zelle eines Schachbretts, 2 ¹ Körner pro zweite Zelle eines Schachbretts, 2 ² Körner pro Drittel und so weiter. Jedes Mal verdoppelte sich die Getreidemenge. Der König des Nordens glaubte, dass die Anfrage leicht zu erfüllen sei, aber er täuschte sich, weil es notwendig wäre, 2 ⁶³ Körner auf die letzte Zelle zu legen, die 9 223 372 036 854 775 808 ist . Dies ist ein exponentielles Wachstum. Es begann bei 1, verdoppelte sich ständig und wuchs nach 64 Schritten zu einer riesigen Zahl!

Wenn ein Schacherfinder eine lineare Gleichung wählen würde, zum Beispiel 2n, würde er 2, 4, 6, 8, ... 128 ... erhalten. Daher übersteigt das exponentielle Wachstum auf lange Sicht oft das Polynom bei weitem.

Übrigens ist 9.223.372.036.854.775.808-1 der Maximalwert einer 64-Bit-Ganzzahl mit Vorzeichen .

Abbildung 34 : Quelle: Wikipedia

Die Nummer e wurde von Euler entdeckt. Jacob Bernoulli arbeitete jedoch auch mit der Zahl e, als er die Zinseszinsen berechnete, um mehr Geld zu verdienen. Wenn Sie 100 USD in 10% des Einkommens investieren, wie wird dieser Betrag wachsen? Erstens hängt es davon ab, wie oft die Bank Zinsen berechnet. Wenn er zum Beispiel einmal rechnet, erhalten wir am Ende des Jahres 110 US-Dollar. Wenn wir unsere Meinung ändern und alle 6 Monate Interesse zeigen, erhalten wir in diesem Fall mehr als 110 Dollar. Tatsache ist, dass der Prozentsatz, der in den ersten 6 Monaten eingegangen ist, auch seinen Prozentsatz erhält. Der Gesamtbetrag beträgt 110,25 Dollar. Sie können sich vorstellen, dass wir mehr Geld bekommen können, wenn wir jedes Quartal des Jahres Geld nehmen. Und wenn wir das Zeitintervall verkürzen, werden die endgültigen Beträge weiter wachsen. Solch ein unendlicher Zinseszins wird uns reich machen! Unser Gesamtumsatz tendiert jedoch zu dem begrenzten Wert, der mit e verbunden ist .

Bernoulli hat die Nummer 2.71828 nicht mit dem Namen e angerufen. Als Euler mit 2.71828 arbeitete, erhöhte er die Exponentialfunktion e auf die Potenz von x . Er beschrieb seine Entdeckungen in dem Buch The Analysis of Infinite .

1798 verwendete Thomas Malthus in seinem Aufsatz über den Nährstoffmangel der Zukunft eine Exponentialfunktion. Er erstellte ein Liniendiagramm, das die Lebensmittelproduktion zeigt, und ein Exponentialdiagramm, das die Weltbevölkerung zeigt. Malthus kam zu dem Schluss, dass das exponentielle Wachstum auf lange Sicht triumphieren wird und die Welt mit einer ernsthaften Nahrungsmittelknappheit konfrontiert ist. Dieses Phänomen wurde als "malthusianische Katastrophe" bezeichnet. Newton verwendete dieses Modell auch, um zu zeigen, wie sich eine Tasse Tee abkühlt.


Abbildung 35 : Newton-Richmann-Gesetz


Abbildung 36 : Malthusianische Katastrophe

Imaginäre Zahl: i, Quadratwurzel -1

Mathematiker hatten lange Zeit genug gewöhnliche Zahlen, um ihre Probleme zu lösen. Irgendwann für ihre weitere Entwicklung mussten sie jedoch etwas Neues und Geheimnisvolles entdecken.Zum Beispiel versuchte der italienische Mathematiker Cardano, die Zahl 10 in zwei Teile zu teilen, deren Produkt gleich 40 wäre. Um dieses Problem zu lösen, schrieb er die Gleichung auf: x (10-x) = 40. Als er diese quadratische Gleichung löste, erhielt er zwei Lösungen: 5 plus √-15 und 5 minus √-15, was zu diesem Zeitpunkt keinen Sinn ergab. Dieses Ergebnis war bedeutungslos, da er nach der Definition der Quadratwurzel eine Zahl finden musste, deren Quadrat negativ sein würde. Sowohl positive als auch negative quadratische Zahlen haben jedoch einen positiven Wert. Wie dem auch sei, er fand seine eindeutige Nummer. Euler war jedoch der erste Mathematiker, der √-1 (die Quadratwurzel von minus eins) die imaginäre Zahl i nannte .

Leibniz gab einen solchen Kommentar zur imaginären Zahl √-1 ab:

Komplexe Zahlen sind eine schöne und wunderbare Zuflucht des göttlichen Geistes, fast eine Amphibie des Nichtseins.

Wir können imaginäre Zahlen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Addition, Subtraktion und Multiplikation sind einfach und die Division etwas komplizierter. Real- und Imaginärteil werden getrennt gefaltet. Im Falle der Multiplikation ist i ² gleich -1.

Nach Euler führte der Mathematiker Caspar Wessel imaginäre Zahlen geometrisch ein und schuf eine komplexe Ebene. Heute stellen wir jede komplexe Zahl a + bi als Punkt mit Koordinaten (a, b) dar.



Abbildungen 37 und 38 : Komplexe Zahlen

In der viktorianischen Zeit standen viele imaginären Zahlen misstrauisch gegenüber. Der irische Mathematiker und Astronom William Rowan Hamilton beendete diese Zweifel jedoch, indem er komplexe Zahlen für Quaternionen definierte .

Die schönste Gleichung: Eulers Identität

Eulers Identität verbindet eine Exponentialfunktion mit Sinus- und Cosinusfunktionen, deren Werte von minus eins bis eins reichen. Um eine Verbindung mit trigonometrischen Funktionen zu finden, können wir sie als unendliche Reihe darstellen, die für alle Werte gilt



Abbildung 39 : Ermittlung der Euler-Identität


Abbildung 40 : Euler-Identität

Euler hat diese Identität nie explizit aufgezeichnet, und wir wissen nicht, wer sie zuerst aufgezeichnet hat. Trotzdem verbinden wir es mit dem Namen Euler in Ehrfurcht vor diesem großen Pionier der Mathematik.