Mathematiker schneiden Formen auf der Suche nach Teilen von Gleichungen

Eine neue Arbeit zum Problem der „Gleichstellung“ erklärt, wann es möglich ist, eine Figur zu schneiden und daraus eine andere zusammenzusetzen

Wenn Sie zwei flache Stücke Papier und eine Schere haben, können Sie ein Stück schneiden und die Stücke neu anordnen, um das andere zu erhalten? Wenn Sie können, dann sind diese beiden Figuren "scherenkongruent" [ gleich ].

Mathematiker interessieren sich jedoch dafür, ob es möglich ist, eine solche Beziehung in Zahlen zu erkennen, ohne eine Schere zu benutzen? Mit anderen Worten, haben diese Zahlen solche Merkmale, die im Voraus gemessen werden könnten, um festzustellen, ob sie kongruent sind?

Für zweidimensionale Figuren ist die Antwort einfach. Sie müssen nur ihre Fläche messen; Wenn sie übereinstimmen, sind die Zahlen scherenkongruent.

Aber für Figuren in höheren Dimensionen - zum Beispiel für eine dreidimensionale Kugel oder einen elfdimensionalen Donut, der nicht vorstellbar ist - wird die Frage nach dem Schneiden und Zusammensetzen in einer anderen Form viel komplizierter. Und trotz jahrhundertelanger Bemühungen konnten die Mathematiker die Merkmale nicht bestimmen, die die gleiche Zusammensetzung für die meisten Figuren höherer Dimension bestätigen.

In diesem Herbst gelang jedoch zwei Mathematikern der bedeutendste Durchbruch bei der Lösung dieses Problems in mehreren Jahrzehnten. Jonathan Campbell von der Duke University und Inna Zakharevich von der Cornell University haben in einem Paper, das am 6. Oktober an der Universität von Chicago vorgestellt wurde, einen wichtigen Schritt unternommen, um die Übereinstimmung von Formen in jeder Größenordnung zu beweisen.

Aber nicht nur das. Gleichmut ist wie die meisten wichtigen mathematischen Probleme ein Kaninchenbau: eine bescheidene Aussage, die Mathematiker in das tiefe Loch der komplexen Mathematik hineinzieht. Um die Scherenkongruenz zu verstehen, haben Campbell und Zakharevich möglicherweise einen neuen Weg aufgezeigt, um über einen völlig anderen Bereich dieser Wissenschaft zu sprechen: algebraische Gleichungen.

Erster Schnitt

Gleiche Ausrichtung mag wie eine einfache Aufgabe erscheinen. Vor mehr als 2000 Jahren erkannte Euklid, dass zwei zweidimensionale Figuren desselben Gebiets von einer zur anderen verschoben werden können. Es ist anzunehmen, dass Figuren mit höheren Dimensionen desselben Volumens auf ähnliche Weise wiederholt werden können.

Aber im Jahr 1900 schlug David Hilbert vor, dass diese Aufgabe tatsächlich nicht so einfach ist.

Während seiner Rede auf dem Internationalen Mathematikkongress in Paris identifizierte er 23 offene Probleme , die seiner Meinung nach das mathematische Denken im kommenden Jahrhundert leiten werden. Das dritte Problem betraf die Scherenkongruenz [gleiche Zusammensetzung gleicher Polyeder]. Hilbert schlug vor, dass nicht alle dreidimensionalen Figuren desselben Volumens kongruent sind - und forderte die Mathematiker auf, ein Figurenpaar zu finden, das dies beweist.

Ein Jahr nach der Rede tat Hilberts Schüler Max Dan genau das. Ein solcher Begriff schien den Mathematikern verdächtig. "Einige Leute glauben, dass Hilbert diese Aufgabe nur in die Liste aufgenommen hat, weil sein Schüler sie bereits gelöst hat", sagte Zakharevich.

Ob es sich um eine Verschwörung handelte oder nicht, das Ergebnis von Dan stellte die Vorstellung der Mathematiker von gleicher Repräsentation auf den Kopf. Er hat bewiesen, dass ein Tetraeder eines einzelnen Volumens nicht gleich einem Würfel desselben Volumens ist. Egal wie Sie das erste schneiden, Sie können die Stücke vom zweiten nie zusammenbauen.

Neben dem Nachweis, dass die Volumengleichheit nicht ausreicht, um die gleiche Zusammensetzung zu bestimmen, schlug Den eine neue Methode zur Messung von Formen vor. Er bewies, dass alle dreidimensionalen Figuren, die einander gleich sind, das gleiche Volumen haben müssen und auch in neuem Maße zusammenfallen.

Dan konzentrierte sich auf die inneren Ecken zwischen den beiden Gesichtern der dreidimensionalen Figur. In einem Würfel treffen sich beispielsweise alle Flächen im rechten Winkel. Bei komplexeren Formen sind die Winkel jedoch unterschiedlich und von unterschiedlicher Bedeutung. Die Winkel zwischen den längeren Kanten wirken sich stärker auf die Form der Figur aus als die Winkel zwischen den kürzeren Kanten. Den Ecken wurde daher ein Gewicht zugewiesen, das auf den Längen der Kanten basiert, die sie bilden. Er kombinierte diese Informationen zu einer komplexen Formel, die für eine bestimmte Zahl eine einzige Zahl ergab - die „Den-Invariante“.


Mathematiker wollen wissen, wann eine Figur geschnitten und eine andere daraus zusammengesetzt werden kann.
Zweidimensionale Figuren haben bei gleicher Fläche gleichen Abstand.
Dreidimensionale Figuren sind gleich zusammengesetzt, wenn sie das gleiche Volumen und die gleiche Dehn-Invariante haben.
Der Würfel und das Tetraeder sind nicht gleich zusammengesetzt - sie haben das gleiche Volumen, aber verschiedene Den-Invarianten.
Formen können in Stücke geschnitten werden, und Gleichungsgraphen können in Untergraphen geschnitten werden. Mathematiker suchen nach einem Analogon der Dehn-Invariante, das zeigt, dass zwei Gleichungen aus identischen Teilen bestehen.

Deng hat bewiesen, dass alle dreidimensionalen Figuren, die gleich weit voneinander entfernt sind, dasselbe Volumen und dieselbe Deng-Invariante haben müssen. Eine komplexere Frage konnte er jedoch nicht beantworten: Wenn die dreidimensionalen Figuren das gleiche Volumen und die Dan-Invariante haben, bedeutet dies, dass sie notwendigerweise gleich sind? Jean-Pierre Sidler hat dies schließlich 1965 bewiesen. Drei Jahre später zeigte Björg Jessen, dass dieselben zwei Merkmale die Gleichdimensionalität in vier Dimensionen bestimmen.

Die Ergebnisse von Sidler und Jessen waren ernsthafte Fortschritte, aber Mathematiker sind ein gieriges Volk: Gibt es genug Volumen und Dans Invariante, um die gleiche Zusammensetzung von Figuren in allen Dimensionen zu bestimmen? Reichen diese Messungen in anderen geometrischen Räumen als den euklidischen aus - in der sphärischen Geometrie (stellen Sie sich Breiten- und Längengrade auf der Erdoberfläche vor) oder im sattelförmigen Universum der hyperbolischen Geometrie?

Ende des 20. Jahrhunderts schlug der Mathematiker Alexander Borissowitsch Gontscharow einen Ansatz vor, der seiner Meinung nach das gesamte Problem ein für allemal lösen und gleichzeitig die Gleichheit mit einem ganz anderen Gebiet der Mathematik in Beziehung setzen könnte.

Seltsame Verbindungen

Mathematik steckt voller unerwarteter Zusammenhänge. Zakharevich sagt, Mathe ist so, als stolpere man über etwas Seltsames in der Natur und versuche zu verstehen, warum es so ist.

"Wenn Sie in einem Wald auf einen Pilzring treffen und nicht wissen, wie Pilze wachsen, werden Sie sich überlegen, woher sie wissen, wie sie wachsen sollen? Sagte sie. "Der Grund ist, dass Pilze ein unterirdisch wachsendes Myzel haben."

1996 formulierte Goncharov eine Reihe von Hypothesen, die auf die Existenz einer mathematischen Struktur hindeuten, die sich ebenfalls unter der Oberfläche verbirgt. Wenn diese Struktur existiert, kann sie erklären, warum einige mathematische Phänomene - einschließlich der gleichen Zusammensetzung - auf diese Weise funktionieren.

Eine Hypothese besagt, dass das Volumen der Figur und ihre Dan-Invariante ausreichen, um die gleiche Zusammensetzung von Figuren jeder Dimension und in jedem Raum zu bestimmen.

"Goncharov sagte, dass die gleichen Prinzipien, die in drei Dimensionen gelten, für alle gelten", sagte Charles Weibel von der Rutgers University.

Aber Goncharov, der jetzt bei Yale beschäftigt ist, sagte auch voraus, dass diese verborgene Struktur viel mehr als das erklären würde. Er sagte, dass die gleiche Ausrichtung ein universelleres Konzept ist und nicht nur zum Schneiden von geometrischen Formen, sondern auch zum Schneiden von Formen, die durch Lösungen algebraischer Gleichungen erzeugt werden, anwendbar ist - zum Beispiel der Graph der Gleichung x ² + y ² + z ² = 1. Und Die Informationen, die zur Klassifizierung nach gleicher Zusammensetzung benötigt werden, spiegeln die Informationen wider, die zur Klassifizierung algebraischer Gleichungen benötigt werden - so dass Gleichungen derselben Klasse aus identischen Teilen bestehen.

Die Verbindung war schockierend, als ob ein Prinzip, das sich zur Systematisierung von Tieren eignet, es Ihnen irgendwie erlauben würde, auch chemische Elemente zu systematisieren. Viele Mathematiker finden diese Idee so seltsam, wie es auf den ersten Blick scheint.

„Das ist völlig mysteriös. Auf den ersten Blick sollten diese Dinge überhaupt nicht miteinander verbunden sein “, sagte Campbell.

Gleichungen aufteilen

Um zu verstehen, wie geometrische Formen und algebraische Gleichungen ähnlich sein können, ist es zunächst hilfreich zu verstehen, wie Gleichungslösungen in Teile unterteilt werden können. Kehren wir dazu zu unserem vorherigen Beispiel zurück und zeichnen einen Graphen der Gleichung x ² + y ² + z ² = 1.

Es wird eine Kugel sein. Diese Oberfläche ist jedoch nicht nur eine Sammlung von Lösungen für diese Gleichung, sondern auch eine Sammlung vieler kleinerer Graphen oder Untergraphen von Lösungen für andere Gleichungen. Beispielsweise können Sie auf der Oberfläche einer Kugel einen Kreis nach Art des Erdäquators zeichnen. Dies ist ein Teilgraph, der Lösungen der algebraischen Gleichung x ² + y ² = 1 darstellt. Sie können auch einen einzelnen Punkt auf dem Nordpol der Kugel entsprechend der Gleichung z = 1 isolieren, indem Sie die verschiedenen Teilgraphen untersuchen, die in einem größeren Graphen gezeichnet werden können - ähnlich wie seine Bestandteile - Sie können einige Eigenschaften eines größeren Diagramms herausfinden.

Seit mehr als 50 Jahren entwickeln Mathematiker die Theorie der Teilgraphen algebraischer Gleichungen. So wie gewöhnliche Materie aus Atomen besteht, bestehen algebraische Gleichungen laut Mathematikern aus fundamentalen Teilen, die als „Motive“ bezeichnet werden. Der Begriff stammt aus dem französischen Wort Motiv und bezeichnet die Grundelemente der Melodie.


Inna Zakharevich von der Cornell University

„Motive sind grundlegende Bestandteile. Sie werden über alles sprechen, woraus algebraische Gleichungen bestehen, wie eine Melodie, die aus verschiedenen Komponenten besteht “, sagte Zakharevich. Eine Kugel besteht beispielsweise aus Kreisen, Punkten und Ebenen. Jedes von ihnen besteht aus Komponenten (die sich als Ergebnis mathematischer Handlungen an ihnen manifestieren) und so weiter, bis wir zu den Motiven gelangen, der angeblichen Grundlage algebraischer Gleichungen.

Mathematiker müssen algebraische Gleichungen nach ihren Motiven klassifizieren, um ein vollständiges und systematisches Bild von Gleichungen zu erhalten, die zu den wichtigsten mathematischen Objekten gehören. Dies ist eine schwierige und unvollendete Aufgabe. Aber 1996 schlug Goncharov vor, dass das Sortieren von Zahlen nach gleicher Zusammensetzung und das Sortieren von algebraischen Gleichungen nach Motiven zwei Seiten einer Aufgabe sind - das heißt, die Klassifizierung der einen ergibt ein Prinzip, nach dem die andere klassifiziert werden kann.

Er schlug vor, dass diese Verbindung auf dem Analogon der Dehn-Invariante basiert. Nur anstatt aus den einfachsten geometrischen Berechnungen hervorzugehen, sollte dieses Analogon aus einer ähnlichen Berechnung der Motive algebraischer Gleichungen (" Motivkoprodukt ") hervorgehen.

"Die Idee ist, dass das Dan-Invarianten-Problem parallel zu einem anderen Problem im Zusammenhang mit Motiven ist", sagte Weibel.

Aber um einen solchen Zusammenhang zu entdecken, müssen Mathematiker zuerst beweisen, dass die Dehn-Invariante die Zahlen nach gleichen Gruppen sortiert. Den selbst hat gezeigt, dass alle äquidistanten dreidimensionalen Figuren das gleiche Volumen und die gleiche Den-Invariante haben. Den und alle anderen nach ihm widerlegten jedoch nicht die Möglichkeit, dass es bestimmte Figuren höherer Dimensionen mit demselben Volumen und derselben Dan-Invariante gibt, die nicht gleich sind. In ihrer neuen Arbeit versuchten Campbell und Zakharevich, diese Gelegenheit dauerhaft zu schließen.

Zwei zum Preis von einem

Im Juni 2018 arbeiteten Campbell und Zakharevich drei Wochen am Advanced Research Institute in Princeton, New Jersey. Sie waren lange an Gleichbehandlung interessiert, aber Zakharevich glaubte, dass Goncharovs Hypothesen zu komplex waren, um in so kurzer Zeit behandelt zu werden. Aber Campbell wollte es immer noch versuchen, und Zakharevich musste lange nicht überzeugen.

"Jonathan sagte:" Wir haben drei Wochen, versuchen wir, uns dem anzunähern und zu sehen, was am Ende des ersten passiert ist ", sagte Zakharevich. Zwei Wochen später entwickelten sie viele Schlüsselideen, die ihrer neuen Arbeit zugrunde liegen.

In der Arbeit führen sie ein kontraintuitives Gedankenexperiment durch. Stellen Sie sich vor, Sie haben ein Hotel mit vielen Zimmern. Sie müssen alle gleichen Figuren miteinander im selben Raum arrangieren. Wir wissen nicht, wie wir feststellen sollen, ob die Zahlen gleich weit voneinander entfernt sind - das ist die Wurzel des Problems. Stellen wir uns jedoch für unser Gedankenexperiment vor, dass dies möglich ist. Oder, wie Zakharevich sagt: "Wir werden so tun, als gäbe es eine gewisse allwissende Person, die weiß, ob zwei Figuren gleich sind oder nicht."

Nachdem wir die Figuren nach Räumen sortiert haben, stellen wir sicher, dass alle Figuren im selben Raum dasselbe Volumen und dieselbe Den-Invariante haben. Es ist auch wichtig zu überprüfen, dass sich alle Figuren mit demselben Volumen und derselben Den-Invariante im richtigen Raum befanden - dass Figuren, die aus dem Kollektiv gefallen waren, nicht in der Hotelbar herumlungerten. Das Ziel eines Gedankenexperiments ist es, die Existenz einer idealen Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen Gruppen gleicher Figuren und Gruppen von Figuren mit demselben Volumen und derselben Dan-Invariante zu beweisen. Die Existenz einer solchen Entsprechung wird beweisen, dass nur das Volumen und die Dan-Invariante ausreichen, um die gleiche Zusammensetzung der Figuren zu bestimmen.

Goncharov sagte die Existenz einer solchen Korrespondenz voraus, und Campbell und Zakharevich bewiesen ihre Anwesenheit - unter einer Bedingung. Übereinstimmung liegt vor, wenn ein anderes unbewiesenes Ergebnis im Zusammenhang mit der Beilinson- Hypothese zutrifft.

Die beiden Hypothesen von Goncharov - die Klassifikation gleicher Zahlen nach Volumen und die Dehn-Invariante sowie die Klassifikation algebraischer Gleichungen nach dem Analogon der Dehn-Invariante - werden von Campbell und Zakharevich nicht vollständig bewiesen. Ihre Arbeit gibt Mathematikern jedoch eine klarere Vorstellung davon, wie sie alle beweisen können: Wenn Sie die Hypothesen von Beilinson beweisen können, dann erhalten Sie dank der Arbeit von Campbell und Zakharevich auch freie Gleichheit.

"Ihre Arbeit überdenkt diese Aufgabe wirklich", sagte Weibel. "Wenn Sie zwei Hypothesen auf diese Weise verbinden, wird die Struktur des zu untersuchenden Objekts beleuchtet."

Campbell und Zakharevich arbeiten jetzt mit einem anderen Mathematiker, Daniil Rudenko von der Universität von Chicago, zusammen, um die Beziehung zwischen dem Schneiden von Zahlen und der Analyse in Teile der von Goncharov vorgeschlagenen Gleichungen zu bestimmen. Rudenko hatte bereits einige Fortschritte in diese Richtung gemacht. Jetzt hofft er, zusammen mit Campbell und Zakharevich, viel weiter zu kommen.

„Ich denke, wir haben alle Chancen, signifikante Fortschritte zu erzielen. Vielleicht stellt sich auf diese Weise sogar heraus, dass Goncharovs Hypothesen bewiesen sind “, sagte Rudenko.