Ein kurzer Matheführer für Ausländer

Worum geht es?

Und wie kann man das benötigte Material der ersten Kurse der Universität in den vierten zehn und mit einer Abneigung gegen Algebra zusammenstellen?

Zum Wahnsinn der Tapferen singen wir ein Lied!

Die Zielgruppe des Leitfadens sind diejenigen, die sich plötzlich für Mathematik interessieren oder das Bedürfnis haben, ihre berufliche Effektivität zu steigern, aber aus irgendeinem Grund nicht in der Lage sind, mehrere Jahre ihres Lebens einer akademischen Ausbildung zu widmen. Wenn Sie verstehen müssen, aber grundlegende Kenntnisse dringend fehlen und Sie sich wie ein Ausländer in einem Land der Mathematik fühlen, in dem sie eine unverständliche Sprache sprechen, versuchen Sie, diesen Weg als Tourist zu gehen. Die gesamte Route ist eine Sightseeing-Tour und für mehrere Tage, maximal zwei Wochen, ausgelegt. Zum Vergleich: Ein vollständiger akademischer Kurs dauert etwa fünf Jahre. Das ultimative Ziel der vorgeschlagenen Route ist es, sich mit den Prinzipien eines hochspezialisierten Abschnitts vertraut zu machen - der elliptischen Kryptographie. Es ist jedoch nicht erforderlich, bis zum Ende zu gehen, wenn dieser Abschnitt außerhalb Ihres Interessenbereichs liegt oder wenn Sie mit ernsthaften Schwierigkeiten oder Gefahren konfrontiert sind. Versuchen Sie jedoch, seit Sie den Leitfaden gelesen haben, mindestens das Ende des Abschnitts „Formelsprache“ zu erreichen.

Wie ein Wörterbuch kann dieses Handbuch auch für die umgekehrte Übersetzung verwendet werden. Vielleicht ist es für Mathematiker nützlich, die gezwungen sind, mit Nicht-Mathematikern in Kontakt zu treten und eng mit ihnen zusammenzuarbeiten, um die Lücke des Missverständnisses ständig zu überwinden. Dieser Fall scheint so schwierig zu sein, dass die Linie von Maxim Gorki im Epigraph eine universelle Antwort für beide Seiten ist. Auf jeden Fall hoffe ich auf Feedback und versuche unser Wissen darüber wieder aufzufüllen, warum sie uns nicht verstehen und wie dies behoben werden kann.

Und jetzt, da wir wissen, dass es hier keine königlichen Straßen gibt, werden wir versuchen, zumindest einen Touristenweg zu ebnen.

Formelsprache

Mir wurde gesagt, dass jede im Buch enthaltene Formel die Anzahl der Kunden halbieren wird. Dann habe ich beschlossen, überhaupt auf Formeln zu verzichten. Am Ende habe ich zwar noch eine Gleichung geschrieben - die berühmte Einstein-Gleichung E = mc ^ 2. Ich hoffe, es schreckt nicht die Hälfte meiner potenziellen Leser ab.
Stephen Hawking - Eine kurze Geschichte der Zeit

Wenn der Hawking-Verlag Recht hat, reicht es aus, nur 33 Formeln hinzuzufügen, um die Anzahl potenzieller Leser nahe Null zu bringen. Werden wir es versuchen?

Zuallererst ist es notwendig, ein ausreichendes Verständnis der Notation zu erreichen. Denken Sie daran, Mathe ist eine Sprache.

In erster Näherung können mehrere Ebenen des Verständnisses eines mathematischen Textes unterschieden werden. Die erste Schicht ist die Auswahl von Lexemen, die sogenannte lexikalische Analyse. Die zweite ist die Konstruktion von Ausdrücken und anderen semantischen Konstruktionen. Programmierer nennen dies das Wort Parsing, dh Parsing, und allgemeine Mathematiker nennen es normalerweise überhaupt nicht, da sie diesen Mechanismus unbewusst verwenden. Als nächstes folgen die Ebenen, die für das Verständnis des Themenbereichs, der physikalischen Bedeutung und all dessen verantwortlich sind.

Einige Mathematiker sehen Programmierer als Nicht-Mathematiker. Das ist nicht fair. Erstens müssen sich Programmierer mit einer Maschine befassen, die die Auslassungen im Text der Programme nicht verzeiht. Vergleichen Sie mit einem typischen wissenschaftlichen Artikel, in dem die Ausdrücke „offensichtlich“, „leicht zu zeigen“, „kein Problem“ usw. häufig verwendet werden, aber in Wirklichkeit sind die Übergänge nicht sehr offensichtlich. Dank der Programmierung wurde daher ein ganzer Zweig der Mathematik geboren, der sich den formalen Sprachen und ihrer Analyse widmete. Zweitens haben sich unter rauen Bedingungen die Programmiersprachen selbst und verwandte Tools weiterentwickelt. Sehen Sie, wie elegant moderne Sprachen das Problem der Zuordnung von Variablen zu Objekten lösen. Ein ernstes Problem besteht übrigens darin, nicht in der Notation verwirrt zu werden, wenn zu viele von ihnen vorhanden sind und sie aus verschiedenen Quellen stammen. Und wenn Sie ein wenig Zeit mit einem schnellen Überblick über bestimmte Sprachen wie Coq, Agda, Idris verbringen, werden Sie die engste Verbindung zwischen Mathematik und Programmierung selbst erkennen.

Lexikalische Analyse

Früher wusste ich, wie Buchstaben geschrieben sind, ich glaubte an die Kraft der Worte.
Krematorium - Letzte Chance

Fragen Sie zuerst einen befreundeten Programmierer, was ein Lexer und ein Parser sind. Sie müssen nicht tief gehen, sondern nur anhand von Beispielen verstehen, was ein Token ist. Wenn Sie seltsame Wörter wie "el-er-parser" oder "syntax tree" hören, verlassen Sie den Raum leise. Höchstwahrscheinlich haben Sie bereits genug, der Programmierer wird nicht mehr benötigt. Verdauen Sie Ihr Wissen. Dann müssen Sie lernen, wie man Token in echten mathematischen Texten unterscheidet. Übe an zufällig heruntergeladenen Artikeln. Vermeiden Sie Dokumente in anderen Formaten als PDF sowie Texte, die sofort auf Webseiten angezeigt werden. Es gibt jedoch Websites, über die zuverlässig bekannt ist, dass sie mathematische Texte korrekt anzeigen können (Wikipedia und Habr sind in der weißen Liste enthalten). Papierbücher sind im Allgemeinen auch geeignet. Versuchen Sie nicht, den gefundenen Texten eine Bedeutung zu entziehen, sondern trainieren Sie, um Formeln zu analysieren.

Briefe

• Die Buchstaben von zwei Alphabeten werden normalerweise verwendet - Latein und Griechisch, aber manchmal werden kyrillische und hebräische Buchstaben gefunden. Es kommt vor, dass die Buchstaben verschiedener Alphabete stilistisch zusammenfallen. Auf dem Buchstaben verursacht dies keine Probleme, da zwei verschiedene Buchstaben desselben Typs nicht im selben Text verwendet werden. Sie können jedoch auf den Spott von Mathematikern stoßen, wenn Sie beispielsweise B laut als „sein“ vorlesen, wenn Sie „Beta“ meinen. Sei psychologisch darauf vorbereitet, du musst es aushalten.
• Groß- und Kleinbuchstaben stehen für unterschiedliche Objekte. (Für manche scheint dies zu offensichtlich, aber ich halte es für notwendig, es explizit auszusprechen. Als ich meinen Kollegen aus der Patentabteilung das Wesentliche meiner Arbeit vorstellen musste. Als ich fast den Charakter der Anekdote „Papa, wo ist das Meer?“ Erreicht hatte, wurde mir plötzlich klar dass die Mädchen meine Bezeichnungen m und M als auf dasselbe Objekt bezogen betrachten. Sobald das Missverständnis beseitigt war, endete der gesamte Prozess dank ihrer Professionalität in ihrer Arbeit schnell und entscheidend mit vollem Erfolg.)
• Der gleiche Buchstabe, der in verschiedenen Schriftarten geschrieben ist, bedeutet verschiedene Objekte.

In der Regel (in der Algebra) ist ein Buchstabe ein unabhängiges Token. Wenn mehrere Buchstaben hintereinander geschrieben werden, wird eine Multiplikation impliziert. Zum Beispiel bedeutet abc das Produkt von a, b und c. Es gibt jedoch Ausnahmen. Zuallererst ist dies der Name vieler Standardfunktionen und anderer Notationen, bei denen es sich um ein Token mit mehreren Buchstaben handelt: $$$\ sin, \ cos, \ min, \ max, \ sup, \ lim$ usw. Sie werden normalerweise in einem geraden (römischen) Stil dargestellt, im Gegensatz zu anderen kursiv geschriebenen Buchstaben. Darüber hinaus weichen sie in der Informatik und in einigen anderen Bereichen von dieser Regel ab, bei der eine Buchstabenfolge ein einzelnes Wortzeichen bezeichnet. Wenn im Einzelfall auch nur der geringste Zweifel besteht, wenden Sie sich an einen Spezialisten.

Klammern

Die wichtigste Rolle beim Parsen spielen Klammern. Sie wissen wahrscheinlich bereits oder vermuten, dass Klammern zum Gruppieren von Token verwendet werden. Es gibt jedoch Ausnahmen. Wenn Ihnen die Formel seltsam erscheint und zusätzliche Klammerpaare enthält oder sogar das Gleichgewicht der Klammern unterbrochen ist, stoßen Sie höchstwahrscheinlich auf ein Beispiel mit einer alternativen Verwendung von Klammern. Wenden Sie sich zur Klärung an einen Spezialisten.

Indizes

Achten Sie auf den oberen und unteren Index. So sieht Typografie hochgestellt und tiefgestellt aus. Das Hochgestellte ist einfacher: Es steht in der Regel für Potenzierung. Mit dem Boden etwas härter. Es kann auf zwei Arten verstanden werden:

• Wie eine Mapping-Operation. Zum Beispiel $$$x_i$ Ist so eine Funktion $$$x$ was als Argument nimmt $$$i$ . Wenn jetzt dieser Punkt nicht klar ist, ist es okay, dieser Ort kann vorerst übersprungen werden.
• Als Möglichkeit, ein neues Token zu bilden, wenn bequeme Buchstaben bereits abgelaufen sind. Es kann oft davon ausgegangen werden, dass $$$a_1, a_2, a_i$ - Dies sind nur drei verschiedene Objekte.

Irgendwann scheint es Ihnen, dass diese beiden Punkte im Wesentlichen dasselbe sind. Mach dir keine Sorgen, das ist normal, du bist der Erleuchtung ein wenig näher gekommen. Vereinbaren Sie ein Treffen mit einem Spezialisten.

Andere Charaktere

Mathematiker sind Ästhetiker. Sie lieben es, wenn nicht nur Inhalt, sondern auch Form schön ist. Sie freuen sich, wenn die Formeln in guter, geeigneter Typografie eingegeben werden. Knut machte einen köstlichen Lebkuchen namens $$$\ TeX$ . Machen Sie ein Tutorial zum Schreiben und Setzen von Formeln und finden Sie dort die Symboltabellen. Jetzt ist es für Sie wichtig, wie diese Symbole klassifiziert werden: Buchstaben, Operatoren, Beziehungszeichen, Pfeile ... Versuchen Sie zu verstehen, wie die Symbole jeder Klasse syntaktisch verwendet werden, ohne auf die mathematische Bedeutung der Symbole einzugehen. Zum Beispiel gibt es eine Klasse von binären Operationen, für die rechts und links in gleichem Abstand vom Operationssymbol eine Art Unterausdruck sein sollte.

Figuren

Nicht-Mathematiker glauben, dass Mathematiker glauben. In der Tat werden Mathematiker selten berücksichtigt, und Zahlen werden hauptsächlich zum Nummerieren von Objekten verwendet. Anscheinend wurde daher der Abschnitt "Zahlen" in Eile hinzugefügt und folgt unlogisch dem Abschnitt "Andere Symbole". Sie selbst können Experten sagen, wie digitale Token gebildet werden und was sie bedeuten.

Notationskonventionen

Sei a, b, c, d, e, f reelle Zahlen, wobei e nicht unbedingt gleich der Basis der natürlichen Logarithmen ist, obwohl es damit übereinstimmen kann.

In der Mathematik gibt es Konventionen darüber, welche Zeichen in welchen Fällen verwendet werden sollen. In verschiedenen Abschnitten können diese Vereinbarungen jedoch variieren. Es ist wie Dialekte einer Sprache. In der gesamten Mathematik sind Notationen standardisiert. Überprüfen Sie die Konventionen, die in Ihrem Fachgebiet akzeptiert werden. Darüber hinaus sind einige Wissenschaftler fahrlässig und verstoßen manchmal gegen allgemein anerkannte Vereinbarungen. Leider gibt es in den meisten Fällen keine Regeln zu diesem Thema. Sie können dies gelegentlich mit Ihrem Spezialisten besprechen.

Obwohl Mathematik im Allgemeinen supranational ist, gibt es kulturelle Unterschiede. Sie können ihnen begegnen, wenn Sie zu weit von der vom Guide vorgeschlagenen Route abweichen. Beispielsweise werden die englischen und russischen Bezeichnungen von Tangenten-, Kotangens- und hyperbolischen Funktionen unterschieden. Dieselben Buchstaben können je nach kulturellen Traditionen auch unterschiedlich ausgesprochen werden. Um Mühe zu sparen, lernen Sie die englischen Namen aller Buchstaben, einschließlich Griechisch. Wenn Sie die Schule nicht übersprungen haben, gibt es zumindest keine Probleme mit dem lateinischen Alphabet. Wenn Sie sie auf Russisch verwenden, können Ihre Gesprächspartner die Stirn runzeln, aber diesmal müssen sie es aushalten. Wenn Sie sie glücklich machen möchten, lernen Sie die Namen der lateinischen und griechischen Buchstaben, die in der russischsprachigen mathematischen Kultur akzeptiert werden.

Parsen

Ausdrücke

Sie haben den Begriff „Baum“ höchstwahrscheinlich nicht im botanischen, sondern im mathematischen Sinne gehört. Dies ist eine ziemlich einfache Sache, wenn nötig, aktualisieren Sie Ihr Wissen. Ein mathematischer Ausdruck hat also eine Baumstruktur. Dies bedeutet, dass der Ausdruck aus Unterausdrücken besteht, die aus Unterausdrücken bestehen ... Dieser Prozess ist jedoch nicht endlos, sondern endet mit einigen Unterausdrücken, die aus Token bestehen.

Einige Token selbst sind elementare Ausdrücke. Zum Beispiel Zahlen (genauer gesagt numerische Literale) und Variablen. Und einige erfordern, dass ihnen an bestimmten Positionen Argumente hinzugefügt werden, dh eine Art Unterausdruck. Dann bilden sie einen größeren Ausdruck. Zum Beispiel erfordert das Symbol einer Additionsoperation Ausdrücke rechts und links davon. Wir können sagen, dass das Lexem eine gewisse Arität hat oder, wenn Sie Chemie bevorzugen, die Wertigkeit ist, wie viele und an welchen Stellen Sie dem Lexem der Unterausdrücke hinzufügen müssen, um einen Ausdruck zu bilden. Für Operation + Arity kann wie folgt beschrieben werden: $$$\ cdot + \ cdot$

Dieser Eintrag bedeutet genau, dass das + -Token links und rechts davon Argumente erfordert. Unterschiedliche Token erfordern eine unterschiedliche Anzahl von Argumenten. Außerdem ist die Position der Argumente nicht auf "rechts" und "links" beschränkt, sondern kann beispielsweise "oben", "unten", "rechts unten" sein. Es gibt auch zusammengesetzte Token, die seit der Antike existieren, aber Mixfixes haben mit der Entwicklung der Programmiersprachen einen besonderen Namen erhalten. Beispielsweise wird ein Skalarprodukt von Vektoren wie folgt bezeichnet: $$$\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle$ .

Manchmal stehen Token in Konflikt, weil sie nicht entscheiden können, wem das zwischen ihnen geschriebene Argument gehört. Dann müssen Sie Klammern hinzufügen.

Variablen

Einige Token haben eine Bedeutung, die ihnen von oben zugeschrieben wurde - entweder irgendwo höher im Text oder durch Links in anderen Texten. Oder die Bedeutung wird als allgemein anerkannt in einer bestimmten Disziplin oder in der gesamten Mathematik impliziert. Beispielsweise kennzeichnet das Pluszeichen eine Additionsoperation. Plus - er ist in Afrika plus. Vielleicht stoßen Sie jedoch irgendwo näher am Ende Ihrer Route auf ein Pluszeichen mit einer ungewöhnlichen Bedeutung. Es gibt immer noch Token (normalerweise alphabetisch), die durch nichts explizit angegeben werden. Sie werden als Variablen bezeichnet, von denen es verschiedene Typen gibt.

• Parameter. Dies ist eine Variable, über die gesagt wird, dass sie durch etwas bezeichnet wird, aber es wird nicht genau gesagt, was. Wenn es Ihnen seltsam vorkam, können Sie es vorerst überspringen, und wenn Sie die Parameter erfüllen, werden Sie sofort alles anhand von Beispielen verstehen.
• Freie Variable. Wenn in dem Ausdruck eine Variable gefunden wird, über die nichts gesagt wird, wird eine solche Variable als frei bezeichnet. Genau genommen kann absolut nichts gesagt werden. Sie haben das Recht, den Autor der Formel zu fragen, aus der die freie Variable darin stammt. Fragen Sie einfach, dies ist nützlich: Auch wenn sich die Erklärungen als unverständlich herausstellen, werden sie Sie etwas ernster nehmen.
• Die gebundene Variable. Wenn Sie die Freiheit freier Variablen nicht mögen, gibt es verschiedene Möglichkeiten, ihre Freiheit einzuschränken. Sie können dem Ausdruck etwas hinzufügen, sodass Sie einen neuen Ausdruck erhalten, in dem die zuvor freie Variable gesperrt ist. Und der neue Ausdruck hängt im Gegensatz zum alten nicht mehr von dieser Variablen ab. Wenn Sie neugierig sind, was dieses „Etwas“ ist, schauen Sie sich die Quantifizierer oder ein bestimmtes Integral an. Versuchen Sie, nur die Syntax zu betrachten, nicht die Bedeutung zu untersuchen, sondern süchtig zu machen.

Kontext

Es kommt vor, dass es bei Betrachtung der Formel unmöglich ist, eine freie Variable von einem Parameter zu unterscheiden. Dies bedeutet, dass zusätzliche Informationen aus dem Kontext entnommen werden müssen, der normalerweise durch andere Formeln oder Texte in menschlicher Sprache ausgedrückt wird. Je nach Kontext kann die Formel unterschiedliche Bedeutungen haben. Wenn Sie die Formel verstehen müssen, studieren Sie immer den Kontext und suchen Sie Verständnis.

Formeln können jedoch ohne Kontext existieren, einfach als syntaktisches Objekt, an dem Transformationen vorgenommen werden können. Mathematiker können oft zuerst verallgemeinern - den Kontext „vergessen“, dann Berechnungen durchführen, sich dann an den Kontext „erinnern“ und die Bedeutung der erhaltenen Formeln neu verstehen.

Gleiches Symbol

Das Gleichheitszeichen ist sehr wichtig. Es wird auf verschiedene Arten verwendet, und Sie müssen in der Lage sein, zwischen ihnen zu unterscheiden.

• Bewertung einer Variablen nach Wert. In diesem Fall befindet sich die Variable links und der Ausdruck rechts. In einigen Disziplinen schreiben sie in solchen Fällen anstelle von =: = oder sogar :: =.
• Identität. Links und rechts sind einige Ausdrücke, und die Person, die dies geschrieben hat, behauptet, dass beide Ausdrücke gleich sind. Das Symbol wird auch hier verwendet. $$$\ equiv$ . Haben Sie darüber nachgedacht, was „gleich“ bedeutet? Es lohnt sich zu diskutieren, aber es kann Sie weit von der Route bringen.
• Gleichung. Dies ist eine Möglichkeit, grundlegend neue Entitäten zu beschreiben. Mathematiker machen das so: Sie nehmen mehrere freie Variablen, bauen Ausdrücke darüber auf und treiben sie in eine Gleichung oder sogar in ein System aus mehreren Gleichungen, so dass sie noch näher sind. Und dann beobachten sie, wie diese unglücklichen Variablen in Zwängen herumstürmen und bizarre Mengen bilden. Und dann studieren sie diese Sets mit großem Interesse. (Ihre Route führt übrigens durch das Gebiet der Mengenlehre, Sie müssen sie besser kennenlernen.) Um die erhaltene Menge zu beschreiben, müssen Sie die Gleichung lösen. Kinder in der Schule erhalten normalerweise Gleichungen, die zu sehr einfachen Sätzen eines Elements führen, manchmal zwei oder gar keine. Aber erwachsene Wissenschaftler in dieser Angelegenheit sind große Entertainer. Und einige Physiker können das gesamte Universum mit einer Gleichung erzeugen.

Bedeutung aus Formeln extrahieren

Etwas ist geschrieben, aber in Klammern OH. Sie haben es versucht - und wirklich, OH.

Das Gehirn eines Mathematikers unterscheidet sich in seinen physikalischen Eigenschaften nicht grundlegend vom Gehirn eines typischen Vertreters der intellektuellen Mehrheit. Selbst in Bezug auf Speicher und Rechengeschwindigkeit ist der Unterschied nicht so groß. Wie schaffen es Mathematiker, umständliche Formeln zu verstehen und zu verstehen?

Ein Teil der Antwort liegt in der Fähigkeit, die Hauptsache herauszugreifen und vom Unwichtigen zu abstrahieren. Wie Sie sich erinnern, besteht ein Ausdruck aus Unterausdrücken. Wenn Sie einen großen und beängstigenden Ausdruck sehen, beeilen Sie sich nicht, alle Unterausdrücke gleichzeitig zu betrachten, und öffnen Sie alle Kästchen, Kästchen, Kästchen und Kästchen. : , . , , . , - , , , — , , , .

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Wenn Sie zur Sandbox der endlichen Mengen zurückkehren, überprüfen Sie noch einmal, wie gut Sie sich an die Notation erinnern. Spielen Sie mit endlichen Mengen kleiner Größen. Versuchen Sie, grundlegende Operationen auf sie anzuwenden. Erstellen Sie viele Teilmengen. Wenn Sie vergessen haben, was eine Bijektion ist , aktualisieren Sie Ihr Wissen in Lehrbüchern für Kinder im Vorschulalter. Schließlich kannten Sie dieses Konzept aus der Zeit vor der Rede, gerade dann wurde es nicht genannt, oder? Stellen Sie sicher, dass Ihre Intuition perfekt mit Definitionen und grundlegenden Aussagen übereinstimmt. Ist dies nicht der Fall, wenden Sie sich an einen Spezialisten.

Schauen Sie sich vor dem Verlassen noch einmal um. Am Rand des Sandkastens sehen Sie eine Ecke mit Ultrafinitiven. Bei ihnen ist alles einfach. Sag ihnen Hallo, sag nur nicht, dass du aus dem Sandkasten gegangen bist.

Noch einmal zur Notation

wie schwer es ist, unter langweiligen Menschen zu leben
sagte der dreijährige Michael
zwischen den Bohrungen
korrigierte Igor, dreißig und mit Brille

Abelsche Gruppen -> linearer Raum -> Operatoren -> funktional im linearen Raum. Nach dem Herunterladen dieses Zweigs können Sie jedoch das Wort "funktional" in der Beschreibung der Softwarefunktionalität auslösen.

Sie kennen bereits einige mathematische Begriffe und werden weiterhin mehr lernen. Versuchen Sie, sie nicht umsonst zu verwenden, wenn Sie mit Spezialisten über relevante Themen kommunizieren. Anstelle des Ausdrucks "Gruppe von Methoden" ist es für alle Fälle besser, "Satz von Methoden" oder "Satz von Methoden" zu sagen, damit niemand denkt, dass Sie eine Operation auf einem Satz von Methoden aufgebaut haben, die die Axiome der Gruppe erfüllen. Wenn Sie während der informellen Kommunikation zu mathematischen Themen nicht genügend häufig verwendete Wörter haben, weil sie mit Begriffen beschäftigt sind, ist es besser, die sogenannten metasyntaktischen Variablen zu verwenden: "Müll", "Mist", "Shnyaga" usw., sie können auch emotional sein malen mit Adjektiven: "ungeschickt", "glatt", "krank". Es klingt nicht so intelligent, aber Sie werden es eher verstehen. Nach einiger Zeit werden Sie hässliche Ersatzwörter los und Ihre Rede wird weder Philologen noch Mathematikern Schmerzen bereiten.

Verwenden Sie den Universalquantifizierer nicht umsonst. Der in der gewöhnlichen Sprache ausgedrückte Quantifizierer der Universalität wird durch die Wörter "immer", "alle", "alle", "alle", "alle" usw. dargestellt. Die Wörter "nie", "nirgendwo" usw. Sie stellen auch diesen Quantifizierer dar, aber mit Negation bedeutet "nie" "immer nicht". Mathematiker interpretieren Aussagen oft wörtlich mit dem Quantifizierer der Universalität. Danach beweisen sie, nachdem sie ein Gegenbeispiel vorgelegt haben, Ihre formale Unrichtigkeit. Sie brauchen keinen zusätzlichen Stress? Natürlich gibt es Fälle, in denen der universelle Quantifizierer verwendet werden kann und sollte.

In der Mathematik gibt es oft Homonymie. In diesem Fall bezeichnet ein einzelnes Wort oder Symbol mehrere völlig unterschiedliche Konzepte. Erstens ist dies auf einen Mangel an guten Wörtern und Charakteren zurückzuführen. Zweitens erweisen sich im Gegensatz zu natürlichen Sprachen sehr oft unterschiedliche Konzepte nach einer gewissen Verallgemeinerung als praktisch gleich. Mathematiker, die bemerken, dass dies dasselbe ist, können häufig einen Gehirnorgasmus aus diesem Bewusstsein erfahren. Besonders starke Empfindungen entstehen, wenn der Forscher einen wesentlichen Teil des Weges zum Bewusstsein selbst zurückgelegt hat. Es ist möglich, dass Sie auch die gleichen starken Empfindungen erleben. Aber wenn nicht, ist es okay, das ist auch in Ordnung. Teilen Sie Ihre Gefühle mit Experten.

Normalerweise macht es die Homonymie nicht schwer zu verstehen, da Mathematiker sorgfältig darauf achten, dass alle Definitionen streng und korrekt sind.

Logik

Sie müssen fast ausschließlich mit Endobjekten arbeiten. Dies bedeutet, dass Ihre intuitiven Vorstellungen von Logik höchstwahrscheinlich ausreichen und vor allem nicht zu Widersprüchen führen. Nur für den Fall, lesen Sie über Modus Ponens, auch wenn Ihnen der Name nicht bekannt ist, kennen Sie definitiv die Essenz.

Im Allgemeinen geht es in der Logik darum, wie neue Aussagen basierend auf vorhandenen Aussagen gemacht werden. Schauen Sie sich um. Überall um dich herum Sprüche: groß, klein, offensichtlich, unverständlich. Sie können davon ausgehen, dass Anweisungen in zwei Typen unterteilt sind: true und false. Und hier sind die Figuren! Wie gefällt dir das?

$$

$$\ int e ^ x = f (u_n)$$

Diese Aussage ist weder wahr noch falsch, sie ist bedeutungslos (zumindest aus mathematischer Sicht), weil das, was links vom Gleichheitszeichen steht, kein Ausdruck ist. Sie können dem Integral dx hinzufügen, aber dann bleiben mehrere freie Variablen übrig, weshalb der Ausdruck keine Anweisung ist. Sie müssen etwas bedeuten oder sie verbinden, damit wir über die Wahrheit sprechen können.

Betrachten wir nur aussagekräftige Aussagen. Sollten sie entweder wahr oder falsch sein? Es stellt sich heraus, nein. Einige Aussagen können weder bewiesen noch widerlegt werden, sie werden als unlösbar bezeichnet. Es ist unwahrscheinlich, dass unlösbare Bemerkungen auf Ihrem Weg auftreten. Sie werden jedoch sicherlich auf diejenigen stoßen, von deren Wahrheit bisher keiner der Lebenden weiß.

Wenn Sie das letzte Mal nicht gehorcht haben und in den Abgrund der Grundlagen der Mathematik geschaut haben, könnten Sie wahrscheinlich feststellen, dass es mehr als eine Logik gibt und es viele verschiedene. Glücklicherweise wird dieses Wissen, das viele Sorgen erzeugt, auf Ihrem Weg nicht benötigt. Wenn Sie sich sicher fühlen, dass die Wahrheit immer dieselbe ist, denken Sie weiter daran.

Kategorietheorie

"Desoxyribonukleinsäure", sagte ich. - Das ist so eine Säure. Desoxyribonukleinsäure.
Er lächelte kläglich und stellte seinen Zwicker ein.
"Säure", wiederholte er mit abgefangener Stimme. "Warum ist sie so?"
"Du kannst sie nicht anders anrufen", sagte ich mitfühlend. "Es sei denn, als DNA abgekürzt." Ja, du vermisst es, Fedya, lies weiter.
"Ja, ja", sagte er. "Ich würde es lieber vermissen."
Arkady und Boris Strugatsky - Die Geschichte der Drei

Obwohl die Kategorietheorie selbst fast so gefährlich ist wie die Mengenlehre, müssen wir einige Konzepte extrahieren, die sich formal auf diesen Abschnitt beziehen.

• Adjazenzklassen. Dies ist eine der Möglichkeiten, aus bestehenden Strukturen neue Strukturen aufzubauen. Lesen Sie die Definition, siehe einige Beispiele. Wenn es nicht klar ist, können Sie überspringen. Aber wenn Sie immer noch eindringen, erhalten Sie einen Bonus für das Verständnis anderer Dinge. Zum Beispiel über den Ring $$$\ mathbb {Z} _n$ (Diese Sache wird etwas später benötigt) Es ist bequemer, als eine Klasse von Abzügen zu denken, und nicht als Ergebnis der Operation, den Rest der Division zu übernehmen. Auch die Schuldefinition eines Vektors als Segment mit einem Pfeil erscheint Ihnen lächerlich und sogar falsch. Sie können Ihren Freunden beibringen, dass ein Vektor kein Segment, sondern eine Klasse von Segmenten ist.
• Morphismen. Morphismus ist eine Beziehung zwischen zwei Objekten. Sie kennen eine solche Art von Morphismus ab etwa drei Jahren - dies ist eine Bijektion zwischen endlichen Mengen. Lesen Sie die Definition des Isomorphismus und stellen Sie fest, dass dies ein allgemeinerer Fall von Bijektion ist. Holen Sie sich ein gutes Verständnis, das ist wichtig. Wenden Sie sich gegebenenfalls an einen Spezialisten. Weiter können Sie über Homomorphismus lesen (nicht zu verwechseln mit Homöomorphismus!). Wenn es Homomorphismophobie oder andere Schwierigkeiten gibt, können Sie überspringen.

Im Allgemeinen ist die gesamte Kategorietheorie der abstrakteste Teil der Mathematik, da gibt es nichts außer kleinen Dingen und Pfeilen. Trotz einer gewissen Gefahr für die Psyche kann die Kategorietheorie für die Substitutionstherapie anderer Suchtarten empfohlen werden. Behandeln Sie sich jedoch nicht selbst. In Ihrer Stadt stehen höchstwahrscheinlich Spezialisten zur Verfügung.

Algebra

Ehrlich gesagt ahnte ich nicht, dass ich seit über vierzig Jahren in Prosa spreche.
Jean-Baptiste Moliere - Adliger

Der Name der Disziplin sollte Ihnen aus der Schule bekannt sein. Tatsächlich arbeitet Algebra mit algebraischen Strukturen, und in einer Schule gehen nur ganze Zahlen und rationale Zahlen von Strukturen sowie (in einer stark abgeschnittenen Form) realen Strukturen aus. Die gute Nachricht ist, dass Sie jetzt nicht mehr die algebraischen Gleichungen lösen müssen, die Sie in der Schule gequält haben. Wenn Ihnen etwas in den Weg kommt, ist es bereits entschieden. Wenn überhaupt, zählt der Computer für Sie, es ist Eisen. Sie müssen sich nur mit einigen spezifischen algebraischen Strukturen vertraut machen.

Zunächst ist es wichtig, das Konzept der algebraischen Struktur klar zu verstehen. Lesen Sie die Definition und erhalten Sie ein gutes Verständnis. Überprüfen Sie die Gruppendefinition . In der Last sind die Definitionen aller Untergruppen, wie Monoide, Halbgruppen, Gruppoide. Lesen Sie sie auch, aber denken Sie nicht daran. Sie brauchen nur Gruppen. Als nächstes studieren Sie die Definition eines Rings und eines Feldes .

Achtung! Vermeiden Sie Orte, an denen Strukturen mit einem unendlichen Träger explizit angegeben sind. Wir brauchen noch einige solche endlosen Objekte, aber Sie kennen sie. Nämlich: ein Ring von ganzen Zahlen $$$\ mathbb {Z}$ , Feld der rationalen Zahlen $$$\ mathbb {Q}$ und das Feld der reellen Zahlen $$$\ mathbb {R}$ . Spielen Sie mit ihnen, denken Sie an Schulregeln wie „Der Betrag ändert sich nicht durch Änderung der Bedingungen“ und begründen Sie die Tatsache, dass diese Strukturen wirklich Ringe / Felder sind. Erklären Sie, warum Ganzzahlen kein Feld bilden.

Da das ultimative Ziel dieses Handbuchs die präzise elliptische Kryptographie ist, müssen Sie sich mit dem Konzept eines Polynoms über einem Feld vertraut machen. Um die allgemeinen Definitionen nicht zu studieren, wenden Sie sich an einen Spezialisten, damit dieser nur sagt, was für den Zweck Ihrer Reise relevant ist.

Wenn Sie Geometrie mehr mögen als Algebra, können Sie sich die elliptischen Kurven über dem Feld ansehen $$$\ mathbb {R}$ . Beachten Sie jedoch, dass diese visuellen Objekte trotz des Namens vollständig von Ihrem Weg entfernt sind.

Aus Gründen des Interesses können Sie auch über die Definitionen anderer algebraischer Strukturen meditieren: Algebra (ja, Algebra ist eine solche algebraische Struktur; seien Sie nicht beunruhigt, dies ist keine Rekursion, sondern nur Homonymie), Vektorraum (linear) ...

Kehren Sie zur Route zurück. Sie warten auf das letzte Feld . Lesen Sie einen Artikel darüber. Eigentlich wird nicht alles benötigt. Dies ist ein weiterer Fall, in dem es aus Kostengründen besser ist, sofort den Rat eines Spezialisten einzuholen. Realisieren Sie die Klassifizierung von endlichen Feldern, es ist einfach. Übrigens wird es interessant sein zu wissen, warum die endlichen Felder auch Galois-Felder genannt werden. Denken Sie daran, was Sie in 20 Jahren getan haben, und schämen Sie sich.

Wenn Sie gerne trollen und Ihre Fähigkeiten schätzen, versuchen Sie, die Bourbacisten und Anti-Bourbacisten im Themenforum zu erkennen und zusammenzustellen.

Informationstheorie

Wenn Sie nach 1970 geboren wurden, wurde Ihnen höchstwahrscheinlich in der High School von Bits und Bytes erzählt. Bytes in der Grundlagenforschung werden nicht besonders benötigt, aber das Konzept eines Bits muss klar bekannt sein. Schauen Sie sich bei Bedarf das Lehrbuch an.

Zählen Sie oder finden Sie im Lehrbuch heraus, wie viele Gesamtbitsequenzen einer bestimmten Länge existieren. Spielen Sie mit dem Alphabet, indem Sie die Buchstaben in einer Folge von Bits codieren. Überlegen oder lesen Sie im Lehrbuch, wie man ganze Zahlen codiert. Überlegen Sie, was in der Informationstheorie nützlich ist, ist der Logarithmus der Basis zwei.

Wahrscheinlichkeitstheorie

Jeder, der eine Schwäche für arithmetische Methoden zum Erhalten von Zufallszahlen hat, ist zweifellos sündig.
John von Neumann

Das Missverständnis der Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Anwendung auf praktische Fragen ist die wichtigste Quelle menschlichen Fehlers. Dies ist ein sehr wichtiges Thema. Nehmen Sie sich etwas Zeit, um sich mit den Grundlagen vertraut zu machen. Im Moment nicht unbedingt, denn für das Endziel unserer Route reicht nur einer der angewendeten Unterabschnitte aus - die Generierung von Zufallszahlen.

Jetzt reicht es Ihnen zu erkennen, dass das Problem der Erzeugung von Zufallszahlen sehr kompliziert ist. Ganze Institute beschäftigen sich seit Jahrzehnten damit. Selbst die Bestimmung der Chance ist sehr kompliziert. Sie können nicht einfach eine Zufallszahl nehmen. Leider gibt es eine Sprachfalle, die es schwierig macht, das Thema zu verstehen. Das Wort zufällig sowie sein russisches Äquivalent "zufällig" bedeutet, obwohl in geringerem Maße, im Wesentlichen "schrecklich", während Sie für viele Anwendungen, insbesondere für die Kryptographie, weit davon entfernt sind, zufällig zu wählen.

Wenn Sie den Eindruck haben, dass Sie die Wahrscheinlichkeitstheorie gut verstehen, wenden Sie sich an einen Spezialisten. Wenn es die Zeit erlaubt, schauen Sie sich die Multi-World-Interpretation (Everett) der Quantenmechanik an. Lassen Sie sich nicht mitreißen, Sie warten zu Hause.

Berechenbarkeitstheorie

Ist es möglich, diesen Compiler immer warnen zu lassen, dass das Programm in Zyklen ablaufen kann?

Sie werden diesen Abschnitt jetzt nicht benötigen. Es ist einfach nützlich zu erkennen, dass es für keine mathematisch definierte Funktion einen Algorithmus gibt, der sie berechnet. Wenn Sie die Stärke in sich spüren, machen Sie einen Ausflug durch die Geschichte des Problems und versuchen Sie, die grundlegenden Definitionen und Ergebnisse zu verstehen. Überarbeiten Sie nicht, dieses Thema ist optional.

Nur um Ihren Stress durch die Erkenntnis Ihrer eigenen Unwissenheit zu verringern, werde ich Sie darüber informieren, dass mir die im Epigraph gestellte Frage von einem angesehenen Professor für Physik und Mathematik gestellt wurde, dessen Interessenbereich in einiger Entfernung von der Informatik liegt. Wenn Sie die anekdotische Situation verstehen, war Ihr Ausflug hilfreich. Ermutigen Sie sich.

Komplexitätstheorie

Leider hat sich die klassische Wissenschaft so entwickelt, dass die Theorie der Komplexität genau genommen auf der Theorie der Grenzen aus der mathematischen Analyse basiert. Das ist alles, weil selbstsüchtige Mathematiker sich nicht um dich gekümmert haben. Sie näherten sich der Komplexität, standen bereits auf den Schultern der Riesen und verwendeten die Werkzeuge, die sie selbst besaßen, in Perfektion. Für unsere bescheidenen Ziele war es möglich, eine eigene kleine Komplexitätstheorie zu entwickeln, die selbst Ultrafinitive gerne hätten. Aber ich habe zum Beispiel weder die Kraft noch die Motivation, ein schönes Stück Landschaft fertig zu bauen. Daher müssen Sie sich immer noch dem Wort matan zuwenden.

Mathematische Analyse

Ich bin kein Botan, ich liebe Matan.

Lesen Sie die Definition des Sequenzlimits (Sie benötigen kein Funktionslimit). Ersetzen Sie alle Ausdrücke wie "so und so Raum" durch "eine Reihe von reellen Zahlen", die Mathematiker gerne verallgemeinern, aber Sie brauchen sie nicht. Stellen Sie sicher, dass Sie Ausdrücke analysieren können, die ein Wort enthalten $$$\ lim$ . Höchstwahrscheinlich werden Sie Schwierigkeiten haben, das ist normal. Glauben Sie mir, das Konzept der Begrenzung ist sehr intuitiv, Sie müssen nur den entsprechenden Teil Ihrer Intuition stimulieren. Bitten Sie einen Spezialisten, den Text der Definition zu kommentieren. Zeichnen Sie Grafiken, spielen Sie mit einfachen Sequenzen. Wenn es die Zeit erlaubt, machen Sie einen Ausflug, um die zweite wunderbare Grenze zu erkunden.

Auch wenn Sie das Limit nicht vollständig verstanden haben, können Sie sofort mit der O-Notation fortfahren. Sie brauchen nur "O" groß , aber die Ladung wird "O" klein und alle Arten von Theta und Omega. Überarbeiten Sie nicht, für den Anfang müssen Sie nur grob verstehen, was sie sind $$$O (1), O (N), O (\ log N)$ . Finden Sie es heraus, aber versuchen Sie selbst zu erraten, warum $$$O (\ log N)$ Nur ein Logarithmus, aus irgendeinem Grund kein Logarithmus. Dann ruhen Sie sich etwas aus und halten Sie es in Ihren Händen $$$O (N ^ 2)$ und $$$O (2 ^ N)$ . Schau dir an $$$O (N ^ k)$ (Denken Sie an den Kontext: Hier ist N eine Variable, k ist ein Parameter). Überlegen Sie, warum sie wann über Polynomwachstum sprechen $$$N ^ k$ - nur ein Monom, das heißt, ein Sonderfall eines Polynoms, aber sie setzen nicht viele vollwertige Polynome unter "O". (Auch wenn Sie kein Latein sprechen, haben Sie wahrscheinlich bereits vermutet, dass ein Polynom dasselbe ist wie ein Polynom und ein Monom ein Monom.) Hinweis: Der Grund ist dem sehr ähnlich, der „einfach ein Logarithmus“ und nicht „welcher Logarithmus“ ist zu Boden. " Wenden Sie sich an einen Spezialisten, um diese Probleme zu klären. Lernen Sie, diese „O's“ miteinander zu vergleichen.

Hinweis: Die O-Notation ist ein seltenes Beispiel, wenn die mathematische Notation nicht konsistent ist. In der Aufzeichnung $$$f (N) = O (N)$ Das Gleichheitszeichen wird verwendet, während es etwas anderes impliziert, nämlich: „Funktion $$$f (N)$ gehört zur Klasse $$$O (N)$ ". Das heißt, es sollte ein asymmetrisches Vorzeichen verwendet werden $$$\ in$ aber das ist die Tradition. Nun sehen Sie, dass Mathematiker nicht ohne Sünde sind. Vielleicht fällt es Ihnen etwas leichter, diese Tatsache zu erkennen.

Computational Complexity Theory - Fortsetzung

Logarithmus - eine im Prinzip begrenzte Funktion.

Nach ein wenig Einsetzen der Matan können Sie die Skala zur Messung der asymptotischen Komplexität leicht beherrschen. Die Komplexität der Algorithmen wird normalerweise anhand ihrer Ausführungszeit gemessen: Manchmal sprechen sie über die übliche Zeit, die mit der Uhr gemessen wird (nun, wann wird dieser Browser-Tab geladen?), Manchmal über die Anzahl der Prozessorzyklen oder Schritte eines abstrakten Computers. Diejenigen, die eher zur Physik neigen, bevorzugen es, die Komplexität in Energieeinheiten zu messen, beispielsweise in der Menge an Dieselkraftstoff, die für eine Turing-Maschine verbraucht wird. Alle diese Messmethoden sind ungefähr gleichwertig. Es ist wichtig zu wissen, wie die aufgewendete Zeit (oder Energie) von der Größe der Eingabedaten des Algorithmus abhängt. Dies ist N unter "O" groß in der asymptotischen Schätzung und ist die Größe der Eingabedaten, ausgedrückt in Bits. Fachleute waren sich einig zu bedenken, dass wenn die Komplexität des Algorithmus nicht schneller als ein Polynom wächst, es „einfach“, ansonsten „schwierig“ ist. Es ist hier angebracht, ein wenig zurückzugehen und sich daran zu erinnern, wie man Funktionen hinsichtlich der Kühle, dh hinsichtlich der Geschwindigkeit des asymptotischen Wachstums, miteinander vergleicht.

Wenn Sie feststellen, dass die im Epigraph gemachte Aussage falsch ist, ermutigen Sie sich. Er wurde von einem Universitätslehrer in Rechenmethoden geliefert. Wenn Sie diesen Kontext kennen, denken Sie genau darüber nach, was er vorhatte.

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Danksagung

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