Mathematiker haben ein Muster gefunden und verstanden, wie man sein Auftreten vermeidet

Wir fanden schließlich heraus, wie groß die Menge der Zahlen sein sollte, damit ein Muster namens "Polynomprogression" garantiert wird.

Einige Muster in der Mathematik sind so selten, dass sie Ihr ganzes Leben lang gesucht und nicht gefunden werden können. Andere sind so häufig, dass sie unmöglich zu vermeiden scheinen.

Die von Sarah Pilius von der Universität Oxford vorgelegten neuen Beweise zeigen, dass ein numerisches Muster eines besonders wichtigen Typs im Wesentlichen unvermeidlich ist: Es wird garantiert in jeder ausreichend großen Sammlung von Zahlen gefunden, unabhängig davon, wie sie ausgewählt werden.

"Es gibt eine Art von Unzerstörbarkeit in diesen Mustern", sagte Terence Tao von der University of California in Los Angeles.

Pilyus 'Beweis betrifft eine Folge von Zahlen, die als "Polynomfolgen" bezeichnet werden. Sie sind einfach zu erstellen - Sie können sehr schnell Ihre eigenen erstellen - und sie beziehen sich auf den Zusammenhang zwischen Addition und Multiplikation von Zahlen.

Seit mehreren Jahrzehnten wissen Mathematiker, dass bei einer kleinen Menge (oder „Menge“) von Zahlen - das heißt, wenn sie relativ wenige Zahlen enthält - möglicherweise überhaupt keine polynomiellen Progressionen vorliegen. Sie wussten auch, dass die Menge mit dem Anwachsen eine bestimmte Schwelle überschreitet, nach der sie bereits so viele Zahlen enthält, dass eine dieser Sequenzen dort erfüllt sein muss. Es sieht aus wie eine Suppentasse mit Teigbuchstaben - je mehr Buchstaben Sie haben, desto wahrscheinlicher ist es, dass Sie Wörter daraus hinzufügen können.

Vor Pilius wussten die Mathematiker jedoch nicht, wo diese Schwelle lag. Ihr Beweis liefert eine Antwort auf diese Frage - eine exakte Formel, die bestimmt, wie groß die Menge sein soll, damit bestimmte Polynomverläufe garantiert werden.

Und zuvor hatten Mathematiker nur vage Vorstellungen, dass Polynomfolgen unter ganzen Zahlen (1, 2, 3 usw.) zu finden sind. Jetzt wissen sie genau, wo sie suchen müssen.

Auf der Suche nach Mustern

Um sich diese Muster vorzustellen, betrachten Sie eines davon, etwas einfacher als das, mit dem Pilius gearbeitet hat. Beginnen wir mit der Zahl 2 und fügen ein Triple hinzu: 2, 5, 8, 11, 14 usw. Dieses Muster - beginnend mit einer Zahl, die eine andere hinzufügt - wird als "arithmetische Folge" bezeichnet. Dies ist einer der am häufigsten untersuchten und häufigsten Fortschritte in der Mathematik.



In Bezug auf die Häufigkeit des Auftretens einer arithmetischen Progression unter ganzen Zahlen müssen zwei Dinge verstanden werden.

Endre Cemeredi erwies sich 1975 als einer von ihnen. Erstens, sagte er, wähle die Länge deiner arithmetischen Abfolge. Dies kann ein Muster mit vier Mitgliedern (2, 5, 8, 11) oder einer Familie (14, 17, 20, 23, 26, 29, 32) oder allgemein mit einer beliebigen Anzahl sein. Danach beweist er, dass er, sobald die Menge von Zahlen eine bestimmte Größe erreicht (die er nicht bestimmen konnte), definitiv eine arithmetische Folge von einer solchen Länge finden wird. So untermauerte er die Vorstellung, dass es in ausreichend großen Zahlenmengen irgendwo notwendigerweise ein Muster gibt.

„Semeredi sagte tatsächlich, dass ein vollständiges Durcheinander unmöglich ist. Egal wie viele Sie nehmen, einige Strukturen schaffen es immer, hineinzukommen “, sagte Ben Green aus Oxford.

Der Satz von Szemeredi sagt jedoch nichts darüber aus, wie groß die Sammlung von Zahlen sein sollte, damit diese Muster unvermeidlich werden. Er sagte einfach, dass es für eine arithmetische Folge von beliebiger Länge eine Vielzahl von Zahlen unbekannter Größe geben muss, die diese enthalten.

Mehr als zwei Jahrzehnte später bestimmten Mathematiker diese Größe - und stellten damit die zweite grundlegende Tatsache in Bezug auf arithmetische Gesetze unter Beweis.

Im Jahr 2001 hat Timothy Gowers von der Universität Cambridge bewiesen, dass man, wenn man beispielsweise eine arithmetische Folge von fünf Mitgliedern finden will, viele Zahlen mit mindestens einer bestimmten Größe benötigt - und bestimmt, wie groß diese sein wird (es ist schwierig, die genaue Größe zu beschreiben) Die Formel enthält riesige Exponentialzahlen.

Um zu verstehen, was Gowers getan hat, müssen Sie verstehen, was Mathematiker damit meinen, dass sie über die "Größe" einer Reihe von Zahlen und die Idee einer "ziemlich großen Größe" sprechen.

Wählen Sie zunächst ein Intervall in einer Zahlenzeile aus, z. B. 1 bis 1000 oder etwas Zufälligeres, z. B. 17 bis 1016. Beginn und Ende des Intervalls spielen keine Rolle, nur die Länge ist wichtig. Bestimmen Sie dann den Bruchteil von Zahlen aus diesem Intervall, den Sie zum Satz hinzufügen möchten. Wenn Sie beispielsweise eine Menge von 100 Zahlen zwischen 1 und 1000 erstellen, beträgt die Größe Ihrer Menge 10% des Intervalls.

Gowers 'Beweis funktioniert unabhängig davon, wie Sie Zahlen aus diesem Satz auswählen. Sie können die 100 ersten ungeraden Zahlen aus dem Bereich von 1 bis 1000, die 100 ersten Zahlen, die mit 6 enden, oder sogar 100 Zufallszahlen verwenden. Und Gowers hat bewiesen, dass unabhängig von der Methode, sobald die Menge in einem ausreichend langen Intervall einen ausreichend großen Raum (nicht unbedingt 10%) einnimmt, zwangsläufig eine arithmetische Folge von fünf Mitgliedern darin erscheint. Er bewies das Gleiche für eine beliebige arithmetische Folge.

"Nach Gowers wissen wir, dass, wenn sie mir eine arithmetische Folge von beliebiger Länge geben, jede Untergruppe von Zahlen einer bestimmten Größe diese Folge notwendigerweise enthalten wird", sagte Pilius.

Die Arbeit von Pilius ähnelt der Leistung von Gowers, nur dass sie sich auf polynomiale Progressionen konzentrierte.

In der arithmetischen Folge wählen wir eine Anfangszahl aus und fügen eine weitere hinzu. In Form der Polynomabfolge, die Pilius studierte, wählen Sie den Anfangswert und addieren die Potenzen einer anderen Zahl dazu. Zum Beispiel: 2, 2 + 3 ¹ , 2 + 3 ² , 2 + 3 ³ , 2 + 3 ⁴ . Das heißt, 2, 5, 11, 29, 83. In seinem Verlauf gab es auch nur ein Mitglied für jeden Abschluss - diese Anforderung vereinfacht die Arbeit mit ihnen.

Diese Polynomverläufe sind eng mit einer so wichtigen Regelmäßigkeit wie der geometrischen Progression verbunden, die durch eine zunehmende Erhöhung der Zahl gebildet wird: 3 ¹ , 3 ² , 3 ³ , 3 ⁴ , ... Sie treten natürlich in vielen Bereichen der Mathematik und Physik auf und erfreuen Mathematiker seit mehreren Jahrtausenden. Geometrische Progressionen sind selbst bei großen Zahlenmengen seltener. Wenn Sie sie jedoch ein wenig korrigieren, z. B. indem Sie jedem Term eine Konstante hinzufügen, erhalten Sie eine polynomielle Progression. Aber sie scheinen einfach überall zu erscheinen.



„Sie können große Zahlenmengen erstellen, die keine geometrischen Verläufe enthalten. Aber wenn Sie sich ein wenig Freiheit geben und die geometrische Progression verschieben, "um eine multipolynomiale Progression zu erzeugen, scheinen große Mengen gezwungen zu sein, diese zu enthalten", sagte Sean Prendeville von der Lancaster University, der mit Pilius an polynomialen Progressionen arbeitete.

1996 haben Vitaly Bergelson und Alexander Leibman bewiesen, dass, wenn sie durch eine Vielzahl eine ausreichend große Größe erreichen, es notwendigerweise polynomielle Progressionen geben muss - dies war das polynomielle Äquivalent der Arbeit von Cemeredi. Mathematiker hatten jedoch keine Ahnung, wie groß eine „ausreichend große“ Menge sein sollte.

Pilius beantwortete diese Frage auf eine kontraintuitive Art und Weise. Er dachte darüber nach, welche Eigenschaften viele Zahlen haben sollten, damit es keine solchen Muster gibt.

Kampfmuster mit Mustern

Pilius wollte bestimmen, wie groß die Menge sein sollte - wie viel Prozent der Zahlen im Intervall sollten darin enthalten sein -, um sicherzustellen, dass sie die gegebene Polynomabfolge enthalten würde. Zu diesem Zweck präsentierte sie alle Möglichkeiten, mit denen eine Vielzahl von Zahlen das Auftreten von Progressionen vermeiden kann - und bewies dann, dass selbst ein Überschreiten einer bestimmten Größe nicht einmal die genialste dieser Strategien funktioniert.

Diese Aufgabe kann als Wettbewerb gewertet werden. Angenommen, jemand bittet Sie, eine Menge zu erstellen, die die Hälfte der Zahlen von 1 bis 1000 enthält. Sie gewinnen, wenn die Menge nicht die ersten vier Elemente der Polynomfolge enthält. Wie würden Sie die Zahlen auswählen?


Sarah Pilius von der University of Oxford

Sie können instinktiv versuchen, Zahlen nach dem Zufallsprinzip auszuwählen. Aber dieser Instinkt wird falsch sein.

„Die meisten Sets befinden sich in der Mitte einer Normalverteilung . Sie enthalten die durchschnittliche Anzahl von Polynomfolgen “, sagte Prendeville. Und dieser Durchschnittswert ist viel mehr als Null von Ihnen gefordert.

Es ist, als würde man eine zufällige Person aus der gesamten Bevölkerung des Planeten auswählen und eine finden, deren Wachstum dem Durchschnitt nahe kommt. Wenn Sie ein seltenes Exemplar mit einer Höhe von mehr als 2 m finden möchten, müssen Sie die Suche in einer genaueren Richtung durchführen.

Um den Zahlenauswahlwettbewerb zu gewinnen, müssen Sie daher besser organisiert entscheiden, welche Zahlen in Ihrem Satz von 500 Teilen enthalten sein sollen. Wenn Sie beispielsweise nur gerade Zahlen auswählen, können Sie die Wahrscheinlichkeit eliminieren, dass die Menge Polynomfolgen mit ungeraden Zahlen enthält. Fortschritt! Auf diese Weise erhöhen Sie natürlich die Wahrscheinlichkeit, dass Ihre Menge Polynomfolgen enthält, die aus geraden Zahlen bestehen.

Die Quintessenz ist jedoch, dass Sie, nachdem Sie eine strukturierte Methode zur Auswahl von 500 Zahlen gefunden haben, die Wahrscheinlichkeit eliminieren können, in einer Reihe bestimmter Polynomfolgen zu sein. Mit anderen Worten ist es notwendig, ein Muster zu beobachten, um ein Muster zu vermeiden.

Pilius beschloss zu beweisen, dass selbst sehr geschickt komponierte Mengen bei Erreichen einer bestimmten Größe noch polynomielle Progressionen enthalten müssen. Tatsächlich wollte sie den kritischen Punkt bestimmen, an dem Sie jedes Mal, wenn Sie die Einbeziehung von Polynomfolgen eines Typs vermeiden, auf die Anwesenheit von Polynomfolgen eines anderen Typs stoßen - wie dies bei geraden und ungeraden Zahlen der Fall ist.

Dazu musste sie einen Weg finden, um die Strukturierung der Menge zu quantifizieren.

Strukturmessung

Vor der Arbeit von Pilius versuchten viele Mathematiker zu verstehen, wann Polynomfolgen in vielen Zahlen auftreten. Viele der sehr erfolgreichen Mathematiker befassten sich damit, aber keiner von ihnen war in der Lage, signifikante Fortschritte bei der Ermittlung der Größe der Menge zu erzielen, die erreicht werden muss, um Polynomfolgen unterschiedlicher Länge aufzunehmen.

Das Haupthindernis für sie war, dass die Mathematiker keine Ahnung hatten, wie sie Strukturen charakterisieren sollten, die das Auftreten polynomialer Progressionen vermeiden. Es gab eine mögliche Technik dafür, aber als Pilius begann, auf diesem Gebiet zu arbeiten, konnte sie nicht auf Fragen angewendet werden, die polynomielle Progressionen betrafen.

Diese Technik erschien 2001 in Gowers 'Aufsatz über arithmetische Abläufe. Gowers erstellte den Test und nannte ihn "Gauers-Norm", die Strukturen einer bestimmten Art in einer Vielzahl von Zahlen erkennt. Der Test erzeugt eine einzelne Zahl, die den Grad der Strukturierung in der Menge bestimmt - das heißt, sie zeigt numerisch, wie weit sich die Menge von einer einfachen Menge von Zufallszahlen entfernt hat.

"Das Konzept der" Menge sieht zufällig aus "ist mathematisch nicht klar definiert", sagte Green. Gowers fand einen Weg, dieses Konzept zu quantifizieren.

Viele können mehr oder weniger strukturiert sein. Die Mengen, die Zufallszahlen enthalten, haben keine Struktur, daher enthalten sie mit hoher Wahrscheinlichkeit numerische Muster. Solche Sets haben eine niedrige Gowers-Norm. Mengen, die nur ungerade Zahlen oder nur durch 10 teilbare Zahlen enthalten, haben eine rudimentäre Struktur. Es ist leicht zu beweisen, dass bei Überschreitung einer bestimmten Größe verschiedene Regelmäßigkeiten auch in Mengen einer derart einfachen Struktur auftreten.

Am schwierigsten ist es, mit vielen sehr komplexen Strukturen zu arbeiten. Sie sehen vielleicht zufällig aus, werden aber gleichzeitig nach einer sehr kniffligen Regel gebaut. Ihre Gowers-Norm ist hoch und sie bieten die beste Chance, Muster systematisch zu vermeiden, wenn die Größe des Sets wächst.

Da Gowers mit diesen Techniken nach Antworten auf Fragen im Zusammenhang mit arithmetischen Verläufen suchte, konnten sie nicht auf Fragen im Zusammenhang mit polynomialen Verläufen angewendet werden. Arithmetische Progressionen haben gleiche Intervalle, und Zahlen in polynomialen Progressionen springen sehr aktiv. Gowers-Normen waren nützlich, um polynomiale Verläufe zu untersuchen, und ein Rasentrimmer, um alte Farbe aus einem Haus zu entfernen: Die Idee ist ähnlich, obwohl sie für diese Arbeit nicht ganz geeignet ist.

In den neuen Beweisen verwendete Pilius die Grundidee der Gowers-Norm, um eine neue Methode zur Analyse von Strukturen zu schaffen, die mit polynomiellen Fortschritten verbunden sind. Sie benutzte die Technik des „Absenkens des Grades“, um zu beweisen, dass Sie sich in Verfahren mit für sie interessanten polynomialen Verläufen nur um einfache Strukturen mit einer niedrigen Gowers-Norm kümmern sollten. Tatsache ist, dass sich Polynomverläufe beim Übergang von einem Begriff zum anderen so stark ändern, dass sie unweigerlich weniger haltbare numerische Hindernisse überwinden - wie ein Elefant, der Vitrinen aus einem Porzellanladen herausschiebt.

Die Pilius-Formel ist in einfachen Worten schwer zu beschreiben. Hierbei handelt es sich um den doppelten Logarithmus der Länge des ursprünglichen Intervalls, aus dem Sie Zahlen für Ihren Satz auswählen. Die von ihr erreichte Mindestgröße wird nicht unbedingt die kleinste aller möglichen sein - in zukünftigen Arbeiten kann sich herausstellen, dass die wahre Schwelle noch niedriger ist. Aber bis der Beweis erschien, hatten die Mathematiker kein quantitatives Verständnis für das Auftreten einer Garantie für die Existenz polynomialer Progressionen.

"Sie war die erste Person, die zeigte, wie groß das Set sein sollte", sagte Prendivil.

Beweis Pilius beantwortet quantitativ eine Frage in Bezug auf polynomiale Progressionen. Jetzt verwenden Mathematiker es in der Hoffnung, eine Antwort auf eine andere Frage zu erhalten - wenn polynomiale Progressionen in Mengen von Primzahlen auftreten, den wichtigsten Zahlen in der Mathematik, die sich hartnäckig jeder Art von Sequenzen widersetzen. Bevor dieser Beweis erschien, hatten Mathematiker keine Ahnung, wie sie sich dieser Frage nähern sollten.

"Es besteht die Hoffnung, dass einige der Argumente meiner Arbeit im Bereich der Primzahlen angewendet werden können", sagte Pilius.