Wie der Zufall den Mathematikern helfen kann

Zufälligkeit erschwert anscheinend den Beweis der Theoreme. Tatsächlich ist seine Wirkung jedoch oft umgekehrt

Von allen Werkzeugen, die Mathematikern zur Verfügung stehen, scheint die Zufälligkeit die geringsten Vorteile zu haben. Die Mathematik arbeitet mit Logik und strengen Konzepten. Ihre gemeinsamen Ziele sind die Suche nach Ordnung und Struktur in einem riesigen Meer von Objekten. Die gesamte mathematische Geschichte scheint gerade deshalb möglich zu sein, weil die Welt der Mathematik nicht zufällig ist.

Der jüngste Artikel „ Zufällige Oberflächen verbergen eine komplizierte Reihenfolge “ befasste sich jedoch mit einem neuen Beweis, bei dem die Zufälligkeit über alles entscheidet. Das Ergebnis beinhaltet das Auftreten von Mustern wie Schachzellen, die auf zufällig konstruierten geometrischen Räumen erscheinen. Die Autoren des Beweises stellten fest, dass Zufälligkeit im geometrischen Raum die Beschreibung dieser Muster vereinfacht. "Ganz unerwartet können Sie durch Hinzufügen von Zufälligkeit mehr tun", sagte Nicholas Curien , Mathematiker an der Universität von Paris-Süd-XI., Mitautor dieser Arbeit.

Und es stellt sich heraus, dass Zufälligkeit in vielerlei Hinsicht in der Mathematik hilft.

Zum Beispiel wollen Mathematiker oft beweisen, dass es ein Objekt mit bestimmten Eigenschaften gibt, zum Beispiel eine geometrische Figur mit bestimmten Symmetrien. Der direkteste Weg, um das Problem der Existenz zu lösen, besteht darin, ein Beispiel für ein Objekt zu finden, das die Eigenschaften hat, die Sie benötigen. Versuchen Sie es jedoch. "Es kann sehr schwierig sein, sich ein bestimmtes Objekt mit der gewünschten Eigenschaft vorzustellen", sagte Martin Hairer , Inhaber der Fields-Medaille, dessen Arbeit mit zufälligen Prozessen verbunden ist.

Wenn ein Frontalangriff auf ein Problem wahrscheinlich nicht erfolgreich ist, können Sie versuchen, von der Flanke zu gehen. Zum Beispiel kann gezeigt werden, dass, wenn wir alle Objekte eines bestimmten Typs untersucht und dann zufällig eines davon ausgewählt haben, eine Chance ungleich Null besteht, ein Objekt mit den gewünschten Eigenschaften auszuwählen. Eine solche "probabilistische Methode" wurde erstmals vom Mathematiker Pal Erdös angewendet.

Zufälligkeit kann auch verwendet werden, um Lösungen für nicht zufällige Probleme zu finden. Dies wurde in jüngster Zeit in Bezug auf die Schachmuster auf dem Rost getan. Forscher interessieren sich für einen Prozess namens Versickerung, wenn Sie verstehen müssen, unter welchen Bedingungen es möglich ist, Punkte nur einer Farbe von einem Teil des Gitters zum anderen zu durchlaufen.

Das Zeichnen eines solchen Musters nach deterministischen Regeln - entlang klar definierter Linien des richtigen Gitters - hängt jeder nächste Schritt auf dem Pfad von jedem der vorherigen Schritte ab. Bei einem komplexen Netz wird diese Anforderung zur Belastung. Dies ähnelt dem einfachen Platzieren der ersten Elemente im Tetris-Spiel - Sie können sie überall platzieren -, aber die späteren sind schwieriger zu platzieren, da sie die Situation aller vorherigen Elemente erfüllen müssen.

Und wenn Ihr Pfad zufällig ist, müssen Sie sich nicht mehr um die vorherigen Schritte kümmern. In jeder Hinsicht wird jeder neue Schritt zum ersten: Wirf eine Münze, um zu entscheiden, wohin du als nächstes gehen sollst.

Mathematiker versuchen, diese Tatsache zu nutzen. Es gibt eine hypothetische Beziehung , die als Kardar-Parisi-Zhang-Gleichung (KPZ) bekannt ist und es Mathematikern ermöglicht, ein auf einem Zufallsgitter erhaltenes Ergebnis in ein deterministisches Ergebnis umzuwandeln und umgekehrt. "Theoretisch bedeutet dies, dass Sie sowohl dort als auch dort etwas tun können", sagte Olivier Bernardi , Mathematiker an der Brandeis University und Mitautor einer kürzlich erschienenen Arbeit. Diese Arbeit steht im Einklang mit früheren Ergebnissen (die viel schwieriger nachzuweisen sind) in Bezug auf die Leckage durch ein Standardgitter, was die Gültigkeit der CSW-Gleichung bestätigt.

Wenn die Mathematik einfacher wäre, müssten Mathematiker möglicherweise nicht auf den Zufall zurückgreifen. Für Mathematiker ist es jedoch zu schwierig, Antworten auf die wichtigsten mathematischen Fragen zu finden. "Dies mag offensichtlich erscheinen, aber es ist nützlich, sich daran zu erinnern, dass ein Problem in der Mathematik oder der theoretischen Physik in den meisten Fällen nicht gelöst werden kann", sagte Paul Burgad , Mathematiker an der New York University. "Wir haben einfach nicht die Werkzeuge, um es zu lösen." In einigen dieser Situationen vereinfacht Zufälligkeit die Situation gerade genug, um eine Lösung zu ermöglichen.