🧑🏿 🦈 ⏫ Die Summe aller natürlichen Zahlen: 1 + 2 + 3 + 4 + .... Teil 2 👩‍👩‍👧‍👦 🕍 🚪

Das wissen viele

1 + 2 + 3 + d o t s = - d f r a c 112 .

$1 + 2 + 3 + \ dots = - \ dfrac {1} {12}.$

Aber in Wirklichkeit

1 + 2 + 3 + d o t s = - d f r a c 18 .

$1 + 2 + 3 + \ dots = - \ dfrac {1} {8}.$

Lassen Sie uns das erste Ergebnis genauer betrachten. Natürlich divergiert eine Reihe natürlicher Zahlen im klassischen Sinne (im Sinne der Konvergenz einer Folge von Teilsummen: es gibt natürlich keine Grenzen). In diesem Artikel erwähnt der Autor andere Summationsmethoden, wie die Cesaro-Methode und die Abel-Methode. Hier einige Beispiele: Die Summe einer solchen Reihe

s u m l i m i t s_{n g e q s l a n t 0} (- 1)^{n} = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + d o t s

$\ sum \ limits_ {n \ geqslant 0} (-1) ^ n = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \ dots$

mit der CESARO-Methode wird gleich sein

d f r a c 12

$\ dfrac12$ .

Ein weiteres Beispiel:

1 - 2 + 3 - 4 + 5 + d o t s = d f r a c 14.

$1 - 2 + 3 - 4 + 5 + \ dots = \ dfrac14.$

Meiner Meinung nach ist es falsch zu sagen, dass die Summe der ersten Reihe gleich ist

d f r a c 12

$\ dfrac12$ ; richtig sagen, dass die Summe der ersten Reihe im Sinne von Cesaro gleich ist

d f r a c 12

$\ dfrac12$ . Ähnliches gilt für die zweite: Ihre Summe im Sinne von Abel ist gleich

d f r a c 14

$\ dfrac14$ .

In Anbetracht dessen wird im ersten Ergebnis (das

- d f r a c 112

$- \ dfrac {1} {12}$ ) Es gibt eine Substitution von Begriffen, die zu einem Widerspruch zum gesunden Menschenverstand führt.

Wir betrachten nun detaillierter das zweite Ergebnis. Zunächst bezeichnen wir den Gesamtbetrag für

X

$X$ :

1 + 2 + 3 + 4 + P u n k t e = X .

$1 + 2 + 3 + 4 + \ Punkte = X.$

Nun führen wir folgende Transformationen durch:

1 + 2 + 3 + 4 + d o t s = 1 + U n d e r b r a c e {2 + 3 + 4}_{9} + U n d e r b r a c e {5 + 6 + 7}_{18} + U n d e r b r a c e {8 + 9 + 10}_{27} + d o t s =

$1 + 2 + 3 + 4 + \ dots = 1 + \ Underbrace {2 + 3 + 4} _ {9} + \ Underbrace {5 + 6 + 7} _ {18} + \ Underbrace {8 + 9 + 10} _ {27} + \ dots =$

1 + 9 + 18 + 27 + d o t s = 1 + 9 u n d e r b r a c e {l e f t (1 + 2 + 3 + d o t s r i g h t)}_{X} = X .

$1 + 9 + 18 + 27 + \ dots = 1 + 9 \ underbrace {\ left (1 + 2 + 3 + \ dots \ right)} _ X = X.$

Von hier aus

1 + 9 X = X R i g h t a r r o w X = - d f r a c 18 .

$1 + 9X = X \ Rightarrow X = - \ dfrac {1} {8}.$

Es gibt eine andere Lösung. Kombinieren Sie die Begriffe auf andere Weise:

1 + 2 + u n t e r {3 + 4 + 5 + 6 + 7}_{25} + u n t e r {8 + 9 + 10 + 11 + 12}_{50} + d o t s =

$1 + 2 + \ unter {3 + 4 + 5 + 6 + 7} _ {25} + \ unter {8 + 9 + 10 + 11 + 12} _ {50} + \ dots =$

= 1 + 2 + 25 u n t e r {l e f t (1 + 2 + 3 + d o t s r i g h t)}_{X} = X,

$= 1 + 2 + 25 \ unter {\ left (1 + 2 + 3 + \ dots \ right)} _ X = X,$

also

1 + 2 + 25 X = X R i g h t a r r o w X = - d f r a c 324 = - d f r a c 18 .

$1 + 2 + 25X = X \ Rightarrow X = - \ dfrac {3} {24} = - \ dfrac {1} {8}.$

Ausgehend von den ersten drei können wir 7 Terme unterscheiden, deren Summe 49 ergibt, und wir kommen zur Gleichung

1 + 2 + 3 + 49 X = X,

$1 + 2 + 3 + 49X = X,$

das wird das gleiche Ergebnis geben.

Im Allgemeinen müssen Sie folgendermaßen vorgehen: Wählen Sie die erste aus

n

$n$ Begriffe, und dann in Klammern nehmen

2 n + 1

$2n + 1$ Begriffe:

1 + d o t s + n + u n t e r {l e f t (n + 1 + d o t s + 3 n + 1 r i g h t)}_{(2 n + 1)^{2}} + u n t e r {l e f t (3 n + 2 + d o t s + 5 n + 2 r e c h t s)}_{2 (2 n + 1)^{2}} + P u n k t e =

$1 + \ dots + n + \ unter {\ left (n + 1 + \ dots + 3n + 1 \ right)} _ {(2n + 1) ^ 2} + \ unter {\ left (3n + 2 + \ dots + 5n + 2 \ rechts)} _ {2 (2n + 1) ^ 2} + \ Punkte =$

1 + P u n k t e + n + (2 n + 1)^{2} l i n k s (1 + 2 + 3 + P u n k t e r e c h t s) = X .

$1 + \ Punkte + n + (2n + 1) ^ 2 \ links (1 + 2 + 3 + \ Punkte \ rechts) = X.$

Rechenfortschritt

1 + P u n k t e + n

$1 + \ Punkte + n$ ist gleich

d f r a c n (n + 1) 2

$\ dfrac {n (n + 1)} {2}$ Daher erhalten wir die Gleichung

d f r a c n (n + 1) 2 + (2 n + 1)^{2} X = X,

$\ dfrac {n (n + 1)} {2} + (2n + 1) ^ 2X = X,$

Wo stellt sich heraus, dass

X = - d f r a c 18 .

$X = - \ dfrac {1} {8}.$

Die Summe aller natürlichen Zahlen: 1 + 2 + 3 + 4 + .... Teil 2

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