Die subtile Kunst der mathematischen Hypothese

Dies ist kein Beweis, sondern eine Vermutung, die auf Wissen beruht. Aber eine gute Hypothese führt die Mathematik voran und weist den Weg zur mathematischen Dunkelheit.

Der Autor des Artikels ist Robert Dijkgraaf , ein theoretischer Physiker, ein Spezialist für Stringtheorie, Direktor des Institute for Advanced Study in Princeton und Professor an der Universität von Amsterdam.

Bergsteigen ist eine beliebte Metapher für die mathematische Forschung. Ein solcher Vergleich ist kaum zu vermeiden: Eine gefrorene Welt, verdünnte kalte Luft, die harte Starrheit des Bergsteigens ähnelt einer unaufhaltsamen Landschaft aus Zahlen, Formeln und Theoremen. So wie ein Kletterer seine Fähigkeiten einem unnachgiebigen Objekt - in seinem Fall einer Steinmauer - gegenüberstellt, so kämpft ein Mathematiker oft im Kampf des menschlichen Geistes gegen die starre Logik.

In der Mathematik spielen die großen Hypothesen die Rolle der Berggipfel - scharf formulierte Aussagen, höchstwahrscheinlich wahr, aber ohne überzeugende Beweise. Diese Hypothesen haben tiefe Wurzeln und weitreichende Konsequenzen. Die Suche nach ihren Lösungen ist ein großer Teil der Mathematik. Ewige Herrlichkeit erwartet ihren ersten Eroberer.

Interessanterweise haben Mathematiker die Formulierung von Hypothesen auf das Niveau der hohen Kunst gebracht. Die strengste Wissenschaft liebt die mildesten Formen. Eine gut gewählte, aber nicht nachgewiesene Aussage kann den Autor auf der ganzen Welt berühmt machen, vielleicht sogar mehr als die Person, die den endgültigen Beweis liefert. Die Poincare-Vermutung bleibt die Poincare-Vermutung, auch nachdem sie von Grigory Yakovlevich Perelman bewiesen wurde. Und schließlich bestieg der Brite George Everest, der in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts der Hauptvermesser Indiens war, nie den Berg, der seinen Namen trägt.

Wie in jeder Kunstform muss eine große Hypothese mehrere verbindliche Kriterien erfüllen. Erstens sollte es nicht trivial sein - schwer zu beweisen. Mathematiker sagen manchmal: "Die Aufgabe ist die Arbeit nur wert, wenn sie sich widersetzt" oder "Wenn die Aufgabe Sie nicht nervt, ist sie wahrscheinlich zu einfach für Sie." Wenn eine Hypothese innerhalb weniger Monate bewiesen wird, hat ihr Schöpfer möglicherweise etwas länger nachgedacht, bevor er sie für die Welt geöffnet hat.

Der erste Versuch, eine umfassende Sammlung der größten mathematischen Probleme zusammenzustellen, wurde zu Beginn des letzten Jahrhunderts von David Hilbert unternommen, der als letzter Universalmathematiker bezeichnet wird. Obwohl sich seine Liste von 23 Themen im Rückblick als ziemlich einflussreich herausstellte, scheint er uns ziemlich gemischt zu sein.

Es enthält langjährige universelle Favoriten wie die Riemann-Hypothese, die oft als die größten der Großen angesehen wird und seit mehr als hundert Jahren für Mathematiker der Everest bleibt. Als er Hilbert fragte, was er zuerst wissen möchte, nachdem er nach einem 500-jährigen Traum aufgewacht war, erinnerte er sich sofort an diese Hypothese. Es beschreibt den grundlegenden intuitiven Begriff der Verteilung von Primzahlen - Atomen der Arithmetik - und sein Beweis wird enorme Auswirkungen auf viele Bereiche der Mathematik haben.

Hilbert führte jedoch viel vageere und nicht strengere Ziele auf, wie "eine mathematische Untersuchung der Axiome der Physik" oder "die Entwicklung von Methoden zur Variationsrechnung ". Eine der Hypothesen bezüglich der gleichen Zusammensetzung gleich großer Polyeder wurde von seinem Schüler Max Dan im selben Jahr, in dem die Liste veröffentlicht wurde, entschieden. Viele der von Hilbert beschriebenen Gipfel erwiesen sich eher als Ausläufer.

Die höchsten Peaks werden nicht mit einem Versuch eingereicht. Expeditionen errichten sorgfältig Basislager und spannen Seile und steigen dann langsam auf den Gipfel. In der Mathematik erfordert der Angriff auf ein ernstes Problem häufig auch den Aufbau komplexer Strukturen. Ein direkter Angriff gilt als dumm und naiv. Die Konstruktion dieser mathematischen Hilfskonstruktionen dauert manchmal Jahrhunderte, und infolgedessen erweisen sie sich manchmal als wertvoller als der eroberte Satz. Dann werden diese Wälder zu einer dauerhaften Ergänzung der Architektur der Mathematik.

Ein perfektes Beispiel für dieses Phänomen wird der Beweis von Fermats großem Satz sein , der 1994 von Andrew John Wiles erhalten wurde. Es ist bekannt, dass Fermat 1639 seine Hypothese am Rande von Diophantus '„Arithmetik“ schrieb. Für die Entwicklung mathematischer Werkzeuge dauerte der Beweis jedoch mehr als dreihundert Jahre. Insbesondere mussten Mathematiker eine sehr fortgeschrittene Kombination aus Zahlentheorie und Geometrie schaffen. Dieser neue Bereich, die arithmetische Geometrie , ist heute eine der tiefsten und weitreichendsten mathematischen Theorien. Es geht weit über die Fermat-Hypothese hinaus und wurde verwendet, um viele offene Fragen zu lösen.

Die große Hypothese muss auch tief sein und sich mitten in der Mathematik befinden. Tatsächlich spiegelt die Metapher der Eroberung des Gipfels nicht alle Konsequenzen der Beweiserhebung wider. Es zu erreichen ist nicht das ultimative Ziel einer schwierigen Reise, sondern der Ausgangspunkt eines noch größeren Abenteuers. Ein geeigneterer Weg wäre ein Gebirgspass, ein Sattel, der es dem Reisenden ermöglicht, sich von einem Tal in ein anderes zu bewegen. Dies macht die Riemann-Hypothese so mächtig und beliebt. Es enthüllt viele andere Theoreme und Ideen, und daraus ergeben sich umfangreiche Verallgemeinerungen. Mathematiker untersuchen das reiche Tal, zu dem es Zugang bietet, obwohl es rein hypothetisch bleibt.

Darüber hinaus sollten ausreichend starke Beweise die Hypothese stützen. Bekanntes Sprichwort von Niels Bohr: „Das Gegenteil einer korrekten Aussage ist eine falsche Aussage. Aber das Gegenteil von tiefer Wahrheit kann eine andere tiefe Wahrheit sein. " Für die große Hypothese ist dies jedoch eindeutig nicht der Fall. Da umfangreiche indirekte Beweise normalerweise zu ihren Gunsten sprechen, scheint ihre Ablehnung unwahrscheinlich. Beispielsweise wurden die ersten 10 Billionen Fälle der Riemann-Hypothese auf einem Computer numerisch überprüft. Wer kann noch an ihrer Loyalität zweifeln? Ein solches unterstützendes Material befriedigt jedoch keine Mathematiker. Sie fordern absolute Sicherheit und wollen wissen, warum die Hypothese wahr ist. Nur überzeugende Beweise können eine solche Antwort geben. Die Erfahrung zeigt, dass es leicht ist, eine Person zu täuschen. Gegenbeispiele können sich ziemlich weit weg verstecken, wie das, das Noam Elkis gefunden hat, ein Harvard-Mathematiker, der Eulers Hypothese widerlegte, eine Variation von Fermats Hypothese, die besagte, dass eine Zahl vierten Grades nicht in Form von drei anderen Zahlen vierten Grades geschrieben werden kann. Wer hätte gedacht, dass es im ersten Gegenbeispiel eine Zahl von 30 Stellen geben würde?

20 615 673 ⁴ = 2 682 440 ⁴ + 15 365 639 ⁴ + 18 796 760 ⁴

Die besten Hypothesen haben normalerweise eher bescheidene Wurzeln, wie Fermots flüchtige Bemerkung am Rande eines Buches, aber ihre Konsequenzen wachsen im Laufe der Jahre. Es ist auch nützlich, wenn die Hypothese kurz ausgedrückt werden kann, vorzugsweise durch eine Formel mit einer kleinen Anzahl von Zeichen. Eine gute Hypothese sollte auf ein T-Shirt passen. In der Goldbach-Hypothese heißt es beispielsweise: "Jede gerade Zahl, beginnend mit 2, kann als Summe zweier Primzahlen dargestellt werden." Diese 1742 formulierte Hypothese wurde noch nicht bewiesen. Sie wurde berühmt durch den Roman „Onkel Petros und das Goldbach-Problem“ des griechischen Autors Apostolos Doksiadis, nicht zuletzt, weil der Verlag jedem, der ihn innerhalb von zwei Jahren nach Veröffentlichung des Buches beweisen konnte, einen Werbetrick von 1 Million Dollar anbot. Die Prägnanz der Hypothese entwickelt sich mit ihrer äußeren Schönheit. Sie können mathematische Ästhetik sogar als "Ausmaß des Einflusses pro Zeichen" definieren. Eine solch elegante Schönheit kann jedoch täuschen. Die prägnantesten Formulierungen erfordern möglicherweise die längsten Beweise, was wiederum Fermats täuschend einfache Beobachtung zeigt.

Zu dieser Liste von Kriterien kann man vielleicht die Antwort des berühmten Mathematikers John Conway auf die Frage hinzufügen, was die Hypothese großartig macht: "Es muss ungeheuerlich sein." Eine attraktive Hypothese ist auch etwas lächerlich oder fantastisch, mit einem unvorhergesehenen Einflussbereich und Konsequenzen. Im Idealfall werden Komponenten aus weit voneinander entfernten Bereichen, die zuvor nicht in einer Aussage enthalten waren, als unerwartete Zutaten in einem ausdrucksstarken Gericht kombiniert.

Schließlich wird es hilfreich sein zu verstehen, dass Abenteuer nicht immer erfolgreich sind. So wie vor einem Kletterer eine unüberwindliche Kluft entstehen kann, so können Mathematiker besiegt werden. Und wenn sie verlieren, verlieren sie vollständig. Es gibt keinen 99% igen Beweis. Seit zwei Jahrtausenden versuchen Menschen, die Hypothese zu beweisen, dass das fünfte euklidische Axiom - das berüchtigte Axiom der Parallelität , das besagt, dass sich parallele Linien nicht schneiden - aus den vier vorherigen Axiomen der Planimetrie abgeleitet werden kann. Und dann, zu Beginn des 19. Jahrhunderts, schufen Mathematiker konkrete Beispiele für nichteuklidische Geometrie und widerlegten diese Hypothese.

Aber die Geometrie endete nicht dort. In einem perversen Sinne könnte sich die Widerlegung der großen Hypothese als noch bessere Nachricht herausstellen als ihr Beweis, da ein Misserfolg darauf hinweist, dass unser Verständnis der mathematischen Welt sich sehr von der Realität unterscheidet. Verlieren kann produktiv sein, etwas im Gegensatz zu einem Pyrrhussieg. Die nichteuklidische Geometrie erwies sich als wichtiger Vorgänger von Einsteins gekrümmter Raumzeit, die für das moderne Verständnis von Schwerkraft und Raum eine so wichtige Rolle spielt.

Als Kurt Gödel 1931 seinen berühmten Unvollständigkeitssatz veröffentlichte, der zeigte, dass es in jedem formalen mathematischen System wahre Aussagen gibt, die nicht bewiesen werden können, antwortete er tatsächlich negativ auf eines von Hilberts Problemen hinsichtlich der Konsistenz der Axiome der Arithmetik. Der Unvollständigkeitssatz, der oft als die größte Errungenschaft der Logik seit Aristoteles angesehen wird, verkündete jedoch nicht das Ende der mathematischen Logik. Stattdessen führte es zu einer Blütezeit, die zur Entwicklung moderner Computer führte.

Letztendlich hat die Suche nach einer Lösung für die großen Hypothesen leicht unterschiedliche Ähnlichkeiten mit Bergexpeditionen zu den höchsten Gipfeln. Erst wenn alle in Sicherheit nach Hause zurückkehren - egal ob das Ziel erreicht wurde oder nicht - wird die wahre Breite des Abenteuers klar. Und dann kommt die Zeit für heldenhafte Aufstiegsgeschichten.