Bei Steuerungsproblemen gibt es Fälle, in denen das Bewegungsgesetz eines gesteuerten Objekts bekannt ist und ein Regler mit bestimmten Eigenschaften entwickelt werden muss. Manchmal wird die Aufgabe durch die Tatsache kompliziert, dass sich die Gleichungen, die das gesteuerte Objekt beschreiben, als nichtlinear herausstellen, was den Aufbau der Steuerung erschwert. In dieser Hinsicht wurden verschiedene Verfahren entwickelt, um die nichtlinearen Strukturmerkmale des Steuerobjekts zu berücksichtigen, von denen eines das inverse Dynamikproblemverfahren ist.

Einführung

Die Methode des inversen Problems der Dynamik entsteht natürlich, wenn Sie versuchen, ein dynamisches System in ein anderes "umzuwandeln", wenn der Entwickler zwei Gleichungen hat, von denen eine ein vorhandenes gesteuertes System beschreibt und die andere das Bewegungsgesetz dieses sehr kontrollierten Systems ausdrückt und es in etwas Nützliches verwandelt. Das Gesetz mag anders aussehen, aber die Hauptsache ist, dass es physikalisch machbar ist. Dies kann das Gesetz einer sinusförmigen Spannungsänderung am Ausgang des Generators oder des automatischen Frequenzregelungssystems, das Gesetz der Drehzahl der Turbine oder die Bewegung der Druckerhalterung oder sogar die X-, Y-Koordinaten der Bleistiftmine sein, die der Manipulator auf den Karten signiert.

Es ist jedoch möglich, Ihr Kontrollgesetz „durchzusetzen“, das in den Rahmen der physischen Realisierbarkeit und Kontrollierbarkeit eines Objekts passt, und dies ist oft nicht der schwierigste Teil der Entwicklung. Die Tatsache, dass die betrachtete Methode es meiner Meinung nach recht einfach macht, die Nichtlinearität und Mehrdimensionalität des Objekts zu berücksichtigen, erhöht seine Attraktivität. Übrigens können Sie hier den Zusammenhang mit der Rückkopplungsmethode der Nichtlinearitätskompensation feststellen [1].

Es ist bekannt, dass in einigen Fällen korrekt geformte nichtlineare Regler, selbst wenn sie ein lineares System steuern, im Vergleich zu linearen Reglern bessere Steuereigenschaften ergeben [2]. Ein Beispiel ist ein Regler, der den Dämpfungskoeffizienten eines Systems mit einer Zunahme des Fehlers beim Ausarbeiten eines Befehls verringert und ihn erhöht, wenn der Fehler abnimmt, was zu einer Verbesserung der Qualität des Übergangsprozesses führt.

Generell hat das Thema Kontrolle, das mit der Notwendigkeit verbunden ist, Nichtlinearitäten zu berücksichtigen, seit langem die Aufmerksamkeit von Wissenschaftlern und Ingenieuren auf sich gezogen, da die meisten realen Objekte dennoch durch nichtlineare Gleichungen beschrieben werden. Hier sind einige Beispiele für Nichtlinearitäten, die in der Technologie häufig vorkommen:


Die allgemeine Erklärung des Problems lautet wie folgt. Es gebe ein Steuerobjekt, das als Differentialgleichung n-ter Ordnung beschrieben werden kann

$$

$$F ({{x} ^ {(n)}}, {{x} ^ {(n-1)}}, \ ... \, \ x, \ {{\ xi}}, t) = u , \ quad \ quad \ quad (1)$$

in dem es eine Störung gibt $$$\ {{\ xi}}$ (Dies kann das Rauschen des Messgeräts, externe zufällige Einflüsse, Vibrationen usw. sein) und ein Steuersignal $$$u$ (In der Technologie wird die Steuerung meistens mit Spannung durchgeführt). In diesem Fall betrachten wir zur Vereinfachung der Wahrnehmung ein eindimensionales Steuerobjekt, das eine Störung enthält. Im allgemeinen Fall sind diese Größen vektoriell. Es versteht sich, dass Phasenvariablen $$${{x} ^ {(n)}}, {{x} ^ {(n-1)}}, \ ... \, \ x$ die den Zustand des Steuerobjekts beschreiben, Störungen $$$\ {{\ xi}}$ und Management $$$u$ hängen von der Zeit ab, aber diese Tatsache wird zur Vereinfachung der Wahrnehmung nicht angezeigt. Ausdruck (1) kann Nichtlinearitäten enthalten sowie nicht stationär sein, d.h. deren Parameter sich im Laufe der Zeit deutlich ändern. Ein Beispiel für eine instationäre Gleichung kann die Anzahl der Urankerne in einem Reaktor sein, die infolge der Zerfallsreaktion ständig abnimmt, was zu einer kontinuierlichen Änderung des optimalen Kontrollgesetzes von Moderatorstäben führt.

Die Steuerung ist so aufgebaut, dass sie ein zuvor bekanntes Steuergesetz ausarbeitet, das durch eine Differentialgleichung der Ordnung beschrieben werden kann, die nicht niedriger ist als die Ordnung der Gleichung (1), die das Steuerobjekt beschreibt:

$$

$$f ({{x} ^ {(m)}}, \ {{x} ^ {(m-1)}}, \ ... \, \ x, \ \ psi, \ {{\ psi} ^ {(1)}}, \ ..., {{\ psi} ^ {(k)}}, \ t) = 0, \ \ \ \ \ m \ ge n, \ quad \ quad (2)$$

wo $$$\ psi, \ {{\ psi} ^ {(1)}}, \ ..., {{\ psi} ^ {(k)}}$ - das Steuersignal und seine Ableitungen in einer Menge, die es Ihnen ermöglicht, das erforderliche Steuergesetz vollständig zu beschreiben. Für das Stabilisierungssystem ist es daher nicht erforderlich, die Kontrollableitungen zu messen. Für ein Nachführsystem für ein Rampeneingangssignal ist es ausreichend, die erste Ableitung zu messen. Um das quadratisch variierende Signal zu verfolgen, müssen Sie eine zweite Ableitung hinzufügen und so weiter. Es ist zu beachten, dass dieses Signal im Gegensatz zum Signal dem Eingang des Reglers zugeführt wird $$$u$ Eingabe des Steuerobjekts vom Regler. Diese Gleichung kann sowohl nichtlinear als auch nicht stationär sein.

Ermittlung des gewünschten Steuersignals $$$u$ wir drücken aus (2) die höchste Ableitung aus

$$

$${{x} ^ {(n)}} = {{f}} ({{x} ^ {(n-1)}}, {{x} ^ {(n-2)}}, \ .. . \, \ x, \ psi, \ {{\ psi} ^ {(1)}}, \ ..., {{\ psi} ^ {(k)}}, t)$$

und ersetzen Sie stattdessen den resultierenden Ausdruck $$$x ^ {(n)}$ in Gleichung (1), während die Kontrolle ausgedrückt wird:

$$$$ display $$ \ begin {matrix} {u = F \ left ({{f}} ({{x} ^ {(n-1)}}, {{x} ^ {(n-2)}} , \ ... \, \ x, \ psi (t), \ {{\ psi} ^ {(1)}}, \ ..., {{\ psi} ^ {(k)}}, t) , \\ \ quad \ quad \ quad \ quad {{x} ^ {(n-1)}}, {{x} ^ {(n-2)}}, \ ... \, \ x, \ { {\ xi}}, t \ right).} & \ quad \ quad \ quad (3) \ end {matrix} $$ display $$

Aus Ausdruck (3) wird deutlich, dass zur Erzeugung des erforderlichen Steuersignals zusätzlich zu externen Störungen (wenn deren Einfluss signifikant ist) die geregelte Größe selbst gemessen werden muss $$$x$ und alle seine Derivate auf Bestellung $$$n-1$ einschließlich, was einige Schwierigkeiten verursachen kann. Erstens stehen die höheren Ableitungen möglicherweise nicht direkt zur Messung zur Verfügung, wie wir sagen, die Ableitung der Beschleunigung, weshalb wir programmgesteuert oder schaltungsmäßig auf Differenzierungsoperationen zurückgreifen müssen. Und wie Sie wissen, versuchen sie dies aufgrund des zunehmenden Rauschens zu vermeiden. Zweitens enthalten Messungen unweigerlich Rauschen, und dies zwingt dazu, auf Filterung zurückzugreifen. Jeder Filter ist ein dynamisches oder mit anderen Worten ein Trägheitselement, was das Vorhandensein einer Ableitung mit der Gleichung bedeutet. Folglich erhöht sich die Reihenfolge des gesamten Steuerungssystems im allgemeinen Fall um eine Zahl, die der Summe der Ordnungen von Gleichungen entspricht, die alle Filtermeter beschreiben. Das heißt, wenn wir ein Objekt zweiter Ordnung steuern und Filter zweiter Ordnung in jedem Messkanal (dh nur zwei Filter zweiter Ordnung) zum Messen der Ausgangsgröße und ihrer Ableitung verwenden, erhöht sich die Reihenfolge des Steuerungssystems um vier. Wenn die Filterzeitkonstanten ausreichend klein sind, kann der Einfluss von Glättungselementen natürlich vernachlässigt werden. In jedem Fall bringen sie jedoch die sogenannten kleinen dynamischen Parameter in das System ein, und ihr kombinierter Beitrag kann die Stabilität des gesamten Steuerungssystems beeinträchtigen [2]. Es versteht sich auch, dass diese Methode es Ihnen ermöglicht, die Steuerung nur im Übergangsprozess anzugeben und nicht mit der Optimierung durch ein Kriterium der Steuerungsqualität verbunden ist.

Die Beziehung der Steuerung und des Steuerobjekts kann durch das folgende Schema beschrieben werden:

Van der Pol Oszillatorsteuerung

Betrachten Sie ein Beispiel einer Reglersynthese zur Steuerung eines selbstoszillierenden Systems. Dies ist ein fiktives Beispiel, das die Essenz der Methode gut erklärt. Angenommen, Sie möchten ein System steuern, dessen Gleichung wie folgt lautet:

$$

$$\ ddot {x} - \ gamma (1 - {{x} ^ {2}}) \ dot {x} + {{\ omega} ^ {2}} x = u. \ quad \ quad (4)$$

Das Managementgesetz sollte wie folgt lauten:

$$

$${{T} ^ {2}} \ ddot {x} + 2T \ xi \ dot {x} + x = \ psi, \ quad \ quad (5)$$

wo $$$\ psi$ - unser Fahrsteuersignal (Sollwert). Das heißt, wir wollen unseren nichtlinearen Generator in eine lineare Schwingungsverbindung „verwandeln“. Es ist anzumerken, dass dieses System in derselben [2] ein Stabilisierungssystem ist, da die Ausgabe $$$x$ versucht das Eingangssignal zu wiederholen $$$\ psi$ das heißt, stabilisiert die Systemleistung auf einem gegebenen konstanten Niveau $$$\ psi$ das kann angezeigt werden als

$$

$$x \ rightarrow \ psi.$$

Es ist wichtig, dass das Eingangssignal $$$\ psi$ war konstant oder änderte sich langsam (so langsam, dass der Verzögerungsfehler $$$x$ von $$$\ psi$ passen mit einem Wert oder einer stückweise konstanten Funktion in unsere Genauigkeitsanforderungen), da das gesamte System einen Astatismus 0-Ordnung (dh statisch) und für jedes sich ständig ändernde Einstellsignal aufweist $$$\ psi$ Am Systemausgang wird sicherlich ein dynamischer Fehler auftreten, der so aussieht, als würde dem Ausgabewert ein bestimmter konstanter Wert hinzugefügt, der monoton von der Änderungsrate der Steueraktion abhängt. Diese Funktion wird in Zukunft entfallen.

Wir drücken also die höchste Ableitung aus Gleichung (5) aus:

$$

$$\ ddot {x} = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} - \ frac {2 \ xi \ dot {x}} {T} - \ frac {x} {{{T. } ^ {2}}}$$

und ersetze es in (4) und drücke es aus $$$u$ ::

$$

$$u = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} + \ left ({{\ omega} ^ {2}} - \ frac {1} {{{T} ^ {2}} } \ right) x- \ left (\ frac {2 \ xi} {T} + \ gamma (1 - {{x} ^ {2}}) \ right) \ dot {x}. \ quad \ quad (6)$$

Dies ist das Steuersignal, das vom Regler aus dem gewünschten Steuersignal gebildet wird $$$\ psi$ . Aus (6) folgt auch die Notwendigkeit, die Ausgangsmenge zu messen $$$x$ und seine erste Ableitung.

Van-der-Pol-Schwingungen mit Parametern $$$\ gamma = 0,6, \ omega = 3$ so aussehen:


Lassen Sie uns ein Signal vom Typ "Schritt" haben:


und wir wollen, dass das System es wiederholt.

Wir speisen es dem Eingang des Oszillators zu und sehen die Antwort:


Unter der Wirkung des einzelnen Eingangssignals wurde den Schwingungen des Oszillators nur eine kleine konstante Vorspannung hinzugefügt.

Nehmen wir nun an, wir müssen eine solche Oszillatorantwort auf ein Mastersignal erhalten, das der Reaktion der Schwingungsverbindung (5) mit einer Zeitkonstante entspricht $$$T = 0,125$ und Dämpfungsfaktor $$$\ xi = 0,8$ . Antwort $$$x_ {mp} (t)$ einer solchen Schwingungsverbindung pro Einheitsschritt wird nachstehend dargestellt:


Geben wir nun das Steuersignal an den Oszillator $$$u$ beschrieben durch Ausdruck (6):


Es ist ersichtlich, dass sich der Oszillator gemäß dem erforderlichen Gesetz verhält. Schauen wir uns das Steuersignal an $$$u$ ::


Die Abbildung zeigt einen signifikanten Anstieg zum Zeitpunkt des Übergangsprozesses. In einem realen System tritt höchstwahrscheinlich entweder das System in die Sättigung (Zerstörung) ein, oder um dies zu verhindern, müssen wir das Eingangssignal begrenzen. Wir berücksichtigen dies, indem wir die Amplitude der Steueraktion begrenzen $$$u$ auf der Ebene $$$\ pm$ 15. Das Steuersignal sieht nun folgendermaßen aus:


und der Oszillatorausgang ist wie folgt:


Die Folge der Signalbegrenzung ist ein großer Übergangsfehler, der in Abhängigkeit von den gewünschten Eigenschaften des Systems sehr bedeutend sein kann. Mit zunehmender erforderlicher Zeitkonstante nehmen die transienten Emissionen ab. Sie müssen darauf achten, dass das maximale Steuersignal im eingeschwungenen Zustand (das in diesem Diagramm ab etwa der sechsten Sekunde beginnt) nicht begrenzt ist, da es sonst zu einem endlosen Übergangsprozess kommt und das System die Aufgabe nicht ausführt. Reglerverstärkung, d. H. Steuersignalverhältnis $$$u$ am Reglerausgang $$$\ psi$ bestimmt durch die Parameter des gesteuerten Systems, nämlich den Faktor $$$\ omega ^ 2$ .

Jetzt speisen wir den Oszillator mit einem solchen sich linear ändernden Signal:


Die Reaktion der Schwingungsverbindung:


und Oszillator:


Es ist ersichtlich, dass eine konstante Verzögerung aufgetreten ist - ein dynamischer Fehler, da das System so ausgelegt ist, dass es nur ein konstantes Referenzsignal verfolgt $$$\ psi$ . Um ein linear variierendes Signal verfolgen zu können, ist es notwendig, die Änderungsrate auszuwerten und in der Steuerung zu berücksichtigen. Dazu setzen wir das erforderliche Kontrollgesetz wie folgt zusammen:

$$

$${{T} ^ {2}} \ ddot {\ delta} + 2T \ xi \ dot {\ delta} + \ delta = 0, \ quad \ quad (7)$$

wo $$$\ delta = \ psi-x$ - Fehler beim Verfolgen des Referenzsignals durch den Oszillator.
Wir drücken auch die höchste Ableitung aus (7) aus, setzen sie in die Gleichung des Steuerobjekts (4) ein und erhalten ein Steuersignal:

$$

$$u = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} + \ frac {2 \ xi} {T} \ dot {\ psi} + \ left ({{\ omega} ^ {2} } - \ frac {1} {{{T} ^ {2}}} \ right) x- \ left (\ frac {2 \ xi} {T} + \ gamma (1 - {{x} ^ {2}) }) \ right) \ dot {x}. \ quad \ quad (8)$$

In der neuen Struktur des Reglers entsprechend Ausdruck (8) ist die Änderungsrate der eingestellten Aktion $$$\ dot {\ psi}$ . Wir betrachten den Ausgang des Systems, wenn ein linear variierender Sollwert auf den Eingang angewendet wird:


Der Oszillator verfolgt das eingestellte Signal $$$\ psi$ .

Dies ist jedoch ein vollständig synthetisches Beispiel. In Wirklichkeit wird es ein System geben, dessen Struktur wahrscheinlich nicht genau genug identifiziert wird - diesmal. Wir werden auch die Systemparameter mit einem bestimmten Fehler bestimmen - dies sind zwei. Die Steuerung umfasst Phasenvariablen $$$x, \ dot {x}$ das muss mit irgendeiner Art von Rauschen gemessen werden, sind drei. Und die Parameter des Systems können über die Zeit schweben, dh ein stationäres System kann über einen ausreichend langen Zeitraum eine Nichtstationarität aufweisen. Obwohl es richtiger ist, dies zu sagen - in einem relativ kurzen Zeitintervall kann ein instationäres System stationär erscheinen. In diesem Beispiel wird davon ausgegangen, dass das System mit ausreichender Genauigkeit identifiziert wird und seine zeitliche Änderung sehr unbedeutend ist. Aus Gründen der Klarheit schreiben wir den Ausdruck für Controller (6) wie folgt um:

$$

$$u = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} + \ left ({{\ omega} _ {\ text {id}}} ^ {2} - \ frac {1} {{ {T} ^ {2}}} \ rechts) \ hat {x} - \ links (\ frac {2 \ xi} {T} + {{\ gamma} _ {\ text {id}}} (1- { {{\ \ hat {x}}} ^ {2}}) \ right) \ hat {\ dot {x}}, \ quad \ quad (9)$$

wo $$$\ hat {x}, \ hat {\ dot {x}}$ - gemessener kontrollierter Wert und dessen Ableitung; $$${\ omega} _ {\ text {id}}, {\ gamma} _ {\ text {id}}$ - identifizierte Eigenfrequenz- und nichtlineare Dämpfungskoeffizienten.

Fügen Sie einen 10% igen Fehler bei der Identifizierung der Oszillatorparameter durch Einstellen hinzu $$$\ gamma_ {id} = 0,66, \ omega_ {id} = 3,3$ . Schauen wir uns das Ergebnis an:


Aus der Figur ist ersichtlich, dass ein statischer Fehler aufgetreten ist, der mit zunehmendem Identifikationsfehler zunimmt $$$\ delta \ omega = \ omega- \ omega_ {id}$ und im stationären Zustand ist fehlerfrei $$$\ delta \ gamma = \ gamma- \ gamma_ {id}$ . Letzteres beeinflusst jedoch die Abweichung des Oszillatorübergangs von der für die ideale Schwingungsverbindung. Sie können versuchen, dasselbe wie beim Entwurf von PID-Reglern ( Habr und nicht Habr ) zu tun - fügen Sie dem Steuersignal das Integral des Fehlers hinzu (ohne die integrale Sättigung ein- oder zweimal zu vergessen). Lassen wir diese Frage zunächst weg und betrachten den Ausdruck (9), bei dem zu sehen ist, dass die Eigenfrequenz umso niedriger ist $$$\ omega$ im Vergleich zur erforderlichen Zeitkonstante $$$\ frac {1} {T}$ , je kleiner der Einfluss des Identifikationsfehlers desselben ist $$$\ frac {1} {T}$ . Reduzieren $$$T$ von 0,125 bis 0,05. Der statische Fehler nahm ebenfalls ab:


Versuchen wir nun, den statischen Fehler zu kompensieren, indem wir das Integral des Fehlers zur Steuerung hinzufügen $$$\ delta$ (wie im PI-Regler). Ausdruck (9) wird zu

$$

$$u = \ frac {\ psi} {{{T} ^ {2}}} + \ left ({{\ omega} _ {\ text {id}}} ^ {2} - \ frac {1} {{ {T} ^ {2}}} \ rechts) \ hat {x} - \ links (\ frac {2 \ xi} {T} + {{\ gamma} _ {\ text {id}}} (1- { {{\ \ hat {x}}} ^ {2}}) \ right) \ hat {\ dot {x}} + k_ {int} \ int_0 ^ {t_1} {(\ psi-x) dt}, \ quad \ quad (10)$$

wo $$$k_ {int}$ - Koeffizient der integralen Komponente; $$$t_1$ - aktuelle Zeit.

Das Integral wird hier formal so geschrieben, dass es eher die allgemeine Idee als die mathematische Beschreibung eines bestimmten Algorithmus erklärt, da in einer realen Steuerung Maßnahmen zur Begrenzung des akkumulierten Fehlers erforderlich sind, da sonst Probleme mit dem Übergang auftreten können. Schauen wir uns die Reaktion des Systems unter der Wirkung des resultierenden Reglers an, der dem Ausdruck (10) entspricht:


Die Abbildung zeigt, dass der statische Fehler mit der Zeit abnimmt, der Übergangsprozess jedoch verzögert ist. In Analogie zum PID-Regler können Sie versuchen, proportionale und differenzierende Komponenten hinzuzufügen. Das Ergebnis war wie folgt (die Koeffizienten wurden nicht sorgfältig ausgewählt):


Natürlich ist das Hinzufügen der Integral- und Differentialkomponenten nicht länger Teil der Methode des inversen Dynamikproblems, sondern implementiert eine bestimmte Methode zur Optimierung des Übergangsprozesses.

Lassen Sie uns den Effekt von Rauschmessungen von Variablen analysieren $$$\ hat {x}, \ hat {\ dot {x}}$ . Wiederum geben wir dem Systemeingang einen Schritt und betrachten den Ausgang ohne Rauschen (es liegt immer noch der gleiche 10% ige Identifikationsfehler vor):


Fügen Sie nun zu den Messungen hinzu $$$\ hat {x}, \ hat {\ dot {x}}$ weiße Gaußsche Geräusche mit Nullerwartung und gleichen Varianzen $$$\ sigma_x ^ 2 = \ sigma_ \ dot {x} ^ 2 = 0,01$ durch aperiodische Verknüpfungen mit Zeitkonstanten geleitet $$$T_x = T_ \ dot {x} = 0,01$ die einen Messsensor + Tiefpassfilter simulieren. Eine der resultierenden Rauschimplementierungen:


Jetzt begann auch die Systemausgabe Geräusche zu machen:


infolge eines verrauschten Steuersignals:


Schauen Sie sich den Fehler bei der Ausführung der Aufgabe an:


Versuchen wir, die Zeitkonstanten der Sensoren zu erhöhen $$$T_x = T_ \ dot {x} = 0,04$ und schauen Sie sich noch einmal die Systemausgabe an:


Es traten signifikante Schwankungen auf - das Ergebnis der Wirkung derjenigen, die für kleine dynamische Parameter [2], die die Sensoren beschreiben (ihre Trägheit), nicht berücksichtigt wurden. Diese dynamischen Parameter erschweren die Rauschfilterung und zwingen dazu, Sensoren mit „großen“ Zeitkonstanten zu beschreiben, was im Allgemeinen nicht immer zu einem positiven Ergebnis führen kann.

Steuerung eines Gleichstrommotors unter Berücksichtigung der nichtlinearen viskosen Reibung

Dies ist ein realistischerer Fall bei der Anwendung der inversen Dynamikproblemmethode. Betrachten Sie die Organisation der Steuerung eines Gleichstromkollektormotors mit Erregung durch Permanentmagnete (ua chinesische Motoren aus Spielzeug). Grundsätzlich ist das Thema der Steuerung solcher Motoren gut abgedeckt und verursacht keine besonderen Schwierigkeiten. Die Methode des inversen Dynamikproblems wird im Großen und Ganzen verwendet, um die Nichtlinearität in der Motordynamikgleichung zu kompensieren.Wir nehmen an, dass der Motor selbst durch lineare Differentialgleichungen beschrieben werden könnte, aber es gibt einen signifikanten Einfluss der nichtlinearen viskosen Reibung der Welle, proportional zum Quadrat ihrer Drehzahl. Die Gleichung des elektromechanischen Systems lautet wie folgt:

$$

$$\begin{matrix} \dot{\omega} = \frac{1}{J} \left(k_t \Phi I - B \omega - D \omega^2 - M_{l} \right) \\ \dot{I} = \frac{1}{L} \left(U - k_e \omega - R I \right) \\ \end{matrix}, \quad\quad (11)$$

wo $$$\omega$ - Winkeldrehzahl der Welle; $$$J$ - Trägheitsmoment des gesamten rotierenden Systems (Anker mit angebrachter Last); $$$k_t$ - eine Maschinenkonstante, die für eine bestimmte Motorkonstruktion definiert ist und den Magnetfluss und die Wellendrehzahl in Beziehung setzt; $$$\Phi$ - Magnetfluss, der für eine bestimmte Motorkonstruktion im Bereich der Betriebsströme grob als konstant angesehen werden kann (bei hohen Strömen jedoch nicht linear vom Wicklungsstrom abhängig); $$$I$ - Strom durch die Ankerwicklung; $$$B$ - linearer viskoser Reibungskoeffizient; $$$D$ - nichtlinearer viskoser Reibungskoeffizient; $$$M_l$ - Lastmoment; $$$L$ - Induktivität der Ankerwicklung; $$$U$ - an die Wicklung angelegte Spannung; $$$k_e$ - Gegen-EMK-Koeffizient, konstant für eine bestimmte Motorkonstruktion; $$$R$ - Widerstand der Ankerwicklung. Im Prinzip würde es ausreichen, nur nichtlineare viskose Reibung zu machen, aber es wurde beschlossen, die nichtlineare Abhängigkeit der Reibung von der Wellendrehzahl als Binomial für eine allgemeinere Darstellung darzustellen.

Wir werden versuchen, einen solchen Regler nach der Methode des inversen Dynamikproblems herzustellen, so dass die Dynamik des Fehlers bei der Erfüllung der Drehzahlaufgabe des Motors der für die von beschriebene Schwingungsverbindung entspricht

$$

$${{T} ^ {2}} \ ddot {\ omega} + 2T \ xi \ dot {\ omega} + \ omega = \ psi, \ quad \ quad (12)$$

wo $$$\ omega$ - Winkeldrehzahl der Motorwelle; $$$\ psi$ - Geschwindigkeitseinstellung.

Gleichung (12) könnte unter Verwendung des Fehlers kompiliert werden, den Befehl als dynamische Variable auszuarbeiten $$$\ delta = \ psi- \ omega$ ::

$$

$${{T} ^ {2}} \ ddot {\ delta} + 2T \ xi \ dot {\ delta} + \ delta = 0,$$

aber dann würden die Terme mit Ableitungen des Sollwerts in der Gleichung erscheinen, wie aus dem Ausdruck ersichtlich ist

$$

$$\ frac {1} {T ^ 2} (\ psi- \ omega) + \ frac {2 \ xi} {T} (\ dot {\ psi} - \ dot {\ omega}) + \ ddot {\ psi } - \ ddot {\ omega} = 0,$$

Dies würde wiederum die Fluktuationskomponente des Fehlers erhöhen. Und da das System nur einen konstanten, sich abrupt ändernden Sollwert berechnen soll (dh unter Berücksichtigung seiner Geschwindigkeit, Beschleunigung und aller nachfolgenden Ableitungen Null), müssen wir den maximalen Positionsfehler verfolgen, ohne seine Ableitungen zu berücksichtigen, oder wenn dies leichter zu verstehen ist mit Null Ableitungen des Fehlers, was zu Ausdruck (12) führen würde.

Um einen Ausdruck zu erhalten, der schließlich den Regler beschreibt, ist es notwendig, das System von zwei Gleichungen erster Ordnung (11) auf eine Gleichung zweiter Ordnung zu reduzieren. Dazu differenzieren wir die erste Gleichung (11) in Bezug auf die Zeit (unter der Annahme, dass das Lastmoment unverändert ist):

$$

$$J \ ddot {\ omega} = \ Phi \ dot {I} -B \ dot {\ omega} -2D \ omega \ dot {\ omega}$$

und ersetzen Sie darin den Ausdruck aus der zweiten Gleichung des Systems (11) $$$\ dot {I}$ , was eine Gleichung zweiter Ordnung ergibt

$$

$$\ ddot {\ omega} + \ left (\ frac {R} {L} + \ frac {B} {J} \ right) \ dot {\ omega} +2 \ frac {D} {J} \ omega \ Punkt {\ omega} + \ frac {\ Phi K_t K_e + RB} {JL} \ omega + \ frac {RD} {JL} \ omega ^ 2 + \ frac {RM} {JL} = \ frac {\ Phi K_t} {JL} U. \ quad \ quad (13)$$

Einsetzen in Ausdruck (13) $$$\ ddot {\ omega}$ erhalten aus (12) können wir die erforderliche Kontrolle finden $$$U$ das gewünschte Bewegungsgesetz umzusetzen (12):

$$

$$\ small U = \ frac {JL} {\ Phi K_t} \ left [\ left (\ frac {R} {L} + \ frac {B} {J} - \ frac {2 \ xi} {T} \ rechts) \ dot {\ omega} + \ frac {2D} {J} \ omega \ dot {\ omega} + \ left (\ frac {\ Phi K_t K_e + RB} {JL} - \ frac {1} {T. ^ 2} \ right) \ omega + \ frac {RD} {JL} \ omega ^ 2 + \ frac {RM} {JL} + \ frac {\ psi} {T ^ 2} \ right]. \ \ (14)$$

Wir wenden auf die Eingänge von zwei Motoren, von denen einer durch einen Regler ergänzt wird, der nach dem Prinzip des inversen Dynamikproblems implementiert ist, einen Schritt mit einer Einheitsamplitude gemäß dem folgenden Schema an:


und sehen Sie die Abhängigkeit der Drehfrequenz der Wellen der Motoren von der Zeit:


Reaktion auf einen Schritt mit einer Amplitude von 10 Volt:


Die nichtlineare Abhängigkeit des Schwingungsindex des Anfangssystems von der Amplitude des Eingangssignals ist aus den Figuren ersichtlich.

Vergleichen Sie nun zwei Motoren mit PID-Reglern, deren Strukturdiagramm in der folgenden Abbildung dargestellt ist:


Drehzahlen der Motorwelle:


und größer:


Aus den Figuren ist ersichtlich, dass dank des PID-Reglers, der unter Verwendung des inversen Dynamikproblemverfahrens konstruiert wurde, die Systemreaktion auf das abgestufte Steuersignal beschleunigt wird, was mit dem herkömmlichen PID-Regler aufgrund der Nichtlinearität im Regelobjekt nicht erreicht werden konnte. Die Verwendung variabler Koeffizienten des PID-Reglers würde dieses Problem jedoch wahrscheinlich besser lösen und das System robuster machen. Aber das ist eine ganz andere Geschichte.

Fazit

In diesem Artikel wurde eine Methode betrachtet, mit der Sie eine Steuerung zur Steuerung nichtlinearer Systeme erstellen können. Dies wurde anhand von Beispielen für Steuerungen des Van-der-Pol-Oszillators und eines Gleichstrommotors gezeigt.

Die Hauptvorteile dieser Methode sind:

• einfache Umsetzung des erforderlichen Kontrollgesetzes (analytisch);
• die Fähigkeit, nichtlineare Systeme zu steuern;
• die Fähigkeit, instationäre Systeme zu steuern.

Dieses Verfahren weist jedoch auch eine Reihe wesentlicher Nachteile auf :

• die Notwendigkeit, den gesamten Zustandsvektor des gesteuerten Systems zu kennen (was Differenzierung, Filterung erfordern kann);
• die Notwendigkeit einer ausreichend genauen Identifizierung der Parameter des gesteuerten Systems, was die Robustheit verringern kann;
• die Notwendigkeit, das System auf Instabilität zu untersuchen, die sich aus der kombinierten Wirkung kleiner dynamischer Parameter (Filter, Sensoren) ergibt, die nicht im Modell enthalten sind.

Im Allgemeinen ist dies eine ziemlich interessante Methode, aber durch den Vergleich ihrer Implementierung zur Steuerung eines Gleichstrommotors (unter Verwendung eines PID-Reglers) mit einem Motor, der nur von einem PID-Regler gesteuert wird, wurde klar, dass es nicht möglich sein würde, signifikante Brötchen daraus zu erhalten. Die Struktur der Steuervorrichtung ist jedoch viel komplizierter, was unter anderem dazu zwingt, einerseits mit Differenzierungsgeräuschen zu kämpfen und andererseits zu verhindern, dass die Stabilitätsgrenze erreicht wird. Vielleicht ist damit eine kleine Anzahl von Arbeiten zu diesem Thema verbunden. Eine der möglichen Anwendungen der Methode des inversen Problems der Dynamik kann die Konstruktion von Referenz- (idealen) Trajektorien von Systemen zum Vergleich mit den Trajektorien sein, die verschiedenen Reglern entsprechen, beispielsweise linear oder linearisiert.

Gebrauchte Literatur:

1. Kim D.P. Theorie der automatischen Steuerung. T.2. Mehrdimensionale, nichtlineare, optimale und adaptive Systeme: Lehrbuch. Zulage. - M.: FIZMATLIT, 2004. - 464 p.
2. Boychuk L.M. Die Methode der Struktursynthese nichtlinearer automatischer Steuerungssysteme. M., "Energy", 1971.
3. Nichtstationäre Systeme der automatischen Steuerung: Analyse, Synthese und Optimierung / Ed. K.A. Pupkova und N.D. Egupova. - M.: Verlag der MSTU. N.E. Bauman, 2007 .-- 632 p.