Quantenbahnen und womit sie essen

In dieser kleinen Notiz geht es darum, wie man schöne Bilder zeichnet, ein wenig über die Physik, von der selten die Rede ist, über die Bomov-Quantenmechanik.

Kleine Einführung

Wie uns jede Science-Fiction und jeder pseudowissenschaftliche Unsinn gerne erzählt, wie zum Beispiel der Film The Secret, unterscheiden sich die Gesetze der Mikrowelt sehr von den klassischen, die wir gewohnt sind.
In der Welt der Quantenmechanik regiert die durch die Wellenfunktion gegebene Wahrscheinlichkeit alles. $$$\ psi$ (Detailinteressierte können beispielsweise den Beitrag „Myonkatalyse aus Sicht der Quantenchemie. Teil I: Gewöhnlicher Wasserstoff vs. Myonwasserstoff“ lesen .)
Die Beine aller Arten von lustigen Dingen, wie Schrödinger-Katzen , Heisenbergs Ungewissheitsprinzipien und Bells Ungleichungen, wachsen aus den wahrscheinlichkeitstheoretischen Eigenschaften eines Quantentech heraus.

Aber all diese Bilder mit allen Arten von Elektronenorbitalen beantworteten die Frage „Wie fliegt ein Elektron im Weltraum?“ Nicht. Um diese Situation zu klären, verbrachten die Physiker viel Zeit damit, konnten sie aber nicht bewältigen. Doch David Bohm (vielen durch den Aaronov-Bohm-Effekt bekannt ) schuf schließlich einen der Formalismen der Quantenmechanik (seinen Namen) , in dem es noch Trajektorien gibt, auf denen sich das Quantenteilchen bewegt. Und im Gegensatz zu den Feynman-Pfadintegralen ist dieser Pfad für jedes Partikel genau einer. Diese Eigenschaft ermöglicht es Ihnen im Grunde, die Bewegung von Partikeln zu verfolgen und die Bewegung von klassischen Partikeln und Quantenteilchen zu vergleichen, auf die wir in diesem Artikel eingehen werden.

Klassische und Quantenbahnen

Wir werden ein ziemlich langweiliges System betrachten: Ein Elektron im Feld mehrerer Protonen. Über dieses System sowie über die klassische und die Quantenmechanik können Sie im ersten und zweiten Teil des Beitrags „Myonkatalyse aus Sicht der Quantenchemie“ lesen.

Das klassische Problem der Teilchenbewegung in einem bestimmten Potential ist durch das zweite Newtonsche Gesetz gegeben:

$$ $$m \ ddot {x} = F$$

wobei m die Teilchenmasse ist, x die Koordinate ist, F die auf das Teilchen wirkende Kraft ist und $$$\ ddot {x} = \ frac {d ^ 2 x} {dt ^ 2}$ - die zweite Ableitung der zeitlichen Koordinate des Partikels oder die Beschleunigung. Wenn nur potentielle Kräfte im System wirken, kann die Kraft durch eine neue Entität ausgedrückt werden, potentielle Energie V as

$$ $$F = - \ frac {dV} {dx}$$

In unserem Fall ein Elektron im Feld mehrerer Protonen,

wo das Elektron mit jedem der Protonen nach dem Coulombschen Gesetz wechselwirkt

$$ $$V (R) = - ke ^ 2 / R$$

wobei k ein Koeffizient ist, der in Atomeinheiten gleich 1 ist, e die Elektronenladung ist und R der Abstand vom Elektron zum Proton ist.
In diesem Fall ist das Gesamtpotential, das auf das Elektron wirkt, gleich

$$ $$V = \ sum_ {n = 1} ^ N V_n (R_n) = - \ sum_ {n = 1} ^ N \ frac {ke ^ 2} {R_n} \,$$

wobei der Index n die Protonen (Gesamtprotonen N Stück) nummeriert und R _n der Abstand vom Elektron zum n- ten Proton ist.

Das numerische Lösen des Diffurs, das Newtons zweites Gesetz ist, ist eine schwierige Aufgabe. Hauptsache, Sie müssen die Ausgangsposition und die Geschwindigkeit festlegen. Wenn das Elektron zu schnell fliegt, bricht es aus der Anziehungskraft des Protons (der Protonen) aus und fliegt ins Unendliche. Wenn nur ein bisschen Energie vorhanden ist, flattert es für immer im Feld eines der Kerne, ohne die anderen zu besuchen.

Was also in den Klassikern passiert, wissen wir.

Aber was wird in der Bomov-Dynamik passieren?
In diesem Fall bewegt sich das Teilchen auch nach dem zweiten Newtonschen Gesetz mit Potenzial $$$V = V_ \ mathrm {C} + V_ \ mathrm {Q}$ wo $$$V_ \ mathrm {C}$ - das klassische Potential aus dem üblichen Newtonschen Gesetz, das in unserem Fall die oben angegebene Form hat.
Das heißt Zusätzlich zum klassischen Potential wird eine andere Entität darauf einwirken: das Quantenpotential $$$V_ \ mathrm {Q}$ mit (in 1D Fall) der Form

$$ $$V_ \ mathrm {Q} = - \ frac {\ hbar ^ 2} {2mA} \ frac {d ^ 2A} {dx ^ 2}$$

Dabei ist A die Amplitude (der Modul) der Wellenfunktion $$$A = | \ psi |$ ( $$$\ psi = A \ exp (i \ varphi)$ wo $$$\ varphi$ - Phase der Wellenfunktion).
Um die Bewegungsgleichung eines Quantenteilchens zu erhalten, müssen wir noch etwas über die Wellenfunktion wissen.


Im Fall eines Protons kennen wir (siehe zum Beispiel hier ) den genauen Ausdruck der Elektronenwellenfunktion im Grundzustand (1s) [ in atomaren Einheiten ]:

$$ $$\ psi (R) = \ exp (-R)$$

Bei mehreren Protonen ergibt sich im Rahmen der Methode der Molekülorbitale als Kombinationen von Atomorbitalen ( MO LKAO , siehe hier ) der Grundzustand mit ausreichender Genauigkeit aus der Summe der 1s-Orbitale der Atome:

$$ $$\ psi \ ungefähr \ sum_ {n = 1} ^ N \ psi_n (R_n) = \ sum_ {n = 1} ^ N \ exp (-R_n)$$

Um das Quantenpotential herauszufinden, müssen Sie nur diesen Ausdruck verwenden.

Dadurch können wir unser Quantenpotential als aufschreiben

$$ $$V_ \ mathrm {Q} \ ungefähr \ frac {\ hbar ^ 2} {m} \ sum_ {n = 1} ^ N \ frac {\ exp (-R_n)} {R_n}$$

und mit diesem ausdruck können wir bereits die böhmsche dynamik eines elektronen im feld vieler protonen steuern.

Implementierung

Für all diese Schande wurde Code in Python geschrieben, den es hier gibt:

Wir werden nur einige Punkte diskutieren.
Newtons zweites Gesetz wird mit dem Verlet-Algorithmus integriert :

$$ $$x (t + \ Delta t) = 2 x (t) - x (t - \ Delta t) + \ frac {F (t)} {m} \ Delta t ^ 2$$

Die Anfangsposition wird durch zufälliges Auswählen eines der Protonen erzeugt, eine Richtung wird zufällig um dieses herum ausgewählt (unter Verwendung von Kugelkoordinaten). Um die Anfangsgeschwindigkeit einzustellen, müssen Sie eine andere vorherige Position einstellen. Es wird unter Verwendung eines anderen kleinen Zufallsvektors ausgewählt.

Durch Ein- und Ausschalten des Quantenpotentials wechseln wir zu quantenklassischen Bewegungsmodi.

Dann können Sie mit Gnuplot wunderschöne Bilder für das Wasserstoffatom erstellen

und für das Molekül H ₂ ⁺


Wie Sie sehen können, sind die klassischen Flugbahnen (oben, blau) entweder sehr lokalisiert oder, wenn sich das Elektron zu schnell bewegen muss, von den Kernen weggelaufen. Im Quantenfall (niedriger, rosa) können die Elektronen aufgrund des Quantenpotentials wesentlich weiter vom Kern entfernt sein, und im Fall des H ₂ ⁺ -Moleküls können Sie von einem Proton zum anderen laufen, was eine indirekte Visualisierung chemischer Bindungen darstellt.

Ein paar Worte zum Erstellen von Bildern: Um einen Neon-Effekt zu erzielen, wird jeder Pfad mehrmals von dünnem Weiß bis zu dickem Schwarz durch die Schatten der gewünschten Farbe gezogen. Zum bequemen Auswählen einer solchen Palette können Sie beispielsweise die Website https://www.color-hex.com/ verwenden.
Ein Beispielskript ist unten angegeben.

Fazit

Die Flugbahnen von Bomov sind zwar schwer zu verstehen und zu berechnen, ermöglichen es Ihnen jedoch, schöne Bilder zu zeichnen, die zeigen, wie viel mehr Spaß und Reichtum als die klassische Mechanik machen.

Wenn Sie Kommentare, Fragen, Vorschläge haben: schreiben Sie. :)