Aus einer magischen mathematischen Funktion - eine Lösung, um sie alle zu regieren

Vor drei Jahren begeisterte Marina Vyazovskaya von der Eidgenössischen Technischen Hochschule in Lausanne die Mathematiker, indem sie den dichtesten Weg entdeckte, gleich große Kugeln in acht- und 24-dimensionale Räume zu packen (im zweiten Fall mit Hilfe von vier Mitautoren). Und jetzt haben sie und ihre Mitautoren etwas noch Überraschenderes bewiesen : Konfigurationen, die das Problem der dicht gepackten Kugeln in den genannten Dimensionen lösen, lösen auch eine unendliche Anzahl anderer Probleme im Zusammenhang mit der besten Anordnung von Punkten, die versuchen, sich gegenseitig zu vermeiden.

Punkte können zum Beispiel einen unendlichen Satz von Elektronen bezeichnen, die sich gegenseitig abstoßen und versuchen, sich in der Konfiguration mit der niedrigsten Energie niederzulassen. Oder diese Punkte können die Zentren langer, verdrillter Polymere in Lösung anzeigen, die versuchen, sich so anzuordnen, dass sie nicht mit Nachbarn kollidieren. Es gibt viele Optionen für solche Probleme, und es ist nicht offensichtlich, dass jedes die gleiche Lösung hat. Mathematiker glauben, dass dies in den meisten Dimensionen sehr unwahrscheinlich ist.

Die aus 8 und 24 Dimensionen bestehenden Räume enthalten jedoch eine spezielle, sehr symmetrische Konfiguration von Punkten, die, wie wir jetzt wissen, gleichzeitig all diese unterschiedlichen Probleme löst. In der Sprache der Mathematik werden diese beiden Konfigurationen als "universell optimal" bezeichnet.

Diese neue groß angelegte Entdeckung fasst die früheren Arbeiten von Vyazovskaya und ihren Kollegen ernsthaft zusammen. "Das Feuerwerk hat nicht aufgehört", sagte Thomas Hales , Mathematiker an der Universität von Pittsburgh, der 1998 bewies, dass die bekannte pyramidenförmige Anordnung von Orangen die dichteste Art ist, Kugeln im dreidimensionalen Raum zu verpacken.

Acht und 24 verbinden eine Dimension in einer kleinen Liste von Dimensionen, die universell optimale Konfigurationen enthalten. Auf der zweidimensionalen Ebene gibt es einen Kandidaten für universelle Optimalität - ein Gitter aus gleichseitigen Dreiecken - aber es gibt keinen Beweis. In der dreidimensionalen Welt herrscht ein voller Zoo: Unterschiedliche Punktkonfigurationen zeigen unter verschiedenen Umständen unterschiedliche Ergebnisse, und für einige Probleme haben Mathematiker nicht einmal erträgliche Vermutungen über die beste Konfiguration.

"Ändern Sie die Messung oder ändern Sie die Aufgabe ein wenig, und die Situation wird unverständlich", sagte Richard Schwartz , Mathematiker an der Brown University in Providence. "Ich weiß nicht, warum das mathematische Universum so angeordnet ist."

Es ist viel schwieriger, die universelle Optimalität zu beweisen, als das Problem der Packkugeln zu lösen. Insbesondere, weil die universelle Optimalität eine unendliche Anzahl verschiedener Aufgaben gleichzeitig umfasst, aber auch, weil diese Aufgaben an sich komplizierter sind. Beim Packen von Kugeln befasst sich jede Kugel nur mit ihren nächsten Nachbarn, aber bei einem Problem wie der Verteilung von Elektronen interagiert jedes der Elektronen mit allen anderen, unabhängig von der Entfernung zwischen ihnen. "Selbst angesichts meiner frühen Arbeit hatte ich nicht erwartet, dass dieser universell optimale Beweis erbracht werden kann", sagte Hales.

"Es ist sehr, sehr beeindruckend", sagte Sylvia Serfati , Mathematikerin an der New York University. "Dieses Ding ist den großen mathematischen Durchbrüchen des 19. Jahrhunderts ebenbürtig."

Magisches Zertifikat

Es mag seltsam erscheinen, dass sich die Dimensionen 8 und 24 anders verhalten sollten als beispielsweise die Dimensionen 7, 18 oder 25. Aber Mathematiker wissen seit langem, dass die dichte Packung von Objekten im Raum in verschiedenen Dimensionen unterschiedlich funktioniert. Stellen Sie sich zum Beispiel eine mehrdimensionale Kugel vor, die einfach als eine Reihe von Punkten definiert ist, die sich in einem festen Abstand vom Zentrum befinden. Wenn wir das Volumen der Kugel mit dem Volumen des kleinsten Würfels vergleichen, der es beschreibt, dann nimmt der Würfel die Kugel umso kleiner auf, je höher die Dimension ist. Wenn Sie einen achtdimensionalen Fußball in der kleinstmöglichen Schachtel verschicken möchten, nimmt der Ball weniger als 2% des Volumens der Schachtel ein - und alles andere ist ein verirrter leerer Raum.

In jeder Dimension größer als drei ist es möglich, eine Konfiguration ähnlich der Orangenpyramide zu erstellen, und mit zunehmenden Dimensionen wachsen die Lücken zwischen den Kugeln. In der achten Dimension stoßen wir plötzlich auf die Tatsache, dass in diesen Räumen genügend Platz ist, um die Kugeln dort zusammenzudrücken. Das Ergebnis ist eine extrem symmetrische Konfiguration, die als E _8- Gitter bezeichnet wird. In der 24. Dimension entsteht auf ähnliche Weise ein Lich-Gitter , wenn zusätzliche Kugeln in die Lücken gedrückt werden können, wodurch eine weitere bekannte Konstruktion zum Packen von Kugeln entsteht.

Aus Gründen, die von Mathematikern nicht vollständig verstanden werden, erscheinen diese beiden Gitter plötzlich entweder in einem Bereich der Mathematik oder in einem anderen, von der Zahlentheorie über die mathematische Analyse bis zur mathematischen Physik. "Ich kenne keinen Grund für all das", sagte Henry Cohn vom Microsoft Research New England Institute in Cambridge, Massachusetts, einer der fünf Autoren der Arbeit.

Seit mehr als zehn Jahren haben Mathematiker überzeugende numerische Beweise dafür, dass E ₈ und das Lich-Gitter in ihren Dimensionen universell optimal sind - aber bis vor kurzem hatten sie keine Ahnung, wie sie dies beweisen sollten. Dann, im Jahr 2016, machte Wjasowskaja den ersten Schritt in diese Richtung und bewies, dass diese beiden Gitter die besten Möglichkeiten sind, Kugeln zu packen.

Und wenn sich der Hales-Beweis für den dreidimensionalen Fall über Hunderte von Seiten erstreckt und teure Berechnungen am Computer erfordert, passt der Beweis von Vyazovskaya für den Fall E ₈ auf 23 Seiten. Das Wesentliche ihrer Argumente hängt mit der Definition einer „magischen“ Funktion zusammen (wie Mathematiker sie jetzt nennen), die das ausstellt, was Hales als „Zertifikat“ für E ₈ für die beste Packung von Kugeln bezeichnet - dieser Beweis ist schwer zu erhalten, aber nach seinem Auftreten überzeugt er sofort. Wenn Sie beispielsweise gefragt werden, ob es eine reelle Zahl x gibt, sodass das Polynom x ² - 6x + 9 negativ wird, können Sie über die Antwort nachdenken. Wenn Sie jedoch erkennen, dass dieses Polynom (x - 3) ^{2 entspricht} , werden Sie sofort verstehen, dass die Antwort „Nein“ lautet, da das Quadrat einer reellen Zahl nicht negativ sein kann.

Die Methode zur Suche nach der magischen Funktion von Wjasowskaja erwies sich als mächtig - und fast zu mächtig. Die Aufgabe des Packens von Kugeln betrifft nur die Wechselwirkung benachbarter Punkte, aber der Vyazovskaya-Ansatz schien für Wechselwirkungen mit großer Reichweite zu funktionieren, wie dies bei entfernten Elektronen der Fall ist.

Unsicherheit in höheren Dimensionen

Um zu zeigen, dass die Konfiguration von Punkten im Raum universell optimal ist, muss zunächst diese Universalität bestimmt werden. Es gibt keine Punktkonfiguration, die für irgendeinen Zweck optimal ist: Wenn beispielsweise die Anziehungskraft auf die Punkte wirkt, ist die Konfiguration mit der niedrigsten Energie kein Gitter, sondern ein massiver Haufen, in dem sich alle Punkte an einem Ort befinden.

Vyazovskaya, Cohn und ihre Kollegen beschränkten den Umfang ihrer Studie auf die Universalität der Abstoßungskräfte. Insbesondere betrachteten sie monotone Kräfte, dh solche, bei denen die Abstoßung stärker wird, wenn sich die Punkte einander nähern. Diese große Familie umfasst viele der gemeinsamen Kräfte der physischen Welt. Dies schließt die Potenzgesetze des Universums ein - einschließlich des Coulomb-Gesetzes für elektrisch geladene Teilchen und der Gaußschen, glockenbasierten Grafikfunktionen, die das Verhalten von Entitäten mit vielen unabhängigen abstoßenden Teilen wie langen Polymeren beschreiben. Die Aufgabe, die Kugeln zu packen, liegt am äußeren Rand dieses Universums: Die Anforderung, dass sich die Kugeln nicht schneiden, wird zu einer unendlich starken Abstoßung, wenn der Abstand zwischen ihren Zentren kleiner als ihr Durchmesser ist.

Für jede dieser monotonen Kräfte stellt sich die Frage - wie wird die Konfiguration mit der niedrigsten Energie - dem "Grundzustand" - für eine unendliche Menge von Partikeln aussehen? Im Jahr 2006 entwickelten Kon und Kumar eine Methode, um eine kleinere Energiegrenze des Grundzustands zu finden, indem sie eine Funktion verglichen, die Energie mit kleineren „Hilfsfunktionen“ mit sehr praktischen Eigenschaften beschreibt. Sie fanden eine unendliche Menge an Hilfsfunktionen für jede Dimension, wussten jedoch nicht, wie sie die beste Hilfsfunktion finden sollten.


Fünf Autoren der neuen Arbeit: Henry Cohn, Abkhinav Kumar, Marina Vyazovskaya, Stephen Miller und Danilo Radchenko

Bei den meisten Messungen ähneln die von Kohn und Kumar entdeckten numerischen Einschränkungen nicht der Energie der bestmöglichen Konfiguration. In den Dimensionen 8 und 24 kamen die Grenzen der Energie E ₈ und dem Lich-Gitter für jede Abstoßungskraft, an der Kon und Kumar ihre Methode testeten, erstaunlich nahe. Es war natürlich zu überlegen, ob es für eine Abstoßungskraft eine ideale Hilfsfunktion gibt, die eine Grenze ergibt, die genau mit der Energie E ₈ oder dem Lich-Gitter übereinstimmt. Für das Packen von Kugeln war es genau das, was Vyazovskaya vor drei Jahren tat: Sie entdeckte eine ideale „magische“ Hilfsfunktion, indem sie eine Klasse von Funktionen studierte, die als modulare Funktionen bezeichnet wurden und deren besondere Symmetrieeigenschaften sie vor Jahrhunderten zu einem Untersuchungsobjekt machten.

Bei anderen Problemen mit Abstoßungspunkten, beispielsweise dem Problem mit Elektronen, wussten die Forscher, welche Eigenschaften eine magische Funktion erfüllen sollte: An bestimmten Punkten sollte sie spezielle Werte annehmen, und ihre Fourier-Transformation , die die Eigenfrequenzen der Funktion misst, sollte sie annehmen Sonderwerte an anderen Stellen. Was sie nicht wussten, war, ob eine solche Funktion existierte.

Es ist normalerweise recht einfach, eine Funktion zu konstruieren, die an Ihren Lieblingspunkten das tut, was Sie benötigen, aber es ist überraschend schwierig, sowohl die Funktion als auch ihr Fourier-Bild gleichzeitig zu steuern. "Wenn Sie anfangen, etwas dazu zu bringen, eines von ihnen zu tun, tut das andere etwas völlig anderes als Ihre Wünsche", sagte Cohn.

Tatsächlich ist dieses Problem nichts anderes als ein verschleiertes Prinzip der Unsicherheit in der Physik. Das Heisenbergsche Unsicherheitsprinzip besagt, dass je mehr Sie über den Ort eines Teilchens wissen, desto weniger Sie über seinen Impuls wissen und umgekehrt, ein Sonderfall dieses allgemeinen Prinzips ist, da die Impulswelle des Teilchens die Fourier-Transformation seiner Ortswelle ist.

Im Fall der Abstoßungskraft in den Dimensionen 8 oder 24 stellte Wjasowskaja eine kühne Hypothese auf: Die Einschränkungen, die das Team seiner magischen Funktion und seinem Fourier-Bild auferlegen wollte, liegen genau an der Grenze zwischen dem Möglichen und dem Unmöglichen. Sie vermutete, dass es keine solche Funktion geben würde, wenn Sie weitere Einschränkungen hinzufügen würden. Wenn Sie die Einschränkungen reduzieren, gibt es möglicherweise viele solcher Funktionen. Sie schlug vor, dass es in der Situation, die das Team interessierte, genau eine geeignete Funktion geben sollte.

"Ich denke, dies ist eine der großartigen Eigenschaften von Marina", sagte Cohn. "Sie ist sehr aufschlussreich und auch sehr mutig."

Zu dieser Zeit war Kon skeptisch - Vyazovskayas Vermutung schien zu gut, um wahr zu sein -, aber das Team bewies es schließlich. Sie zeigten nicht nur, dass es für jede Abstoßungskraft genau eine magische Funktion gibt, sondern gaben auch ein Rezept für ihre Herstellung. Wie bei Packkugeln wurden bei dieser Konstruktion sofort Optimalitätszertifikate für das E _{8 -} und das Lich-Gitter vergeben. "Es ist eine Art monumentales Ergebnis", sagte Schwartz.

Dreiecksgitter

Neben der Lösung des Problems der universellen Optimalität beantwortet ein neuer Beweis die dringende Frage, mit der Mathematiker konfrontiert sind, seit Wjasowskaja vor drei Jahren das Problem des Packens von Kugeln gelöst hat: Woher kam seine magische Funktion? "Ich denke, viele waren verwirrt", sagte Vyazovskaya. "Sie fragten: Was ist der Sinn davon?"

In einer neuen Arbeit zeigten Vyazovskaya und ihre Kollegen, dass die magische Funktion des Packens von Kugeln die erste in einer Reihe von Bausteinen modularer Formen ist, mit denen magische Funktionen für jede abstoßende Kraft erzeugt werden können. "Jetzt hat sie viele Brüder und Schwestern", sagte Vyazovskaya.

Es scheint Kon immer noch wunderbar, dass das Bild so gut geklappt hat. "In der Mathematik müssen einige Dinge durch Ausdauer und rohe Gewalt erreicht werden", sagte er. "Und es gibt Zeiten, in denen die Mathematik möchte, dass etwas passiert."

Die nächste natürliche Frage ist, ob diese Methoden angepasst werden können, um die universelle Optimalität für den einzigen verbleibenden Kandidaten zu beweisen: Gitter gleichseitiger Dreiecke auf einer zweidimensionalen Ebene. Für Mathematiker gilt die Tatsache, dass niemand unter so einfachen Bedingungen aussagen konnte , als „schreckliche Schande für die gesamte Gemeinschaft“, sagte Edward Saff , Mathematiker an der Vanderbilt University in Nashville.

Im Gegensatz zu E ₈ und dem Leach-Gitter erscheint ein zweidimensionales dreieckiges Gitter an verschiedenen Stellen in der Natur, von Zellstrukturen bis zur Position von Trichtern in Supraleitern. Physiker implizieren bereits die Optimalität dieses Gitters in einer Vielzahl von Kontexten, basierend auf einem Berg von Experimenten und Simulationen. Aber, sagt Cohn, niemand hat eine konzeptionelle Erklärung dafür, warum ein Dreiecksgitter universell optimal sein sollte - etwas, das hoffentlich einen mathematischen Beweis liefern wird.

Dimension 2 ist die einzige, mit Ausnahme von 8 und 24, bei der die numerische Untergrenze von Kohn und Kumar gut funktioniert. Dies deutet eindeutig darauf hin, dass eine magische Funktion in zwei Dimensionen existieren muss. Die Befehlsmethode zur Konstruktion magischer Funktionen lässt sich jedoch kaum auf diesen neuen Bereich übertragen: Sie hängt stark davon ab, dass sich die Zahlen, die die Abstände zwischen Punkten in E ₈ und dem Lich-Gitter angeben, besonders gut verhalten, was in zwei Dimensionen nicht vorkommt. Bisher scheint diese Dimension „über die menschlichen Fähigkeiten hinauszugehen“, sagte Cohn.

Bisher feiern Mathematiker ihre neuen Einsichten in die seltsamen Welten der 8- und 24-dimensionalen Räume. Dies ist, wie Schwartz sagte, "eines der besten Dinge, die ich höchstwahrscheinlich in meinem Leben sehen werde."