Warum der Beweis von Fermats großem Theorem nicht verbessert werden muss

In den Jahrzehnten seit dem wegweisenden Beweis für Fermats großen Satz sind mehrere Ideen entstanden, wie man ihn noch zuverlässiger machen kann. Diese Versuche spiegeln jedoch ein tiefes Missverständnis darüber wider, was Beweise wichtig macht.

Der 23. Juni markiert den 25. Jahrestag der Ankündigung von Andrew Wiles , die alle begeisterte und den Erhalt eines Beweises für Fermats großen Satz ankündigte, das berühmteste Problem in der Mathematik im Alter von 350 Jahren. Die Geschichte um Wiles 'Beweise - er arbeitete sieben Jahre lang heimlich an diesem Projekt, die Beweislücke, die sich nach der Ankündigung im Juni ergab, eine elegante Lösung, die ein Jahr später in einer gemeinsamen Arbeit von Wiles mit seinem ehemaligen Studenten Richard Taylor veröffentlicht wurde und im Jahr 2000 zum Ritter geschlagen wurde - trat in die Annalen der mathematischen Legenden ein.

Nach Wiles 'Durchbruch kann man oft Spekulationen über das Aufkommen einer neuen „goldenen Ära“ in der Mathematik hören, insbesondere in der Zahlentheorie - dem Bereich, zu dem der Satz von Fermat gehört. Die von Wiles und Taylor vorgestellten Methoden sind heute Teil des Toolkits von Experten für Zahlentheorie, die die Geschichte des Großen Satzes als abgeschlossen betrachten. Aber diese Geschichte hat nicht nur Spezialisten der Zahlentheorie berührt.

Die Ereignisse von 2017 erinnerten mich plötzlich daran, als die beiden Logiker, die auf zwei verschiedenen Kontinenten Bericht erstatteten, im Abstand von mehreren Tagen Wege aufzeigten, um den Beweis des Theorems zu verbessern - und darüber sprachen, wie überrascht ihre Kollegen waren, als Experten der Zahlentheorie dies nicht zeigten Ihre Ideen sind nicht von Interesse.

Logiker drückten diese Ideen in den Sprachen ihrer jeweiligen Fachgebiete aus - Mengenlehre und theoretische Informatik. Die Vorschläge, die sie machten, waren von Natur aus wahr, und vielleicht würden sie eines Tages neue Fragen aufwerfen, die nicht weniger interessant waren als die von Fermat. Mir wurde jedoch sofort klar, dass diese Fragen nicht mit Spezialisten der Zahlentheorie zusammenhängen, und alle anderen Annahmen spiegeln ein tiefes Missverständnis der Natur von Wiles 'Beweis und der Ziele der Zahlentheorie im Allgemeinen wider.

Die Wurzeln dieses Missverständnisses liegen in der Einfachheit der Aussage des Satzes, die für den größten Teil seiner Attraktivität verantwortlich ist: Wenn n eine positive ganze Zahl größer als 2 ist, ist es unmöglich, drei solche positiven Zahlen a, b und c zu finden, so dass:

$$

$$a ^ n + b ^ n = c ^ n$$

Dies steht in scharfem Gegensatz zu dem Fall, in dem n 2 ist: Jede Person, die die euklidische Geometrie studiert hat, wird sich daran erinnern, dass 3 ² + 4 ² = 5 ² , 5 ² + 12 ² = 13 ² usw. (diese Liste ist endlos). In den letzten Jahrhunderten haben Mathematiker versucht, die Existenz eines solchen Kontrasts zu erklären, und jedes Mal, wenn sie versagt haben, haben sie ganz neue Zweige der Mathematik zurückgelassen. Zu diesen Zweigen gehören große Bereiche der modernen Zahlentheorie, die Wiles für seine erfolgreiche Lösung angezogen hat, sowie viele grundlegende Ideen in allen Bereichen der Wissenschaft, die von Mathematikern berührt werden. Und doch konnte niemand vor Wiles Fermats Behauptung beweisen.

Informatiker waren kürzlich begeistert, von den Fortschritten bei der automatischen Bestätigung von Beweisen zu erfahren - ein ehrgeiziger Versuch, den formalistischen Ansatz der Mathematik in die Praxis umzusetzen. Für Formalisten ist der mathematische Beweis eine Liste von Aussagen, die strengen Einschränkungen entsprechen:

1. Aussagen am Anfang der Liste sollten allgemein akzeptierte Ideen enthalten. In einer strengen Interpretation schließt dies nur die Axiome der formalen Mengenlehre ein, üblicherweise aus dem als ZFC bekannten formalen System (Zermelo-Frenkel-System mit dem Axiom der Wahl). Dies ist völlig unpraktisch, daher erlauben wir auch die Aufnahme bereits bewiesener Theoreme - zum Beispiel des Großen Theorems für den Fall n = 4, das Fermat selbst im 17. Jahrhundert bewiesen hat.
2. Jede nachfolgende Anweisung muss erhalten werden, indem die Regeln des logischen Abzugs auf die vorherigen Anweisungen angewendet werden.
3. Schließlich sollte der bewährte Satz auf der Liste an letzter Stelle stehen.

Die mathematische Logik wurde in der Hoffnung entwickelt, die Mathematik auf eine solide Grundlage zu stellen - als ein axiomatisches System ohne Widersprüche, das argumentieren kann, ohne in Inkonsistenz zu verfallen. Obwohl Kurt Gödels Arbeit die Unrealisierbarkeit dieses Traums zeigte, bezeichnen viele Philosophen aus der Mathematik sowie einige Logiker (eine kleine, aber aktive Minderheit, so Experten der Mengenlehre) ZFC und die genannten Anforderungen immer noch als eine Art Konstitution aus der Mathematik.

Mathematiker schreiben jedoch niemals Beweise auf diese Weise. Eine logische Analyse der Beweise von Wiles weist auf viele Schritte hin, bei denen ZFC nicht berücksichtigt wird und die möglicherweise zu Skandalen führen: Wenn Mathematiker Regeln aufstellen, ohne die Verfassungsmäßigkeit zu überprüfen, woher wissen sie dann, dass sie alle dasselbe bedeuten?

Die automatische Überprüfung von Beweisen scheint eine Lösung für dieses Problem zu bieten. Es beinhaltet die Neuformulierung der Beweise durch eine Reihe separater Aussagen, von denen jede in einer einheitlichen Sprache verfasst ist, die der Computer lesen kann, und die Bestätigung der verfassungsmäßigen Genauigkeit jedes Schritts. Diese zeitaufwändige Methode wurde erfolgreich auf viele lange und komplexe Beweise angewendet, von denen der berühmteste der Beweis von Keplers Hypothese über die dichteste Packung von Kugeln von Thomas Hales ist. Das Testen von Wiles 'Beweisen wurde lange Zeit als eines der Hauptziele angesehen. Daher war mein Freund, ein Spezialist für Informatik, wirklich enttäuscht, dass die Suche nach „reinen Mathematikern, die die Verwendung automatischer Werkzeuge bei der Konstruktion ihrer Argumente kategorisch unterstützen“, wie er formulierte, noch keine Ergebnisse erbracht hat.


" Arithmetik " der Diophantus-Ausgabe von 1670, in der auch die Notiz des berüchtigten Fermat im Haupttext enthalten ist. In der Übersetzung heißt es wie folgt: „Es ist unmöglich, dass ein Würfel die Summe von zwei Würfeln ist, für den vierten Grad ist es unmöglich, die Summe von zwei vierten Graden zu sein, oder im Allgemeinen ist es für eine Zahl, die einen Grad größer als den zweiten darstellt, unmöglich, die Summe von zwei gleichen Graden zu sein. Ich habe wirklich wunderbare Beweise für diese Annahme gefunden, für die diese Felder zu eng sind, um sie aufzunehmen. "

Das erste, was diese Enttäuschung nicht erklärt, ist, dass Wiles 'Beweise, obwohl komplex, eine einfache Grundlage haben, die einem engstirnigen Publikum leicht zu erklären ist. Angenommen, es gibt entgegen der Aussage von Fermat drei positive ganze Zahlen a, b, c, so dass

(A) a ^p + b ^p = c ^p

für einige ungerade Primzahlen p (und es reicht aus, nur Primzahlen zu berücksichtigen). 1985 zeigte Gerhard Frey, dass a, b und c in neu angeordnet werden können

(B) eine neue Gleichung namens "elliptische Kurve"

mit Eigenschaften, die jeder für unmöglich hielt. Genauer gesagt ist seit langem bekannt, wie man diese elliptische Kurve in Bezug auf ausdrückt

(C) Galois-Darstellung

Dies ist ein unendlicher Satz von Gleichungen, die sowohl mit der elliptischen Kurve als auch durch klare Regeln miteinander verbunden sind.

Der Zusammenhang zwischen diesen Schritten war 1985 bekannt. Zu diesem Zeitpunkt waren die meisten Experten der Zahlentheorie davon überzeugt - obwohl es bisher keine Beweise gab -, dass jede Galois-Vertretung wiederum nach klaren Regeln zugeordnet werden konnte.

(D) eine modulare Funktion,

so etwas wie eine zweidimensionale Verallgemeinerung bekannter Sinus- und Cosinusfunktionen aus der Trigonometrie.

Die endgültige Verbindung wurde erhalten, als Ken Ribet die Annahme von Jean-Pierre Seur bestätigte, dass die Eigenschaften einer modularen Funktion, die durch die Form der Frey-Ellipsenkurve gegeben ist, die Existenz von implizieren

(E) eine weitere modulare Funktion von Gewicht 2 und Stufe 2.

Solche Funktionen können jedoch nicht existieren. Daher gibt es weder eine modulare Funktion (D) noch eine Galois-Darstellung (C), noch Gleichung (B) oder eine Lösung (A).

Es blieb nur die fehlende Verbindung zwischen (C) und (D) zu finden, die Mathematiker die Modularitätshypothese nannten.

Dieser Link war Gegenstand einer siebenjährigen Suche nach Wiles. Aus heutiger Sicht ist es schwierig, den Mut dieses riskanten Unternehmens voll zu würdigen. Zwanzig Jahre nachdem Yutaka Taniyama und Goro Shimura in den 1950er Jahren erstmals über die Beziehung zwischen (B) und (D) bis (C) berichtet hatten, kamen Mathematiker allmählich zu dem Schluss, dass dies so sein sollte. Diese Hoffnung drückte sich in einem sehr populären Werk von Andre Weil aus, das perfekt in das äußerst einflussreiche Langlands-Programm passte, das nach dem kanadischen Mathematiker Robert Langlands benannt wurde. Diese Verbindung war zu gut, um nicht wahr zu sein. Die Modularitätshypothese schien jedoch völlig unerreichbar. Objekte der Typen (C) und (D) waren zu unterschiedlich.

Der Informatiker erklärte nicht, ob seine Enttäuschung auf die Tatsache zurückzuführen war, dass es für die Zahlentheorie nicht wichtig war, dass der Beweis darauf beschränkt war, die kritische Verbindung zwischen (C) und (D) zu finden, oder dass er von (A) bis reichte (E). Ich werde nicht versuchen, es herauszufinden. Wenn die Logiker jedoch nur den veröffentlichten Nachweis der Verbindung zwischen (C) und (D) formell bestätigen mussten, waren ihre Erwartungen zu hoch. Erstens hat Wiles nur wenig mehr als genug bewiesen, damit die Modularitätshypothese den Abzug „von (A) nach (E)“ vervollständigt. Die vollständige Hypothese der Modularität wurde einige Jahre später von Christoph Broglie, Brian Conrad, Fred Diamond und Richard Taylor aufgestellt. Dies wirft jedoch keinen Schatten auf Wiles 'Arbeit! Im Gegenteil, die Tatsache, dass eine so große Anzahl der weltweit führenden Experten für Zahlentheorie nur wenige Monate nach ihrem Erscheinen in die Fußstapfen von Wiles 'Arbeit trat, spricht für seinen Reichtum.

Wenig später, im Herbst 2016, trafen sich beispielsweise 10 Mathematiker am Institute for Advanced Studies in Princeton, New Jersey, und konnten die Existenz eines Zusammenhangs zwischen elliptischen Kurven und modularen Funktionen unter den neuen Bedingungen nachweisen. Sie alle benutzten unterschiedliche Wege, um die Struktur von Wiles 'Beweisen zu verstehen, die auftauchten, als einige von ihnen noch Kinder waren. Wenn sie gebeten worden wären, diesen Beweis in Form einer Folge logischer Schlussfolgerungen zu beschreiben, hätten sie zweifellos 10 verschiedene Versionen davon herausgegeben. Jeder von ihnen würde dem oben beschriebenen Pfad von (A) nach (E) ähneln, wäre jedoch viel detaillierter.

Trotzdem - und dies wird aus der philosophischen Sicht der Beweise immer übersehen - würde jede dieser zehn Wiles die Urheberschaft ihrer Beweise zuschreiben. Sie würden sich auf sie genauso beziehen wie auf andere von ihnen in erklärenden Artikeln oder in Schulungskursen, die sie besuchten oder unterrichteten, untersuchte Beweise. Und obwohl jede der zehn einige Details ausgelassen hätte, wären sie im Allgemeinen alle richtig.

Was ist Wiles Beweis, wenn es so viele verschiedene Optionen geben kann? In der mathematischen Philosophie ist es üblich, einen veröffentlichten Beweis als Annäherung an einen idealen formalisierten Beweis zu behandeln, der im Prinzip auf einem Computer überprüft werden kann, der die Regeln eines formalen Systems anwendet. Ideale Beweise werden nicht durch irgendetwas kontaminiert, das außerhalb des formalen Systems liegt - als ob jedes Gesetz ein Zeichen trägt, das seine verfassungsrechtliche Rechtfertigung bestätigt.

Dieser Ansatz widerspricht jedoch dem, was Mathematiker selbst über ihre Beweise sagen. Mathematiker verwenden keine ideologischen oder philosophischen Lackmustests, aber ich bin überzeugt, dass die meisten meiner Kollegen Michael Francis Atiyah zustimmen werden, der erklärte, dass der Beweis „der letzte Test ist, aber nicht die Grundlage von irgendetwas“. Die veröffentlichten Beweise sind eindeutig nicht die Grundlage für irgendetwas.

Wiles und Spezialisten für Zahlentheorie, die seine Ideen verfeinerten und erweiterten, hatten sicherlich nicht erwartet, Angebote von zwei Logikern zu erhalten. Aber - im Gegensatz zu vielen Menschen, die die Zahlentheorie aus der Ferne beobachten - haben sie definitiv verstanden, dass solche Beweise wie der von Wiles veröffentlichte nicht als eine Art Artefakt an sich behandelt werden sollten. Im Gegenteil, Wiles 'Beweis ist der Ausgangspunkt eines offenen Dialogs, der zu schwer fassbar und lebhaft ist, um auf ernsthafte Grenzen beschränkt zu sein, die dem Thema fremd sind.