Einführung in die Mengenlehre

Das Konzept der Unendlichkeit ist ideologisch weit von der gewöhnlichen mathematischen Terminologie entfernt - kein anderes Thema geht über die Mathematik hinaus und verwandelt sich von einem praktischen analytischen Werkzeug in ein mythisches Phänomen. Das Konzept der Unendlichkeit auf einem kurzen Fuß mit kulturellen Themen wie Religion und Philosophie und ist in eine mysteriöse Aura der Göttlichkeit gehüllt.

Es war einmal ein grundlegender Glaube an alle akademischen Disziplinen - es gibt nur eine Unendlichkeit .

Aber 1874 machte ein eher wenig bekannter Mathematiker eine Reihe revolutionärer Beobachtungen, die diesen allgemein akzeptierten und tief verwurzelten Glauben in Frage stellten. Georg Cantor hat in seiner (mittlerweile legendären) Veröffentlichung Über eine Eigenschaft der Sammlung aller reellen algebraischen Zahlen bewiesen, dass viele reelle Zahlen "zahlreicher" sind als viele algebraische Zahlen. Also hat er zuerst gezeigt, dass es unendlich viele verschiedene Größen gibt (keine Sorge - um dies zu verdeutlichen, werden wir seinen Artikel bald im Detail studieren).


„Vieles ist eine große Menge, mit der man sich als eins wahrnehmen kann“ - Georg Cantor

Von 1874 bis 1897 veröffentlichte Cantor Artikel für Artikel vehement und erweiterte seine Theorie der abstrakten Mengen zu einer blühenden Disziplin. Sie stieß jedoch auf hartnäckigen Widerstand und Kritik; Viele Pedanten glaubten, dass seine Theorien in den Bereich der Philosophie vordrangen und das Prinzip der Religion verletzten.

Als jedoch praktische Anwendungen der mathematischen Analyse gefunden wurden, änderte sich die Einstellung zur Theorie und Cantors Ideen und Ergebnisse wurden zunehmend anerkannt. Im ersten Jahrzehnt des 20. Jahrhunderts erreichten seine Beobachtungen, Theorien und Veröffentlichungen ihren Höhepunkt - die Anerkennung der modernen Mengenlehre als neues, völlig einzigartiges Gebiet der Mathematik:

Die Mengenlehre ist eine mathematische Theorie über genau definierte Mengen (Mengen) einzelner Objekte, die als Mitglieder oder Elemente einer Menge bezeichnet werden.

Wie viele Zahlen liegen zwischen 0 und 1?

Cantors erste viereinhalbseitige Veröffentlichung ist ein hervorragendes Beispiel für Kürze. Es ist in zwei separate Beweise unterteilt, die gemeinsam zu dem Schluss führen, dass es mindestens zwei einzigartige Arten von Mengen gibt.

Im ersten Teil der Theorie untersuchen wir die Menge der reellen algebraischen Zahlen und beweisen, dass es sich um eine unendlich zählbare Menge handelt . Es sollte nicht verwechselt werden - „Zählen“ bedeutet nicht unbedingt, dass das Konto streng in ganzen Zahlen geführt wird. Im Kontext der Mengenlehre bedeutet „zählbar“, dass eine Menge, selbst wenn sie aus einer unendlichen Anzahl von Elementen besteht, durch eine sich wiederholende Reihe beschrieben werden kann , beispielsweise durch eine geordnete Polynomfunktion . Cantor nannte diese Eigenschaft eines unendlichen Satzes von Eins-zu-Eins-Korrespondenznummern mit einer Reihe das Vorhandensein einer Eins-zu-Eins-Korrespondenz .

Kurz gesagt, die Menge oder Menge aller reellen algebraischen Zahlen kann unter Verwendung einiger theoretischer Reihen von Polynomen mit verschiedenen Graden und Koeffizienten abgeleitet werden; Daher ist die Menge aller reellen algebraischen Zahlen eine unendlich zählbare Menge .

Im zweiten Teil von Cantors Arbeit wird die Rolle realer komplexer Zahlen, auch transzendentale Zahlen genannt, analysiert. Transzendentale Zahlen (die besten Beispiele dafür sind pi und e) haben eine merkwürdige Eigenschaft: Es ist mathematisch unmöglich, sie mithilfe einer Polynomfunktion abzuleiten - sie sind nicht algebraisch. Unabhängig von der Größe, Anzahl der Teile, Grade oder Koeffizienten kann keine Reihe pi jemals in ihrer Sammlung einer unendlich zählbaren Menge zählen.

Kantor gibt dann an, dass in jedem geschlossenen Intervall [ a , b ] mindestens eine transzendentale Zahl existiert, die niemals in einer unendlich zählbaren Menge gezählt werden kann. Da eine solche Zahl existiert, wird angenommen, dass es in der Familie der reellen Zahlen eine unendliche Anzahl von transzendentalen Zahlen gibt.

So zeigte er einen sehr deutlichen Unterschied zwischen der Menge kontinuierlicher, fließender unzähliger Zahlen und der Menge zählbarer Zahlen, die beispielsweise als Reihe aller reellen algebraischen Zahlen dargestellt werden können.

Weiter: Aufzeichnung und Operationen

Cantors erste Veröffentlichung gipfelte in dieser erstaunlichen Bestätigung der Existenz von mindestens zwei verschiedenen Arten von Unendlichkeit. Nach seinem ersten Artikel tauchten zahlreiche Ergänzungen auf, die langsam aber sicher den Weg zur modernen Mengenlehre ebneten.


Es lohnt sich auch, eine interessante Beobachtung zu teilen: Die meisten Menschen, die die Mengenlehre in der Praxis verwenden, anstatt diesen speziellen Satz zu schätzen, aber die verallgemeinerte Sprache, die sie setzt. Aufgrund ihrer abstrakten Natur wirkt sich die Mengenlehre verdeckt auf viele Bereiche der Mathematik aus. In der mathematischen Analyse, die Differential- und Integralrechnung erfordert, ist ein Verständnis der Grenzen und der Kontinuität von Funktionen erforderlich, die schließlich in der Mengenlehre festgelegt sind. In der Algebra der Logik entsprechen die logischen Operationen "und", "oder" und "nicht" den Operationen von Schnittmenge, Vereinigung und Differenz in der Mengenlehre. Und nicht zuletzt legt die Mengenlehre die Grundlage für die Topologie - das Studium geometrischer Eigenschaften und räumlicher Beziehungen.

Mit einem grundlegenden Verständnis der Geschichte der Mengen und einem kurzen Einblick in die Tiefen ihres Einflusses können wir beginnen, uns mit den Grundlagen des Notationssystems der Mengenlehre vertraut zu machen.

Teil Zwei Ein kurzer Überblick über Operationen, Notationen und Venn-Diagramme.

Wie im vorherigen Teil erwähnt, wächst einer der grundlegenden Vorteile der Mengenlehre nicht aus einer bestimmten Theorie, sondern aus der Sprache, die sie geschaffen hat. Aus diesem Grund wird der Hauptteil dieses Abschnitts der Notation, den Operationen und der visuellen Darstellung der Mengenlehre gewidmet sein. Beginnen wir mit der Erläuterung der Grundsymbole der Notation einer Menge - der ihr entsprechenden Elemente. Die folgende Tabelle zeigt ein Beispiel für eine Menge A mit drei Elementen:


A ist eine Menge mit den Elementen "1", "2" und "3".

"1" ist ein Element der Menge A.

Die erste Zeile zeigt die Menge A mit drei separaten Elementen ( A = {1,2,3} ); Die zweite Zeile zeigt die korrekte Bezeichnung eines einzelnen Betonelements 1, das zur Menge A gehört. Bisher ist alles recht einfach, aber die Mengenlehre wird wesentlich interessanter, wenn wir die zweite Menge hinzufügen - die Reise durch Standardoperationen beginnt.

Für die obige Tabelle führen wir zwei zusätzliche Mengen B und C ein, die die folgenden Elemente enthalten: B = {3, A, B, C, D, E} , C = {1,2} . Obwohl wir drei Sätze (A, B und C) erstellt haben, werden in den folgenden Beispielen die Operationen gleichzeitig mit nur zwei Sätzen ausgeführt. Achten Sie also darauf, welche Sätze in der Spalte ganz links angegeben sind . Die folgende Tabelle zeigt die fünf häufigsten Operanden von Mengen:


Operationen: Schnittpunkt - die Menge von Elementen, die zur Menge A und zur Menge B gehören;

Vereinigung - eine Menge von Elementen, die zu einer Menge A oder einer Menge B gehören;

Teilmenge - C ist eine Teilmenge von A, die Menge C ist in der Menge A enthalten;

eigene (wahre) Teilmenge - C ist eine Teilmenge von A, aber C ist nicht gleich A;

relative Ergänzung - eine Reihe von Elementen, die zu A und nicht zu B gehören.

Hier sind sie die häufigsten Operationen in der Mengenlehre; Sie sind in Bereichen außerhalb der reinen Mathematik sehr beliebt. Tatsächlich ist es sehr wahrscheinlich, dass Sie in der Vergangenheit bereits ähnliche Arten von Vorgängen gesehen haben, wenn auch nicht ganz mit dieser Terminologie, und sie sogar verwendet haben. Gute Illustration: Bitten Sie jeden Schüler, ein Venn-Diagramm aus zwei sich überschneidenden Gruppen zu beschreiben, und er wird intuitiv zum richtigen Ergebnis gelangen.

Schauen Sie sich noch einmal die letzte Zeile an, die relative Addition - was für eine ungewöhnliche Kombination von Wörtern ist das? Relativ zu was? Wenn das relative Komplement A - B als A und nicht als B definiert ist , wie bezeichnen wir dann alles , was nicht B ist?

Universelles Set - leeres Set

Es stellt sich heraus, dass wir, wenn wir eine aussagekräftige Antwort erhalten möchten, zuerst den Kontext unseres gesamten Satzproblems bereitstellen müssen. Es wird häufig zu Beginn einer Aufgabe explizit definiert, wenn die zulässigen Elemente einer Menge auf eine feste Klasse von Objekten beschränkt sind, in denen eine universelle Menge existiert , die eine gemeinsame Menge ist, die alle Elemente für diese bestimmte Aufgabe enthält. Wenn wir beispielsweise nur mit Mengen aus den Buchstaben des englischen Alphabets arbeiten möchten, besteht unsere universelle Menge U aus 26 Buchstaben des Alphabets.

Für jede Teilmenge A der Menge U ist das Komplement der Menge A (bezeichnet mit A oder U - A ) als die Menge aller Elemente in der allgemeinen Population U definiert , die nicht in A ist. Wenn wir zu der oben gestellten Frage zurückkehren, dann ist das Komplement der Menge B alles innerhalb der universellen Menge, was nicht zu B gehört , einschließlich A.

Bevor wir fortfahren, müssen wir noch eine weitere Prinzipmenge erwähnen, die für ein grundlegendes Verständnis wichtig genug ist: Null oder leere Menge. Denken Sie daran, dass es einen einzigen leeren Satz gibt, daher sagen sie niemals „leere Sätze“. Obwohl wir in diesem Artikel die Äquivalenz nicht berücksichtigen werden, lautet die grundlegende Theorie, dass zwei Mengen äquivalent sind, wenn sie dieselben Elemente haben. Daher kann es nur eine Menge ohne Elemente geben. Daher gibt es einen einzelnen leeren Satz.

Venn-Diagramme und der Rest

Venn-Diagramme, die 1880 von John Venn offiziell erfunden wurden, sind genau das, was Sie sich vorstellen, obwohl ihre wissenschaftliche Definition ungefähr so ​​klingt:

Schematische Darstellung aller möglichen Beziehungen mehrerer Mengen

Unten sehen Sie ein Bild der sechs häufigsten Venn-Diagramme, von denen fast alle kürzlich untersuchte Operanden zeigen:


Vereinigung, Schnittpunkt, relatives Komplement, symmetrische Differenz, richtige Teilmenge, absolutes Komplement.

Ausgehend von einer sehr einfachen Notation für eine Menge und ihre Elemente lernten wir dann die grundlegenden Operationen kennen, mit denen wir diesen visuellen Hinweis zeichnen konnten. Wir haben alle Operationen mit Ausnahme der symmetrischen Differenz (unten links) untersucht. Um keine Wissenslücken zu hinterlassen, sagen wir, dass ein symmetrischer Unterschied, auch disjunktive Vereinigung genannt , einfach eine Menge von Elementen ist, die sich in einer der Mengen befinden, aber nicht in ihren Schnittpunkt eingehen .

Wir schließen diesen Abschnitt mit der Einführung des Machtbegriffs (Kardinalzahl) . Die Potenz einer Menge, die durch ein Symbol des absoluten Werts gekennzeichnet ist, ist einfach die Anzahl der eindeutigen Elemente, die in einer bestimmten Menge enthalten sind. Für das oben gezeigte Beispiel ist die Potenz von drei Sätzen gleich: | A | = 3, | B | = 6, | C | = 2.

Bevor ich fortfahre, werde ich Ihnen zum Nachdenken anregen - wie ist das Verhältnis zwischen Macht und der Anzahl möglicher Teilmengen?

Teil 3. Potenz- und Exponentialsätze

In den beiden vorhergehenden Teilen haben wir die Grundlagen der Mengenlehre herausgefunden. Im dritten Teil werden wir unser Verständnis stärken, indem wir uns auf die wichtigste Eigenschaft einer Menge konzentrieren: die Gesamtzahl der darin enthaltenen einzigartigen Elemente .

Die Anzahl der eindeutigen Elemente in einer Menge, auch als Potenz bezeichnet , bietet uns einen grundlegenden Bezugspunkt für eine weitere, tiefere Analyse dieser Menge. Erstens ist Leistung die erste der einzigartigen Eigenschaften, die wir in Betracht ziehen und die es uns ermöglichen, verschiedene Arten von Mengen objektiv zu vergleichen und zu prüfen, ob eine Bijektion (dies ist mit ein paar Einschränkungen einfach ein verfeinerter Begriff für Funktion ) von einer Menge zur anderen existiert. Eine andere Möglichkeit, Energie zu verwenden, sowie das Thema dieses Teils des Artikels, Macht, ermöglicht es uns, alle möglichen Teilmengen zu bewerten, die in dieser Menge vorhanden sind . Dies kann buchstäblich bei alltäglichen Problemen der Verteilung von Entscheidungen angewendet werden, sei es bei der Budgetplanung für eine Reise in ein Lebensmittelgeschäft oder bei der Optimierung eines Aktienportfolios.


Beispiele für Kardinalität

In der obigen Tabelle sind beispielsweise fünf separate Sätze aufgeführt, deren Leistung rechts angegeben ist. Wie wir bereits gesagt haben, ähnelt das Symbol der Macht dem Symbol des absoluten Wertes - dem Wert, der zwischen zwei vertikalen Linien eingeschlossen ist. Alle Beispiele sind verständlich, mit der möglichen Ausnahme der letzten Zeile, die die Tatsache betont, dass nur eindeutige Elemente der Menge die Macht beeinflussen.

Erinnern Sie sich an die Teilmengen aus dem vorherigen Teil des Artikels? Es stellt sich heraus, dass die Kardinalität einiger Mengen A und die Anzahl möglicher Teilmengen von A eine erstaunliche Verbindung haben. Es wird unten gezeigt, dass die Anzahl von Teilmengen, die aus einer bestimmten Teilmenge zusammengesetzt werden können, mit der Reihenfolge der Leistung um einen vorhersagbaren Wert zunimmt:

Die Anzahl der möglichen Teilmengen in C = 2 ^{| C |}

Schauen wir uns das folgende Beispiel genauer an. Lassen Sie uns jedoch zunächst über die Formel nachdenken. Stellen Sie sich die Leistung als die Gesamtzahl der „Positionen“ vor, die eine Menge sind. Beim Erstellen einer Teilmenge für jede mögliche Position wird eine boolesche Entscheidung getroffen (Ja / Nein) . Dies bedeutet, dass jedes eindeutige Element, das der Menge hinzugefügt wird (dh die Leistung um eins erhöht), die Anzahl möglicher Teilmengen um den Faktor zwei erhöht. Wenn Sie Programmierer oder Wissenschaftler sind, können Sie diese Logik etwas besser verstehen, wenn Sie verstehen, dass alle Teilmengen der Menge mithilfe einer Binärzahlentabelle berechnet werden können.

Exponentialsatz (bulean)

Bevor wir alle Teilmengen für ein Beispiel der Menge C berechnen, möchte ich das letzte Konzept vorstellen - den Booleschen Wert .

Ein Bulean wird mit dem Großbuchstaben S bezeichnet , gefolgt von der Anfangssatz S (C) in Klammern. Ein Boolescher Wert ist die Menge aller Teilmengen von C, einschließlich der leeren Menge und der Menge C selbst. Die folgende Tabelle zeigt den Booleschen Wert S (C) mit allen Permutationen der möglichen Teilmengen für die Menge C, die in einer großen Menge enthalten sind.


Zur Vereinfachung der Formatierung habe ich Kommas zwischen Sätzen entfernt ***

Wie kann ein Boulean nützlich sein? Tatsächlich haben Sie wahrscheinlich viele Male intuitiv Boolesche Werte verwendet, ohne es zu merken. Jedes Mal, wenn Sie eine Teilmenge von Elementen aus einer größeren Menge auswählen, wählen Sie ein Boolesches Element aus. Zum Beispiel studiert ein Kind sorgfältig eine Konditorei mit einer 5-Dollar-Rechnung - welches Element des Boulean aus dem Satz aller verfügbaren Süßigkeiten wird es wählen? Oder wenn Sie ein technischeres Beispiel nehmen: Als Softwareentwickler müssen Sie möglicherweise alle möglichen Datenbankbenutzer anfordern, die auch die Eigenschaften X und Y haben - ein weiterer Fall, in dem eine Teilmenge aus allen möglichen Teilmengen ausgewählt wird.

Äquivalenz und bijektive Funktion

Jetzt verstehen wir, was die Kraft der Menge ist, warum sie wichtig ist und wie sie mit dem Booleschen verbunden ist. Kehren wir daher kurz zu dem zurück, was am Anfang erwähnt wurde: Was definiert spezifisch die Äquivalenz in der Mengenlehre?

Natürlich haben zwei Mengen mit derselben Potenz eine gemeinsame Eigenschaft, aber die Ähnlichkeiten enden dort - was ist, wenn eine der Mengen mehrere Elemente enthält? Was ist, wenn zwei Sätze die gleiche Leistung und Anzahl von Elementen haben? Es kann nicht geleugnet werden, dass sie bis zu einem gewissen Grad „äquivalent“ sind, aber selbst in diesem Fall besteht immer noch die Möglichkeit von Unterschieden, da jede Menge unterschiedliche Elemente haben kann, die gleich oft wiederholt werden. Der Punkt hier ist, dass das Konzept der Äquivalenz in der Mengenlehre anderen Bereichen der Mathematik ein wenig fremd ist. Die Herstellung von Äquivalenz in dieser Welt erfordert die Kenntnis dieses Konzepts und einer neuen Sprache. Im letzten Teil dieses Artikels stellen wir das Konzept der Äquivalenz sowie grundlegende Eigenschaften wie injizierende, bijektive und surjektive Funktionen vor.

Teil 4. Funktionen.

In diesem Teil werden wir mehr über Funktionen innerhalb der Mengenlehre sprechen. Wie bei den vorherigen Konzepten unterscheidet sich die Terminologie der Standardfunktionen in der Mengenlehre geringfügig von anderen Bereichen der Mathematik und bedarf daher einer Erläuterung. Es gibt viele Begriffe, also kommen wir sofort zur Sache! Die erste Tabelle unten zeigt die Konzepte einer Definitionsdomäne, einer Wertedomäne und eines Funktionswerts:


Eine Funktion in der Welt der Mengenlehre ist einfach die Entsprechung einiger (oder aller) Elemente von Menge A zu einigen (oder allen) Elementen von Menge B. Im obigen Beispiel wird die Menge aller möglichen Elemente von A als Definitionsbereich bezeichnet ; Die als Eingabewerte verwendeten Elemente von A werden insbesondere als Argumente bezeichnet . Rechts wird die Menge aller möglichen Ausgabewerte (in anderen Bereichen der Mathematik als „Domäne der Werte“ bezeichnet) als Co-Region bezeichnet . Die Menge der realen Ausgabeelemente B, die A entspricht, wird als Bild bezeichnet .

Bisher nichts wirklich Kompliziertes, nur eine neue Art, Funktionsparameter einzustellen . Als nächstes werden wir darüber sprechen, wie man es beschreibt das Verhalten dieser Matching-Funktionen unter Verwendung der üblichen Arten von Funktionen.

Injektion, Surjektion und Bijektion

In der Mengenlehre werden normalerweise drei Konzepte verwendet, um die Entsprechung von Mengen zu klassifizieren: Injektion , Surjektion und Bijektion . Leider haben diese Konzepte verschiedene Namen, die die Verwirrung verstärken. Daher werden wir uns zuerst jede Definition und dann visuelle Beispiele ansehen. Alle drei Begriffe beschreiben die Art und Weise, wie Argumente auf Bilder abgebildet werden:

• Eine Funktion ist injektiv ( oder "eins zu eins" ), wenn jedes Element in der Co-Region nicht mehr als einem Element im Definitionsbereich zugeordnet ist.
• , . ( .)
• , .

Die Kirsche auf dem Kuchen für diese komplexen Definitionen war die mögliche zusätzliche Bedeutung der Wörter "injektiv", "surjektiv" und "bijektiv". Wenn sie zur Beschreibung einer Funktion (Entsprechung) verwendet werden, ist der obige Wert wahr; Es ist jedoch auch richtig , Funktionen (Entsprechungen) nur anhand dieser Merkmale zu identifizieren . Das heißt, eine Funktion mit injizierendem Verhalten wird als Injektion bezeichnet , eine Funktion mit surjektivem Verhalten wird als Surjektion bezeichnet , und eine Funktion mit bijektivem Verhalten wird als Bijektion bezeichnet .

Lesen Sie die Liste der Punkte oben noch einmal. Bijektion ist einfach Eine Eine Funktion, sterben Torerfolg vorherigen Exigences Erfüllt. das heißt, die Funktion ist injektiv und surjektiv. Die Injektionsfunktion sollte nicht surjektiv sein, und die Surjektivfunktion wurde nicht injizierend sein. Das Folgende ist ein visuelles Beispiel, in dem diese drei Klassifikationen zur Wahrung von Mengenfunktionen, die durch vier Kombinationen von injizierenden und surjektiven Eigenschaften gehören:


Bijektion (Injektion + Surjektion), Injektion (Injektion + Nicht-Surjektion), Surjektion (Nicht-Injektion + Surjektion), ohne Klassifizierung (Nicht-Injektion + Nicht-Surjektion)

Das ist alles! Jetzt haben wir ein elementares Verständnis der häufigsten Beziehungen, die in der Welt der Mengen zu finden sind. Dies ist jedoch keineswegs das Ende unserer Reise, im Gegenteil, dies ist der Anfang.

Die grundlegenden Grundlagen der Mengenlehre sind der Schlüssel zum Verständnis übergeordneter Bereiche der Mathematik. Um unsere Aufwärtsbewegung in Richtung dieser verschiedenen Bereiche fortzusetzen, müssen wir unser Wissen über die Mengenlehre nutzen, um eine der revolutionärsten Theorien in der Geschichte der Mathematik zu klären: das Zermelo-Frenkel-Axiomensystem .