Wahrscheinlichkeitstheorie. Bayes-Formel

Lassen Sie ein Experiment durchgeführt werden.

$$$w_1, ..., w_N$ - Elementare Ereignisse (elementare Ergebnisse eines Experiments).
$$$\ Omega = \ {w_i \} _ {i = 1} ^ N$ - der Raum der Elementarereignisse (die Menge aller möglichen Elementarergebnisse des Experiments).

Definition 1:

System einstellen $$$\ Sigma$ wird als Sigma-Algebra bezeichnet, wenn die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

1. $$$\ Omega \ in \ Sigma;$
2. $$$A \ in \ Sigma \ Rightarrow \ overline {A} \ in \ Sigma;$
3. $$$A_1, A_2, ... \ in \ Sigma \ Rightarrow \ bigcup \ limit_ {i = 1} ^ \ infty A_i \ in \ Sigma.$

Aus den Eigenschaften 1 und 2 von Definition 1 folgt das $$$\ Emptyset \ in \ Sigma$ . Aus den Eigenschaften 2 und 3 von Definition 1 folgt daraus $$$\ bigcap \ limit_ {i = 1} ^ \ infty A_i \ in \ Sigma \ space ($ weil $$$A_i \ in \ Sigma \ Rightarrow_ {St. 3} \ Overline {A_i} \ in \ Sigma \ Rightarrow_ {St. 3} \ Bigcup \ Limits_ {i = 1} ^ \ Infty \ Overline {A_i} \ in \ Sigma \ Rightarrow_ {sv.2} \\ \ Rightarrow_ {sv.2} \ Overline {\ Bigcup \ Limits_ {i = 1} ^ \ Infty \ Overline {A_i}} \ in \ Sigma \ Rightarrow \ Bigcap \ Limits_ {i = 1} ^ \ infty A_i \ in \ Sigma).$

Definition 2:

• $$$A$ - Veranstaltung $$$\ forall A \ in \ Sigma;$
• $$$P \ Doppelpunkt \ Sigma \ bis \ mathbb R$ - Wahrscheinlichkeitsmaß (Wahrscheinlichkeit), wenn:
  
  1. $$$P (\ Sigma) = 1;$
  2. $$$\ forall A \ in \ Sigma \ space \ space P (A) \ geqslant 0;$
  3. $$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ \ infty, \ Leerzeichen A_i \ in \ Sigma, \ Leerzeichen A_i \ cap A_j = \ Emptyset$ bei $$$i \ not = j \ Rightarrow P (\ bigcup \ limit_ {i = 1} ^ \ infty A_i) = \ sum \ limit_ {i = 1} ^ \ infty P (A_i).$

Wahrscheinlichkeitseigenschaften:

1. $$$P (A) \ leqslant 1;$
2. $$$P (A) = 1-P (\ overline {A});$
3. $$$P (\ Emptyset) = 0;$
4. $$$A \ subseteq B \ Rightarrow P (A) \ leqslant P (B);$
5. $$$P (A \ Tasse B) = P (A) + P (B) -P (A \ Kappe B);$
6. $$$\ forall \ {A_i \} _ {i = 1} ^ N \\ \ Raum \ Raum P (\ bigcup \ Grenzen_ {i = 1} ^ N A_i) = \ Summe \ Grenzen_ {i = 1} ^ NP ( A_i) - \ Summe \ Grenzen_ {i <j} P (A_i \ Kappe A_j) + \ Summe \ Grenzen_ {i <j <k} P (A_i \ Kappe A_j \ Kappe A_k) -... + \\ + ( -1) ^ {n-1} P (A_1 \ cap A_2 \ cap ... \ cap A_n);$
7. $$$\ forall \ {A_i \} _ {i = 1} ^ \ infty \ Doppelpunkt (A_ {i + 1} \ subseteq A_i, \ space \ bigcap \ limit_ {i = 1} ^ \ infty A_i = \ Emptyset) \ Leerzeichen \ Leerzeichen \ Leerzeichen \ Limits_ {i \ bis \ Infty} P (A_i) = 0.$

Definition 3:

$$$(\ Omega, \ Sigma, P)$ - Wahrscheinlichkeitsraum .

Definition 4:

$$$\ für alle A, B \ in \ Sigma: P (B)> 0$
$$$\ qquad P (A | B) = \ frac {P (AB)} {P (B)}$ - bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $$$A$ vorbehaltlich der Veranstaltung $$$B$ .

Definition 5:

Lassen Sie für $$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ wo $$$\ forall i \ in \ overline {1, N} A_i \ in \ Sigma$ ausgeführt wird $$$\ forall i, j \ in \ overline {1, N} \ Leerzeichen A_i \ cap A_j = \ Emptyset$ und $$$\ bigcup \ limit_ {i = 1} ^ N A_i = \ Omega$ . Dann $$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ eine Partition des Raumes der Elementarereignisse genannt.

Satz 1 (Gesamtwahrscheinlichkeitsformel):

$$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ - Aufteilung des Raumes elementarer Ereignisse, $$$\ forall i \ in \ overline {1, N} \ Leerzeichen P (A_i)> 0$ .
Dann $$$\ für alle B \ in \ Sigma \ Quad P (B) = \ Summe \ Grenzen_ {i = 1} ^ NP (B | A_i) P (A_i)$ .

Satz 2 (Bayes-Formel):

$$$\ {A_i \} _ {i = 1} ^ N$ - Aufteilung des Raumes elementarer Ereignisse, $$$\ forall i \ in \ overline {1, N} \ Leerzeichen P (A_i)> 0$ .

Dann $$$\ forall B \ in \ Sigma \ Doppelpunkt P (B)> 0 \ quad P (A_i | B) = \ frac {P (B | A_i) P (A_i)} {\ sum \ limit_ {i = 1} ^ NP (B | A_i) P (A_i)} = \ frac {P (B | A_i) P (A_i)} {P (B)}$ .

Mit der Bayes-Formel können wir die a priori-Wahrscheinlichkeiten überschätzen ( $$$P (A_i)$ ) basierend auf Beobachtungen ( $$$P (B | A_i)$ ) und ein ganz neues Verständnis der Realität bekommen.

Ein Beispiel :

Angenommen, es gibt einen Test, der individuell auf eine Person angewendet wird und feststellt: Ist sie mit dem "X" -Virus infiziert oder nicht? Wir gehen davon aus, dass der Test erfolgreich war, wenn er das richtige Urteil für eine bestimmte Person lieferte. Es ist bekannt, dass dieser Test eine Erfolgswahrscheinlichkeit von 0,95 hat, und 0,05 ist die Wahrscheinlichkeit sowohl für Fehler der ersten Art (falsch positiv, d. H. Der Test hat ein positives Urteil gefällt, und die Person ist gesund) als auch für Fehler der zweiten Art (falsch negativ, d. H. Der Test hat ein negatives Urteil gefällt und die Person ist krank. Aus Gründen der Klarheit „sagte“ ein positives Urteil = Test, dass eine Person mit einem Virus infiziert ist. Es ist auch bekannt, dass 1% der Bevölkerung mit diesem Virus infiziert ist. Lassen Sie eine Person ein positives Urteil über den Test erhalten. Wie wahrscheinlich ist er wirklich krank?

Bezeichnen: $$$t$ - Testergebnis, $$$d$ - das Vorhandensein des Virus. Dann nach der Formel für die Gesamtwahrscheinlichkeit

$$

$$P (t = 1) = P (t = 1 | d = 1) P (d = 1) + P (t = 1 | d = 0) P (d = 0).$$

Nach dem Bayes-Theorem:

$$

$$P (d = 1 | t = 1) = \ frac {P (t = 1 | d = 1) P (d = 1)} {P (t = 1 | d = 1) P (d = 1) + P (t = 1 | d = 0) P (d = 0)} = \\ = \ frac {0,95 \ times0,01} {0,95 \ times0,01 + 0,05 \ times0,99} = 0,16$$

Es stellt sich heraus, dass die Wahrscheinlichkeit einer Infektion mit dem „X“ -Virus unter der Bedingung eines positiven Testurteils 0,16 beträgt. Warum so ein Ergebnis? Zunächst ist eine Person mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,01 mit dem „X“ -Virus infiziert, und selbst mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,05 schlägt der Test fehl. Das heißt, wenn nur 1% der Bevölkerung mit diesem Virus infiziert ist, hat die Wahrscheinlichkeit eines Testfehlers von 0,05 einen signifikanten Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person wirklich krank ist, vorausgesetzt, der Test liefert ein positives Ergebnis.

Liste der verwendeten Literatur:

• „Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie. Lehrbuch ", M.E. Zhukovsky, I.V. Rodionov, Moskauer Institut für Physik und Technologie, MOSKAU, 2015;
• „Tiefes Lernen. Eintauchen in die Welt der neuronalen Netze “, S. Nikulenko, A. Kadurin, E. Arkhangelskaya, PETER, 2018.