Lösen von Problemen aus einem Artikel über perfekte Zufälligkeit

Gibt es eine objektive, ideale Chance oder ist es das Ergebnis unserer Unwissenheit?

Im September wurden mehrere Probleme veröffentlicht , mit deren Hilfe wir zufällige Prozesse in Alltagsgegenständen untersuchten - Schlösser für Fahrräder oder Puzzles. Lassen Sie uns nun Lösungen für diese Probleme suchen.

Rätsel 1: zufällige Kombinationen

Die Aufgabe war wie folgt:

Stellen Sie sich eine einfache Codesperre für ein Fahrrad vor, ähnlich der Abbildung unten. Es hat drei rotierende Scheiben, von denen jede 10 Ziffern in der Reihenfolge anzeigt. Wenn diese drei Scheiben gedreht werden, um die gewünschte Kombination zu erhalten - 924 -, öffnet sich das Schloss. Wenn Sie es schließen möchten, müssen Sie die Zahlen so mischen, dass sie weit von der angegebenen Kombination entfernt sind. Aber was bedeutet "weit" in diesem Zusammenhang? Wenn Sie die Festplatte so weit wie möglich um 5 Positionen bewegen, setzen Sie die Nummer 479. Es ist jedoch für einen Angreifer leicht, versehentlich auf diese Position zu stoßen, wenn er einfach alle fünf Festplatten gleichzeitig dreht und prüft, ob sich das Schloss öffnet. Stellen Sie sich vor, ein Cracker hat Zeit, fünf verschiedene Kombinationen zu testen. In jedem Fall versucht unser potenzieller Dieb unsere Burg nach einer der folgenden Aktionen (und bringt die Burg im Falle eines Fehlers in ihre ursprüngliche Konfiguration zurück):

1. Drehen Sie einen Antrieb an einer zufälligen Anzahl von Positionen.
2. Drehen Sie zwei Discs gleichzeitig an einer zufälligen Anzahl von Positionen.
3. Drehen Sie alle drei Scheiben gleichzeitig an einer zufälligen Anzahl von Positionen.
4. Drehen Sie zwei Discs in unterschiedlichen Winkeln.
5. Drehen Sie alle drei Scheiben unterschiedlich.

Unser Rätsel lautet wie folgt: Wenn der Sperr-Entsperrcode 924 lautet, welcher Satz gemischter Zahlen ist für zufällige Versuche, das Schloss zu öffnen, am stabilsten, und wie viele solcher Sätze gibt es? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, Code zu erkennen?

Die erste Formulierung des Problems erwies sich als etwas mehrdeutig, da ich zunächst nicht darauf hingewiesen habe, dass der Dieb nach jedem Schritt das Schloss in seine ursprüngliche Position dreht. Einer der Leser analysierte dieses Problem, vorausgesetzt, die "Zufallszahl" in den ersten drei Fällen ist nicht gleich Null und die "unterschiedlichen" Drehwinkel in den Optionen 4 und 5 sind nicht unbedingt gleich. Ein anderer Leser wies jedoch darauf hin, dass der Dieb das Schloss nicht öffnen kann, wenn Sie die letzte Annahme akzeptieren und die Schlossscheiben so drehen, dass zwei Scheiben um einen Winkel und die dritte um den anderen gedreht werden - wie zum Beispiel in Kombination 036 -, da keine von Optionen funktioniert eine solche Kombination nicht.

Die Lösung des Problems berücksichtigt, dass in den Schritten 4 und 5 die Scheiben in verschiedenen Winkeln gedreht werden können. Wir nehmen auch an, dass in den ersten drei Varianten der Dieb die ausgewählten Scheiben um eine volle Umdrehung drehen kann, d. H. um 10 (oder 0) Stellen und bringen Sie sie in ihren ursprünglichen Zustand zurück. Nachdem wir dies spezifiziert haben, berechnen wir die Wahrscheinlichkeit jeder der Handlungen des Diebes. Beachten Sie, dass jede Aktion eines Diebes, um eine bestimmte Kombination zu erhalten, möglicherweise reversibel ist. Dazu müssen Sie eine umgekehrte Drehung durchführen, die die erste ergänzt und dieselbe Wahrscheinlichkeit aufweist. Daher ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Drehung der linken Scheibe uns von der Kombination 924 zu 624 führt, 1 von 10 Chancen - ebenso wie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Drehung uns von 624 zu 924 zurückführt. Dies gilt unabhängig davon, ob wir uns drehen Wir haben versehentlich eine Fahrt, zwei oder drei. Um zu berechnen, wie viele Kombinationen ein Dieb aussortieren muss, um die gewünschte auszuwählen, können wir, wenn er eine bestimmte Aktion ausführt, mit unserer gegebenen Kombination 924 beginnen und dann berechnen, wie viele dreistellige Kombinationen wir daraus erhalten können.

1. Ausgehend von Nummer 924 und Drehen eines Zifferblatts können Sie dreistellige Kombinationen der Form x24, 9x4 und 92x erhalten, wobei x eine von 10 Ziffern ist. Es gibt jeweils 10 solcher Kombinationen. Es wäre jedoch nicht notwendig, dieselbe Kombination 924 in die zweite und dritte Variante aufzunehmen, so dass wir in Wirklichkeit 10 + 9 + 9 = 28 verschiedene Kombinationen erhalten. Und wenn wir versehentlich die Nummern des Schlosses gedreht haben, um es zu schließen, haben wir eine dieser 28 Kombinationen, dann hat der Dieb eine Chance von 1/28, das Schloss zu öffnen.
2. Wenn Sie zwei Discs zusammen drehen, erhalten Sie mögliche Kombinationen der Form 9 ##, # 2 # und ## 4, wobei die Zeichen # den Unterschied zwischen den Ziffern der resultierenden Kombination und den Anfangsziffern angeben (und dieser Unterschied ist für beide Discs gleich). Es gibt auch jeweils 10 Stück und ohne 924 aus der zweiten und dritten Form erhalten wir auch 28 Kombinationen und eine 1/28 Erfolgschance.
3. Durch Drehen aller drei Discs erhalten Sie 10 Kombinationen - 035,146, 257, 368, 479, 580, 691, 702, 813 und 924 - und eine Erfolgschance von 1/10.
4. Eine zufällige Drehung von zwei Scheiben, nicht unbedingt im gleichen Winkel, ermöglicht den Zugriff auf alle Kombinationen, die mit 9 beginnen (ab 900), alle Kombinationen mit 2 in der Mitte und alle Kombinationen, die mit 4 enden. Jeder der Typen kann 100 sein Stücke. In 9xx-Kombinationen wurden jedoch bereits 10 Kombinationen gezählt, die mit 4 und 10 Varianten der x2x-Kombination enden. Darüber hinaus wurden neun weitere Kombinationen, die mit 4 enden, bereits in x2x-Kombinationen gezählt. Daher beträgt die Gesamtzahl der Kombinationen für diesen Schritt 300 - 10 - 19 = 271, und die Erfolgschance beträgt 1/271.
5. Wenn Sie alle drei Discs in einem zufälligen Winkel drehen, erhalten Sie alle dreistelligen Kombinationen und eine Erfolgschance von 1/1000.

Wir haben zwei Sätze "sicherer" Nummern, die am widerstandsfähigsten gegen Hacking-Versuche sind. Sie können nicht mit den ersten vier Methoden erhalten werden, aber Sie können nur mit der fünften Methode stolpern, bei der die Erfolgswahrscheinlichkeit 1/1000 beträgt. Die erste dauerhafte Kombination kann erhalten werden, indem jede der drei Scheiben in einem anderen Winkel gedreht wird, so dass keine von ihnen in ihrer ursprünglichen Position bleibt. Solche Positionen sind 9 × 8 × 7 = 504. Ein weiterer Satz stabiler Kombinationen kann erhalten werden, indem zwei Scheiben um einen Winkel ungleich Null und die dritte um einen anderen Winkel ungleich Null gedreht werden. Dies sind 3 x 9 x 8 = 216 Kombinationen, und es werden insgesamt 720 erhalten. Daher sind 720 Kombinationen sicherer als andere.

Rätsel 2: Von der Zufälligkeit zur Reihenfolge in Rätseln

Die Aufgabe war wie folgt:

Angenommen, wir lösen ein Puzzle, das aus sechseckigen Teilen besteht - wie Waben. Das Bild des Puzzles ist eine gewundene Rebe. Da sich das Muster wiederholt und selbstähnlich ist, kann nicht garantiert werden, dass zwei benachbarte Teile physisch zueinander passen, selbst wenn sie in das Bild passen. Angenommen, drei andere können zu jeder Kante eines bestimmten Stücks gehen. Wenn also zwei Teile im Bild zueinander passen, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass sie physisch passen, 33,33%. Wenn Sie jedoch ein anderes Stück finden, das zu beiden passt, dh eines, das mit jedem dieser beiden einen gemeinsamen Vorteil hat, steigt Ihr Vertrauen in den Erfolg. Versuchen wir zu bewerten, wie viel es wächst.

1. Sie haben drei Teile gefunden, die auf den ersten Blick zusammenpassen, ohne dass das Lianenmuster an den angrenzenden Kanten offensichtlich verschoben ist. Was ist das Maß für Ihr Vertrauen in die richtige Auswahl der Stücke?
2. Sie haben ein zentrales sechseckiges Stück gefunden und sechs, die es umgeben, und auf dem Bild scheinen sie zusammenzufallen. Was ist das Maß für Ihr Vertrauen in die richtige Auswahl der Stücke?

Je größer die Stückgruppen werden, desto stärker ist Ihr Vertrauen in die richtige Montage. Es ist anzunehmen, dass drei isolierte Gruppen, in denen es insgesamt sieben verbundene Teile gibt, nicht mit dem oben beschriebenen einzigen umgebenden Sechseck vergleichbar sind.

Der dritte Teil dieses Rätsels enthält Korrekturen und ist ein Versuch, den obigen Unterschied zu quantifizieren. Ist es möglich, ein Maß für den Fertigstellungsgrad eines teilweise gelösten Puzzles zu finden? Diese Methode sollte es Ihnen ermöglichen, jedem teilweise zusammengesetzten Puzzle mit 10x10 Sechsecken eine Zahl von 0 bis 100 zuzuweisen. Diese Zahl sollte den Fertigstellungsgrad angeben und in etwa mit dem Anteil des aktuellen Status des Puzzles an der fertigen Version korrelieren.

Der Leser beantwortete die ersten beiden Fragen wie folgt:

1. Für drei in einem Dreieck angeordnete Teile lautet die Antwort p = (2/3) ³ , da drei Flächen entfernt werden können und die Wahrscheinlichkeit, jede davon zu löschen, 2/3 beträgt. Dies gibt uns 1 - p = 0,7037, dh Vertrauen in 70,37%.
2. Sechs Stücke haben möglicherweise nicht 6 + 6 = 12 Gesichter, was 1 - p = 1 - (2/3) ¹² = 0,9923 oder ein Vertrauen von 99,23% ergibt.

Unter Verwendung solcher Konfidenzdaten können wir eine einfache Metrik auswählen, die auf der Summe der Konfidenzwerte für die fertigen Teile des Puzzles basiert, sodass ein vollständig abgeschlossenes Puzzle 100% iges Vertrauen ergibt. Es wird so gemacht. Nimm alle fertigen Gruppen von zwei oder mehr verbundenen Teilen. Addieren Sie das Maß an Vertrauen für jedes einzelne Stück. Das heißt, für eine Gruppe von drei Stücken mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt erhalten wir 3 × 0,7037 = 2,11% und für ein volles Sechseck 7 × 0,9923 = 6,95%. Ein teilweise abgeschlossenes Puzzle aus drei Gruppen zu je drei Teilen und einem Sechseck ergibt 6,95 + 2,11 + 2,11 + 2,11 oder 13,3%. Wenn Sie dagegen zwei volle Sechsecke haben, beträgt Ihre Gesamtsumme 6,95 + 6,95 = 13,9%, obwohl Sie in diesem Fall zwei Teile weniger verwendet haben.

Der Leser entwickelte diese Idee weiter und schlug ein Maß vor, das Logarithmen verwendet und mit dem Konzept der Entropie verbunden ist - ein natürliches Maß für Unordnung und Zufälligkeit. Sein Maß für ein 10 × 10-Gitter ist n - 100 × (log m) / (log 100), wobei m die Anzahl der alternativen Layouts und n die Gesamtzahl der auf dem Feld platzierten Teile ist.

Rätsel 3: Ist ein perfekter Zufall möglich?

Heute herrscht die Meinung vor, dass die Quantenphysik auf intrinsischer Natur, objektiver und idealer Zufälligkeit beruht. Ich ermutigte die Leser, ihre Ansichten zu diesem philosophischen Rätsel zu teilen, indem sie sich entweder dem Einstein (E) -Team oder dem Bohr (B) -Team anschlossen. Team B akzeptiert die objektive Zufälligkeit der Quantenwelt, und Team E betrachtet physische Zufälligkeit als logische Unmöglichkeit, was unsere Unkenntnis deterministischer zufälliger Phänomene auf Subplankenskalen offenbart. Die Stimmen der Leser waren ungefähr gleich verteilt [wie in unserer Abstimmung / ca. übersetzt.].

Ein Leser mit dem Spitznamen RRG beschrieb meine Motivation, eine solche Diskussion anzubieten:

Wenn wir in der Quantenmechanik das Standard- Zwei-Spalt-Experiment betrachten , können wir nicht genau vorhersagen, wo ein bestimmtes Teilchen auf dem Bildschirm erscheinen wird, aber wir können die Wahrscheinlichkeit vorhersagen, dass es an einen bestimmten Ort gelangt. Und diese Wahrscheinlichkeiten können äußerst genau und zuverlässig sein. Diese Zuverlässigkeit und Genauigkeit der Wahrscheinlichkeiten ist ein klares Zeichen für das Vorhandensein eines verborgenen Prozesses.

Was passiert, ähnelt der Thermodynamik. Wir können die Temperatur in einem Raum sehr genau messen, ohne genau zu wissen, was jedes der Luftmoleküle tut. Wie die Wahrscheinlichkeiten in der Quantenphysik manifestiert sich die Temperatur auf der Grundlage einer tieferen physikalischen Ebene.

So habe ich argumentiert! Warum trifft ein bestimmtes Teilchen, das durch einen Doppelspalt geht, beispielsweise den oberen linken Teil des Bildschirms und nicht den unteren rechten? Eine bestimmte Kausalkette (möglicherweise Massen-Energie-Schwankungen auf der Ebene der Quantengravitation) hätte in einem bestimmten Fall zur Wahl eines bestimmten Ortes führen müssen. Wenn ja, dann ist die Quantenzufälligkeit kein idealer, objektiver und magischer Teil des Universums, sondern eine Folge unserer Unkenntnis der zugrunde liegenden Prinzipien der Physik - genau wie eine klassische Zufälligkeit.

Wie der Leser Mark Thomas schrieb, kann der durch die Planck-Massenenergie definierte Wahrscheinlichkeitsraum sehr groß sein. Es kann groß genug sein, um Indikatoren nahe der perfekten Zufälligkeit im Sinne von Kolmogorov zu erzielen (danke an einen anderen Leser für den Link mit Erklärungen zur Komplexität und Zufälligkeit von Kolmogorov). In diesem Fall ist die Schrödinger-Gleichung jedoch eine Annäherung, und sie kann nicht als etwas Unberührbares interpretiert werden und kann nicht als Grundlage für die jetzt populäre „Mehrweltinterpretation“ verwendet werden, die auf Überlegungen der mathematischen Einfachheit basiert. Letzterer Ansatz wird vom Physiker Sean Carroll vertreten .

Leser Rob McChern kommentierte meine Passage wie folgt: „Wenn Sie alle Kräfte kennen, die auf eine umgedrehte Münze oder einen Würfel wirken, wenn Sie über ausreichende Rechenleistung verfügen, können Sie das Ergebnis wie folgt vorhersagen“:

Diese Aussage ist falsch. Sie müssen auch alle Anfangsbedingungen kennen, die mit diesem Experiment verbunden sind. Und hier liegt das Problem. In jeder schwierigen Situation ist der Informationsgehalt der Anfangsbedingungen viel größer als der Informationsgehalt aller Naturkräfte oder Naturgesetze. Dementsprechend ist es viel schwieriger (und im Prinzip oft sogar unmöglich), alle notwendigen Informationen über die Anfangsbedingungen zu erhalten, als eine genaue Kenntnis aller Gesetze zu erhalten.

Ich stimme zu, dass eine ideale Kenntnis der Anfangsbedingungen nicht mit unendlicher Genauigkeit erhalten werden kann. Ich denke jedoch, dass die meisten Physiker der Meinung sein werden, dass es in den meisten Fällen möglich ist, Kenntnisse über das Werfen einer Münze in einem Raum mit ausreichender Genauigkeit zu erlangen und das Ergebnis vorherzusagen. Dies ist natürlich nicht möglich, wenn plötzlich ein Hurrikan ins Fenster fliegt und das Chaos organisiert. Es ist möglich, dass die oben genannten Schwankungen der Massenenergie auf den Planck-Skalen die Hurrikane sind, die ständig Chaos anrichten, was die wahre Ursache für die Quantenzufälligkeit ist. Aber auch in diesem Fall muss grundsätzlich eine Kausalkette existieren. Team E wird einfach sagen, dass wir nicht alle Details kennen.

Leser Abhinav Deshpande gab eine schöne, ausgewogene, umfassende und evidenzbasierte Beschreibung des aktuellen Zustands in diesem Bereich sowie Links zu sehr interessanten Artikeln. Er stellt richtig fest: "Ich glaube nicht, dass der Begründer der Relativitätstheorie der Nichtlokalität wohlgesonnen war (auch wenn die Nichtlokalität die Übertragung von Informationen nicht schneller als Licht erlaubt)." Aber wir müssen uns daran erinnern, dass der Satz von Bell zehn Jahre nach dem Tod von Einstein bewiesen wurde. Und angesichts überzeugender experimenteller Beweise für Bell's Ungleichheiten hatte Team E keine andere Wahl, als Einsteins ursprüngliche Meinung zu ändern und die Tatsache der Nichtlokalität und der „beängstigenden Langstreckenaktion“ zu akzeptieren. Dies bedeutet, dass das Vorhandensein von Superluminal- oder Superspace-Verbindungen zwischen den Komponenten eines verschränkten Quantenobjekts möglich ist, selbst wenn die externe Informationsübertragung gemäß der Relativitätstheorie durch die Lichtgeschwindigkeit begrenzt ist und die Nichtlokalität niemals ein sichtbares Leck ergibt.

Irgendwie bin ich auf ein so helles Bild gestoßen: Stellen Sie sich einen See mit einer undurchsichtigen Oberfläche vor. Ein riesiger hölzerner Elefant schwimmt kopfüber darin, fast so groß wie der ganze See, und seine Beine ragen wie Säulen in den vier Ecken des Sees nach außen, und sein Körper ist unter Wasser versteckt und nicht sichtbar. Zunächst können Sie entscheiden, dass die vier Spalten unabhängige Objekte sind. Dann sehen Sie jedoch, dass ihre Bewegungen perfekt miteinander korrelieren - sie sind verwirrt. Auf die gleiche Weise bilden verschränkte Teilchen eine einzige Einheit, die sich auf das gesamte Universum erstrecken kann, und ihre internen Verbindungen können superleicht oder superspace sein. Damit verbunden ist eine interessante Idee, bekannt als ER = EPR - eine mysteriöse Hypothese, die von den brillanten theoretischen Physikern Juan Maldasena und Leonard Sasskind aufgestellt wurde . Die Idee ist, dass verschränkte Partikel (EPR) durch ein Wurmloch, die Einstein-Rosen-Brücke (ER), verbunden sind. Ursprünglich wurde es im Rahmen der Untersuchung von Schwarzen Löchern vorgeschlagen, aber vielleicht funktioniert es für alle verschränkten Partikel. Wie Böhms Theorie zeigt, können Determinismus und Quantenmechanik nebeneinander existieren und die Lokalität mit internen superluminalen Verbindungen leugnen, ohne dass eine objektive Zufälligkeit erforderlich ist.