Hi, habrozhiteli! Der Zweck dieses Buches ist es, jedem, der mit einem High-School-Mathematikkurs vertraut ist und bereit ist, hart zu arbeiten, Quantencomputer vorzustellen. In diesem Buch lernen wir Qubits, Verschränkungen (Quantenzustände), Quantenteleportation und Quantenalgorithmen sowie andere Themen im Zusammenhang mit Quantencomputern kennen. Die Aufgabe besteht nicht darin, eine vage Vorstellung von diesen Konzepten zu geben, sondern sie kristallklar zu machen.
Quantencomputer werden oft in den Nachrichten erwähnt: China teleportierte ein Qubit von der Erde zu einem Satelliten; Der Shore-Algorithmus hat die aktuellen Verschlüsselungsmethoden gefährdet. Die Verteilung von Quantenschlüsseln wird die Verschlüsselung wieder zu einem zuverlässigen Schutzmittel machen. Der Algorithmus von Grover beschleunigt das Abrufen von Daten. Aber was bedeutet das alles wirklich? Wie funktioniert das alles? Chris Bernhard wird davon erzählen.
Auszug Einstein und lokaler Realismus
Ein gutes Beispiel für die Erklärung des lokalen Realismus ist die Schwerkraft. Das Newtonsche Gravitationsgesetz gibt eine Formel für die Anziehungskraft zwischen zwei Massen an. Wenn wir die Dimensionen der Massen, den Abstand zwischen ihnen und die Gravitationskonstante einsetzen, können wir die Größe der Anziehungskraft erhalten. Newtons Gesetz veränderte die Physik. Mit ihm können Sie beispielsweise beweisen, dass sich der Planet in einer elliptischen Umlaufbahn um den Stern dreht. Trotz der Tatsache, dass das Gesetz die Größe der Kraft beschreibt, sagt es nichts über die Natur dieser Kraft aus.
Das Newtonsche Schwerkraftgesetz kann für Berechnungen verwendet werden, erklärt jedoch nicht, wie die Schwerkraft funktioniert. Newton selbst machte sich darüber ebenfalls Sorgen. Alle dachten, dass es eine tiefere Theorie geben sollte, die die Wirkung der Schwerkraft erklärt. Es wurden viele verschiedene Annahmen getroffen, oft unter Einbeziehung des „Äthers“, der ein integraler Bestandteil des Universums sein sollte. Und obwohl es keinen Konsens über den Mechanismus der Schwerkraft gab, betrachtete niemand die Schwerkraft als eine übernatürliche Fernwirkung, und jeder glaubte, dass eine natürliche Erklärung gefunden werden könne. Es gab einen Glauben an das, was wir heute als lokalen Realismus bezeichnen.
Newtons Gravitationsgesetz wurde durch Einsteins Gravitationstheorie ersetzt. Sie verbesserte nicht nur Newtons Theorie hinsichtlich der Genauigkeit der Vorhersage astronomischer Beobachtungen, die mit Newtons Theorie nicht abgeleitet werden können, sondern erklärte auch, wie die Schwerkraft funktioniert. Sie beschrieb die Verzerrung der Raumzeit. Ihr zufolge bewegt sich der Planet in Übereinstimmung mit der Form der Raumzeit, in der er sich befindet. Keine übernatürliche Aktion in einiger Entfernung. Einsteins Theorie war nicht nur genauer, sondern beschrieb auch, wie die Schwerkraft funktioniert, und diese Beschreibung war lokal. Der Planet bewegt sich entsprechend der Form des Raumes in seiner Nähe.
Die Kopenhagener Interpretation in der Quantenmechanik führte die Idee der übernatürlichen Fernwirkung wieder ein. Wenn Sie ein Paar verwickelter Qubits messen, ändert sich ihr Zustand sofort, auch wenn sie physisch voneinander entfernt sind. Einsteins Argumentation scheint ganz natürlich. Er hatte gerade übernatürliche Handlungen aus der Gravitationstheorie ausgeschlossen und steht nun wieder vor ihr. Im Gegensatz dazu glaubte Bohr nicht an die Existenz einer tieferen Theorie, die den Mechanismus dieser Aktion erklären könnte. Einstein stimmte ihm nicht zu.
Einstein glaubte, den Irrtum von Bohrs Position beweisen zu können. In Zusammenarbeit mit Boris Podolsky und Nathan Rosen schrieb er einen Artikel, in dem er darauf hinwies, dass seine spezielle Relativitätstheorie impliziert, dass es unmöglich ist, Informationen schneller als mit Lichtgeschwindigkeit zu verbreiten kann sofort geliefert werden. Dieses Problem wird als EPR-Paradox bezeichnet, dh als Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon.
In unserer Zeit wird das EPR-Paradoxon normalerweise in Form von Spin beschrieben, und genau das werden wir tun, obwohl Einstein et al. Das Problem anders beschrieben haben. Sie untersuchten den Ort und den Impuls zweier verwickelter Teilchen. Und die Formulierung aus der Position des Rückens wurde von David Bohm vorgeschlagen. Es ist Böhms Wortlaut, der derzeit verwendet wird und der von John Sewart Bell verwendet wurde, um seine wichtige Ungleichung zu berechnen. Obwohl Bom eine wichtige Rolle bei der Beschreibung und Formulierung des Paradoxons spielte, wird sein Name normalerweise weggelassen.
Im vorigen Kapitel wurde darauf hingewiesen, dass die Kopenhagener Interpretation die Möglichkeit nicht zulässt, Informationen schneller als mit Lichtgeschwindigkeit zu übertragen, und daher stellt sich, obwohl das EPR-Paradoxon nicht wirklich ein Paradoxon ist, immer noch die Frage, ob es eine Erklärung gibt, die die übernatürliche Handlung beseitigt.
Einstein und die versteckten Variablen
Aus klassischer Sicht ist die Physik deterministisch - wenn die Anfangsbedingungen mit unendlicher Genauigkeit bekannt sind, können Sie das genaue Ergebnis vorhersagen. Natürlich können die Anfangsbedingungen nur mit einer gewissen endlichen Genauigkeit in dem Sinne bekannt sein, dass die Messungen immer einen gewissen Fehler aufweisen - eine kleine Differenz zwischen dem gemessenen und dem wahren Wert. Mit der Zeit kann dieser Fehler auf einen Wert ansteigen, der keine ausreichende Prognose mehr zulässt. Diese Idee liegt der sogenannten sensitiven Abhängigkeit von Anfangsbedingungen zugrunde. Sie erklärt, warum die Wettervorhersage für mehr als eine Woche extrem unzuverlässig ist. Es ist jedoch wichtig, sich daran zu erinnern, dass die zugrunde liegende Theorie bestimmt ist. Das Wetter sieht unvorhersehbar aus, aber dies ist nicht auf einen inhärenten Unfall zurückzuführen, nur können wir keine Messungen mit ausreichend hoher Genauigkeit durchführen.
Ein weiterer Bereich, in dem die Wahrscheinlichkeit in die klassische Physik eindringt, sind die Gesetze über Gase, dh die Gesetze der Thermodynamik, aber die Theorie selbst ist wiederum deterministisch. Wenn Sie die Geschwindigkeit und Masse jedes Moleküls in einem Gas genau kennen, können Sie theoretisch genau vorhersagen, was in Zukunft mit jedem Molekül passieren wird. In der Praxis gibt es jedoch zu viele Moleküle, um sie jeweils zu berücksichtigen. Daher nehmen wir die Durchschnittswerte und betrachten das Gas unter statistischen Gesichtspunkten.
Auf diese klassische deterministische Sichtweise bezog sich Einstein, als er sehr gelassen erklärte, dass Gott nicht mit dem Universum würfelt. Er war der Meinung, dass die Verwendung von Wahrscheinlichkeit in der Quantenmechanik die Unvollständigkeit einer Theorie demonstriert. Es muss eine tiefere Theorie geben, die möglicherweise neue Variablen enthält, die deterministisch ist, aber probabilistisch aussieht, wenn all diese bisher unbekannten Variablen nicht berücksichtigt werden. Diese unbekannten Variablen wurden als versteckte Variablen bezeichnet.
Die klassische Erklärung der Verstrickung
Beginnen wir mit unseren Quantenuhren im Stand
Alice und Bob stellen die Frage: Zeigt der Pfeil auf zwölf? Das Quantenmodell behauptet, dass beide die gleiche Antwort erhalten: "Ja, der Pfeil zeigt auf zwölf" oder "Nein, der Pfeil zeigt auf sechs". Beide Antworten sind gleich wahrscheinlich. Tatsächlich können wir mit den Spins verschränkter Elektronen experimentieren. Die Ergebnisse dieser Experimente stimmen genau mit den Vorhersagen des Quantenmodells überein. Aber wie erklärt das klassische Modell diese Ergebnisse?
Die klassische Interpretation der beschriebenen Situation sieht recht einfach aus. Elektronen haben einen bestimmten Spin in jede Richtung. Ineinander verschlungene Elektronen verwickeln sich infolge lokaler Exposition. Und wieder wenden wir uns versteckten Variablen und einer tieferen Theorie zu. Wir wissen nicht genau, was passiert, aber es gibt einen lokalen Prozess, der Elektronen in den gleichen Spinzustand überträgt. Wenn sie verwickelt sind, wird die Spinrichtung für beide Elektronen sofort gewählt.
Dies kann mit der Situation verglichen werden, in der wir ein Kartenspiel haben, das wir zuerst mischen, dann, ohne hinzusehen, eine Karte entfernen, in zwei Hälften schneiden und in zwei Umschläge stecken, ohne zu wissen, welche Karte aus dem Kartenspiel entfernt wurde. Dann schicken wir die Umschläge an Bob und Alice, die am anderen Ende des Universums leben. Weder Alice noch Bob ahnen, welche Karte sie erhalten haben. Es kann jede Karte von zweiundfünfzig sein, aber sobald Alice ihren Umschlag öffnet und einen Diamantenheber sieht, wird sie sicher wissen, dass Bob auch die Hälfte der Diamantenkarte erhalten hat. In einiger Entfernung gibt es keine Aktion und nichts Übernatürliches.
Um zu den von Bell erzielten Ergebnissen zu gelangen, müssen wir unsere verwickelten Qubits in drei verschiedenen Richtungen messen. Nun, zurück zur Analogie der verwirrten Uhr, werden wir drei Fragen stellen: Zeigt der Zeiger auf zwölf, vier und acht? Das theoretische Quantenmodell behauptet, dass jede Frage entweder mit "Ja, zeigt an" oder "Nein, es zeigt in die entgegengesetzte Richtung" beantwortet wird. Beide Antworten auf jede Frage sind gleich wahrscheinlich. Aber wenn Alice und Bob dieselbe Frage stellen, erhalten sie dieselbe Antwort. Dies kann aus klassischer Sicht genauso beschrieben werden wie bisher.
Es gibt einen lokalen Prozess, der die Uhr verwirrt. Wir versuchen nicht genau zu beschreiben, wie dies gemacht wird, sondern beziehen uns einfach auf versteckte Variablen - es gibt eine tiefere Theorie, die all dies erklärt. Wenn die Uhr verwirrt ist, werden drei Fragen ganz spezifisch beantwortet. Dies kann mit der Situation verglichen werden, in der drei Kartenspiele mit verschiedenfarbigen Hemden vorhanden sind. Wir nehmen eine Karte mit einem blauen, roten und grünen Hemd vom Stapel. Wir schneiden jede in zwei Hälften und schicken Alice drei Hälften und Bob drei Hälften. Wenn Alice eine halbe Diamantenkarte mit einem grünen Hemd sieht, weiß sie mit Sicherheit, dass Bob eine halbe Karte mit einem grünen Hemd erhält, bei dem es sich um eine Diamantenkarte handelt.
In Bezug auf unsere Quantenuhren besagt die klassische Theorie, dass es für jede Frage eine eindeutige Antwort gibt, die vor dem Stellen der Frage vorgegeben wird. Die Quantentheorie besagt dagegen, dass die Antwort auf eine Frage erst definiert wird, wenn sie gestellt wird.
Glockenungleichheit
Stellen Sie sich vor, wir hätten einen Stream von Qubit-Paaren generiert und diese an Alice und Bob gesendet. Jedes Qubit-Paar ist verwirrt.
Alice wählt zufällig die Richtung von 0 °, 120 ° oder 240 °, um ihr Qubit zu messen. Jede dieser Richtungen wird zufällig mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 ausgewählt. Alice erinnert sich nicht an die ausgewählten Richtungen, sondern schreibt das Ergebnis 0 oder 1. (Ich erinnere mich, dass 0 dem ersten Basisvektor und 1 dem zweiten entspricht.) Nachdem Alice ihr Qubit gemessen hat, wählt Bob zufällig eine mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/3 aus den gleichen drei Richtungen und misst sein Qubit. Wie Alice erinnert er sich nicht an die Messrichtung, sondern zeichnet das Ergebnis 0 oder 1 auf.
Als Ergebnis erhalten Alice und Bob eine lange Zeile von 0 und 1. Dann vergleichen sie ihre Zeilen Zeichen für Zeichen. Wenn die ersten Zeichen übereinstimmen, schreiben sie den Buchstaben A, wenn sie nicht übereinstimmen, den Buchstaben D. Dann gehen sie zum zweiten Zeichen und schreiben je nach Übereinstimmung oder Nichtübereinstimmung auch A oder D. Also vergleichen sie alle Zeichen in ihren Zeilen.
Das Ergebnis ist eine neue Zeile, die aus den Buchstaben A und D besteht. Welcher Anteil der Zeile wird im Zeichen A enthalten sein? Bell bemerkte, dass das Modell der Quantenmechanik und das klassische Modell unterschiedliche Antworten geben.
Die Antwort auf das Modell der Quantenmechanik
Qubits sind verwirrt
Wir haben bereits gesehen, dass Alice und Bob, die beide dieselbe Messrichtung wählen, dieselbe Antwort erhalten. Nun wollen wir sehen, was passiert, wenn sie unterschiedliche Basen wählen.
Beginnen wir mit dem Fall, in dem Alice wählt
und Bob wählt
Verwirrter Zustand
kann mit Alice's Basis als geschrieben werden
Wenn Alice ihre Messung durchführt, ein Übergang in den Zustand
oder
jedes davon ist gleich wahrscheinlich. Wenn ein Zustandsübergang auftritt
wird 0 geschrieben. Wenn es einen Übergang zum Zustand gibt
sie wird 1 aufnehmen.
Bob sollte jetzt die Messung durchführen. Angenommen, nach Alice 'Messung befinden sich die Qubits in einem Zustand
Das heißt, Bobs Qubit ist in einem Zustand
Um das Messergebnis von Bob zu berechnen, müssen Sie diesen Status auf Bob-Basis neu schreiben. (Ähnliche Berechnungen haben wir bereits im Abschnitt Alice, Bob und Eva in Kapitel 3 durchgeführt.)
Nachdem wir die Lösung mit zweidimensionalen Ketos aufgeschrieben haben, erhalten wir:
Multiplizieren
zu einer Matrix mit Zeilen, die den Wandlampen von Bobs Basis entsprechen.
Als Ergebnis bekommen wir
Nach Abschluss der Messung erhält Bob eine 0 mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/4 und eine 1 mit einer Wahrscheinlichkeit von 3/4. Das heißt, wenn Alice 0 bekommt, bekommt Bob 0 mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/4. Es ist einfach, einen anderen Fall zu überprüfen. Wenn Alice 1 bekommt, bekommt Bob auch 1 mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/4.
Andere Fälle liefern ähnliche Ergebnisse: Wenn Bob und Alice Messungen in verschiedenen Richtungen durchführen, stimmen ihre Ergebnisse in 1/4 der Fälle überein und nicht in 3/4 der Fälle.
Infolgedessen nehmen sie in 1/3 der Fälle Messungen in eine Richtung vor und erhalten immer Übereinstimmungen. In 2/3 der Fälle nehmen sie Messungen in verschiedene Richtungen vor und erhalten in 1/4 der Fälle Übereinstimmungen. Dementsprechend ist der Anteil der Zeichen A in einer Folge von A und D
Nach dem quantenmechanischen Modell sollte daher bei einer ausreichend großen Anzahl von Tests der Bruchteil der Symbole A die Hälfte betragen.
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