Eintrag

Ist es jemals passiert, dass Sie eine unendliche Reihe summieren möchten, aber keine Teilsumme der Reihe aufnehmen können? Haben Sie die diskrete Ableitung noch nicht verwendet? Dann gehen wir zu dir!

Definition

Diskrete Ableitungssequenz $$$a_n$ Rufen Sie diese Sequenz auf $$$\ Delta a_n$ das für jeden natürlichen $$$n> 1$ durchgeführt von:

$$

$$\ Delta a_n = a_n - a_ {n-1}$$

Betrachten Sie die folgenden Beispiele:

• $$

  $$a_n = 1 \\ \ Delta a_n = a_n - a_ {n-1} = 1 - 1 = 0$$

• $$

  $$a_n = n \\ \ Delta a_n = a_n - a_ {n-1} = n - (n - 1) = 1$$

• $$

  $$a_n = n ^ 2 \\ a_n = n ^ 2 - (n - 1) ^ 2 = n ^ 2 - (n ^ 2 - 2n + 1) = 2n - 1$$

• $$

  $$a_n = n ^ 3 \\ \ Delta {a_n} = n ^ 3 - (n - 1) ^ 3 = 3n ^ 2 - 3n + 1$$

• $$

  $$a_n = k ^ n \\ \ Delta {a_n} = k ^ n - k ^ {n-1} = k ^ {n-1} (k-1)$$

Nun, du verstehst, worum es geht. So etwas wie eine Ableitung einer Funktion, oder? Wir haben verstanden, wie man diskrete Ableitungen der "einfachsten" Sequenzen berechnet. Ähm, aber was ist mit der Summe, Differenz, dem Produkt und dem Quotienten von Sequenzen? Das "gewöhnliche" Derivat hat einige Differenzierungsregeln. Lassen Sie uns eine diskrete einfallen!

Betrachten Sie zunächst den Betrag. Es ist logisch, dass die Summe der Sequenzen auch eine Art Sequenz ist. Versuchen wir, die Ableitung per Definition zu finden:

$$

$$\ Delta {(a_n + b_n)} = a_n + b_n - (a_ {n - 1} + b_ {n - 1}) = \\ = a_n - a_ {n - 1} + b_n - b_ {n - 1 } = \ Delta {a_n} + \ Delta {b_n}$$

Phänomenal! Wir haben erhalten, dass die Ableitung der Summe der Sequenzen die Summe der Ableitungen dieser Sequenzen ist! danke Mütze
Versuchen wir, dasselbe mit dem Unterschied zu beweisen

$$

$$\ Delta {(a_n - b_n)} = a_n - b_n - (a_ {n - 1} - b_ {n - 1}) = \\ = a_n - a_ {n - 1} - (b_n - b_ {n - 1}) = \ Delta {a_n} - \ Delta {b_n}$$

Und wir machen uns an die Arbeit!
Ebenso finden wir per Definition:

$$

$$\ Delta {(a_nb_n)} = a_nb_n - a_ {n-1} b_ {n-1} = \\ = a_nb_n-a_ {n} b_ {n-1} + a_nb_ {n-1} - a_ {n -1} b_ {n-1} = \\ = a_n (b_n - b_ {n-1}) + b_ {n-1} (a_n - a_ {n-1}) = \\ = a_n \ Delta {b_n } + b_ {n-1} \ Delta {a_n}$$

Cool, oder? Betrachten Sie den Quotienten:

$$

$$\ Delta (\ frac {a_n} {b_n}) = \ frac {a_n} {b_n} - \ frac {a_ {n - 1}} {b_ {n-1}} = \ frac {a_nb_ {n-1 } -a_ {n-1} b_n} {b_nb_ {n-1}} = \\ = \ frac {a_nb_ {n-1} -a_nb_n + a_nb_n-a_ {n-1} b_n} {b_nb_ {n-1 }} = \\ = \ frac {b_n \ Delta {a_n} -a_n \ Delta {b_n}} {b_nb_ {n-1}}$$

Cool ...

Aber das ist alles abgeleitet. Vielleicht gibt es ein diskretes Antiderivativ ? Es stellt sich heraus, dass es gibt!

Weitere Definitionen

Diskrete primitive Sequenz $$$a_n$ nenne eine solche Sequenz $$$A_n$ das für jeden natürlichen $$$n> 1$ durchgeführt von:

$$

$$a_n = \ Delta A_n$$

• $$

  $$a_n = 1 \\ \ Delta A_n = a_n \ iff A_n = n$$

• $$

  $$a_n = n \\ n = \ frac {2n-1} {2} + \ frac {1} {2} = \ frac {\ Delta n ^ 2 + \ Delta n} {2} = \ frac {\ Delta (n ^ 2 + n)} {2} \\ \ Delta A_n = a_n \ iff A_n = \ frac {n ^ 2 + n} {2}$$

Das ist verständlich. Guo hat ein Analogon von Newton-Leibniz!

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ {n} a_i = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_n = \\ = A_1 - A_0 + A_2 - A_1 + ... + A_n - A_ {n-1} = \ \ = A_ {n} - A_0$$

Nun ja! Dieser Witz ist ein Zufall! Und jetzt das schönere:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ n a_ = \ sum_ {i = 1} ^ n \ Delta A_i = A_i \ bigg | _ {1} ^ {n}$$

Und verallgemeinern Sie auf die Menge der natürlichen Zahlen von $$$a$ vorher $$$b$ ::

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ {b} f (i) = F_i \ bigg | _a ^ b$$

Anwendung

Wer erinnert sich an die Formel für die Summe einer Reihe von Quadraten natürlicher Zahlen aus $$$1$ vorher $$$n$ ? Und hier erinnere ich mich nicht. Lass sie raus!
Aber zuerst müssen Sie das Antiderivativ für die Sequenz finden $$$a_i = i ^ 2$ ::

$$

$$i ^ 2 = (3i ^ 2-3i + 1) \ frac {1} {3} + i - \ frac {1} {3} = (3i ^ 2-3i + 1) \ frac {1} {3 } + i - \ frac {1} {3} = \\ = \ frac {1} {3} \ Delta i ^ 3 + \ frac {1} {2} \ Delta (i ^ 2 + i) - \ frac {1} {3} \ Delta i = \\ = \ Delta \ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + 3i-2i} {6} = \ Delta \ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i} { 6}$$

Und jetzt tatsächlich die Summe selbst:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ {n} i ^ 2 = \ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i} {6} \ bigg | _0 ^ n = \ frac {2n ^ 3 + 3n ^ 2 + n} {6}$$

Was ist mit der Summe der Würfel?

Zuerst berechnen wir

$$

$$\ Delta i ^ 4 = i ^ 4 - (i-1) ^ 4 = i ^ 4- (i ^ 4 - 4 i ^ 3 + 6i ^ 2-4i + 1) = 4i ^ 3 - 6i ^ 2 + 4i-1$$

Antiderivativ für $$$i ^ 3$ ::

$$

$$i ^ 3 = \ frac {1} {4} (4i ^ 3-6i ^ 2 + 4i-1) + \ frac {3} {2} i ^ 2-i + \ frac {1} {4} = \ \ = \ frac {\ Delta i ^ 4} {4} + \ frac {3} {2} \ Delta {\ frac {2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i} {6}} - \ Delta {\ frac { i ^ 2 + i} {2}} + \ frac {\ Delta {i}} {4} = \\ = \ Delta {\ frac {i ^ 4 + 2i ^ 3 + 3i ^ 2 + i-2i ^ 2 -2i + i} {4}} = \ Delta {\ frac {i ^ 4 + 2i ^ 3 + i ^ 2} {4}} = \\ = \ Delta {\ bigg (\ frac {i (i + 1) )} {2} \ bigg) ^ 2} \\ \ sum_ {i = 1} ^ {n} i ^ 3 = \ bigg (\ frac {i (i + 1)} {2} \ bigg) ^ 2 \ bigg | _0 ^ n = \ bigg (\ frac {n (n + 1)} {2} \ bigg) ^ 2$$

Ähm, es scheint, nichts kompliziertes ...

Für Fortgeschrittene

Das Integral zu finden ist nicht immer so einfach, oder? Was machen wir in schwierigen Fällen? Das ist richtig, in Teile integrieren. Vielleicht gibt es ein Analogon? Ich werde dich nicht quälen, das ist er, und jetzt werden wir ihn rausholen.

Angenommen, wir müssen die Summe einer Reihe berechnen

$$

$$p = const \\\ sum_ {i = 1} ^ {n} ip ^ {i} =?$$

Was zu tun ist? Es ist unwahrscheinlich, dass Sie das diskrete Antiderivativ für die Sequenz so leicht aufnehmen können. Lass uns zuschauen.

Das wissen wir schon:

$$

$$\ Delta {(f (n) g (n))} = f (n) \ Delta {g (n)} + g (n-1) \ Delta f (n)$$

Dann

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ {b} \ Delta (f (i) g (i)) = \ sum_ {i = a} ^ bf (i) \ Delta g (i) + \ sum_ {i = a } ^ {b} g (i-1) \ Delta f (i) \ iff \\ \ iff \ sum_ {i = a} ^ bf (i) \ Delta g (i) = \ sum_ {i = a} ^ {b} \ Delta (f (i) g (i)) - \ sum_ {i = a} ^ {b} g (i-1) \ Delta f (i)$$

Und jetzt ein nicht trivialer Schritt:

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ {b} \ Delta (f (i) g (i)) = f (a) g (a) -f (a-1) g (a-1) + f (a +1) g (a + 1) - f (a) g (a) + \\ + ... + f (b) g (b) -f (b-1) g (b-1) = f ( b) g (b) -f (a-1) g (a-1)$$

Ersetzen Sie die zuvor erhaltene Gleichheit:

$$

$$\ sum_ {i = a} ^ bf (i) \ Delta g (i) = f (b) g (b) -f (a-1) g (a-1) - \ sum_ {i = a} ^ {b} g (i-1) \ Delta f (i)$$

Finita la Comedy.

Finden Sie die gleiche Menge:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ n {ip ^ {i}} = S_n \\ p ^ i = \ Delta {\ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}} \\ S_n = \ sum_ {i = 1} ^ ni \ Delta {\ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}} \\ $$

Es mag jemandem scheinen, dass die Formel noch umständlicher geworden ist, und wir haben unsere Arbeit nur kompliziert. Aber das ist nicht so. Lass $$$f (i) = i, g (i) = \ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}$ dann:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ nf (i) \ Delta g (i) = f (n) g (n) -f (0) g (0) - \ sum_ {i = 1} ^ {n} g (i-1) \ Delta f (i) = \\ = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - 0 - \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ frac {p ^ {i}} {p-1} = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - \ bigg (\ frac {1} {p-1} \ sum_ {i = 1} ^ {n} p ^ i \ bigg) = \\ = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - \ bigg (\ frac {1} {p-1} \ sum_ {i = 1 } ^ {n} \ Delta {\ frac {p ^ {i + 1}} {p-1}} \ bigg) = \\ = n \ frac {p ^ {n + 1}} {p-1} - \ bigg (\ frac {p ^ {n + 1} -p} {(p-1) ^ 2} \ bigg) = \ frac {np ^ {n + 2} - (n + 1) p ^ {n + 1} + p} {(p-1) ^ 2}$$

Cooles Puzzle

Ich schlage vor, dies am Beispiel einer Aufgabe von der Auswahl in Tinkoff-Generierungskursen bis hin zu maschinellen Lernkursen zu üben. Hier ist das Problem selbst:

Sie haben es satt, Probleme von der Auswahl bis zu den Kursen der Tinkoff-Generation zu lösen, und haben beschlossen, eine Pause einzulegen, indem Sie sich mehrere Folgen der neuen Serie ansehen, über die alle sprechen.

Sie sehen sich die ganze Serie an, beginnend mit der ersten. Jede Episode dauert eine Stunde. Nachdem Sie die nächste Serie gesehen haben, sehen Sie mit konstanter Wahrscheinlichkeit ppp die nächste, andernfalls endet Ihre Pause und Sie kehren zur Arbeit zurück.

Hunger, Schlaf und andere Bedürfnisse halten Sie nicht auf, und die Serie hat unendlich viele Folgen. Theoretisch kann Ihre Pause ewig dauern.

Wie lange dauert Ihre durchschnittliche Pause?

Genau genommen müssen wir hier die mathematische Erwartung finden. Lass es uns richtig machen.

Lösung

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Pause 1 Stunde dauert, beträgt:

$$

$$P (1) = 1 - p$$

2 Stunden

$$

$$P (2) = p (1-p) \\ ...$$

n Stunden:

$$

$$P (n) = p ^ {n-1} (1-p)$$

Dann ist die Erwartung:

$$

$$E [X] = \ lim \ Grenzen_ {n \ bis \ infty} {\ sum_ {i = 1} ^ ni * P (i)} = \ lim \ Grenzen_ {n \ bis \ infty} {\ sum_ {i = 1} ^ ni * (1-p) p ^ {i-1}} = \\ = (1-p) \ lim \ limit_ {n \ to \ infty} {\ sum_ {i = 1} ^ ni * p ^ {i-1}}$$

Es ist bekannt, oder?

Das haben wir schon gefunden

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ nip ^ {i} = \ frac {np ^ {n + 2} - (n + 1) p ^ {n + 1} + p} {(p-1) ^ 2}$$

dann ist die Zeile, die wir brauchen, ganz offensichtlich:

$$

$$\ sum_ {i = 1} ^ nip ^ {i-1} = \ frac {1} {p} \ sum_ {i = 1} ^ nip ^ {i} = \ frac {np ^ {n + 1} - (n + 1) p ^ n + 1} {(p-1) ^ 2}$$

Und die Aufgabe besteht darin, die Grenze der Sequenz zu finden

$$

$$\ lim \ limit_ {n \ to \ infty} \ frac {np ^ {n + 1} - (n + 1) p ^ n + 1} {(p-1) ^ 2}$$

wo $$$p <1$ , als $$$p$ - Wahrscheinlichkeit des Ereignisses.
Das beweisen wir jetzt

$$

$$\ lim \ limit_ {n \ to \ infty} np ^ {n + 1} = 0, \ space \ lim \ limit_ {n \ to \ infty} p ^ n (n + 1) = 0$$

• $$

  $$f (x) = p ^ {x + 1} x, \ Leerzeichen x \ in \! R \\ p = \ frac {1} {q}, \ Leerzeichen 0 <p <1 \ iff q> 1 \\ \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {f (x)} = \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {p ^ {x + 1} x} = \ lim \ limit_ {x \ to \ infty } {\ frac {x} {q ^ {x + 1}}} = \\ = \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {\ frac {x '} {(q ^ {x + 1})' }} = \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {\ frac {1} {q ^ {x + 1} \ ln q}} = 0 \\ \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} f ( x) = 0 \ impliziert \ lim \ Grenzen_ {n \ bis \ infty} f (n) \ iff \ lim \ Grenzen_ {n \ bis \ infty} np ^ {n + 1} = 0$$
  
  

• $$

  $$f (x) = p ^ {x} (x + 1), \ Leerzeichen x \ in \! R \\ p = \ frac {1} {q}, \ Leerzeichen 0 <p <1 \ iff q> 1 \\ \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {f (x)} = \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {p ^ {x} (x + 1)} = \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {\ frac {x + 1} {q ^ {x}}} = \\ = \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {\ frac {(x + 1) '} {(q ^ {x}) '}} = \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} {\ frac {1} {q ^ {x} \ ln q}} = 0 \\ \ lim \ limit_ {x \ to \ infty} f (x) = 0 \ impliziert \ lim \ Grenzen_ {n \ bis \ infty} f (n) \ iff \ lim \ Grenzen_ {n \ bis \ infty} (n + 1) p ^ {n} = 0$$
  
  

Das ist jetzt leicht zu verstehen

$$

$$\ lim \ limit_ {n \ to \ infty} \ frac {np ^ {n + 1} - (n + 1) p ^ n + 1} {(p-1) ^ 2} = \ frac {1} { (p-1) ^ 2}$$

Und

$$

$$E [X] = (1-p) \ lim \ limit_ {n \ to \ infty} \ sum_ {i = 1} ^ n {ip ^ {i-1}} = (1-p) \ frac {1 } {(p-1) ^ 2} = \ frac {1} {1-p}$$

Einige auf

Fuh ... Es war leicht , selbst für mich, liebe Leser. Liste der Erfolge für heute:

1. Wir haben verstanden, was eine diskrete Ableitung ist.
2. Abgeleitet die inhärenten Differenzierungsregeln
3. Wir haben verstanden, was ein diskretes Antiderivativ ist.
4. Wir haben ein Analogon der Newton-Leibniz-Formel abgeleitet
5. Abgeleitet ein Analogon der Teilintegration
6. Wir haben die schwierige Aufgabe gelöst, einen Kurs für maschinelles Lernen in Tinkoff Generation auszuwählen

Zunächst einmal nicht schlecht, was denkst du?

Kommentare sind willkommen!